CC BY
7(а 1) | 2702(1~<7) | 91__е
На промежутке воспользуемся (6). Тогда N1 зоб(зо<7-и) зеео ^ так как
функция (<т — 1) — 305(30°-11)) монотонно возрастает и при а = || имеем —^ (1 — |§§§) + з|^о = -0.002....
(а 1) | 40бз(1-") | 91__£
На промежутке воспользуемся (7). Получаем Л^ 1220(7.7-1) зеео ^ ^ посколь_
ку функция (а — 1) — 1220(7(т— 1) ) монотонно возрастает и при а = имеем —^ (1 — Ц§§) + 3Ц0 = -0.037....
Наконец, на промежутке воспользуемся плотностной теоремой Хаксли (1). Получим
174 /-, \ , 91
А^ 1626 1 >+звв0 < ДГ-£/2 при (т < = 0.782. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Huxley M.N. On the difference between consequtive primes // Invent. Math. 1972. 15, N 1. 164-170.
2. Гриценко С. А. Уточнение одной константы в плотностной теореме // Матем. заметки. 1994. 55, № 2. 59-61.
3. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.
4. Baker R.C., Harman G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II // Proc. London Math. Soc. 2001. 83, N 3. 89-122.
5. Гриценко С.А., Нгуен Тхи Ча. О диофантовых неравенствах с простыми числами // Науч. вед. БелГУ. 2012. 17, № 29. 113-118.
6. Науменко А.П. О нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами // Тр. XV Междунар. конф. "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия". Тула, 2018. 239-241.
7. Ivie A. The Riemann zeta-function. N.Y.: John Wiley and Sons, 1985.
8. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.
Поступила в редакцию 05.12.2018
УДК 512.74
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОРБИТ ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ АФФИННОГО ТОРИЧЕСКОГО МНОГООБРАЗИЯ
А. А. Шафаревич1
Пусть X — аффинное торическое многообразие над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. В работе дается описание орбит связной компоненты единицы груп-
X
X
Ключевые слова: торические многообразия, группа автоморфизмов, действия аддитивной группы поля.
X
In this paper we describe orbits of connected component of identity of automorphism group in
X
these dimensions.
Key words: toric varieties, automorphism group, actions of additive group of a field.
1. Введение. Пусть k — алгебраически замкнутое поле характеристики 0. Нормальное алгебраическое многообразие над полем k, на котором эффективно действует тор T с открытой орбитой,
1 Шафаревич Антон Андреевич— асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shafarevich.aQgmail.com. Shafarevich Anton Andreevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Higher Algebra.
называется торическим многообразием. В работе [1] дается определение связной компоненты единицы Аи^Х)0 в группе автоморфизмов Аи^Х) алгебраического многообразия X. Цель настоящей заметки — получить геометрическое описание орбит группы Аи^Х)0 в случае, когда X — аффинное торическое многообразие.
В работе [2] доказано, что все гладкие точки на аффинном торическом многообразии X без обратимых функций, отличных от констант, принадлежат одной Аи^Х)°-орбите. Более точно: все гладкие точки принадлежат одной орбите относительно действия подгруппы в Аи^Х)°, порожденной всеми аддитивными действиями на многообразии Х (эту подгруппу обозначают ЯАи^Х)). В [3] дано описание Аи^Х)0-орбит в случае, когда Х — полное торическое многообразие, а именно каждой точке х полного торического многообразия ставится в соответствие полугруппа в группе классов дивизоров на Х и Аи^Х)°-орбиты точек совпадают тогда и только тогда, когда соответствующие полугруппы совпадают. В [4] дано аналогичное описание Аи^Х)°-орбит для аффинных торических многообразий, в частности доказано, что Аи^Х)°-орбиты аффинного торического многообразия совпадают с орбитами действия подгруппы в Аи^Х)0, порожденной действием тора Т и всеми аддитивными действиями на Х, которые нормализуются Т.
В настоящей заметке мы даем описание Аи^Х)0-орбит в случае, когда Х — аффинное ториче-
Х
Теорема. Пусть 01 и 02 — орбиты, тора Т на многообразии Х, и пусть х1 € 01 и х2 € 02. Тогда, Aиt(X )0-орбиты то чек х1 и х2 совпадают, если и только если существует последовательность орбит
01 = 01 ! 02> • • • ! 0к! • • • ! 0т = 02 )
такая, что размерности соседних орбит отличаются на единицу, 0^ С 0^+1 при г < к и 0^+1 С 0^ при г ^ к и для любой пары, соседних орбит 0[ и 0^+1 выполнены, следующие условия:
(г) есть только одна орбита коразмерности 1 в X, которая содержит в своем замыкании одну из орбит 0[ и 0[+1 и не содержит другой;
(гг) для каждой орбиты и тора Т, которая содержит в своем замыкании одну из орбит 0^ и 0'г+1, существует орбита и', кот,орая, содержит в своем замыкании обе орбиты 0[ и 0[+1, и рази
касательного пространства в произвольной точке и'.
Также мы представляем формулу для нахождения размерности касательного пространства в некоторой точке орбиты аффинного торического многообразия (предложение 2).
2. Торические многообразия и корни Демазюра. Обозначим через Т тор (к*)га, где п — натуральное число. Рассмотрим решетку N = Zra однопараметрических подгрупп тора Т и обозначим через М двойственную ей решетку характере в. Скобками (■, ■) : М х N — Z обозначим естественное спаривание элементов из этих решеток. Обозначим N<5 = < N М< = < М^
Если т — элемент решетки М, то через хт будем обозначать соответствующий характер тора Т.
Т
к[М] = 0 кхт
тем
Пусть а — полиэдральный конус в N<5, причем аффинная оболочка а совпадает с пространством N5. Через ау мы будем обозначать двойственный конус в М<, а именно
ау = (ад € М<|Уь € а ^ 0}
Рассмотрим аффинное многообразие
Хст = Ярее 0 кхт
т€стуПМ
Тогда Ха — аффинное торическое многообразие и любое аффинное торическое многообразие можно получить таким образом (см., например, [5]).
Грани конуса а взаимно однозначно соответствуют граням конуса ау. При этом соответствии грани ^ конуса а соответствует грань
^х = (ад € ау| Уь € ^ = 0}
конуса av. В свою очередь есть взаимно однозначное соответствие между гранями конуса аv (а значит, и гранями конуса а) и орбитами тора T на многообразии XCT, а именно грани F конуса аv соответствует единственная орбита, которая открыта в замкнутом подмножестве многообразия Xa, определяемом идеалом
0 kXm
mg(ffv \F )П M
в алгебре fc[XCT ]. Если F — грань а или av, то соответствующую орбиту на многообразии Xa будем обозначать OF.
Рассмотрим полугруппу F = M П av. Эта полугруппа порождает M как группу и насыщена, т.е. ZF П аv = F- (За дополнительной информацией о торических многообразиях можно обратиться к монографии [5].)
Пусть A и K — полиэдральные конусы. Тогда запись A ^ K будет означать, что A является гранью K. Для каждого ребра т ^ а через vT обозначим примитивный вектор решетки N, принадлежащий т.
Определение 1. Элемент e € M называется корнем Демазюра конуса а, если существует ребро т ^ а, такое, что (vT, e) = —1 и (vT', e) ^ 0 для любого другого ребра т' ^ а.
Каждому корню Демазюра e конуса а соответствует однопараметрическая подгруппа в группе Aut(XCT), которая нормализуется тором T (см., например, [2]). Эту подгруппу будем обозначать He. Множество точек, неподвижных относительно действия группы He, будем обозначать XHe.
e He
точки х € Xu \ Х^е пересекает, ровно две Т-орбиты 0\ и Более того, 02 С 0\ и dimOi = dim O2 + 1.
Пары T-орбит (Oi, O2) го предложения 1 будем называть He-связанными.
3. Основные результаты. Пусть T — тор, N — решетка однопараметрических подгрупп T, M — двойственная решетка характеров, X — аффинное торическое многообразие относительно эффективного действия тора T на X а — соответствующий конус в Nq и аv — двойственный конус в Mq. Обозначим через F полугрупnv M П av.
Если F — грань конуса а^, то через (F) мы будем обозначать подгруппу в M, порожденную множеством F П F Рассмотрим гомоморфизм факторизации M ^ M/(F) и обозначим через F/(F) образ полугруппы F при этом гомоморфизме.
Полугруппа F/(F) конечно порождена, и в ней нет обратимых элементов, отличных от нуля. Поэтому множество неприводимых элементов в F/(F) конечно. Обозначим это множество через H(F/(F)) а через |H(F/(F))| обозначим количество элементов в этом множестве. Тогда справедливо следующее
Предложение 2. Пусть TfX — касательное пространство к X в произвольной точке орбиты
OF
dimTF X = dimOF + |H(F/(F))|.
Используя эту формулу, можно вывести следующее предложение.
Предложение 3. Рассмотрим две орбиты Of1 и Of2 тора T на многообразии X, т,а,кие, что Of1 С Of2 и dimOi?2 = dimO^ + 1. Предположим, что выполнены, следующие условия:
(г) есть только одна орбита Of размерности п — 1, такая, что Of1 С Of и Of2 ^ Of; (ii) для, каждой орбиты Of, такой, что Of1 С Of, существует орбита Ор<, такая, что Ор с ОV,, Of2CÖ^u dimТр/Х = dimTFX.
Тогда, орбиты Of1 и Of2 являются Несвязанными для некоторого корня Демазюра e. Обратно: если Of1 и Of2 являются He-связанными, то условия (i) и (ii) выполнены. Используя это предложение, можно доказать теорему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ramanujam С. А note on automorphism group of algebraic varieties // Math. Ann. 1964. 156, N 1. 25-33.
2. Аржанцев И.В., Зайденберг М.Г., Куюмжиян К.Г. Многообразия флагов, торические многообразия и надстройки: три примера бесконечной транзитивности // Матем. сб. 2012. 203, № 7. 3-30.
3. Bazhov I. On orbits of the automorphism group on a complete toric variety // Beitr. Algebra und Geometrie. 2013. 54, N 2. 471-481.
4. Arzhantsev I., Bazhov I. On orbits of the automorphism group on an affine toric variety // Open Math. 2013. 11, N 10. 1713-1724.
5. Cox D., Little J., Schenck H. Toric Varieties. Providence: Amer. Math. Soc., 2011.
Поступила в редакцию 05.12.2018
УДК 517.3+532.5
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛА ОТ ФУНКЦИИ ПОГРАНСЛОЙНОГО ТИПА
А. В. Аксенов1
Предложен метод нахождения асимптотики интеграла от подынтегральной функции погранслойного типа. Изложен алгоритм применения предлагаемого метода. Рассмотрены примеры использования алгоритма.
Ключевые слова: асимптотическое разложение интеграла, функция погранслойного типа, равномерно пригодное асимптотическое разложение.
The method for finding asymptotics of the integral of a boundary-layer type function is proposed. The algorithm of application of the proposed method is described. Examples of application of the algorithm are considered.
Key words: asymptotic expansion of the integral, a function of boundary-layer type, uniformly-suitable asymptotic expansion.
Асимптотические разложения интегралов представляют собой обширный раздел асимптотического анализа (см., например, монографии [1, 2]). Методы нахождения асимптотик зависят от вида подынтегральной функции и от размерности интеграла.
Под функцией погранслойного типа, зависящей от малого параметра е, понимаем функцию f = f (х,е), быстро меняющуюся в узких областях (пограничных слоях). Порядок производной в пограничном слое равен ^(s)/v(е), где ^(е) — порядок функции и v(е), v(е) ^ 1, — порядок ширины пограничного слоя. Таких пограничных слоев может быть несколько. Асимптотические разложения функции f (х,е) в каждом из пограничных слоев будут различными.
Интегралы от функций погранслойного типа часто встречаются в различных разделах механики и физики (см., например, [3]).
В настоящей заметке представлен метод нахождения асимптотики интеграла от подынтегральной функции погранслойного типа. Метод основывается на использовании равномерно пригодного асимптотического разложения [4].
Изложим алгоритм применения предлагаемого метода:
1) нахождение главного члена асимптотического разложения подынтегральной функции в области x ~ 1 (основная область) и в пограничных слоях;
2) оценка порядка вклада каждой области в интеграл и выделение областей (главных областей), дающих главный по порядку вклад;
3) интегрирование функций, определенных в главных областях (для соседних главных областей определяется равномерно пригодное в этих областях асимптотическое разложение с использованием аддитивного метода [4]), и отыскание главного члена асимптотики интеграла;
4) для построения следующего члена асимптотики интеграла повторение алгоритма для функции, являющейся разностью исходной функции и функций, определяемых в главных областях.
Рассмотрим примеры применения алгоритма.
1 Аксенов Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aksenovQmech.math.msu.su.
Aksenov Aleksandr Vasil'evich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Hydromechanics.
