CC BY
14УДК 538.94, 538.935
С.О. Юрченко, В.И. Рыжий
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНОЙ ПЛАЗМЫ НОСИТЕЛЕЙ ГРАФЕНА В СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Получены гидродинамические уравнения движения электронно-дырочной плазмы в графене, находящемся во внешних электрическом и магнитном полях. Сделано предположение, что время изменения внешних полей намного меньше времени локальной релаксации ферми-систем носителей, в связи с чем используется принцип локального равновесия. Показано, что сила Лоренца, действующая на поток носителей в магнитном поле, в 2 раза меньше аналогичной силы в классическом пределе (движение массовых заряженных частиц), что связано с особенностью энергетического спектра носителей в графене. Рассчитан спектр плазмонов во внешнем магнитном поле.
Ключевые слова, графен, конденсированное состояние, электронно-дырочная плазма, ферми-системы.
Актуальность исследования электронно-дырочной плазмы носителей графена обусловлена большой перспективностью использования нелинейных и неравновесных явлений для различных практических применений, и в частности в источниках и детекторах излучения те-рагерцового диапазона. Для расчета коллективных эффектов и поиска новых закономерностей эволюции плазменных систем наиболее удобными являются гидродинамические модели. Для графена до недавнего времени разработка таких моделей вызывала затруднения из-за линейности энергетического спектра носителей.
В данной работе получены гидродинамические уравнения для движения электронно-дырочной плазмы носителей в стационарных (или медленно изменяющихся) внешних электрическом и магнитном полях. При выводе гидродинамических уравнений предполагалась непрерывность энергетического спектра, что справедливо при Т ~ А (А — энергия первого уровня Ландау), откуда с учетом ^ ^ Т определим температурную область применимости развитой гидродинамической теории и нижние значения химического потенциала (расчеты приведены ниже):
Гидродинамическая модель плазмы носителей в графене. Энергетический спектр электронов (и дырок) в графене при малых энергиях и квазиимпульсах является линейным [1], т.е.
£ = VFp,
где е, р — энергия и квазиимпульс электрона в решетке графена; ур ~ 108 см/с — характеристическая скорость Ферми. Из вида энергетических спектров следует, что все носители движутся с одной и той же скоростью ур :
v
de p тт = vF~. dp p
Кинетические уравнения для частиц в заданных внешних электрическом и магнитном полях имеют вид [2]
-ТГТ + Ур—~--е Е + ур- — =
дъ р дг \ р J др
= БЪ{и, и) + ЗДе, ¡и) + ЗД); (1)
dfh . p dfh .
+ VF—---+ e
dt
p dr
E - vF
p x B\ dfh д p
p
St{fh, fh} + St{fh, fe} + Stiifh). (2)
Здесь ¡е, ¡и — функции распределения электронов и дырок; е — абсолютное значение заряда электрона; г — радиус-вектор; Е, В — векторы напряженности электрического поля и проекции индукции магнитного поля на нормаль к графеновому листу; БЪ{ие, ¡е), БЪ{ии, ¡и), БЪ{ие, ¡и) — интегралы столкновений, соответствующие упругому взаимодействию между различными носителями; БЪг{ие), БЪг{ии} — интегралы столкновений, отвечающие упругому рассеянию носителей на ионах (примесях, дефектах) в решетке. Процессами электронно-дырочной рекомбинации пренебрегаем, предполагая, что время рекомбинации много больше обратной частоты столкновений между носителями.
В соотвествии с принципом локального равновесия [2] распределения Ферми — Дирака для электронов и дырок будут иметь следующий вид [3]:
fe(p)
fh(p)
1
1
exp
exp
e - pve
ße
T
e - pvh + ßh T
-1
-1
f o_ f
fe de
pve
fo
fh-
f
de
pvh,
(3)
(4)
где уе, — некоторые средние скорости дрейфового движения электронной и дырочной компонент; /ле, — химические потенциалы электронов и дырок, Т — температура в энергетических единицах. Распределения записаны для малой скорости дрейфа носителей.
Интегрируя уравнения (1), (2) по области
dr = 4-
d2p
(2пП)2'
где множитель 4 связан с двукратным спиновым и поверхностным вырождением, получаем уравнения непрерывности для электронной и дырочной компонент:
д Е,
e + д Ее Ve
dEh dEhVh 0; + h h = 0.
(5)
дг дг дг д г
В уравнениях (5) равновесное значение плотности носителей — электронов и дырок — на единицу поверхности графена
[ М2р
Ее
Eh =
(2nh)2
4d2p (2nh)2
1
1
exp
exp
g - ße
T
g + ßh T
Из уравнений (1), (2) после умножения на импульс р и интегрирования по ¿Г следует уравнение Эйлера:
3 8 ( Р) V
2 дг
3 д
2 дг
VF
{Ph) Vh
. 1 д({Pe) VF) ^ ^ , 1 ^ ~
+ 2-dr--eE + 2 eEeVe x Bz
Fe; (6)
VF
. 1 д({Ph) VF) , ^ „ 1 v ~
+ ö-ö--+ eEhE TTeEhVh x Bz
2 dr 2
Fh
(7)
Следует обратить внимание на то, что вследствие линейности энергетического спектра носителей сила Лоренца, действующая на поток частиц с плотностью тока j = вЕ\, имеет вид
Fr
1 eEv х Bz
2z
j x Bz,
что ровно в 2 раза меньше, чем в аналогичном выражении для классического электронного газа. Множитель ^ получается при усреднении потоков частиц в различных направлениях и связан с тем, что все частицы движутся с одной и той же скоростью.
Уравнения для переноса энергии определим, умножая уравнения (1) и (2) на е и интегрируя по ¿Г:
д(vF {Pe)) . 3vF d(ve {Pe)) , ^ ^ ^
+ ~2--^ + eEe VeE = ^
d(VF {Ph)) . 3vf d(Vh {Ph))
+
- eEeVhE = Qh.
(8)
(9)
дг 2 дг
Уравнения (8) и (9) необходимо дополнить уравнением состояния, связывающим между собой плотность носителей на единицу площади
и среднии модуль импульса:
Т з
{p) =
n2h2v%
Ia (Z)
I,( $
xa dx
E
T 2
n2h
2„,2
JF
I,l $
Iq 1 + exp(x — z)
-Г(1 + a)Lii+a(—ez),
где Г(г) — гамма-функция Эйлера; — полилогарифм.
Таким образом, равновесное уравнение состояния для электронной и дырочной компонент имеет вид
{Р) Vf_ E 2T
Li з (—e T)
Ы2(-е т)
Плотность носителей и средний модуль импульса входят в уравнения движения и определяются равновесным распределением. Существенное отличие этого уравнения состояния от обычного для электронного газа обусловлено как видом энергетического спектра носителей, так и двумерностью задачи.
В предельных случаях
z < —1: z > 1:
fi(z) ^ f2(z)
fi(z) ^ f3(z) = 3z.
, 1 1
1 + 8 e г; 1
В точке Дирака (р = 0) /1 (0) = 2((3) « 1,096. Графики функций /1^), /2(2) и /з(г) представлены на рисунке.
Л; Л;
-2 0 2 4 6
Графики функций /1(2) (1), /2(2) (2) и /3(г) (3)
Гидродинамическая модель движения электронно-дырочной плазмы графена во внешнем электрическом и магнитном полях включа-
оо
ет в себя уравнения (5)-(9), которые необходимо дополнить расчетом правых частей. Как показано в работе [3], для эффективных сил "трения" справедливы выражения
Ре = -вен(Уе - - вег^е\ = -век(^Н - Ve) - вы^Н-
Циклотронная частота. Рассмотрим пространственно-однородное состояние системы при отсутствии продольного внешнего поля Е. Тогда уравнения (6), (7) принимают вид
3 ( {Pe) Ve
2 dt \ VF
3 d / {Ph) Vh 2 dt \ VF
+ 2eEeVe x Bz
F;
Fe
- 2 eEhVh X Bz = Fh.
(10) (11)
Будем искать решение системы уравнений (10) и (11) в виде
Ve
Ai
мг =е
Требование существования нетривиального решения системы уравнений (10) и (11) относительно амплитуд Л\, А2, Б\ и В2 приводит к дисперсионному уравнению
в = о,
где матрица В имеет следующий вид: В =
Bi
3ш(ре)
2vF
fß,
V
eh eT,eßz 2
-ßeh 0
eZeBz
ei 2
3ш(ре)
2vF
eh
ß
0
- ßeh
-ßeh 0 \
0
3^ +ßeh+ßhi 2
^^ + ßeh+ßhi/
2vF
-ßeh eZhBz
eT,hBz 2
2vF
В монополярном приближении ц ^ Т можно рассматривать только уравнение (10), из которого следует, что скорость системы изменяется по направлению (прецессирует) по закону
Vе = -Ш0Уе X Вг, (12)
вУрЕеВг еВх ш п^ _2 , (1'
Ш0
, m* = 6TV~F2f