CC BY
39
УДК 530.1 (075.8)
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАЧАЛЬНЫЙ УЧАСТОК ПРИ ТЕЧЕНИИ ВЫСОКОВЯЗКОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ А.В. Ряжских
Получено аналитическое решение задачи идентификации длины входной области в канале прямоугольного сечения при ламинарном течении высоковязкой ньютоновской жидкости
Ключевые слова: ньютоновские жидкости, гидродинамический начальный участок, уравнения Навье-Стокса
Введение
В большинстве систем авиационной, ракетнокосмической техники, в энергетике, а также в пищевой и химической промышленности, связанных с переносом энергии, массы и импульса, довольно часто используются прямолинейные каналы нестандартного сечения, например, прямоугольного [1]. Компактность таких систем диктует необходимость учета влияний условий входа на теплообмен с помощью идентификации гидродинамического начального участка при течении различных реологических сред [2].
Решения задачи о начальном участке при ламинарном течении ньютоновской жидкости в осесимметричных каналах приведены в классических работах [3-5], причем исходные математические постановки базируются либо на приближенных уравнениях Озеена, либо на теории пограничного слоя, сводя задачу к «квазиодномерной» формулировке. Для прямоугольной геометрии длина начального участка впервые анализировалась в [6] путем линеаризации исходных уравнений по Лангхаару [7]. Получены для соотношений высоты к ширине 1:1, 2:1, 4:1 значения коэффициентов длины
входных участков [8], равные соответственно 0,09; 0,085 и 0,075, которые были проверены с помощью вычислительных экспериментов в [9] и уточнены в [10]. Отмечается в [11], как и для круглых труб [12], что диапазон изменения этих коэффициентов достаточно велик, что не позволяет говорить об окончательном разрешении этой проблемы.
В связи с этим предлагается альтернативный подход к анализу обозначенной задачи, основанный на использовании модельных представлений о «ползущем» течении вязкой несжимаемой жидкости [13], успешно примененных при решении внешних гидродинамических задач, для линеаризации уравнений Навье-Стокса.
Математическая модель
Общая постановка задачи о гидродинамическом входном участке при изотермическом течении вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном канале с поперечным прямоугольным сечением имеет вид [14]:
Ряжских Александр Викторович - ВГТУ, ассистент, тел. (473)2464222
Эуг Эуг Эуг
о\ V —— + V —— + V —x-
P Vx dx Vy dy Vz dz
dp
=——+ h dx
d2Vx d2Vx
----— + V -------—
.2 у
V
dx2
dy
2 + Vz
dz 2
( dy.
P
\
dp
= a+h
dy
y
dx
(
dv„
y dVy^
V —— + V —— + V —-
x " y dy z dz
Vx
эч
dx2
- + Vy
P V
dv
- + Vy
x dx y
dVz
dy
d2v "dy2 dVz
dz
dz
2
- + Vz
dp
= ——+ h dz
d2v
dx2
+v
d2v
dy
2 + Vz
^4 ^
dz 2
dvx dVy dvz
= 0
dx dy dz
Vz (x y,0)=Vo;
Vx (x,y,0) = Vy (x,y,0) = 0; Vx (0 У, z )= Vx (У, z ) =
= Vx (x,(0, z ) = Vx (x, К z ) =0;
Vy (0 У, z )= Vy (hl, У, z ) =
= Vy (xAz) = Vy (x,^,z) = 0
Vz (° У, z) = Vz (hu У, z) =
=y (x,0, z ) = y (x, h2, z ) = 0;
dVx (x, y, l) dyy (x, У, l) dvz (x, y, l)
=0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
dz dz dz
где p,h - плотность и динамическая вязкость жид-
кости; h1, h2, l - ширина, высота и длинна канала
(полагается, что длинна канала намного больше длинны начального участка); vx, vy,vz - компоненты вектора скорости; p - давление; v0 = const -скорость жидкости во входном сечении канала.
Отметим, что решение системы (1) - (10), даже численное, пока в научной литературе отсутствует.
Будем рассматривать однонаправленное течение ( vx = vy = 0 ) в канале бесконечной длины
(l ), тогда система (1) - (10) существенно уп-
рощается:
V
V
x
ЭЧ ЭЧ d2v.
Эх2
1 Эр;
h Э2 ’
Эу2 Эх2
vz (х у,0) = vo;
Vz (0 У z)= Vz (h1> У> z) = 0
vz ( xA z ) = vz ( X h2, z )= 0
dvz (x, у, ¥)
Эх
= 0;
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Процедура обезразмеривания с помощью относительных параметров
X = х/к ; У = у/к ; 2 = г/к ; V = vzh| V ;
Яе = у0кV ; Р = рк2!(рп2); к = к1к2/(к1 + к2);
А = (к1 + к2 V к2 ; 5 = (к1 + к2 V И1
преобразует систему (11) -(15) в следующий вид
Э2К Э2К Э2К
ЭР;
эг!
эх2 эу2 эг2
Vz (X,У,0) = Re ;
Vz (0, Y, Z ) = Vz (A, Y, Z ) = 0; Vz (X,0, Z ) = Vz (X, B, Z ) = 0: Э^ (X, Y, ¥)
эг
= 0.
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Дополнительная замена переменных по правилу и = ¥г/Яе, К = Яе йР/й2 , Р = р/(ру02)
позволяет записать математическую формулировку в виде краевой задачи для эллиптического уравнения
д2и д2и д2и
2 2 2=-k;
эх2 эу2 Эг2
U (X ,У ,0) = 1;
U (0,У, Z ) = U (A,Y, Z ) = 0; U (X ,0, Z ) = U (X, B, Z ) = 0; эи (X, У, ¥)
ЭZ
= 0.
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Решение.
Применим к (21) - (25) конечное интегральное синус-преобразование [15] по переменной X
Fх [U(X,У,Z)] = Fx(У,Z) = = \U(X,У,Z)sin^-XjdX .
(26)
где 1 - характеристические числа, определяемые уравнением sin1 = 0 . Так как
" э2и"
F
X
ЭХ2
-2
= ~2- Fx (у, Z);
X
д_и_ ЭУ2
Э2Fx (у, Z) ЭУ2 f
X
Э2ц ЭZ2
Э2Fx (у, Z) ЭZ2
KA,
F х [-K ] = --—(cosí-1),
то изображение (21) - (25) есть
-—fx +
A2 Х
э2fx э2fx
KA
+----2L =-----(cosí-1); (27)
ЭУ2 ЭZ2 -
A,
Fx (У,0) = -—(cosí-1);
Fx (0, Z ) = Fx (B, Z ) = 0;
^x (y,¥)
ЭZ
= 0.
(28)
(29)
(30)
К системе (27) - (30) вновь применим конечное интегральное синус-преобразование, но по переменной У
Fy [Fx (У,Z)] = Fxy (Z) = j\Fx (Y,Z)sin^LjdY ,
где m - характеристические числа, определяемые уравнением sinm = 0 . В силу того, что
F
--2 f
л2 X A2
=--2f F
= A2 Fxy , Fy
э2 fy
ЭУ2
=-l F
B2 XY'
Э^ ЭZ2
XY
—(cosí-1)
KAB
-m
(cosí- 1)(cosm-1) ,
получим изображение (27) - (30)
--2 f -m2 f + d^
A2 X B2 ^ dZ2
KAB í/
(cos - -1) (cos m -1) ,
Fxy (0) = KAB (cosí-1)( cosm-1), -m
dFxy (¥)
dZ
= 0.
(31)
(32)
(33)
Решение (31) представим как
Еху (г) = Рху (2) + Рху (2),
где ]%ху (2), ]%ху (2) - общее решение соответствующего однородного уравнения (31) и частное решение соответственно. Имеем
Í
Fxy (Z) = C exp
+C2 exp
-J—2 + 4 Z
A 2 B2
4+4 z
A 2 B2
F%xy (Z) = - (cosí-1)(cosm-1),
(-2 l!л
A2 + B2y
где Cj, C2 - константы интегрирования;
F
Y
F
Y
+
(
Fxy (Z) = C exp
(
-Л+- z
A B
+C2 exp
A+-z
A2 B2
KAB, ,, ,
+ ——(cosi-1)( cosm- 1)
Am /
dFxr (z) ^ 12 m2
^ = -CJ— + ?— exp
dZ 1 A2 B2
(i2 m2а
vA2 B2j
-Л+- z
A 2 B2
(34)
i2 m2
12+ - Z
A2 B2
(35)
Из (32) - (35) следует, что
C = AB (cosi-1)( cos m-1) i—
C2 = 0.
1 - K
(i2 m2а
—2 +—2 v A2 B2 j
Решение задачи в изображениях будет
Fxy (Z) = — (cosí-1)( cosu- 1)x ÁjU
1 - K
(i2 m2а
—2 +—2 v A2 B2j
X exp
-A+- z
A2 B2
+ K
( A —а
VA2 + B2 j
(36)
Применяя формулу обращения [15] дважды к (36), получим оригинал (36), являющейся решением исходной системы (21) - (25):
и(X,У,2) = 4£ £ -—(^1п -1)(ста — - 1)х
п=1 т=1 1п—т
1 - K
( 32 „2 А
1n + mm
v A2 B2
exp
-A+— z
A2 B2
j
+ K
(1 m2 А
1 + mm
A2 B2 j
•• sinl К A jsin ( mm| I, (37)
где = pn , mm = pn .
Анализ решения.
В силу постоянства расхода жидкости в любом сечении канала выполняется условие
U (¥) = 1,
из которого можно получить, что _ . ■ АВ lim U (Z) = lim
Z
1 AB
— JJ С (X ,r, Z) dXdr
=4K ZI A-( C0SÄn -1)2 x
=1 m=1 1nmm.
n=1 m=1 "nr^m
/( i2 ,,2 А
X(cosLm - 1)
a + —
A2 B2
=1,
K=
4 Z i----(cos1n-1) x
m=1 1n—m
X(cosLm - 1)
( 12
A L
A2 B
Из процедуры обезразмеривания системы (11) - (15) следует связь между А и 5
5 = ^.
А -1
С увеличением А значение К уменьшается (рис.1).
A
Рис. 1. Зависимость К = ^(-4)
Заметим, что знание величины К конкретизирует закон сопротивление в канале, так как
йР = К
й2 Яе
Например, для квадратного сечения ( А = 1) К = 28, 454 и, следовательно, такой канал оказывает наибольшее сопротивление движению жидкости. При этом наименьшее сопротивление движению достигается в плоском канале, для которого К =12 , что коррелирует с [16].
Для того чтобы наблюдать эволюцию профиля скоростей в (37) необходимо произвести сжатие по координате 2, т.е. вместо 2 положить К2/Яе (рис. 2).
Рис. 2. Развитие профиля скорости на начальном участке канала при А = 1 и К/Яе = 1 для различных 2 : а - 0,01; б - 0,01; в - 0,5; г - 1,0
откуда
+
+
и
+
X
X
X
+
б
а
о о
в
г
Длина начального гидродинамического участка определена из условия, чтобы осевая скорость и (А/2, В/2,2) отличалась от стабилизированного течения на 2%. Сравнительный анализ результатов вычислительного эксперимента приведен на рис. 3, который показывает совпадение с известными расчетными и экспериментальными данными. Различие с [6] в области 1 < И2 <¥ объясняется
разным способом линеаризации исходных уравнений.
¥ к1 / к2
Рис. 3. Зависимость коэффициента длины входного участка в прямоугольном канале для различных соотношений сторон: - □ - данные [6];---расчет; • - экспери-
ментальные данные [4]
Заключение. Рассмотрение альтернативного подхода в постановке задачи о начальном гидродинамическом участке, заключающемся в линеаризации уравнений Навье-Стокса в приближении «ползущего» течения, приводит к краевой задаче для эллиптического уравнения, решение которого адекватным образом описывает физическую картину эволюции профиля скорости и позволяет определять
длину входной области в зависимости от соотношения сторон канала с прямоугольным сечением. Значение коэффициента длины входного участка для плоского канала практически совпадают с экспериментальными результатами.
Литература
1. Цветков Ф.Ф., Григорьев Б. А. Тепломассобмен. М.: Изд-во МЭИ, 2005. - 550с.
2. Kothandaramam C. Fundamentals of heat and mass transfer. New Delhi: New Age International. 2010. - 729p.
3. Слезкин В.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.:ГИТТЛ. 1955. - 520с.
4. Жукаускас А., Жюгжда И. Теплоотдача в ламинарном потоке жидкости. Вильнюс: Минтис, 1969. - 266с.
5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 772с.
6. Han L.S. Hydrodynamic entrance lengths of incompressible laminar flow in rectangular ducts // J. Appl. Mech. 1960. V.27. - Р. 403-409.
7. Kays W.M., Crawford M.E. Convection Heat transfer. New York: McGraw - Hill, 1993. - 621p.
8. Ozisik M.N. Heat transfer: A basic Approach. Singapore: McGraw - Hill Book Company, 1985. - 576 p.
9. Rubin S.G., Khosla P.K., Saari S. Laminar flow in rectangular channels. Part I: Entry analysis. Part II: Numerical solution for a square // Computers & Fluids. 1977. V. 5. №3. Р. 151-173.
10. Lin. J.N., Chen F.C., Tzeng P.Y. Theoretical prediction of the on set of thermal instability in the thermal entrance region of horizontal rectangular channels // Int. J. of Heat and Fluid Flow. 1991. V.12. №3. Р. 218-224.
11. Latif M. Heat Convection. New York: Springer, 2009. - 552 p.
12. Durst F., Ray S., Unsal B., Bayoumi O.A. The Development Lengths of laminar Pipe and Channel Flows // J. of Fluids Engineering. 2005. V.127. №11. Р. 1154-1160.
13. Коган В.Б. Теоретические основы типовых процессов химической технологии. М.: Наука, 1977. - 532с.
14. Hartnett J.P., Milivoje K. Heat Transfer to Newtonian and Non-Newtonian Fluids in Rectangular Ducts // Advances in Heat Transfer. V.19. London, 1989. Р. 247-357.
15. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1955. - 668с.
16. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Машиностроение, 1992. - 672с.
Воронежский государственный технический университет
HYDRODYNAMIC FLOW IN THE INITIAL SECTION OF HIGH-VISCOUS NEWTONIAN FLUIDS IN RECTANGULAR CHANNELS A.V. Ryazhskih
An analytical solution of the problem of identification of the input length in rectangular channels with laminar flow of a high-viscous Newtonian fluid
Key words: Newtonian fluids, the hydrodynamic initial section, the Navier-Stokes equations
