CC BY
422 ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №5
УДК 514.763.2, 517.938.5
ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ ДВУМЕРНЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ И ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ НА НИХ
А. Ю. Коняев1, Е. A. Кудрявцева2, В. И. Сидельников3
Получены топологическая и симплектическая классификации замкнутых двумерных симплектических многообразий, у которых симплектическая структура имеет особенности общего положения. Также получена топологическая классификация лиувиллевых слоений гамильтоновых систем на таких многообразиях. Изучены свойства перестройки вдоль пары торов Лиувилля, приводящей к возникновению новых особенностей симплектической структуры. Описано изменение топологии слоения Лиувилля при такой перестройке в двумерном случае.
Ключевые слова: симплектическое многообразие, интегрируемая система, контактная особенность, общая особенность, слоение Лиувилля, перестройка вдоль пары лиувиллевых торов.
The topological and symplectic classifications of closed 2-dimensional symplectic manifolds whose symplectic structure has generic singularities are obtained. The Liouville foliations of Hamiltonian systems on such manifolds are classified in topological category. The properties of index-one surgery along a pair of Liouville tori are studied together with the singularities of symplectic structure it gives rise to. The change of Liouville foliation topology after the surgery in dimension two is described.
Key words: symplectic manifold, integrable system, contact singularity, generic singularity, Liouville foliation, surgery along a pair of Liouville tori.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-5-3
1. Введение. Симплектические многообразия с особенностями — это широкий класс многообразий, встречающийся в приложениях к математической физике, классической и квантовой механике. Обычно такие объекты возникают после преобразования фазового пространства системы, которое является обратимым почти всюду.
Особенностями общего положения замкнутой 2-формы ш разумно считать такие точки, в которых пфаффиан Pf(w) =0 и dPf(w) = 0 в некоторых локальных координатах. Это условие является геометрическим, т.е. не зависящим от выбора системы координат.
Для подобных особенностей существует аналог теоремы Дарбу [1, теорема III. A. 4.2.2]: в подходящей локальной системе координат x\,..., xn, y1,..., yn дифференциальная 2-форма принимает вид
n
ш = x1dx1 Л dy1 + ^dxi Л dyj. (1)
i=2
В работах Д.Б. Зотьева [2, 3] предложено естественное обобщение этого класса особенностей, получившее название контактных особенностей [3, §3, определение 1]. Такие особые точки (контактного типа) образуют гиперповерхность, в них 2-форма ш имеет ранг 2n — 2k, а функция Pf(w) имеет
1 Коняев Андрей Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем. МГУ, email: [email protected].
Konyaev Audrey Yurievich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics MSU.
2Кудрявцева Елена Александровна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем. МГУ, e-mail: [email protected].
Kudryavtseva Elena Aleksandrovna — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics MSU.
3 Сидельников Владислав Игоревич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Sidelnikov Vladislav Igorevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.
© Коняев А. Ю., Кудрявцева Е. A., Сидельников В. И., 2024 © Konyaev A.Yu., Kudryavtseva E. A., Sidelnikov V. I., 2024
(cc)
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №5
23
нуль порядка 2к — 1. Вблизи таких точек симплектическая 2-форма принимает вид
2 к п
Ш = ё (у (<% + I] Х^Уз) ) + I] ¿Хг А &Уг (2)
]=2 г=к+1
в подходящей локальной системе координат х^..., хп, у1,... ,уп [3, §4, теорема 3].
Мы рассматриваем перестройку Морса-Ботта (индекса 1) вдоль пары торов Лиувилля данной интегрируемой гамильтоновой системы (см. также [4, определение 4]), приводящую к возникновению гиперповерхности (вместо указанной пары торов Лиувилля), в каждой точке которой симплектическая структура обращается в нуль. Известно [4, §2, обсуждение после формулы (8)], что во всех точках этой гиперповерхности симплектическая структура приводится к виду (2) при к = п, т.е. имеет особенность контактного типа.
Размерность два, однако, для таких многообразий является специальной. Например, в этом случае определение превращается в требование общности положения (в смысле, описанном выше) всех особенностей симплектической структуры. Гамильтонова система в этом случае задается функцией, удовлетворяющей некоторым условиям (см. п. 3). Слоение Лиувилля — это слоение многообразия связными компонентами линий уровня этой функции.
В рамках настоящей работы удалось получить теоремы классификации двумерных замкнутых многообразий с особенностями симплектической структуры общего положения (теоремы 1 и 2), топологическую классификацию слоений Лиувилля гамильтоновых систем на таких многообразиях (теорема 3), описать изменение топологии слоения Лиувилля при применении к нему перестройки вдоль пары торов Лиувилля (теорема 4), а также изучить свойства такой перестройки — получить критерии гладкости функции Гамильтона, непрерывности и гладкости гамильтонова векторного поля. Также мы опишем свойства перестройки Морса-Ботта в любой размерности (в п. 4).
Теоремы 1 и 2 и их доказательства легко распространяются на многомерный случай, но только не для 2-форм, а для п-форм на п-мерных многообразиях. Такая многомерная версия теоремы 2 родственна результату [5, §3, теоремы 4 и 5] и обобщает теорему Мозера [6] о классификации ориентированных форм объема на замкнутых многообразиях на случай п-форм, нули которых образуют гиперповерхность с особенностями типа х1ёх1 Л ... Л ёхп.
2. Классификация двумерных симплектических многообразий с особенностями общего положения. Рассмотрим двумерное замкнутое многообразие М с 2-формой ш. Через В обозначим множество особенностей (т.е. нулей) этой 2-формы. По предположению все особые точки — это особенности общего положения. В двумерном случае вблизи любой точки Р € В 2-форма ш имеет вид ш = /ёх Лёу, где /1© = 0 и 1/(Р) = 0. Здесь (х,у) — локальные координаты вблизи точки Р на М, / = /(х,у) — гладкая функция. Отсюда получаем (в силу теоремы о неявной функции), что В является регулярной замкнутой кривой. Из этого наблюдения также легко следует, что вблизи любой точки этой кривой 2-форма ш приводится к виду хёх Л ёу в некоторой локальной системе координат, т.е. к виду (1).
Будем говорить, что такая 2-форма имеет особенности типа хёх Л ёу на кривой В.
Теорема 1. Пусть на замкнутой поверхности М дан конечный набор Г регулярных замкнутых попарно не пересекающихся кривых. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) найдется замкнутая 2-форма на М с особенностями типа хёхЛёу, для которой множество вырождений В совпадает с Г;
2) существуют такие ориентации на компонентах множества М \ Г, что для любой окружности из Г локальные ориентации с двух сторон от этой окружности (вблизи любой точки этой окружности) различны.
Определение 1. Под двумерным замкнутым шахматным многообразием мы будем понимать пару (М, Г) с такой фиксированной ориентацией на М \ Г, что для любой окружности из Г локальные ориентации с двух сторон от этой окружности различны (т.е. выполнено второе условие из теоремы 1).
Следствие 1. Любое двумерное замкнутое шахматное многообразие (М, Г) можно получить так:
(1) взять любой конечный граф С (возможно, с петлями и/или кратными ребрами) и расставить в его вершинах V любые целые неотрицательные числа ^, а на петлях — метки 1 и 2;
(п) сопоставить каждой вершине V графа С связную компактную ориентированную поверхность N рода д^, у которой число граничных окружностей равно ^ = deg V — L(vi), где — число петель с меткой 1 в вершине vi графа С (и установлена биекция между граничными окруж-
ностями поверхности N. и ребрами графа С, инцидентными вершине vi7 при этом петле с меткой ] сопоставлено ] граничных окружностей);
(ш) для каждого ребра графа С склеить соответствующие граничные окружности кусков N. по следующему правилу: если ребро не является петлей с меткой 1, то склеим соответствующую пару граничных окружностей по диффеоморфизму, сохраняющему ориентации этих окружностей (см. п. 5, шаг 2); а если ребро является петлей с меткой 1, то склеим отвечающую ей граничную окружность куска N. саму с собой, склеив ее диаметрально противоположные точки;
(Гу) в качестве набора окружностей Г на полученной замкнутой поверхности М взять результат склеивания граничных окружностей.
Следствие 2. Чтобы для двух двумерных замкнутых шахматных многообразий (М, Г) и (М', Г') существовал гомеоморфизм М ^ М', переводящий наборы окружностей Г и Г' друг в друга и сохраняющий ориентации на М \ Г и М' \ Г', необходимо и достаточно, чтобы существовал изоморфизм соответствующих графов С и С, сохраняющий метки gi в вершинах графа и метки 1 и 2 на петлях.
Следствие 3. Пусть (М, Г) — двумерное замкнутое шахматное многообразие. Тогда:
(a) поверхность М ориентируема в том и только в том случае, когда граф С, двойственный набору окружностей Г, является двудольным (и, в частности, не имеет петель);
(b) эйлерова характеристика М равна сумме эйлеровых характеристик поверхностей М, :
х(М) = ^ х(М) = ^(2 — 2д, — й) = 2У — 2Е + — 2д,) = 2Х(С) + L(G) — 2 ^ д..
i i i i
Здесь М, — связные компоненты поверхности М \ Г, gi — род куска М,, через V и Е обозначены количества вершин и ребер графа С, ^ — число граничных окружностей куска М, (при этом двусторонняя окружность считается два раза, если замыкание куска М, содержит ее окрестность), L(vi) — число односторонних кривых в границе куска М, (пленок Мёбиуса) и L(G) = ^, L(vi).
Так как в п. (1) следствия 1 числа д,, расставляемые в вершинах графа С, — это произвольные неотрицательные целые числа, то сразу получаем верхнюю оценку (т.е. максимум) эйлеровой характеристики связной поверхности М (здесь ^1(С) — первое число Бетти графа С):
Х(М) = 2х(С) + L(G) — 2 £ д, = 2 — 2&1 (С) + L(G) — 2 £ д, < 2 — 2&1 (С) + L(G) < 2.
Значит, максимально возможная эйлерова характеристика двумерного связного замкнутого шахматного многообразия М равна 2 и достигается, когда род любого куска М, равен д, = 0 и граф С является деревом (т.е. д, = 0, Ь1(С) = L(G) = 0). В этом случае М — это двумерная сфера, т.е. поверхность рода 0. Чтобы получить любой больший род (или меньшую эйлерову характеристику), достаточно либо увеличить числа д, так, чтобы их сумма была равна требуемому значению рода, либо увеличить число циклов &1(С) (например, петель с меткой 1) у графа С.
Следствие 4. На любом двумерном замкнутом многообразии существует 2-форма с особенностями типа х<х Л 1у, для которой множество вырождений В непусто.
В следующей теореме устанавливается, когда две 2-формы из теоремы 1 диффеоморфны (т.е. когда для таких 2-форм ш1,ш2 существует диффеоморфизм Ф : М ^ М со свойством ш1 = Ф*ш2).
Теорема 2. Предположим, что (М, Г) — двумерное замкнутое шахматное многообразие. Пусть ш1 и ш2 — две 2-формы из теоремы 1 для этого набора окружностей Г. Для существования диффеоморфизма Ф : М ^ М, неподвижного на Г и переводящего ш1 в ш2, необходимо и достаточно, чтобы для каждой связной компоненты М, множества М \ Г интегралы по ней 2-форм ш1 и ш2 совпадали. Более того, если такой диффеоморфизм Ф существует, то его можно построить изотопным тождественному в классе диффеоморфизмов, неподвижных на Г.
Поясним, что поверхность М в теоремах 1 и 2 может быть неориентируема. В частности, отдельные окружности в наборе Г могут быть как двусторонними, так и односторонними. Для односторонних окружностей набора Г второе условие теоремы 1 автоматически выполнено. Поэтому это условие можно ослабить, потребовав его выполнения лишь для двусторонних окружностей.
Комментарий 1. Обе теоремы 1 и 2 дословно распространяются на любую размерность, но только для п-форм объема (а не 2-форм) с особенностями типа х11х1 Л 1х2 Л ... Л 1хп (таких, что их нули образуют гиперповерхности {х1 = 0}, вблизи которых п-форма имеет вид х11х1 Л<х2Л.. .Л<хп).
Комментарий 2. Распространение теоремы 2 на любую размерность является также обобщением теоремы Мозера [5] на п-формы с особенностями типа х11х1 Л 1х2 Л ... Л 1хп (напомним, что
сама теорема Мозера классифицирует n-формы без нулей, т.е. формы объема, на связном замкнутом многообразии M с точностью до диффеоморфизма). Наша теорема 2 и ее распространение на любую размерность (а также их доказательство) родственны теореме [5, §3, теоремы 4 и 5] о "формах объема со складками", или "сложенных формах объема" (folded volume forms).
3. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных симплек-тических многообразиях с особенностями общего положения. В предыдущем пункте мы описали и классифицировали пары (M, ш), где M — двумерное замкнутое мнообразие, а ш — сим-плектическая 2-форма с особенностями общего положения. Такие пары описываются шахматными многообразиями (M, Г). Под гамильтоновой системой на двумерном шахматном многообразии (M, Г) будем понимать четверку (M, Г, ш, H), где ш — симплектическая структура, для которой Г — особое множество (все особенности предполагаются типа xdx Л dy), и H — гладкая функция на поверхности M, называемая функцией Гамильтона, такая, что каждая окружность множества Г является боттовской критической окружностью функции H (вообще говоря, можно рассматривать более общий класс функций, для которых Г содержится в множестве их критических точек и поэтому гамильтоново векторное поле является гладким, см. [3, определение 5]). Вообще говоря, условие боттовости можно ослабить, заменив его требованием локальной тривиальности расслоения многообразия на связные компоненты линий уровня функции H вблизи множества Г. Однако, во-первых, на практике боттовость проверяется легче, чем локальная тривиальность слоения, а во-вторых, подавляющая часть известных интегрируемых систем обладает боттовскими интегралами [7].
Будем также предполагать, что все критические точки функции Гамильтона H на M \ Г невырождены, т.е. являются морсовскими (это условие тоже можно ослабить, потребовав лишь, чтобы число критических точек на M \ Г было конечно или чтобы функция была боттовской на M \ Г).
Определение 2. Пусть даны две гамильтоновы системы (M, T,^>,H) и (M', Г', ^>',H') на двумерных шахматных многообразиях. Будем говорить, что эти системы лиувиллево эквивалентны (а их слоения Лиувилля имеют одну и ту же топологию), если существует гомеоморфизм M ^ M', переводящий множество Г в множество Г', связные компоненты линий уровня функции Гамильтона H в связные компоненты линий уровня функции H' и сохраняющий ориентации на M \ Г и M' \ Г'.
Далее нам понадобится понятие "молекулы Фоменко" для гладкой функции, заданной на компактной ориентированной поверхности (т.е. на компактном ориентированном двумерном многообразии). Это (полный) инвариант послойной эквивалентности функции на ориентированной поверхности (в более высокой размерности это понятие тоже важно и позволяет классифицировать интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы, т.е. в размерности четыре на 3-мерных изоэнергетических многообразиях с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности, а с помощью введения некоторых меток на молекуле — с точностью до лиувиллевой эквивалентности, см. работы [8, 9]).
Определение 3 [10]. Предположим, что N — замкнутая ориентированная поверхность и f : N ^ R — функция Морса на ней. Пусть W — граф Кронрода-Риба функции f. Он получается из N стягиванием в точку каждой связной компоненты в {f = const}. Ориентированным 2-атомом функции f называется ориентированная регулярная окрестность связной компоненты критической линии уровня функции f с точностью до сохраняющего ориентацию послойного гомеоморфизма. Молекулой Фоменко функции Морса f называется граф W, каждой вершине которого сопоставлен соответствующий ориентированный 2-атом с указанием соответствующей биекции между множеством граничных окружностей 2-атома и множеством всех ребер графа W, инцидентных данной вершине. Аналогично определяется молекула Фоменко для функции Морса f, заданной на компактной ориентированной поверхности с краем, при условии, что на каждой граничной окружности функция постоянна и все граничные окружности либо не содержат критических точек функции, либо являются боттовскими критическими окружностями функции.
Определение 4. Молекулой Фоменко с метками-звездочками на некоторых ребрах и концевых вершинах (кратко: молекулой Фоменко с метками-звездочками на ребрах) для гамильтоновой системы на двумерном шахматном многообразии назовем молекулу Фоменко ее функции Гамильтона, на которой звездочками отмечено конечное число точек, являющихся образами окружностей из Г (а потому являющихся внутренними точками ребер и/или вершинами степени один). Таким образом, некоторым вершинам этого графа в соответствие поставлены ориентированные 2-атомы, а некоторым — звездочки, причем степени вершин-звездочек равны 1 и 2. Максимальную цепочку ребер, соединенных вершинами-звездочками степени 2, далее будем считать одним ребром, на внутренности которого расставлены звездочки.
Эта молекула является объединением молекул Wi функций H | n на ориентированных компактных поверхностях Ni с краем, постоянных на каждой граничной окружности, где Mi — связные
компоненты множества М \ Г, ориентация на которых задается симплектической структурой; N — компактификация М^ (точнее, молекула Ш получается склеиванием молекул Ш по концевым вершинам и расстановкой звездочек в склеенных вершинах).
Теорема 3. Две гамильтоновы системы на двумерных замкнутых шахматных многообразиях лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их молекулы Фоменко с метками-звездочками на ребрах изоморфны.
Важно отметить, что в теореме 3 нельзя заменить "молекулы Фоменко с метками-звездочками на ребрах" на "молекулы Фоменко". Дело в том, что одна и та же молекула Фоменко может отвечать гамильтоновым системам на разных поверхностях (например, на торе и бутылке Клейна).
Комментарий 3. Определение 2 можно ослабить. Мы можем потребовать лишь, чтобы гомеоморфизм был послойным и сохранял ориентации малых окрестностей компонент критических линий уровня (т.е. 2-атомов). При этом мы не будем требовать, чтобы этот гомеоморфизм переводил множество нулей одной 2-формы в множество нулей другой. Тогда полным инвариантом такой эквивалентности будет "приведенная по модулю 2" молекула Фоменко с метками-звездочками на некоторых ребрах и концевых вершинах, имеющая не больше одной звездочки внутри каждого ребра. Она получается из описанной выше молекулы Фоменко с метками-звездочками на ребрах выкидыванием четного числа звездочек из внутренности каждого ребра, а также всех звездочек из внутренности любого ребра, хотя бы один конец которого является звездочкой.
Комментарий 4. Можно еще больше ослабить понятие лиувиллевой эквивалентности, потребовав, чтобы гомеоморфизм был послойным, но не обязательно сохранял ориентацию 2-атомов. Полным инвариантом такой эквивалентности будет класс эквивалентности молекул Фоменко с метками-звездочками на ребрах, где две такие молекулы считаются эквивалентными, если они получаются друг из друга композицией преобразований следующего вида:
(1) добавления/удаления четного числа звездочек на внутренность/из внутренности любого ребра молекулы, а также любого числа звездочек на внутренность/из внутренности любого ребра, хотя бы один конец которого является звездочкой;
(п) смены ориентации 2-атома, отвечающего какой-либо вершине молекулы, и добавления одной звездочки на внутренность каждого ребра молекулы, инцидентного этой вершине.
4. Перестройка (Морса—Ботта индекса 1) вдоль пары торов Лиувилля.
4-1. Перестройка вдоль пары торов Лиувилля в любой размерности. Эта операция, грубо говоря, состоит в замене двух (п-мерных) торов Лиувилля на прямое произведение п-мерного тора и (п — 1)-мерной сферы. Если говорить чуть более подробно, то пусть на 2п-мерном симплекти-ческом многообразии (М, ш) дана интегрируемая гамильтонова система (ИГС). Выкинем из М два тора Лиувилля Т1 и Т2 и вклеим вместо них прямое произведение п-мерного тора на (п — 1)-мерную сферу (т.е. гиперповерхность, которую обозначим через В). В результате этой операции получится С ^-гладкое 2п-мерное многообразие Мо с гладкой гиперповерхностью В и с замкнутой 2-формой ш° на М0 \ В. Продолжим эту 2-форму на все многообразие М0, полагая ее равной нулю в любой точке вклеенной гиперповерхности В. Нетрудно показать (см. конструкцию ниже), что полученная 2-форма ш° будет гладкой (и автоматически замкнутой) на всем многообразии Мо.
Конструкция. Опишем перестройку вдоль пары торов Лиувилля более детально. Введя переменные действие-угол /, в некоторых окрестностях торов Tj = 1, 2), получим симплекто-морфизм / : П и П2 ^ 5° х Оп х Тп, где Оп — открытый шар (радиуса е2) в Мп с центром в нуле, 5° = {—1,1}. Рассмотрим в "цилиндре" V2п = Уе2п = (—е, е) х 5п-1 х Тп = {(¿, 8, гиперповерхность в = {0} х 5п-1 х Тп. Пусть М° образуется приклеиванием к М \ (Т1 и Т2) цилиндра V2п по (инъективному и регулярному) отображению /-1 о С, где С : V2п \ в ^ 50 х Па х Тп — отображение вида С(£, 8, = ^п¿,£28, Получаем коммутативную диаграмму
у2п \ в Л^ £0 х Вп х Тп щ и щ
Рг
~у2п _. Л^П х г^П
п
причем ш|ихии2 = (Рг о/)*а, где Рг — каноническая проекция, а = ^ ё/ Л — симплектическая
г=1
структура на Оп х Тп = {(I, и отображение С° задано формулой С°(¿, 8, = (¿28, Так как приклеивающее отображение /-1 о С переводит 2-форму ш на М в 2-форму С°а на V2п, получаем Сте-гладкую 2-форму ш° на М°, образы (риПЪаек) которой при канонических вложениях : М \
(Т1 ит2) — Мо и ¿у : V2п — Мо совпадают с ш и Сдст соответственно. Легко проверяется, что С^ст = 0 во всех точках из 0, поэтому шо = 0 во всех точках гиперповерхности В = ¿у(0) С Мо. Многообразие (М0,ш0) вместе с его расслоением на п-мерные торы назовем результатом перестройки вдоль пары торов Т1 и Т2 (см. также [4, §3, определение 4; 11, §2, определение 2; 12, определение 3.11]).
Если в этой конструкции убрать домножение на тор и в формулах для С и Со заменить £2 на то (без учета симплектической структуры) она превратится в морсовскую перестройку индекса 1 [12, определение 3.11] (или операцию связной суммы) п-мерных многообразий и будет состоять из следующих этапов: выкалывание двух точек, компактификация с помощью добавления к каждому проколу края — (п — 1)-мерной сферы — и склеивание краев по диффеоморфизму. Если бы выкалывались не две точки, а одна, и вклеивалась не (п — 1)-мерная сфера, а (п — 1)-мерное проективное пространство, то получилась бы (для Т1 = Т2, Ц = Ц с помощью замены £2 на £) известная операция "раздутие" многообразия в точке (на базе слоения Лиувилля). Ее используют для алгебраических многообразий.
Нам понадобится определение перестройки вдоль пары торов Лиувилля лишь в двумерном случае, мы его приводим в начале доказательства теоремы 4.
Итак, с точки зрения гладких многообразий (в данном случае баз слоений Лиувилля) данная операция, по сути, повторяет известные операции (морсовская перестройка, связная сумма, раздутие многообразия в точке). С точки зрения динамических систем операция может быть полезной, в частности, для разрешения особенностей систем ОДУ. При такой операции симплектическая структура вырождается: например, подобное наблюдалось в схожих конструкциях, имеющих своей целью регуляризацию гамильтонова векторного поля (регуляризации Мозера [13] и Леви-Чивиты [14, 15] задачи Кеплера) и симплектической структуры [16, § 6, лемма 7; 17]. Кроме этого А.Т. Фоменко была введена близкая операция "жесткий бордизм" (или торическая связная сумма) интегрируемых систем с двумя степенями свободы [18, § 6].
4-2. Жесткость перестройки вдоль данной пары торов Лиувилля. Возникает вопрос о том, насколько однозначна перестройка вдоль данной пары торов Лиувилля.
Как и в случае обычной (т.е. морсовской) перестройки, для осуществления перестройки Морса-Ботта (индекса 1) необходимо задать разложение (послойный симплектоморфизм) окрестности данной пары торов Т1 ,Т2 в прямое произведение х х Тп. Хорошо известно (ввиду формулы Арнольда, однозначно выражающей переменные действия через базисные циклы тора Лиувилля), что для этого достаточно выбрать изоморфизм между этими торами (который можно задать с помощью изоморфизма их групп 1-мерных гомологий и выбора "базисной" точки на каждом торе), локальное лагранжево сечение слоения Лиувилля вблизи каждого тора, проходящее через базисную точку, и базис группы 1-мерных гомологий одного из торов, скажем Т1 (легко видеть, что от выбора такого базиса результат перестройки не зависит).
В отличие от операции раздутия гладкие (и даже топологические) структуры на разных результатах перестройки вдоль фиксированной пары торов Т1, Т2 (с фиксированным изоморфизмом между этими торами) могут быть не согласованы друг с другом (если отождествлять разные Мо и Мо с помощью отображения ¿М ◦ ¿м , продолженного на В по непрерывности). Дело в том, что в определении перестройки вдоль пары торов фигурирует прямое произведение с п-мерным тором, которое означает, что переменные действие-угол вблизи отмеченной пары торов Лиувилля порождают гладкую структуру на цилиндре ¿у(V2п) и гладкие (относительно этой гладкой структуры) угловые переменные ^. Но при замене переменных действие-угол вблизи второго отмеченного тора
Лиувилля на 1г,"фг = + -577^ получим иа цилиндре гу(у2п) угловые переменные фг вида фг = (рг при £ ^ 0 и = ^ при £ ^ 0, где £ = 0 — уравнение гиперповерхности В на цилиндре ¿у (V2п). Отсюда видно, что в случае Б (!) = !2 или £(/) = А/1 новая переменная </51 уже не будет гладкой на цилиндре ¿у(V2п) (по отношению к указанной гладкой структуре). В частности, канонический послойный гомеоморфизм Мо — Мо не всегда является гладким.
Два разных результата перестройки Мо и Мо назовем эквивалентными, если существует послойный симплектоморфизм Мо — Мо, совпадающий с тождественным (точнее, с ¿М ◦ ¿м) на дополнении к цилиндру ¿у(^2>п), где ео = шах(е, е') (легко видеть, что ео можно заменить сколь угодно малым е1 > 0).
Комментарий 5. Перестройка вдоль пары торов Лиувилля является жесткой в следующем смысле. Класс эквивалентности результата перестройки не зависит от толщины цилиндра ¿у (V2п) (т.е. от радиуса е2 вырезаемых окрестностей пары торов Лиувилля), а зависит только от изоморфизма между двумя выкидываемыми торами Лиувилля. Автоморфизм тора задается целочисленной матрицей и точкой тора (задающей сдвиг тора по себе) — это дискретный и непрерывный пара-
метры, от которых зависит перестройка. От вектора сдвига нет зависимости, так как любой сдвиг на данном торе Лиувилля можно реализовать симплектоморфизмом, который переводит каждый тор Лиувилля в себя и тождествен вне малой окрестности данного тора. Итак, класс эквивалентности результата перестройки зависит от единственного произвола — выбора изоморфизма между данными торами Лиувилля (точнее, между их группами 1-мерных гомологий).
Посмотрим на перестройку вдоль пары торов Лиувилля с точки зрения базы слоения Лиувилля. Как известно, на этой базе есть целочисленная аффинная структура (в силу теоремы Лиувилля). Это означает, что если в качестве локальных координат на регулярной части базы слоения Лиувил-ля взять переменные действия, то функции перехода между двумя такими локальными системами координат будут задаваться целочисленными аффинными преобразованиями (являющимися композициями линейного преобразования, задаваемого целочисленной матрицей с определителем ±1, и сдвига на любой вещественный вектор). После перестройки вдоль пары торов база слоения Лиувил-ля (вместе с целочисленной аффинной структурой) становится связной суммой двух баз исходных слоений Лиувилля, соединенных (п — 1)-мерной сферой. Но с аффинной точки зрения эта сфера стянута в точку и две базы фактически приклеились друг к другу по одной точке. При этом аффинная связность позволяет параллельно переносить 1-мерные циклы слоя (тора Лиувилля), двигаясь по базе. Подойдя к месту стыка двух баз и перейдя с одной базы на другую, мы будем параллельно переносить циклы в слоях — торах Лиувилля. И при переходе с одной базы на другую (через соединяющую их вклеенную гиперповерхность) следует применить изоморфизм торов, от которого зависит перестройка (см. комментарий 5).
4-3. Вопрос о гладкости функции Гамильтона после перестройки. Если функция Гамильтона Н системы на М принимает одно и то же значение Н на данной паре торов Лиувилля, то после перестройки вдоль этой пары торов функция Гамильтона продолжится по непрерывности на вклеенную гиперповерхность (значением Н). В результате получим непрерывную функцию Гамильтона Н° на М°, но, вообще говоря, негладкую (см. комментарий 8 ниже).
Комментарий 6. Приведем условия, при которых полученная функция Гамильтона Н° и порожденное ею гамильтоново векторное поле sgrad Н° будут С ^-гладкими. Пусть даны ИГС с функцией Гамильтона Н на симплектическом многообразии с контактными особенностями (М, ш) (размерность любая) и пара торов Лиувилля. Мы хотим вдоль нее выполнить перестройку. Фиксируем переменные действие-угол вблизи каждого из этих торов. При этом они согласованы в том смысле, что если мы отождествим эти торы с помощью угловых переменных, то именно этот изоморфизм торов мы будем использовать при перестройке вдоль них (как сказано в комментарии 5, от такого произвола — выбора изоморфизма между данными двумя торами — зависит перестройка). Рассмотрим ряд Тейлора функции Гамильтона Н(/1,..., /п) в каждом из двух торов, где (/1,..., /п) — переменные действия. Потребуем, чтобы эти ряды совпадали. В случае п = 1 очевидно (см. теорему 4), что после перестройки получится С ^-гладкое многообразие не только с контактной особенностью (М°,ш°), обладающее гладким слоением Лиувилля, но и с С ^-гладкой функцией Гамильтона Н° (а потому и С ^-гладким гамильтоновым полем sgrad Н°, см. [3, теорема 1] и [4, §2, после (8)]). По-видимому, это верно и для любого п.
Напомним (см. п. 4.1), что при перестройке вместо двух выброшенных торов Лиувилля вклеилось (п — 1)-параметрическое семейство торов, где параметр семейства пробегает (п — 1)-мерную сферу. Из соображений непрерывности получаем, что на всех вклеенных торах частоты гамильто-новой системы совпадают (так как они совпадают с частотами на исходном торе).
Отметим, что возможны и другие С ^-гладкие продолжения функции Гамильтона при перестройке вдоль пары торов Лиувилля как в двумерном случае, так и в случаях больших размерностей [11, §2].
Комментарий 7. Рассмотрим двумерный случай (п = 1). Из теоремы 4 получим, что совпадение двух рядов Тейлора из комментария 6 является необходимым и достаточным для С ^-гладкости функции Н°. Более того, из доказательства этой теоремы (см. также комментарий 8) следует, что если эти ряды Тейлора совпали только в степенях 0 и 1 (соответственно до степени к включительно), то после перестройки функция Гамильтона Н° будет класса С3 (соответственно С2к+1), а гамильтоново векторное поле sgrad Н° — класса С1 (соответственно С2к-1). По-видимому, эти утверждения верны в любой размерности.
4-4- Изменение топологии слоения Лиувилля и критерий гладкости функции Гамильтона после перестройки в двумерном случае. В теореме 3 мы показали, что топология слоения Лиувилля гамильтоновой системы на двумерном шахматном многообразии полностью описывается молекулой Фоменко функции Гамильтона с метками-звездочками на ребрах. Следующая
теорема говорит, как меняется топология слоения Лиувилля при перестройке вдоль пары лиувилле-вых торов в двумерном случае, т.е. как перестраивается молекула Фоменко с метками-звездочками на ребрах при такой перестройке. Также мы приводим критерий того, когда функция Гамильтона, полученная в результате такой перестройки, является гладкой.
Теорема 4. Пусть (M, ) — гамильтонова система на двумерном шахматном многооб-
разии и W — ее молекула Фоменко с метками-звездочками на ребрах. Зафиксируем вещественное число h и отметим пару окружностей — связных компонент регулярной линии уровня {H = h} (т.е. пару торов Лиувилля на одном уровне энергии), — на каждой из которых симплектическая структура отлична от нуля. Отметим отвечающую им пару точек на соответствующих двух ребрах молекулы W. Предположим, что отмеченная пара окружностей имеет один и тот же период по отношению к гамильтоновой системе. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. В результате перестройки вдоль отмеченной пары окружностей получится C^-гладкое шахматное многообразие (Mo, Го) с C^-гладкой 2-формой ш0, C3-гладкой функцией Гамильтона H0 и C1-гладким гамильтоновым векторным полем sgrad H0 на нем. Здесь Г0 получается из Г добавлением вклеенной при перестройке пары окружностей в. Построенная симплектическая структра w0 имеет особенности типа xdx Л dy на Г0.
2. Полученная функция Гамильтона H0 на M0 является C^-гладкой тогда и только тогда, когда совпадают ряды Тейлора функции периода как функции от H в отмеченных окружностях.
3. Если выполнено условие из п. 2 на ряды Тейлора, то обе новые окружности в M0, возникшие вместо отмеченной пары окружностей, являются боттовскими критическими окружностями функции H0 и молекула Фоменко с метками-звездочками на ребрах для новой системы образуется из молекулы W разрезанием отмеченной пары ребер по отмеченной паре точек (отвечающей отмеченной паре окружностей), переклеиванием примыкающих к этим точкам кусков ребер так, чтобы "отрицательные" куски {H < h} обоих ребер приклеились друг к другу и "положительные" куски {H > h} приклеились друг к другу, и расстановкой звездочек в отмеченной паре точек, полученной после такой переклейки.
Поясним, что перестройка в теореме 4 соответствует конкретному изоморфизму между двумя отмеченными окружностями (точнее, между их группами 1-мерных гомологий, см. комментарий 5), а именно каждая из отмеченных окружностей — это замкнутая траектория гамильтоновой системы (M, r,w,H). В качестве изоморфизма между этими окружностями в теореме 4 подразумевается сохраняющий ориентацию диффеоморфизм между траекториями. Чтобы получить другой вариант перестройки вдоль той же пары окружностей, достаточно перед применением теоремы 4 изменить функцию Гамильтона H некоторой окрестности одной из отмеченных окружностей так, чтобы вблизи этой окружности изменилось направление роста функции. При этом всюду функция остается C^-гладкой и постоянной на траекториях исходной системы. Такую функцию нетрудно построить боттовской. Аналогично с помощью теоремы 4 можно изучить перестройку вдоль любой пары торов Лиувилля. Для этого следует перед применением теоремы 4 изменить функцию Гамильтона H, как выше (т.е. с теми же условиями гладкости и так далее), так, чтобы совпали значения функции H на паре отмеченных окружностей и было выполнено условие из п. 2 теоремы 4 на ряды Тейлора в этих окружностях.
5. Доказательство теоремы 1. Импликация 1) 2) легко следует из того, что ориентация на M\Г, задаваемая симплектической структурой, меняется при прохождении через Г, т.е. ориентации с двух сторон от Г (вблизи любой точки Г) различны.
Докажем импликацию 2) ^ 1).
Шаг 1. Для "сшивания" нам понадобится гладкая функция ^(ж) одной переменной, равная единице при ж ^ е и нулю при ж ^ е/2 и удовлетворяющая неравенству 0 ^ ^(ж) ^ 1, где е — малое положительное число. Такую функцию легко построить явно с помощью (гладкой) функции, равной e-1/x при ж > 0 и нулю при ж ^ 0.
Шаг 2. Пусть дана ориентация на M \ Г, как в условии теоремы. Определим ориентацию на Г следующим образом. Пусть P — точка из Г, U — малая окрестность точки P в M. Ненулевой вектор e из TpГ назовем положительно-ориентированным на Г, если базис (n, e) в TpM задает положительную ориентацию на U+, где U+ — связная компонента U \ Г, n — вектор внутренней нормали к U+. Легко видеть, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора связной компоненты U+ (это следует из условия теоремы, согласно которому ориентации на разных компонентах U+ и U- множества U \ Г, индуцированные ориентацией на M \ Г из условия теоремы, дают разные ориентации на U).
Шаг 3. Фиксируем риманову метрику на M. Пусть voir — ориентированная форма объема на
Г, задающая ориентацию на Г, как выше (шаг 2), и совпадающая по модулю с формой объема, отвечающей данной римановой метрике.
Пусть M — ориентируемое двулистное накрытие M и vol^ — ориентированная форма объема на M, совпадающая по модулю с формой объема, отвечающей данной римановой метрике (она определена однозначно с точностью до умножения на -1). На M \Г возникает шахматная раскраска: в каждой компоненте связности M \ Г поставим знак п = + или п = —, такой, что ориентация на M \ Г из условия теоремы (точнее, индуцированная ориентация на M \ Г) совпадает с ориентацией, задаваемой формой объема п vol^ на данной компоненте M \ Г.
Шаг 4. Выпуская из Г геодезические, ортогональные Г, получим диффеоморфизм из (—в, в) х Г на малую окрестность U набора окружностей Г. Фиксируем локальную координату y на Г (вблизи какой-либо точки P из Г), такую, что voir = dy. Продолжим ее до (однозначно определенных) локальных координат (x, y) вблизи точки P следующим условием: x = 0 на Г, кривые вида {y = const} являются геодезическими, ортогональными Г, и длина их векторов скорости ^ всюду равна 1, причем ориентации, задаваемые формами объема vol^ и dx Л dy, совпадают. Ясно, что (x,y) — регулярные локальные координаты вблизи точки P ив этих координатах указанный выше диффеоморфизм переводит точку (x, y) из (—в, в) х Г в точку (x, y) из рассматриваемой координатной окрестности точки P в M. Также ясно, что функция x корректно определена на U, т.е. не зависит от выбора координаты y.
Из построения ориентации на Г (шаг 2) и шахматной раскраски на M \ Г (шаг 3) видно, что П = sgnx вблизи Г. То есть ориентация на M \ Г из условия теоремы (точнее, индуцированная ориентация на M \ Г) совпадает с ориентациями, задаваемыми формами объема п vol^ и xdx Л dy вблизи ГГ.
Шаг 5. Поэтому мы можем определить на M искомую 2-форму (Г, имеющую на Г особенности типа xdx Л dy, формулами
(%\г = (1 — ^(|x|))xdx Л dy + п^И) то1дМ (|г = 0, (|М\[/ = п volM .
То есть мы гладко сшили пару 2-форм xdx Л dy (с особенностями на Г) и п vol^ на накрывающей поверхности M.
Из шага 4 видно, что 2-форма xdx Л dy гладкая и корректно определена вблизи Г, т.е. не зависит от выбора координаты y (см. шаг 4). Поэтому форма ( тоже гладкая, обращается в нуль в точности на ГГ и вблизи ГГ имеет требуемый вид xdx Л dy в построенных выше (шаг 4) локальных координатах (x, y). Осталось заметить, что при изменении ориентации на M ориентированная форма объема vol^ заменится на — vol^, локальные координаты (x,y) заменятся на (—x,y), а п на —п. Но при этом обе 2-формы xdx Л dy и п vol^ сохранятся, а потому построенная 2-форма (Г тоже сохранится. Значит,
построенная 2-форма ( однозначно опускается на M, т.е. является поднятием на M некоторой 2-формы ( с требуемыми свойствами.
Теорема 1 доказана.
6. Доказательство теоремы 2. Это доказательство легко (фактически дословно) распространяется на многомерный случай, точнее, на случай n-форм на n-мерных многообразиях.
Необходимость очевидна. Доказательство достаточности проведем с помощью гомотопического метода Мозера. В случае, когда Г = 0, теорема 2 совпадает с теоремой Мозера [6]. Поэтому далее будем считать, что Г = 0.
Шаг 1. Пусть Mi — связные компоненты множества M \ Г, и пусть Yi = UjYij — набор регулярных попарно не пересекающихся кривых Yij в Mi с концами на Г, такой, что каждая кривая Yij, за исключением своих концов, содержится в Mi и каждое дополнение Di = Mi \ Yi гомеоморф-но двумерному открытому 2-диску. Будем считать, что кривые Yij вблизи своих концов являются геодезическими, ортогональными кривой Г. Обозначим y = UiYi.
Шаг 2. Прежде чем применить гомотопический метод Мозера, необходимо немного продефор-мировать M вблизи Г U y так, чтобы формы ( и совпали вблизи Г U Y, а именно следует применить к диффеоморфизм Ф : M M, неподвижный на Г и совмещающий формы ( и друг с другом вблизи Г U y. Чтобы построить такой диффеоморфизм, введем локальные координаты (x, y) из доказательства теоремы 1, перейдя на двулистное ориентируемое накрытие M поверхности M.
В этих координатах п*ш = /(ж, у)жёж Л ёу и п*ш' = /'(ж, у)жёж Л ёу, где п : М — М — каноническая проекция, /(ж, у) и /'(ж, у) — положительные гладкие функции. Поэтому п*ш = ёи(ж,у) Л ёу вблизи п-1(Г) для некоторой гладкой функции и(ж, у), такой, что и(0, у) = 0, и замена (ж, у) — (и, у) является регулярной и сохраняющей ориентацию. Аналогично п*ш' = ёи'(ж, у) Лёу и замена (ж, у) — (и', у) регулярна и сохраняет ориентацию. Поэтому если требуемый диффеоморфизм Ф определить вблизи Г условиями и = Ф*и', у = Ф*у и гладко сшить с тождественным, то получим Ф*ш' = ш вблизи Г. Аналогично можно добиться того, чтобы Ф*ш' = ш вблизи Г и 7.
Итак, 2-форма Ф*ш' — ш тождественно равна нулю вблизи Г и 7, а потому имеет компактный носитель на каждом открытом 2-диске ^ = М^ \7^. По условию интеграл этой 2-формы по каждому
2-диску ^ равен нулю, поэтому в силу леммы Пуанкаре на каждом таком диске эта 2-форма точна, т.е. является дифференциалом некоторой 1-формы. Более того, можно добиться, чтобы эта 1-форма тоже имела компактный носитель на данном диске. Полученные 1-формы на дисках ^ определяют единую 1-форму а на всем многообразии М, такую, что
Ф*ш' — ш = ёа, (3)
причем а = 0 вблизи Г и 7.
Шаг 3. Опишем применение гомотопического метода Мозера к паре 2-форм шо = ш и ш>1 = Ф*ш '. Цель этого метода — построить 1-параметрическое семейство диффеоморфизмов Ф^ на М\Г, такое, что Фо = 1ё и ФЦш1 = шо. Для этого рассмотрим 1-параметрическое семейство 2-форм ш^ = (1 — £)ш + ¿Ф*ш', 0 ^ £ ^ 1. Мы хотим построить 1-параметрическое семейство диффеоморфизмов Ф4 : М — М, такое, что Фо = 1ё и
Ф£ш4 = шо, 0 ^ £ ^ 1. (4)
Запишем это уравнение в терминах векторного поля такого, что
= (5)
Для этого продифференцируем обе части уравнения (4) по рассматривая Ф^ш^ как Ф|ши|^=и:
Фд*(£?4ш4 + ш1 — шо) = 0, 0 ^ £ ^ 1,
где через обозначена производная Ли вдоль векторного поля В этом уравнении отбросим Фд, а производную Ли запишем в виде Ь^ш^ = (¿^ё + = ёг^ш^. Здесь ёш^ = 0, так как ёш^ — это
3-форма на 2-мерном многообразии. В результате получим уравнение
ё^ш^ + ш1 — шо = 0, 0 ^ £ ^ 1, (6)
где неизвестным является векторное поле зависящее от параметра Ввиду (3) имеем ш1— шо = ёа. Поэтому, чтобы решить уравнение (6), достаточно решить линейное уравнение
%ш4 + а = 0, 0 ^ £ ^ 1.
Последнее уравнение, очевидно, имеет единственное решение ^ на М \ Г, поскольку 2-форма ш^ отлична от нуля в любой точке из М \ Г при любом £ (ввиду совпадения ориентаций, задаваемых 2-формами шо = ш и ш1 = Ф*ш' на М \ Г). Продолжим это решение на всю поверхность М, полагая <Ыг = 0 (оно является С ^-гладким, как мы покажем на шаге 4 ниже).
Пусть теперь Ф^ — решение задачи Коши для системы ОДУ (5) с начальным условием Фо = 1ё. Ясно, что тогда (4) выполнено ввиду соотношений (6), Фо = 1ё и шо = ш. В частности, при £ = 1 из (4) получим требуемое соотношение ФЦш! = шо.
Шаг 4. Осталось убедиться в том, что 1-параметрическое семейство векторных полей построенное на шаге 3, является С ^-гладким. Так как а = 0 вблизи Г (см. (3)), то ^ = 0 вблизи Г. Значит, ^ является гладким вблизи Г, а потому и на всем многообразии М при любом £ € [0,1]. Теорема 2 полностью доказана.
7. Доказательство теоремы 3. Теорема 3 следует из существования на М \ Г ориентации, задаваемой симплектической структурой (см. теорему 1), и того факта, что молекула Фоменко га-мильтоновой системы на компактной ориентированной поверхности N с краем полностью описывает систему на N с точностью до лиувиллевой эквивалентности [10].
8. Доказательство теоремы 4. Опишем явно перестройку вдоль пары торов Лиувилля в двумерном случае. Вблизи отмеченной окружности (в ее цилиндрической окрестности) введем координаты действие-угол (I, такие, что данная окружность имеет вид {I = 0}, а вблизи нее при Н > Н выполнено I > 0. Пусть (I', <^') — аналогичные координаты вблизи другой отмеченной окружности (на ее цилиндрической окрестности). Имеем ш = ё! Л ё^> вблизи Г и ш = ё!' Л вблизи Г'. Ясно, что Н = д^) и Н = д'(^) вблизи отмеченных окружностей для некоторых гладких функций д{1) и д'{1') соответственно, причем ^ > 0 и ^ > 0.
Перестройка вдоль пары отмеченных окружностей приводит к новой паре цилиндров с координатами (ж, у) € (-в, в) х (М/2^) и (ж', у') € (-в, в) х (М/2^) соответственно, на которых форма ш имеет вид ш = жёж Л ёу и ш = ж'ёж' Л ёу' соответственно. Эти координаты на соответствующих частях одного из новых цилиндров {(ж,у)} имеют вид
ж2 ж2
У = V, у = I на {ж > 0} = {I > 0}, у = <р', — = /' на {х < 0} = {/' > 0} (7)
(на другом цилиндре {(ж', у')} соответственно у' = —(ж')2 = —2^ на {ж' > 0} = {I' < 0}, у' = — (ж')2 = —2I на {ж' < 0} = {I < 0}). Из этих формул видно, что в новых системах координат 2-форма ш вне рассматриваемых окружностей принимает вид ш = жёжЛёу или ш = ж'ёж'Лёу' соответственно, а потому продолжается по непрерывности до гладкой 2-формы (которую обозначим через шо) на новой паре цилиндров, имеющей особенности типа жёж Л ёу на новой паре окружностей. Значит, в результате перестройки мы получили С ^-гладкую 2-форму шо с особенностями общего положения на С ^-гладком многообразии М0.
Мы также показали, что молекула Фоменко с метками-звездочками для новой функции Гамильтона Но на Мо получается из исходной молекулы Ш так, как описано в условии теоремы.
Осталось изучить класс гладкости новых функции Гамильтона Но и гамильтонова векторного поля sgraё Но на Мо. Напомним (см. п. 4.3), что мы продолжили функцию Но по непрерывности на новую пару окружностей значением Н.
Из формул (7) получаем выражение функции Но на новой паре цилиндров вне рассматриваемых окружностей через переменную ж или ж', а именно Но = д(^ = д(ж2/2) или Но = д'(^) = д'(ж2/2) вблизи одной окружности — на ее полуокрестностях {ж ^ 0} = {I ^ 0} и {ж ^ 0} = {I' ^ 0} (соответственно) и Но = д^) = д(—(ж')2/2) или Но = д'(I') = д'(—(ж')2/2) вблизи другой окружности — на ее полуокрестностях {ж' ^ 0} = {I' ^ 0} и {ж' ^ 0} = {I ^ 0} (соответственно). Так как на каждой полуокрестности функция Но является С ^-гладкой, то непрерывность ее частной производной какого-либо порядка равносильна совпадению ее левой и правой частных производных этого порядка в нуле. Значит, непрерывность ее частной производной (по переменной ж или ж' соответственно) порядка 2к равносильна совпадению частных производных порядка к функций д^) и д'(I') в нуле, а все ее частные производные нечетных порядков (по переменной ж или ж' соответственно) автоматически непрерывны, так как в нуле они равны нулю. Поэтому функция Но является С3-гладкой на Мо (ввиду условия д|(0) = 377(0), равносильного совпадению периодов гамильтоновой системы на отмеченной паре окружностей).
Из этих формул также видно, что гамильтоново векторное поле sgraё Но на Мо непрерывно, т.е. принадлежит классу Со. Это следует из того, что это векторное поле пропорционально векторному полю -щ вблизи одной окружности с коэффициентами пропорциональности ^у и ^ по разные стороны от этой окружности (соответственно векторному полю -щу вблизи другой окружности с
коэффициентами пропорциональности —и —377 по разные стороны от этой окружности). Значит, это векторное поле продолжается по непрерывности на центральную окружность каждого нового цилиндра (ввиду условия д|(0) = 3/7(0)). В действительности это поле является С1-гладким (см. ниже).
Итак, если ряды Тейлора функций д^) и д'(^) в нуле совпали до степени к включительно (для некоторого натурального числа к), то после перестройки функция Гамильтона Но будет класса С2к+1. Аналогично получаем, что в этом случае гамильтоново векторное поле sgraё Но будет класса С2(к-1)+1, т.е. С2к-1. Осталось заметить, что для функций периода Т(Н) и Т'(Н) траекторий гамильтонова векторного поля sgraё Н вблизи отмеченных окружностей верны соотношения тро = и ЩЩ = Н/7^')- Поэтому совпадение рядов Тейлора функций д{1) и д'{1') в нуле до
степени k включительно равносильно совпадению рядов Тейлора функций T(H) и T'(H) в точке H = h до степени k — l включительно.
Теорема 4 доказана.
Комментарий 8. Если в условиях теоремы 4 не предполагать, что периоды гамильтоновой системы на отмеченной паре окружностей совпадают, то в результате перестройки вдоль нее мы получим C^-гладкое шахматное многообразие (Mo, Г0) c C^-гладкой 2-формой w0 и с C^гладкой функцией Гамильтона Ho на нем. При этом гамильтоново векторное поле sgrad Ho на Mo корректно определено и непрерывно тогда и только тогда, когда gf (0) = gfj(0). Последнее условие равносильно совпадению периодов гамильтоновой системы на отмеченной паре окружностей.
Отметим, что введенное нами понятие перестройки слоения Лиувилля вдоль пары лиувиллевых торов (и соответствующей перестройки многообразия и гамильтоновой системы) во многих случаях эквивалентно операции "приклейка тета-ручки", ранее введенной в работе [4, определение 4].
Авторы приносят благодарность Д. Б. Зотьеву и А. Т. Фоменко за ценные комментарии.
Работа первого и второго авторов поддержана грантом Российского научного фонда (проект № 24-71-10100), работа второго автора выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 07Б-02-2024-14З8). Третий автор является стипендиатом Фонда развития теоретической физики и математики "БАЗИС".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Martinet J. Sur les singularites des formes différentielles У У Annales de l'institut Fourier. 197Ö. 20, N 1. 95-178.
2. Зотьев Д.Б. О симплектической геометрии многообразий с почти всюду невырожденной замкнутой 2-формой ^ Матем. заметки. 2ÖÖ4. 7G, № 1. бб-77.
3. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения замкнутых 2-форм У У Матем. сб. 2ÖÖ7. 19S, № 4. 47-78.
4. Зотьев Д.Б. Предквантование по Костанту симплектических многообразий с контактными особенностями ^ Матем. заметки. 2Ö19. 105, № б. 857-878.
5. Cardona R., Miranda E. On the volume elements of a manifold with transverse zeroes ^ Regul. Chaot. Dyn. 2Ö19. 24. 187-197.
6. Moser J. On the volume elements on a manifold У У Trans. Amer. Math. Soc. 19б5. 120. 28б-294.
7. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости ^ Изв. АН СССР. Сер. матем. 198б. 50, № б. 1276-13ö7.
8. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем ^ Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1 (265). 145-173.
9. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы У У Изв. АН СССР. Сер. матем. 199Ö. 54, № 3. 546-575.
1Ö. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Топология. Геометрия. Классификация. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.
11. Зотьев Д.Б., Сидельников В.И. Реализация инвариантов Фоменко-Цишанга в замкнутых симплектиче-ских многообразиях с контактными особенностями У У Матем. сб. 2Ö22. 213, № 4. 3-26.
12. Milnor J. Lectures on the h-Cobordism Theorem. Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press, 1965.
13. Moser J. Regularization of Kepler's problem and the averaging method on a manifold ^ Comm. Pure and Appl. Math. 197Ö. 23, N 4. 6Ö9-636.
14. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps У У Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 19Ö4. Leipzig, 19Ö5. 4Ö2-4Ö8.
15. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps У У Acta Math. 19Ö6. 30, N 1. 3Ö5-327.
16. Кудрявцева Е.А., Лепский Т.А. Топология лагранжевых слоений интегрируемых систем с гиперэллиптическим гамильтонианом ^ Матем. сб. 2Ö11. 202, № 3. 69-1Ö6.
17. Кудрявцева Е.А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками ^ Докл. РАН. 2Ö12. 445, № 4. 383-385.
18. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем У У Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. 55, №4. 747-779.
Поступила в редакцию 27.10.2023
