Гироскопическая стабилизация несущего электрический заряд тела, вывешенного в поле другого заряда Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

Вестник Нижегородского университета и м. Н.И. Лобачевского, 1007, № 1, с. 144-150

УДК 539.3

ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕСУЩЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД ТЕЛА,

ВЫВЕШЕННОГО В ПОЛЕ ДРУГОГО ЗАРЯДА

© 2007 г. Г.Г. Денисов 1, В.В. Новиков 2, А.Е. Федоров 2

1 НИИПМК Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

уе81шк [email protected]

Поступила в редакцию 25.12.2006

Тело, несущее точечный заряд, вывешено в поле одноименного неподвижного точечного заряда так, что в состоянии равновесия заряды находятся на одной вертикали. Согласно теореме Ирншоу, равновесие этой системы неустойчиво. Математическая модель рассматриваемого объекта представляет собой систему четырех взаимосвязанных уравнений, описывающих движение центра масс тела в плоскости, перпендикулярной силе тяжести, и его угловые движения, а также отделяющееся в линейном приближении уравнение гармонических колебаний вдоль вертикали. Вращение тела порождает гироскопические силы, которые будут присутствовать лишь в уравнениях угловых движений. Детерминант матрицы гироскопических сил равен нулю, следовательно, не выполнены условия теоремы Кельвина о гироскопической стабилизации консервативных систем. Показано, что в этом случае существует конечный интервал значений угловой скорости вращения тела, при которых система консервативно устойчива, а введение в рассмотрение диссипативных и циркулярных сил может упрочить устойчивость системы до асимптотической.

Во многих случаях заключение об

устойчивости равновесия системы можно

сделать, исходя из общих положений теории

устойчивости по структуре сил, действующих на систему [1]. Так, например, невозможно вывесить точечный заряд в электрическом поле одноименного неподвижного заряда. Это следует из теоремы Ирншоу [2],

устанавливающей, что статическая

конфигурация частиц, взаимодействующих между собой с силой, обратно

пропорциональной квадрату расстояния, неустойчива. Согласно теореме Кельвина о гироскопической стабилизации консервативной системы с четной степенью неустойчивости (например, [3]), вывешиваемый заряд можно стабилизировать за счет действия достаточно сильного магнитного поля [4]. Достигаемая консервативная устойчивость системы нарушается при учете сил диссипации с полной диссипацией (в соответствии с другой теоремой Кельвина), но консервативную устойчивость можно и упрочить до асимптотической, поместив систему в осесимметричный поток воздуха, что равносильно введению диссипации во вращающуюся систему координат [5].

Задача стабилизации магнита, вывешенного в поле постоянного магнита (левитрона), была рассмотрена, в частности, в работах [6-8].

Рассмотренная в [8] задача о неконтактном состоянии равновесия вращающегося тела, содержащего постоянный магнит, и

представленная в данной работе задача об устойчивости вывешенного в

электростатическом поле точечного заряда, жестко соединенного с осесимметричным вращающимся телом (рис. 1), имеют общую особенность: поступательное движение

вывешиваемого тела в горизонтальной плоскости и его угловые движения связаны между собой, а вращение тела порождает гироскопические силы лишь в уравнениях угловых движений. Теорема Кельвина не дает ответ на вопрос о возможности гироскопической стабилизации левитирующего волчка, так как ее доказательство построено на предположении, что детерминант матрицы гироскопических сил отличен от нуля [3]. Изучению устойчивости таких систем

посвящена настоящая работа. Она отличается от [8] более простым получением условий

устойчивости и указанием малых неконсервативных сил, упрочняющих устойчивость до асимптотической.

Постановка задачи. Уравнения движения

Рассмотрим симметричное тело и жестко связанный с ним электрический заряд е, расположенный на расстоянии a от центра масс на оси симметрии (см. рис. 1). Тело вывешено в поле другого неподвижного точечного заряда того же знака и приведено во вращение вокруг оси симметрии с угловой скоростью Q. Радиус-вектор центра инерции тела, проведенный от неподвижного заряда, обозначим через г, а положение заряда, связанного с телом, будем характеризовать радиус-вектором гі. Связь между этими векторами определяется следующим равенством: г1 = г + а, где

а = - a (sina cosb i + sinb j + cosa cosb k).

Углы a и b, характеризующие положение вектора а в системе координат Oxyz, показаны на рис. 2 (ось Оz направлена по вертикали).

Функция Лагранжа рассматриваемой системы имеет вид:

L = (Х2 + & + z&)m + (

2 C е 2

+ (W + ofcin b)--------------mgz,

2 4то • r1

где А, С, m - моменты инерции и масса тела.

В дальнейшем рассматриваются движения тела при малых отклонениях от положения равновесия системы a = в = 0, x = y = 0, z = z 0. С учетом этого функция Лагранжа с точностью до квадратичных по малым отклонениям от равновесного состояния членов запишется следующим образом:

L = (Х2 + у2 + ¿®)m + (02 + b2)A +

1 cos2 b+b2)— +

2

2

C

+ (W+ 2Wo&)-- mg( zo + z) -

Г

1

4pe 0

(1)

&= х - да,

&= У - д Ь, а&= -д х - Н/&+ %а,

/&= - д у + Н а&+ %р.

При переходе к безразмерным переменным и параметрам приняты масштабы времени и

координат и = д/(^о - а )/# , I* = у/А/т и

введены обозначения д = а/1* , X = 2од/1* , Н = СО ?*/А.

Без вращения система неустойчива по каждой из четырех степеней свободы. При О Ф 0 гироскопические силы присутствуют лишь в уравнениях угловых движений, и теорема Кельвина о гироскопической стабилизации консервативной системы с четной степенью неустойчивости в этом случае неприменима.

Г ироскопическая стабилизация системы.

Обобщение теоремы Кельвина

Рассмотрим эквивалентную исходной (1) систему уравнений:

&- и + д V = 0, &- /Н&- XV + д и = 0,

- а (20 - а) (20 - а) 2(г0 - а) х[а(г0 - а)(а2 - /2) + (х - аа)2 + (у - а/)2]},

где £ = г - г0-

Из уравнения для £ легко заключить, что 20 = а + д/л/4л£0т? , а колебания вдоль вертикали консервативно устойчивы и

происходят с частотой ю = (16я£0т£3 / е2 ) .

В соответствии с приведенным выражением для Ь уравнения движения центра масс тела в плоскости, перпендикулярной силе тяжести, и уравнения угловых движений тела запишутся для безразмерных переменных следующим образом:

2

1

е

+

X

О

где и = х + ¡у , V = а + , I = л/- 1 .

Отыскивая решение в виде и = А ехр( ¡Ш), V = В ехр( ¡Ш), приходим к

характеристическому уравнению

а4 - На? + (1 + х)ю2 - Ню - д2 + с = 0. (2)

Выясним, можно ли указать такие значения

Н, при которых четыре корня

характеристического уравнения являются действительными, то есть система (1) становится консервативно устойчивой.

/7'

В соответствии с правилом Декарта необходимым условием того, что действительное уравнение (2) имеет четыре действительных положительных корня, является существование четырех перемен знаков в последовательности коэффициентов по степеням о. Поскольку

Н > 0 и х - д2 > 0 (так как 20 - а > 0, см.

рис. 1), необходимое условие выполнено.

/

Рис. 3

Для

определ

ения

достато

чных

условий

выразим

из

уравнен ия (2) парамет р Н:

Н =

а4 + (1 + X )а2 + X - д 2

а(а +1)

Зависимость Н(о) при указанном выше условии может иметь вид, показанный на рис. 3. При значениях Н из интервала [Нтт, Нтах ]

характеристическое уравнение (2) имеет четыре действительных корня. Это возможно, если кривая Н(о) имеет три экстремума, то есть следующее из условия ёН'¡йа = 0, уравнение

ю6 + (2 - х )Ш4 +

?2ч_2

+ (1 -2х + 3^)Ш -(X- д2) = 0. (3)

должно иметь три действительных

положительных корня необходимо, чтобы в

а2. Для этого

последовательности 2

коэффициентов при степенях у = а наблюдались три перемены знаков, то есть наряду с неравенством х - д2 > 0 требуется выполнение неравенств 2 - х < 0,

1 -2х + 3д2 > 0.

Отсюда следует, что, по крайней мере, % > 2, 8 > !•

В частности, при % - 82 << 1 младший корень

уравнения (3) будет равен а! » (% - 82 )/(1 + %), а

два других равны о)\у Л%-2± VX2 -8/ |/2.

12

Указанным значениям параметров (х = 10, 8 = 3 , Н = 6,25) будет соответствовать в плоскости Оху траектория центра масс, показанная на рис. 4.

Следовательно, % > 8В общем случае условия действительности

корней кубического относительно (О2

уравнения (3) [9] приводятся к следующему компактному виду:

¿4 _Х2 +14^ + 1 Х2 2

І.04

8*+— (Ж + 1Г<0, (4)

что выполняется, если

(Ж2 + 14Ж + 1)2 >^(^ + 1)3 144 27

Отсюда находим, что ^ > 5,3 . В граничной точке X = 5,3 неравенство (4) не выполняется. Выражение в левой части (4) лишь обращается в нуль при 82 = 4,304. Для каждого X > 5,3

значение 8 2 принадлежит некоторому интервалу, определяемому из уравнения (4).

Например, при х = 10 8,546 < 82 < 11,538.

Заметим, что обеспечение устойчивости возможно лишь при достаточно большой по величине отрицательной жесткости в уравнениях для угловых движений и при достаточно большом коэффициенте связи 52 между уравнениями поступательных и угловых движений.

Далее рассматривается частный случай X = 10, 8 = 3. Уравнение для экстремальных

точек Н(т) будет следующим: а>6 - 8щ4 + 8а>2 -

2

-1 = 0. Его корнями являются щ = 0,1459,

щ2 = 1, щ2 = 6,854. Экстремальные значения

Нтт(щ1) ~ 6, Нтах(щ2) ~ 6,5 , Нтт(щ3) ~ 6. Следовательно, в данном случае для того, чтобы все корни (2) были действительными, надо выбирать значения Н из интервала 6 < Н < 6,5. Например, при Н = 6,25 уравнение (2) запишется следующим образом:

щ4 — 6,25щ3 + + 11®2 — 6,25® + 1 = 0. Корни этого уравнения:

щ ~ 0,268, щ2 ~ 0,6054, щ ~ 1,6466, щ ~ 3,73.

-З.С-2

-Э.'М

-S.'Tfi

:н>в

/Ґ \\ \ ", 4 -

г м 1 I \ 1 1 V : \ \

i V:>- ••• "Ч к X ■ = 3&1

4v і /

(4)

-?.?3 -v.ee -0.04 -0.52

0.С2

).Q4 0.5Є .Г

Рис. 4

Таким образом, задача отыскания условий, при которых уравнение 4-й степени (2) с параметрами х, d, H имеет чисто

действительные корни, свелась к существенно более простой задаче - к нахождению условий существования действительных корней

уравнения 3-й степени (3) с параметрами х, d.

Найденным параметрам х, d, H

соответствуют чисто действительные корни уравнения (1), то есть консервативная

устойчивость системы. Проведенное

рассмотрение является обобщением теоремы Кельвина о гироскопической стабилизации на случай, когда детерминант матрицы

гироскопических сил равен нулю. В отличие от классического случая, здесь область изменения параметра сил H, отвечающая стабилизации системы, оказывается ограниченной и снизу, и сверху.

Используя численный счет, можно получить область устойчивости в пространстве

параметров х, d, H. На рис. 5 показаны

сечения области устойчивости плоскостями H = const с шагом 1 на отрезке 5 < H < 10.

Влияние диссипативных и циркулярных сил на устойчивость системы

Рассмотрим следующую систему уравнений:

&- и + 8 V + Ь.1&+ ¡щи = 0, &— ¡Н&- XV + 8 и + Н2&+ ¡к2V = 0.

В исходные уравнения (1) добавлены малые диссипативные и циркулярные силы соответственно с коэффициентами 7 2 << 1, К12 << 1. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

/(р) = (р2 -1)(р2 - ¡Нр - х) - 82 + (р2 -1) х

2

х (¿2Р + ¡К2) + (р - ¡Нр - х)(^1Р + К]_) = 0. (5)

Здесь в силу малости 7^ ,К\2 опущены квадратичные члены.

С целью исследования устойчивости методом .О-разбиений [10] положим р=ш и приравняем к нулю действительную и мнимую части /(¡ю):

(щ2 + 1)(щ2 - щН+х) - 82 = 0,

(щ2 - qH + х)(^® + к1) + (ю2 + 1)(Л2Ю + к2) = 0.

В качестве параметров, на плоскости которых будем производить О-разбиения, выберем К1, к2. Обычно параметры О-

разбиений присутствуют как в действительной, так и мнимой частях /(¡ю). При линейном вхождении этих параметров уравнениям Яе /(¡а) = 0, 1т /(¡а) = = 0 отвечают на их плоскости две прямые, геометрическое место пересечений которых при различных ю из интервала (-¥, ¥) дает границу О-разбиений. В данном случае параметры к1,к 2 входят линейно лишь во второе уравнение. Поэтому каждому щ = (к = 1, 2, 3, 4), обращающему в

нуль действительную часть /(¡ю), отвечает прямая на плоскости к1, к2 , называемая особой прямой. Мнимая часть характеристического

уравнения приводится к виду:

7 (щ2 +1)2 ,7 . „

А10^ + К1 ---Оъщ + К2) = 0

82

(щ = 0,268, 02 = 0,6054, щ$ = 1,6466, = 3,73).

Совокупность особых прямых разбивает плоскость К1, К2 на области Оп с различным числом корней с положительной действительной частью (О0 - область

устойчивости).

Для простоты положим ^1 = ^2 = А , тогда получим следующие особые прямые: щ1 отвечает прямая

х к1 + 0,1276к2 + 0,30227 = 0; щ2 - К1 + 0,2075к2 + 0,7317? = 0 ; щ3 - + 1,5304к2 + 4,16667 = 0 ;

щ4 - к1 + 24,711к2 + 95,97 = 0 .

На каждой из этих прямых один из корней характеристического уравнения чисто мнимый и равен рк = ¡щк . При малом отклонении параметров щ, К2 от их значений на особых прямых получим

рк = iqk + Дрк, Дрк <<1.

Подставив это в характеристическое уравнение (5), найдем после несложных преобразований

/'(®к)Д?к = (-4®к3 + 18,75щ2 - 22®к +

82 2 + 6,25) Арк =----2-ДК1 + («к + 1)А»2.

(щк +1)

Отсюда следует, что малое приращение Арк действительно, а его знак зависит от знака /(щк) и от того, в какую сторону от особой прямой произошло смещение.

Так, для особой прямой, соответствующей

щ1 = 0,268 / (щ^ > 0, и при смещении от этой прямой вверх (например, Ак1 > 0, Дк2 = 0) будем иметь положительное действительное приращение Др1. Из этих соображений нанесем на данную особую прямую штриховку снизу, которая будет означать, что при переходе через особую прямую сверху вниз число корней характеристического уравнения с

положительной действительной частью уменьшается на единицу. Рассуждая аналогично, придем к выводу, что особая прямая для щ2 должна штриховаться сверху, а особые прямые для щ3, щ4 - так, как показано на рис. 6, на котором представлен вид картины О-разбиений.

По процедуре метода О-разбиений область, все границы которой заштрихованы с её стороны, является лишь претендентом на область устойчивости. Поэтому необходимо найти действительные части всех корней характеристического полинома хотя бы для одной точки этой области (пары шь ш 2). В данном случае этого делать не надо, так как границы области суть прямые, отвечающие всем четырем чисто мнимым корням, и при смещении внутрь области от этих границ все корни обретают отрицательные действительные части.

Поэтому областью устойчивости является четырехугольник с вершинами, образованными пересечением прямых, отвечающих значениям т 1, (Я2, с прямыми, соответствующими щ 3, щ 4 . Координаты вершин четырехугольника:

а: кх = 0,0537, К2 = -2,767;

Ь : к1 = 0,1997, к2 =-3,8957 ;

с : к1 =-0,1897, к2 =-2,67 ;

^: К| = 0,0797, к2 = -3,897.

Для устойчивости при заданном 7 параметры шь ш 2 циркулярных сил следует выбрать внутри этого четырехугольника. Например, = 0, к2 = -37.

Площадь четырехугольника растет вместе с ростом 7 и исчезает при 7 ® 0 . По виду области устойчивости легко заключить, что параметры К1, к2, доставляющие системе асимптотическую устойчивость, ограничены и сверху, и снизу.

Следует отметить, что достижение асимптотической устойчивости (рис. 7)

возможно лишь введением сил диссипации и сил циркулярных. Введение только сил диссипации или только циркулярных сил приводит к неустойчивости гироскопически стабилизированных систем.

Заключение

В соответствии с теоремой Кельвина неустойчивость при одних консервативных силах систем с четной степенью неустойчивости можно стабилизировать введением гироскопических сил. Обычно гироскопическая стабилизация

демонстрируется на системе с двумя степенями свободы или на системе с 2п степенями свободы, распадающейся на п несвязанных систем. При этом для системы (или для каждой из образовавшихся независимых систем) определяется значение параметра гироскопических сил, начиная с

которого имеет место стабилизация. В данной работе рассмотрена система общего вида с четырьмя взаимосвязанными степенями свободы, которая стабилизируется

гироскопическими силами, присутствующими лишь в одной паре уравнений. Оказывается, что в этом случае условия стабилизации системы имеют иной вид: значения параметра гироскопических сил, обеспечивающие устойчивость системы, принадлежат некоторому конечному интервалу, то есть в отличие от систем с двумя степенями свободы область изменения параметра оказывается ограниченной и сверху.

Возможность упрочнения консервативной устойчивости, достигнутой за счет

гироскопических сил, до асимптотической введением сил диссипации и циркулярных сил, позволяет рассчитывать, что результаты рассмотрения могут представлять не только теоретический, но и прикладной интерес.

В частности, на практике стабилизацию точечного заряда в электростатическом поле за счет циркулярных сил можно осуществить следующим образом. Система зарядов помещается внутрь цилиндрического кожуха, который приводится во вращение. В системе отсчета, связанной с кожухом, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела.

После преобразования силы сопротивления к неподвижной системе отсчета в уравнениях движения возникнут члены, которые можно интерпретировать как циркулярные силы, следовательно, параметром циркулярных сил является угловая скорость кожуха.

Работа поддержана РФФИ (проект 06-01-00368).

Список литературы

1. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р. Меркин. М.: Наука, 1971. 312 с.

4. Мартыненко, Ю.Г. О проблеме левитации в силовых полях / Ю.Г. Мартыненко // Соросовский образовательный журнал. 1996. № 3. С. 82-86.

5. Денисов, Г.Г. Диссипация и устойчивость в механических системах / Г.Г. Денисов // Изв РАН. МТТ. 1998. № 2. С. 183-190.

6. Genta, G., Gyroscopic Stabilization of Passive Magnetic Levitation / G. Genta, C. Delprete, B. Rondano // Mekhanica. 1999. № 34. P. 411-424.

7. Jones, T.B. Simple theory for the Levitron / T.B. Jones, M. Washizu, R. Gans // J. Appl. Phys. 1997. Vol. 82. No. 2.

8. Стабилизация вращением подвижного магнита в поле неподвижного / И.В. Веселитский [и др.] // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 3. С. 88-93.

9. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука, 1986. 544 с.

10. Неймарк, Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы / Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1978. 336 с.

GYROSCOPIC STABILISATION OF A BODY CARRYING AN ELECTRICAL CHARGE IN THE FIELD OF ANOTHER CHARGE

G.G. Denisov, V. V. Novikov, A.E. Fedorov

A body with a point charge is placed in the field of a fixed point charge of the same sign so that the charges are on the same vertical line in the equilibrium state. According to Earnshow's theorem, the equilibrium of this system is unstable. The mathematical model of this object is a system of four interconnected equations. They describe the angular motion of the body and the motion of its center of masses in a two-dimensional subspace perpendicular to the gravity vector. They also describe the equation of harmonic oscillations along the vertical line in linear approximation. Body rotation brings about gyroscopic forces, which are taken into consideration only in the equations of angular motion. The determinant of the gyroscopic forces matrix equals zero, therefore, the conditions of Kelvin's theorem for the gyroscopic stabilization of conservative systems are not satisfied.

It is shown that in this case there is a finite interval of values of the angular rate of body rotation, which ensures the system conservative stability. The conclusion is also made that introduction of dissipative and circular forces may increase the system stability to asymptotic.

2. Линьков, Р.В. Ирншоу теорема. Физическая энциклопедия / Р.В. Линьков, М. А. Миллер. М.: Сов. энциклопедия, 1990. Т. 2. С. 216.

3. Меркин, Д.Р. Гироскопические системы / Д.Р. Меркин. - М.: Наука, 1974. - 344 с.