Гидродинамический начальный участок при течении высоковязкой ньютоновской жидкости в круглой трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2012. Вып. 3

УДК 530.1 (075.8) А. В. Ряжских

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАЧАЛЬНЫЙ УЧАСТОК ПРИ ТЕЧЕНИИ ВЫСОКОВЯЗКОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ

Впервые задача идентификации гидродинамического начального участка в круглой трубе решалась Буссинеском [1]. Несмотря на более чем вековую историю этой задачи, она тем не менее однозначным образом не решена до настоящего времени [2]: разные способы определения коэффициента длины гидродинамического участка, а именно, экспериментальные, аналитические и численного интегрирования уравнений движения, приводят к результатам, отличающимся между собой практически в 4 раза. Причина столь широкого разброса результатов кроется, по-видимому, не столько в точности проведения численных и натурных экспериментов и в способах линеаризации уравнений Навье-Стокса, сколько в том, что до сих пор не доказана единственность их решения: спектр разных результатов можно объяснить существованием множества довольно близких друг к другу решений. Какими свойствами характеризуется данное множество, еще предстоит выяснить, что будет возможно лишь тогда, когда будет получено достаточное число различимых между собой решений.

В рамках такого подхода рассматривается способ линеаризации общей постановки задачи о гидродинамическом начальном участке при ламинарном режиме течения высоковязкой ньютоновской жидкости в круглой трубе, использующий идеализацию о «ползущем течении» [3] для получения аналитического решения.

Общая постановка задачи в цилиндрической осесимметричной постановке имеет вид [4]

dvr dvr dvr dt r dr z dz

dp , dr

2d_ r dr

dvr dr

2vr

+

d_

dz

dvz dvr dr dz

, (1)

( dvz

dvz

dv7.

V dt

dr

dz

dp

dz

1 д

dr

1 d dvz

r dr r dz

dvz dvr dr dz

0,

vr (r, z, 0) = vz (r, z, 0) = 0, Vr (r, 0,t) = 0, Vz(r, 0,t) = v0,

d 2v

dz2

(2)

(3)

(4)

(5)

Ряжских Александр Викторович — ассистент кафедры высшей математики и физико-математического моделирования инженерно-экономического факультета Воронежского государственного технического университета. Научный руководитель: доктор технических наук, проф. Е. Д. Чертов. Количество опубликованных работ: 14. Научное направление: теоретические основы тепломассопереноса. E-mail: ryazhskihav@list.ru.

© А. В. Ряжских, 2012

Р

2

r

z

r

dvr (r,l,t) dvz (r,l,t)

= (6)

Vr (ro ,z,t)= Vz (ro ,z,t) = 0, (7)

.(0,^)^ = 0, (8)

где p, n - плотность и динамическая вязкость жидкости; ro, l - радиус и длина трубы (полагается, что длина канала намного больше длины начального участка); vr, vz -компоненты вектора скорости в радиальном и аксиальном направлениях; p - давление; vo - скорость жидкости во входном сечении трубы.

Отметим, что решение системы (1)-(8), даже численное, пока в научной литературе отсутствует.

Будем рассматривать стационарное однонаправленное (vr = 0) течение высоковязкой (конвективными слагаемыми в уравнениях движения можно пренебречь) ньютоновской жидкости в трубе бесконечной длины (l ^ ж) с dp/dz = const, тогда система (1)-(8) существенно упрощается:

1 dvz d2Vz d2 Vz 1 dp /пЛ

r dr dr2 dz2 n dz'

^£2=0, (10)

= = (11) Процедура обезразмеривания с помощью относительных параметров

ro ro V

2

Re = ^, Р=Щ,

V pV2

в которой v = - - коэффициент кинематической вязкости жидкости. Преобразуем систему (9)-(11) следующим образом:

1 dVz d2Vz d2Vz _ dP

~dR2 + 'dz2 ~ ~dZ' ( '

VAR, 0) = Re, = (13)

« = K(1,Z)=0. (14,

Дополнительная замена переменных по правилу

U = £, К=- Re^, Р=Л

Re dz pv2

позволяет записать математическую формулировку в виде краевой задачи для эллиптического уравнения в цилиндрической системе координат

]_dU_ дЧ7_ d2U _

RdR + dR2 + dZ2 ~ ' ( j

99

и (Д, 0) = 1, ди^=о.

зи( о, г) Ш

дZ

= и (1,Z) = 0.

(16) (17)

Применим к (15)-( 17) конечное интегральное преобразование Ханкеля [5]

1

[и (Я, Z)] = Ип(Z) = у ни (Я, Z )МдЕ^Е,

где д - характеристические числа, определяемые уравнением .1о(д) = 0. Так как

леи э2и'

ЯдЯ дЯ2

то изображение (15)-(17) есть

-д2Ип(Z), Кп

К

=--Мд)

э2и эг2

сРНп(г)

¿г2 '

<12Нп 2 к

д а/.

(18)

(19)

Решение (18) представим как

Ип^) = Нп^ )+И п^),

здесь ИНв,^), Нn(Z) - общее решение соответствующего однородного уравнения (18) и какое-либо его частное решение соответственно. Имеем

Нп^) = С1 exp(-qZ) + С2 exp(gZ), К

Нц(г) = -Мд), д3

где С1, С2 - константы интегрирования; тогда

К

Нп{г) = С\ ехр(-дг) + С2 ехр(дг) + -^(д)

д3

¿нк{г) ¿г

Из (19)-(21) следует, что

-дС1 exp(-gZ) + дС2 exp(gZ).

К

(20) (21)

С1 = -[1--)Мд), С2= 0,

N

п

и

поэтому решение задачи в изображениях будет

1 ( К \ К

Нц(г) = - 1 - - Мд)ехр(-дг) + ~Мд). (22)

я V г/ я3

Применяя формулу обращения преобразования Ханкеля [5] к (22), получим решение исходной системы (15)—(17)

f= ЧиМяи)

K ( K

— + ( 1 - — ) exp(-qnz)

qn \ qn

(23)

здесь - корни уравнения 7о(дп) = 0, причем средняя по сечению скорость равна

1 оо

— Г ж 1 Г К / К \ 1

и {г) = 2 / Ш{п,г)<т = ^— — + (1 - — )ещ>{-Чпг) .

0 n=1

В силу постоянства расхода жидкости в любом сечении канала должно выполняться в том числе и условие

Щоо) = 1, (24)

из которого можно получить, что

ОО 1

[/(оо) = lim U(Z) = АК У^ (25)

Z^o ^ qn

n=1 n

Из (24) и (25) следует

(26)

n=1 qn

Величина K в (26) конкретизирует закон сопротивления движению жидкости в трубе, так как

dP _ К ~dZ ~ Re'

В рассматриваемом случае K = 8, что совпадает с известными результатами, например

в [6].

Для того чтобы наблюдать эволюцию профиля скорости (23), необходимо произвести сжатие по координате Z, т. е. вместо Z положить KZ/Re. Длина начального гидродинамического участка определена из условия, чтобы осевая скорость U(0, Z) при Re = 1 отличалась от стабилизированного на 1%. Найдено, что коэффициент длины гидродинамического участка составляет 0.1445 или в пересчете на гидравлический диаметр примерно 0.036. Такое значение ближе всего коррелирует с данными Шиллера [7], получившего решение путем сопряжения прямолинейного профиля скорости в ядре течения с параболическим профилем распределения скоростей в пограничном слое, с экспериментальными результатами Эккерта [8], а также с аналитическим решением Мак-Компаса [9], базирующемся на информации о профиле скорости полностью развитого течения.

Литература

1. Boussinesq J. Sur la maniere don't les vitessels, dans un tube cylinrique de section circulaire, evase a son entree, se distibuent depuis entree jusqu'aux endroits on se trouve etabli unregime uniforme // Compt. Rend. 1891. Vol. 113. P. 49-51.

2. Durst F., Ray S., Unsal B., Bayoumi O. A. The development lengths of laminar pipe and channel fluids // J. of Fluids Engineering. 2005. Vol. 127, N 11. P. 1154-1160.

3. Коган В. Е. Теоретические основы типовых процессов химической технологии. М.: Наука, 1977. 532 с.

4. Hartnett J. P., Milivoje K. Heat transfer to Newtonian and Non-Newtonian fluids in rectangular ducts // Advances in heat transfer. London, 1989. Vol. 19. P. 247-357.

5. Снеддон И. Преобразование Фурье / пер. с англ. А. Н. Матвеева; под ред. Ю. Л. Рабиновича. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 668 с. (Sneddon I. Fourier Transforms.)

6. Берд Р., Стьюарт В., Латфут Е. Явления переноса / пер. с англ. Н. Н. Куловa, В. С. Крыловa; под ред. Н. М. Жаворонковa, В. А. Малюсовa. М.: Химия, 1974. 687 с. (Bird R. B., Stewart W. E, Lightfoot E. N. Transport phenomena.)

7. Schiller L. Die Entwicklung der laminaren Geschwindigkeitsverteilung und ihre Bedeutung fur Ahnlichkeitsmessungen // Z. Angew. Math. Mech. 1922. Bd 2. S. 95-106.

8. McCompas S. T., Eckert E. R. G. Laminar pressure drop associated with the continuum entrance region and for slip flow in a circular tube // ASME J. Appl. Mech. 1965. Vol. 32. P. 765-770.

9. McCompas S. T. Hydrodynamics entrance lengths for ducts of arbitrary cross section // J. Basic Eng. 1967. Vol. 89. P. 847-856.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья принята к печати 26 апреля 2012 г.