ГЕОМЕТРИЯ СУБРИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ, ОСНАЩЕННЫХ ПОЛУМЕТРИЧЕСКОЙ ЧЕТВЕРТЬ–СИММЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 2 (2024). С. 27-36. УДК 514.76

ГЕОМЕТРИЯ СУБРИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ, ОСНАЩЕННЫХ ПОЛУМЕТРИЧЕСКОЙ ЧЕТВЕРТЬ^СИММЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ

A.B. БУКУШЕВА, C.B. ГАЛАЕВ

Аннотация. На субримановом мшихюбразии контактнсих) типа вводится иолуметри-чеекая четверть симметрическая связность посредством задания внутренней метрической связности и двух структурных эндоморфизмов, сохраняющих распределение субриманова мжнхюбразия. Находятся условия метричности введенной связности. Выясняется строение структурных эндоморфизмов пол у метрической связности, согласованной с субримановой квази статистической структурой. Изучаются свойства полуметрической четверть симметрической связности, заданной на нех'олономном mhoixj-образии Кенмоцу и на почти квази сасакиевом мшихюбразии. Находятся условия, при которых указанные мшихюбразия являются мшихюбразиями Эйнштейна относительно четверть симметри ческой связности.

Ключевые слова: четверть-симметрическая связность, субриманова квази-статисти-ческая структура, нс1Х).лономные мно!Х)образия Кенмоцу, почти квази-сасакиевы мно-ххюбразия.

Mathematics Subject Classification: 53В20

1. Введение

Изучению почти контактных метрических многообразий, оснащенных метрической связностью с кручением и, в частности, метрической четверть-симметрической связностью, посвящено большое количество работ |1|, |4|, |5|, |7|-|11|, |23|, Э. Картах: |13| первым рассмотрел линейную метрическую связность с кручением наряду со связностью Леви-Чивита, Наибольшим интересом среди метрических связпостей с кручением пользуется нолуеимметричеекая связность |7|, |9|, |10|, систематическое исследование которой проведено К. Яно в работе |22|, Четверть-симметрическая связность определена в 1975 г. С. Голабом |19|,

Интерес исследователей к связпостям с кручением связан главным образом с использованием таких связпостей в теоретической физике |14|, |16|, |20|, В работе |5| указывается па тот факт, что большинство из изучаемых связпостей с кручением можно описать с использованием эндоморфизмов, сохраняющих распределения почти контактных метрических многообразий.

В настоящей работе на субримановом многообразии контактного типа M рассматривается полуметрическая четверть-симметрическая связность Dx, ассоциируемая с тройкой (V,N,S), оде V — внутренняя метрическая связность, a N, S — эндоморфизмы, сохраняющие распределение D. В дальнейшем термин «полуметрическая» будет, как правило, опускаться.

Понятие контактного субриманова многообразия встречается в работе |15|, Контактное субриманово многообразие — это гладкое многообразие M нечетной размерности

A.V. Bukusheva, S.V. Galaev, Geometry of sub Riemannian manifolds equipped with a

sem1metr1c quarter symmetric connection.

© Букушева A.B., Галаев C.B. 2024.

Поступила 7 июля 2023 г.

п = 2т + 1 с заданным на нем максимально неинтегрируемым распределением И коразмерности 1. На распределении И задана положительно определенная метрика, определяющая скалярное произведение только для векторов самого распределения. Пусть ц — дифференциальная 1-форма, порождающая распределение И : кег(г/) = И. Тогда на многообразии М посредством равенств ) = 1, г^ш = 0 определяется уникальное трансвер-

сальное распределению И векторное Здесь ш = йц — дифференциальная 2-форма ранга 2т. Многообразие М естественным образом превратится в риманово многообразие, если потребовать, чтобы £ было единичным векторным полем, ортогональным относительно метрики многообразия М распределению И. В настоящем исследовании рассматривается более общее понятие, чем контактное субримапово многообразие. Мы изучаем субрима-новы многообразия контактного типа, В нашем случае многообразие М изначально предполагается римановым многообразием, существование векторного поля £ постулируется, а распределение И может иметь любую степень интегрируемости и, в частности, быть ипволютивпым. Идея обобщения используемого в работе |15| понятия контактного суб-римапова многообразия вызвана необходимостью использования широкого класса почти контактных метрических структур, получающихся па пути конкретизации субримаповой структуры. Используемые в настоящей работе структуры пеголономпого многообразия Кепмоцу и почти квази-сасакиева многообразия получаются из структуры субримапо-ва многообразия контактного тина введением структурного эндоморфизма специального строения.

Изучаемая в настоящей работе четверть-симметрическая связность Их выражается через связность Леви-Чивита V посредством следующего равенства

У = V* у + С (X, У )£ + п(Х )№ - С - ф)У + ^(У )(Б - С - ф)Х.

Здесь эндоморфизм ф : ТМ ^ ТМ определяется из равенства ш(Х,У) = д(фХ,У). М, Б : ТМ ^ ТМ — эндоморфизмы касательного расслоения многообразия М такие, что = 0, N (Б) С О, = 0, Б (О) С О. Выполняются также следующие соотношения: С(Х,У) = ±(^д)(Х,У), д(СХ,У) = С(Х,У). '

Такое определение связности Их представляет собой далеко идущее обобщение связности, традиционно определяемой в почти контактном метрическом многообразии равенством

У = VхУ - г](Х)фУ.

Кручение Т(X, У) определяемой нами связности Их имеет вид

Т(Х,У) = Г1(Х)ЙУ - г)(У)ЙХ.

Здесь Х = N - Б.

Работа состоит из четырех разделов. В каждом из разделов определяется строение структурных эндоморфизмов М, Б с учетом специфики изучаемой в данном разделе структуры — римаповой структуры, субримаповой квази-статистической структуры, структуры пего.иопомпого многообразия Кепмоцу и структуры почти квази-сасакиева многообразия, Находятся условия метричпости введенной связности. Выясняется строение структурных эндоморфизмов иолуметрической связности, согласованной с субримаповой квази-статистической структурой. Изучаются свойства иолуметрической четверть-симметрической связности, заданной па пего.иопомпом многообразии Кепмоцу и па почти квази-сасакиевом многообразии. Находятся условия, при которых указанные многообразия являются многообразиями Эйнштейна относительно четверть-симметрической связности.

Заметим, что понятия структур субримапова квази-статистического многообразия, пего.иопомпого многообразия Кепмоцу и почти квази-сасакиева многообразия введены авторами настоящей работы |1|, |3|, |6|,

2. Задание четверть-симметрической связности на субримановых

многообразиях контактного типа

Пусть М — риманово многообразие нечетной размерности п = 2т + 1 с заданной на нем субримановой структурой (£, г), д, И) контактного тип а, где д — метрический тензор, заданный на многообразии М, ц и £ 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения И и И± : кег(ц) = И, И± = (£). Потребуем, чтобы ■) = ■) = 0, гк(ш) ^ 2. Будем называть в дальнейшем М субримановым многообразием.

На протяжении всей статьи мы активно используем адаптированные координаты. Карту к(хг) (1,],к = 1, ...,п; а,Ь,с = 1,..., 2т) многообразия М будем называть адаптированной к распределению И, если дп = Здесь ,..., = (с^,..., дп) — поле реперов, задаваемое адаптированной картой.

Пусть Р : ТМ ^ И — проектор, определяемый разложением ТМ = И ф И±, и к(хг) — адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — ТПд.п линейно независимы в каждой точке и в области определения соответствующей карты порождают распределение И : И = 8рап(еа). Неголономному полю базисов (ег) = (еа,дп) соответствует поле кобазисов (¿ха, ц = вп = ¿хп + Т'Пйха).

Для адаптированных карт к(хг) и к'(хг) выполняются следующие формулы преобразования координат: ха = ха(ха ), хп = хп + хп(ха ).

Тензорное поле £ тип а (р, д), заданное на субримановом многообразии, назовем допустимым (к распределению И) или трансверсальным, если £ обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются £ или г}. Координатное представление допустимого тензорного ноля в адаптированной карте имеет вид:

I = С".?^ 0 ... 0 ^ар 0 ^ 0 ... 0 ^.

Преобразование компонент допустимого тензорного ноля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону: ^ = А1^,Ьу, оде Аа' = ^¡т-

Из форму,:: преобразования компонент допустимого тензорного ноля следует, что производные д^а являются компонентами допустимого тензорного поля того же типа. Заметим, что обращение в нуль производных д^а не зависит от выбора адаптированных координат.

Адаптированные координаты играют роль «го.иопомпых» координат для пеипво.иютив-ного распределения. Имеет место равенство [еа, еь] = 2шьаОтсюда, в частности, вытекает важное для дальнейшего утверждение: условие ■) = 0 эквивалентно справедливости равенства дпГ'п = 0.

Внутренней линейной связностью V ([ ], [ ]) на субримановом многообразии называется отображение V : Г(И) х Г(И) —у Г(И), удовлетворяющее следующим условиям:

1) Vflx= ¡1 Vx + ¡2VY,

2) Vx¡У =(Х!)У + /VxГ,

3) Vx (Г + г) = VxГ + Vx г,

где Г(И) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению И).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения

Vgaеь = Гаьес. Из равенства еа = А^еа<, оде Аа = ^¡¡^, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

Гс = Аа' Аь' 4е Гс' + 4е р 4е'

Г аЬ = Ла ЛЬ Лс'Г а'Ь' + Лс'еалЬ .

Отсюда, в частности, следует, что производные дпГас являются компонентами допустимого тензорного ноля.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные ноля:

Т(Х,У) = VxУ - VyX - Р[Х,У],

щх,у)г = VxVyг - VyV*г - Vp[Ху]г - ршх,у],г],

где д = I - Р, Х,У,г е Т(Б).

Тензор Я(Х,Уносит название тензора кривизны Схоутена субриманова многообразия, Компоненты тензора кривизны Схоутена в адаптированных координатах определяются равенством

Имеет место

Г'ас — 1 д^ьды + ecgba - еадЬс).

Предложение 2.1. На субримаповом многообразии существует единственная связность V с нулевым кручением, такая, что Vxg(Y, Z) — 0, X,Y, Z E T(D).

Доказательство предложения 2,1 почти дословно повторяет доказательство теоремы о существовании и единственности связности Леви-Чивита,

V

метрической связности находятся но формулам

1

Т

Пусть, далее, V — связность Леви-Чивита,

Предложение 2.2. Коэффициенты Гк связности Леви-Чивита V субриманова, многообразия, в адаптированны,х координатах имеют вид:

ГСаЬ — ГаЬ, ГЬ — ШЬа - СаЬ, ГIn — Гпа — ^ + Фа, ^а — -ЗпГа, Гпп — Э^^п^,

где ГаЪс — 1 даа(еЬдса + есдЬа - еадЬс), фЬа — дЬс^ас, СаЬ — 2д™даЬ, Съа — дЬсСаС-

Доказательство. Напомним, что эндоморфизм ф : ТМ ^ ТМ определяется из равенства ш(Х,У) — д(фХ,У). Кроме того, выполняются следующие соотношения:

С (X,Y) — 1(Lfg)(X,Y), g(CX,Y) — С (X,Y).

Доказательство предложения сводится к применению известной формулы дня нахождения коэффициентов связности Леви-Чивита в неголономном репере (Ai) :

2ГШ — дкш(Аг gjk + Aj дгк - Ак gij + ^ дн + ) + .

Объект О™ носит название объекта неголономности репера (А^). Для используемого в работе поля реперов (ei) — (еа, дп) выполняется равенство ОПЬ — 2шЬа.

Замечание 2.1. Коэффициенты Г к примут более простой вид, если принять требо-

ч

вание drq(X) — 0. В этом, случае Гпа — -дпГп — 0 и Гапп — даЬдпГп — 0.

Внутренняя связность обеспечивает параллельный перенос допустимых векторов (векторов, принадлежащих распределению И) вдоль допустимых кривых (кривых, в каждой точке касающихся распределения И). В то же время, для решения ряда проблем возникает необходимость расширения внутренней связности до связности па всем многообразии, Иногда достаточно промежуточной конструкции — связности в векторном расслоении (М, п,И). Существуют разные способы продолжения внутренней связности, В ряде статей [],[]-[],[ ], [ ], [ ] обсуждается так называемая Ы-связность Vм. На субримановом

многообразии M N-связность Vм определяется парой (V, N), оде V — внутренняя метрическая связность, N : ТМ ^ ТМ — эндоморфизм касательного расслоения многообразия M такой, что NÇ = 0, N(D) С D.

Определим полуметрическую четверть-симметрическую связность Dx на субримано-вом многообразии с помощью следующего равенства:

DxY = VxY + С(X, Y+ n(X)(N - С - ф)У + r/(Y)(S - С - ф)Х,

где эндоморфизм ф : ТМ ^ ТМ определяется из равенства u(X,Y) = д(фХ,У). N, S : ТМ ^ ТМ — эндоморфизмы касательного расслоения многообразия M такие, что NÇ = 0, N (D) С D,S£ = 0, S (D) С D.

Из определения четверть-симметрической связности Dx следует, что ее кручение Т(X,Y) задается равенством

Т(X,Y) = rj(X)NY - rj(Y)NX.

Здесь N = N - S. Имеет место

Предложение 2.3. Ненулевые коэффициенты G^ связное mu Dx субриманова многообразия в адаптированных координатах имеют вид:

G с _ ^ с /^п ___ лгЬ _ nb

ab = Г ab, Uab = ШЪа, = iva , Uan = Da,.

Дня доказательства предложения достаточно подставить в формулу для четверть-симметрической связности Dx соответствующие базисные векторы. Например, если X = ë*a,Y = ёъ, то получаем следующее:

GCab^c + G™bdn = Г a ёс + + Cab9n.

Отсюда, с учетом предложения 2, получаем Gab = ГСь, G™b = шъс.

Выясним, при каких ограничениях, наложенных на эндоморфизмы N, S связность Dx является метрической связностью. Непосредственно проверяется, что если N = С, то Dngab = 0. Далее, имеем:

Dagnb = -GCangcb - G'ab = -S'gjgcb - ШЪа = 0.

Отсюда получаем: S = ф.

Предложение 2.4. Четверть-симметрическая связность Dx, ассоциируемая с тройкой (V,C,S), является, метрической связностью тогда, и только тогда, когда, S = ф.

Замечание 2.2. Мы рассматриваем, здесь случай N = С по той причине, что именно в этом случае удается, получить метрическую связность, что само по себе является, важным, обстоятельством.

3. Субримановы квази-статистические многообразия, наделенные

полуметрической четверть-симметрической связностью

В работе |3| па пего.нопомпом многообразии Кепмоду введена и изучена еубриманова квази-етатиетичеекая структура, Него.нопомпые многообразия Кепмоду образуют специальный класс еубримаповых многообразий контактного тина, В основе субримаповой квази-етатиетичеекой структуры, заданной па пего.нопомпом многообразии Кепмоцу, .нежит связность с кручением специального строения. Такая связность определяется внутренней связностью и структурным эндоморфизмом, сохраняющим распределение пего.но-помпого многообразия Кепмоцу. В работе |3| доказано, что внутренняя связность согласована с метрикой, индуцированной па распределении рассматриваемого многообразия. Найдено строение структурного эндоморфизма.

Триплет (М,д, V) называется субримановой квази-статистической структурой [ ], если имеет место равенство

Ф(Х, у, г) = Vxд(У, г) - Vyд(х, г) + т(х, г, г) - 2ш(х, г)^(г) = о,

где Т(Х,У,И) = д(Т(Х,У), Х,У,Е е Г(ТМ). В адаптированных координатах ненулевые компоненты тензора Т(Х,У, Z) будут иметь следующий вид:

Т (еа,еь,дп) = 0, Т(еа, дп, еь) = -д(Йеа, еь), Т(дп, еа, еь) = д(Йеа, еь).

Теорема 3.1. Четверть-симметрическая связность тогда и только тогда является, связностью субримановой квази-статистической структуры, когда, выполняются, равенства N = 2С + ф, д(БХ, У) = д(Х, БУ).

Доказательство теоремы сводится к проверке эквивалентности равенства д(БХ,У) = д(Х,БУ) равенству Ф(еа,еь,дп) = 0, а также к проверке эквивалентности равенства Ф(еа, дп, еь) = 0 равенству N = 2С + ф.

Рассмотрим, для примера, случай Ф(еа,дп,еь) = 0. Учитывая предложение 2,3 и выражение для Ф(Х,У, Z), имеем:

Ф(еа, дп, ёь) = Vagnb - Vngab - дсьЙга = дсЬ - иЬа - дпдаЬ + ХгадсЬ + Щдса - дсЬЙга = 0.

Учитывая равенства фьа = дЬсиас, Саъ = |дпдаъ, С^ = дЬсСас, убеждаемся в справедливости теоремы,

4. Неголономные многообразия Кенмоцу, оснащенные полуметрической

четверть-симметрической связностью

Нормальное почти контактное метрическое многообразие М называется неголономным многообразием Кенмоцу, если выполняется равенство ¿0 = 2д А 0. Легко показать, что для многообразия М также выполняется условие Ь^д = 2(д - д ® д). Неголономное многообразие Кенмоцу введено одним из авторов настоящей работы |1|, В отличие от «классического» случая многообразия Кенмоцу (|2|, |21|), от распределения нсголономного многообразия Кенмоцу не требуется ипво.нютивпости.

Внутренняя геометрия неголономного многообразия Кенмоцу М обладает рядом замечательных свойств |1|, Ранее установлено, что тензорное поло Схоутена-Вагнера Р = Ь^Г = 0 обращается в нуль [1], Компоненты поля Схоутена-Вагнера в адаптированных координатах выражаются с помощью равенств Р^ = дпГса(1.

Рассмотрим случай, когда четверть-симметрическая связность Их ассоциируется с тройкой (V, С, "0). Как было показано в предложении 2,4, в этом случае связность Их является метрической связностью.

Ненулевые коэффициенты С^ связности Их неголономного многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах имеют вид:

СаЬ = ГаЬ, = ШЬа, СЬпа = 5Ъ(1, СЪап = фЬа.

Вычислим необходимые нам для дальнейшего компоненты тензора кривизны К связности Их. Имеем:

КЛаЬс = Къс - иса + ф*ашл + 2шаЬ5(, КпапЬ = ШЬа.

Пусть к(Х,У) — соответствующий тензору К(Х,Утензор Риччи, Имеет место равенство:

кас = Гас + Фа ^сЬ + ^ас,

где гас — компоненты тензора Схоутена-Риччи г(Х^) = №(У ^ К(Х,У), Х^У^ € Г(П) [ ].

Предложение 4.1. Для, пеголопомпого многообразия, Кенмоцу размерности п = 2т + I выполняется следующее ра,венство: г\_ас] = 2тиса.

Доказательство. Доказательство предложения опирается на следующее равенство |1|:

^ [е ^а] 9Ьс = 2^еадп 9Ьс — 9(1с^аЬ — 9Ь<1^ас.

В случае пеголопомпого многообразия Кенмоцу это равенство перепишется в виде:

О = 4иеа9Ьс — 9<1сКаЪ — 9Ьй^^ас.

Проводя необходимые преобразования и используя алгебраическое тождество Бьяпки для тензора кривизны Схоутепа, приходим к равенству

2тшса = 2(Гас - Гса).

Что и требовалось доказать, □

Теорема 4.1. Если, неголономное многообразие Кенмоцу М является многообразием

г\ ^ к* е- п

Эйнштейна относительно четверть-симметрическои связности их, 'то его размерность равна трем.

Доказательство. Пусть М — многообразие Эйнштейна относительно четверть-симметрической связности Их : к^ = Ад^, А € К. Отсюда получаем, что

к ас = Гас + 2тдас + 2Ш]С = Ад аС.

Последнее равенство влечет следующее: Г[ас] = — 2шас = 2шса. Сравнивая полученное равенство с равенством Г[ас] = 2тшса, убеждаемся в том, что 2т = 2 или т = 1. Теорема доказана, □

Пример 1. Неголономное многообразие Кенмоцу размерности 3. Пусть М = К3. (да) (а = 1, 2, 3) — стандартный базис арифметического пространств а. Определим на М 1-форму ^полагая, ц = + х24х1 .Пусть, далее ё\ = дг — х2д3, е2 = д2, ё3 = £ = д3, И = Брап(ё1, е2). Определим метрический тензор, полагая д(ё1,ёг) = д(е2,е2) = е2х , д(ё3,ё3) = 1. Непосредственно убеждаемся в справедливости равенства Ь^д = 2(д — ц ® г/). Первый структурный эндоморфизм зададим равенствами

^(ёг) = е2, = —ёъ <р(ё3) = 0.

Проводя непосредственные вычисления, убеждаемся в том, что ненулевыми компонентами внутренней связности являются следующие коэффициенты: Г|г = Г2,г = —Г\2 = —%2. Далее, полу чаем:

г 12 = Я2122 = 1, Г21 = Я^и = —1.

Таким образом, гг2 — г2\ = 2. С другой стороны: 4ш\2 = —2. Из равенства

кы = г 12 + 2дг2 + 2ши = 1 + д^ — 1 = 2д^,

в частности, следует, что М — многообразие Эйнштейна относительно четверть-симметрической связности Их.

■5. почти квази-с'асакиевы многообразия, оснащенные полуметрической

четверть-симметрической связностью

Под почти квази-еаеакиевым многообразием понимается почти нормальное почти контактное метрическое многообразие с замкнутой фундаментальной формой, дня которого выполняется условие ■) = 0 ([6], [17]),

Почти контактное метрическое многообразие названо одним из авторов настоящей работы почти нормальным, если оказывается справедливым равенство = = 0, где М^(Х, У) = [р>Х, рУ] + р2[Х, У] -р[рХ, У] - р[Х, рУ]. Для нормального почти контактного метрического пространства выполняется условие N ^ + 2¿д ® £ = 0. Целесообразность введения понятия почти нормального почти контактного метрического многообразия была осознана после изучения так называемых продолженных почти контактных метрических структур, естественным образом возникающих па распределениях субримаповых многообразиях контактного типа (|4|, |6|, |12|, 1181).

Пусть четверть-симметрическая связность Их ассоциируется с тройкой (V,C,%Ь). Так как для почти квази-сасакиева многообразия выполняется условие С = 0 [17], то ненулевые коэффициенты С^ связности Их в адаптированных координатах примут вид:

СаЬ = ГаЬ, = ШЬа, 0Ъап = фЪа.

Компоненты тензора кривизны К связности Их примут следующий вид:

К'аЬс = Къс - Фса + Ф1 "сЬ, К(ы = V аф( - VЬф(.

Пусть к(Х,У) — соответствующий тензору К(Х,Утензор Риччи, Имеют место равенства: кас = гас + фьаШсь, кап = —VbФа, кпп = 0, где гас — компоненты тензора Схоутена-

Риччи г(х,г) = гг(у ^ п(х,у)г), х.у.г, е г(б).

Пусть, теперь, Vф = 0. Тогда оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема 5.1. Пусть М — почти квази-сасакиево многообразие и пусть структурный эндоморфизм, ф ковариантно постоянен относительно внутренней, связности, тогда многообразие М является многообразием, Эйнштейна относительно четверть-симметрической связности тогда, и только тогда, когда, выполняется, равенство

Гас + Фа исЪ = 0.

Пример 2. Почти квази-сасакиево многообразие Эйнштейна, В качестве простейшего примера почти квази-сасакиева многообразия Эйнштейна рассмотрим косимилектическое многообразие [21], Введем на многообразии М = М5 косимплектическую структуру, пола-

1) И = {е1,е2, ез, е4) , где = дх, е2 = д2, е3 = д3, е4 = д4,

(д\, д2, д3, д4, д5) — естественный базис пространства М5,

2) е =

3) д = ¿V,

4) рёх = б2, рв2 = -ё\, рёз = е4, = -ез, = 0,

5) в базисе (е1,е2,е3,е4) метрический тензор задается равенством д = (¿х)2 + (в,у)2 + (¿г)2 + (¿и)2 + (¿V)2.

Равенство гаь = ш(афь в рассматриваемом случае выполняется тривиальным образом, так как его левая и правая части обращаются в пунь,

6. Заключение.

В настоящей статье па субримаповом многообразии контактного тина определена полу-метричеекая четверть-симметрическая связность посредством задания внутренней метрической связности и двух структурных эндоморфизмов, сохраняющих распределение

еубриманова многообразия, В работе последовательно развивается идея о фундаментальной роли внутренней геометрии в контексте исследования почти контактных метрических структур (|12|, |17|), Коротко говоря, внутренняя геометрия отвечает за параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых, К внутренней геометрии почти контактных метрических многообразий мы также относим изучаемые в настоящей статье эндоморфизмы, сохраняющие распределения субримаповых многообразий. Невозможно описать в работе ограниченного объема многообразие существующих па сегодняшний день подходов, позволяющих определять связности с кручением в почти контактных метрических пространствах. Частично это сделано в работе |5|, В то же время, предложение 2,2 настоящей статьи указывает па возможность конструирования связпостей с кручением путем введения в геометрию изучаемых многообразий дополнительных допустимых тензорных полой. В пашем случае — это эндоморфизмы X, S,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.В. Букушева. Неголономные .многообразия Кенмоцу, о сит ценные, обобщенной связностью Танаки Вебстера, /7 Диффереыц. гсомст. мышхюбр. фигур. 52, 42 51 (2021).

2. А.В. Букушева. Многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны, /7 Вестн. Томск, гос. ун та. Матем. и мех. 64, 5 14 (2020).

3. А.В. Букушева, С.В. Галаев. Субргшановы квази статистические структуры, на неголо-номных многообразиях Кенмоцу /7 Прикл. матем. & Физика. 54:4, 205 212 (2022).

4. С.В. Галаев. Почти контактные .метрические пространства с N связностью /7 Изв. Са-рат. ун та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 15:3, 258 263 (2015).

5. С.В. Галаев. VN-Эйнштейновы, почти контактные метрические многообразия // Вести. Томск, гос. ун та. Матем. и мех. 70, 5 15 (2021).

6. С.В. Галаев. Геометрия почти 3 квази сасакиевых многообразий второго рода /7 Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 222, 3 9 (2023).

7. П.И. Клепиков, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова. О секционной кривизне связпостей с векторным, кручением /7 Изв. вузов. Матем. 6, 86 92 (2020).

8. В.И. Паньженекий, А.О. Раетрешша. Левоинвариантная, сасакиева структура, на групповой модели вещественного расширения, плоскости Лобачевского /7 Чебышевекий сб. 24:1, 114 126 (2023).

9. I. Agrícola, М. Kraus. Manifolds with, vectorial torsion /7 Diff. Geometry and its Applications. 46, 130 146 (2016).

10. В. Ваша, A.Кг. Ray. Some, properties of a semi symmetric metric connection in a Riemannian manifold /7 Indian .Journal of Pure and Applied Mathematics. 16:7, 736 740 (1985).

11. S.C. Biswas, U.C. De. Quarter symmetric metric connection in an SF Sasakian manifold /7 Commun. Fae. Sei. Univ. Ank. Series. 46, 49 56 (1997).

12. A.V. Bukusheva, S.V. Galaev. Almost contact metric structures defined by connection over distribution /7 Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 4(53):2, 13 22 (2011).

13. E. С art an Sur les varietés a connexion affine. et. la theorie. de. la relative gene.ralisee. Fart II /7 Ann. Ее. Norm. 42, 17 88 (1925).

14. I. Ernst, A.S. Galaev. On Lorentzian connections with parallel skew torsion /7 Documenta Mathematiea. 27, 2333 2383 (2022).

15. E. Falbel, C. Gorodski. On contact sub riemannian symmetric spaces /7 Annales seientifiques de l'Ecole Nórmale Superieure, Serie 4. 28:5, 571 589 (1995).

16. Т. Friedrich, S. Ivanov. Parallel spinors and connections with, ske.wsymmetric torsion in string theory /7 Asian .J. Math. 6:2, 303 335 (2002).

17. S.V. Galaev. Intrinsic geometry of almost contact kahlerian manifolds /7 Acta Mathematiea Aeademiae Paedagogieae Nviregyhaziensis. 31:1, 35 46 (2015).

18. S.V. Galaev. Admissible Hyper Complex Pseudo Hermitian Structures /7 Lobaehevskii .Journal of Mathematics. 39:1, 71 76 (2018).

19. S. Golab, On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections // Tensor N.S. 29 2 If) 254 (1975).

20. A. Murcia, C. S. Shahbazi. Contact metric three manifolds and Lorentzian geometry with torsion in six-dimensional supergravity // J. Geom. Phvs. 158, 103868 (2020).

21. G. Pitis. Geometry of Kenmotsu manifolds. Brasov: Publishing House of Transilvania University of Brasov. 2007.

22. K. Yano. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 15, 1579-1586 (1970).

23. K. Yano, T. Imai. Quarter-symmetric metric connections and their curvature tensors // Tensor, N.S. 38, 13-18 (1982).

Алия Владимировна Букушева,

ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», ул. Астраханская, 83, 410012, г. Саратов, Россия E-mail: [email protected]

Сергей Васильевич Галаев,

ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», ул. Астраханская, 83, 410012, г. Саратов, Россия E-mail: [email protected]