CC BY
64. Arzhantsev I., Bazhov I. On orbits of the automorphism group on an affine toric variety // Open Math. 2013. 11, N 10. 1713-1724.
5. Cox D., Little J., Schenck H. Toric Varieties. Providence: Amer. Math. Soc., 2011.
Поступила в редакцию 05.12.2018
УДК 517.3+532.5
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛА ОТ ФУНКЦИИ ПОГРАНСЛОЙНОГО ТИПА
А. В. Аксенов1
Предложен метод нахождения асимптотики интеграла от подынтегральной функции пограпслойпого типа. Изложен алгоритм применения предлагаемого метода. Рассмотрены примеры использования алгоритма.
Ключевые слова: асимптотическое разложение интеграла, функция пограпслойпого типа, равномерно пригодное асимптотическое разложение.
The method for finding asymptotics of the integral of a boundary-layer type function is proposed. The algorithm of application of the proposed method is described. Examples of application of the algorithm are considered.
Key words: asymptotic expansion of the integral, a function of boundary-layer type, uniformly-suitable asymptotic expansion.
Асимптотические разложения интегралов представляют собой обширный раздел асимптотического анализа (см., например, монографии [1, 2]). Методы нахождения асимптотик зависят от вида подынтегральной функции и от размерности интеграла.
Под функцией погранслойного типа, зависящей от малого параметра е, понимаем функцию f = f (х,е), быстро меняющуюся в узких областях (пограничных слоях). Порядок производной в пограничном слое равен /л(е)/и(е), где ц,(е) — порядок функции и v(е), v(е) ^ 1, — порядок ширины пограничного слоя. Таких пограничных слоев может быть несколько. Асимптотические разложения функции f (х,е) в каждом из пограничных слоев будут различными.
Интегралы от функций погранслойного типа часто встречаются в различных разделах механики и физики (см., например, [3]).
В настоящей заметке представлен метод нахождения асимптотики интеграла от подынтегральной функции погранслойного типа. Метод основывается на использовании равномерно пригодного асимптотического разложения [4].
Изложим алгоритм применения предлагаемого метода:
1) нахождение главного члена асимптотического разложения подынтегральной функции в области x ~ 1 (основная область) и в пограничных слоях;
2) оценка порядка вклада каждой области в интеграл и выделение областей (главных областей), дающих главный по порядку вклад;
3) интегрирование функций, определенных в главных областях (для соседних главных областей определяется равномерно пригодное в этих областях асимптотическое разложение с использованием аддитивного метода [4]), и отыскание главного члена асимптотики интеграла;
4) для построения следующего члена асимптотики интеграла повторение алгоритма для функции, являющейся разностью исходной функции и функций, определяемых в главных областях.
Рассмотрим примеры применения алгоритма.
1 Аксенов Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aksenovQmech.math.msu.su.
Aksenov Aleksandr Vasil'evich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Hydromechanics.
Пример 1. Найдем асимптотику интеграла
те
1{е) = [ -= Г1Х е>0. (1)
■> ух4 + ех2 + е3 о
1. Подынтегральная функция имеет различные асимптотические разложения в областях х ~ 1, х ~ у/е и Обозначим
¡(х,е)= 1
л/ж4 + ех2 + е3 '
/«„=-) = = (2)
где = х/у/ё, = х/е — переменные пограничных слоев. Находим главные члены асимптотик функций из (2):
/о(ж>£) = Л , /о(6, е) = —-==== , /0({2, е) = „.„ ^—7 • (3)
х
2. Из (3) следует, что область х ~ 1 вносит в интеграл вклад ~ 1, а соседние области ж ~ у/е и ж ~ е — вклады порядка ~ 1/д/ё. Главными областями являются области пограничных слоев.
3. Построим равномерно пригодное в пограничных слоях асимптотическое разложение. В области согласования пограничных слоев, т.е. при £1 — 0 и £2 —■ главный член общей части равен
е£1
Главный член равномерно пригодного в пограничных слоях асимптотического разложения, согласно [4], равен
к0{х,е) = +/о(-,е) -до(-^,е) = — + - —¡=
) \е ) \у/е ) ху/х2+е у/ёу/х2+е2 у/е
Находим главный член асимптотики интеграла (1):
те
1п е 21п 2
/0 = I'1г0(х,е) = +
е
4. Для отыскания следующего члена асимптотического разложения интеграла (1) алгоритм применяется для интеграла от подынтегральной функции
Мх,е) = }(х,ё)-Ъъ{х,ё) = . 1 =--?4== ~ г , \ , 9 + ~ГГ ■
у/х4 + ех2 + е3 хух2 + е л/еух2 + е2 уех
Последовательно применяя алгоритм, можно показать справедливость следующего предложения.
Предложение. Асимптотическое разложение интеграла (1) имеет вид = + ™ _ ¡^ 1п£ + _ ,„£ + ^о.п2-389£3/г+о(е5/21пг)
Пример 2. Найдем асимптотику интеграла
1 ха(1 - х)в((х + е2)2 + е2) ,
1(е) = / —---„ ; йх, а > 0, 0 > 0, е > 0. (4)
7 (х + 1)в+2(х + 2е2)а+2 ' н KJ
о
Интеграл вида (4) возник при решении задачи о взрыве поверхностного шнурового заряда (личное сообщение С.Л. Толоконникова).
1. Подынтегральная функция имеет различные асимптотические разложения в областях х ~ 1, х ~ е и х ~ е2. Обозначим
_ ха{1 - х)^{{х + е2)2 + е2)
ПХ>£)~ (ж + 1)/3+2(ж + 2е2)«+2 '
№,е) = тг,е) = (1+2е)«+2 ' (5)
2, ^ (1 - е26)в((1 + е2(6 + 1)2)
/■(€2,^) = f (в2 6,^) =
в2(1 + е26)в+2(6 + 2)а+2 '
где £1 = х/е, £2 = х/е2 — переменные пограничных слоев. Находим главные члены асимптотик функций из (5):
= {Х + 1У+2 ' = /о(б^) = £2(еД22)«+2 • (6)
2. Из (6) следует, что области х ~ 1 и х ~ е2 вносят в интеграл вклад ~ 1, а область х ~ е — вклад порядка ~ е. Главными являются области х ~ 1 и х ~ е2.
3. Главные области не являются соседними и поэтому нет необходимости находить равномерно пригодное во всей области интегрирования асимптотическое разложение. Отметим, что оно имеет вид
(1 — х)13 е2ха
= (ж + 1)0+2 + (ж + 2е2)«+2
и в данном случае равно (это не всегда так) сумме функций /о(х,е) + /о(х/е2,е), определенных в главных областях. Находим главный член асимптотики интеграла (4):
Io = Jho(x,e)dx=1-(-^y + ^y)-
Замечание. Если в переменной пограничного слоя подынтегральная функция раскладывается в асимптотический ряд с конечным числом членов, то асимптотика интеграла находится интегрированием этого конечного ряда. Например, пусть подынтегральная функция имеет вид
/(ж, е) = ^ 2 ' ж>0, е>0.
Тогда в переменной пограничного слоя £ = ж/в она запишется в виде
в3/2 (£2 + 1) в(£2 + 1) ' откуда следует, что
Ъ Ь/е Ь/е Ь/е
1{е) = j f{x,e)dx = e j = J + j a> 0, b>0.
a a/e a/e a/e
Нетрудно найти явное выражение для этого интеграла.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига: Зинатне, 1974. Т. 1; 1977. Т.2; 1981. Т. 3.
2. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
3. Толмачев В.В. Теория бозе-газа. М.: Изд-во МГУ, 1969.
4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.
Поступила в редакцию 27.02.2019
УДК 531
ДЕЙСТВИЯ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ БЕРНУЛЛИ-ЭЙЛЕРА И ТИМОШЕНКО
Т. И. Ждан1
Рассматривается динамическое поведение балок моделей Бернулли-Эйлера и Тимошенко под действием подвижной сосредоточенной нагрузки. В случаях балки, лежащей на упругом основании, и предварительно натянутой балки получено и проанализировано выражение для прогиба в виде сходящегося ряда. Представлены области изменения параметров, при которых результаты двух моделей совпадают. Показано, что при определенных скоростях в системе может возникать резонанс.
Ключевые слова: упругое основание, резонанс, модель Бернулли-Эйлера, модель Тимошенко, изгибающий момент, подвижная нагрузка.
A dynamic behavior of Bernoulli-Euler and Timoshenko beams subjected to a moving concentrated load is considered. A solution of this problem is found and analyzed in the form of a convergent series in the case of a stretched beam and a beam lying on an elastic foundation. The parameter ranges where the results of these two models are coincident are found. It is shown that, under certain conditions, a resonance is possible in such a system.
Key words: elastic foundation, resonance, Bernoulli-Euler model, Timoshenko model, bending moment, moving load.
1. Введение. Исследование поведения материалов под воздействием сосредоточенных подвижных нагрузок имеет большое практическое значение для железнодорожной промышленности, а также при строительстве канатных дорог и мостов. В связи с появлением новых концепций транспортной системы и развитием высокоскоростных поездов появилась необходимость более тщательного анализа динамики взаимодействия железнодорожного пути с транспортным составом. Для моделирования и исследования этого вопроса используются модели балок Бернулли-Эйлера [1] и Тимошенко [2, 3]. В некоторых задачах предпочтительнее использовать одну модель вместо другой, поэтому сравнение этих двух моделей представляет практический интерес. Среди работ, посвященных данной проблеме, можно отметить статью [4], в которой исследуется динамическое поведение балок, лежащих на упругом основании, и сравниваются их дисперсионные зависимости, а также статью [5], где приведены результаты сравнения динамических жесткостей балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко, находящихся под воздействием точечной нагрузки.
В настоящей работе также сравниваются балки Бернулли-Эйлера и Тимошенко, находящиеся под действием сосредоточенной подвижной нагрузки [6]. При определенных условиях в такой системе может иметь место резонанс, при котором прогиб балки неограниченно растет с течением времени.
2. Постановка задачи для натянутой балки. Рассмотрим балку, испытывающую предварительное постоянное натяжение To в поле действия силы тяжести. В начальный момент времени она неподвижна, горизонтальна и находится в состоянии равновесия. В некоторый момент времени на нее начинает действовать подвижная сосредоточенная сила, линейную плотность которой можно задать в форме q = —m0g5(x — V0t)ey, где 5(x) — дельта-функция Дирака, V0(x) — скорость подвижной нагрузки, ey — орт вертикальной оси. Будем рассматривать случай малых отклонений срединного волокна балки от горизонтального положения. Уравнения динамики балки могут быть
1 Ждан Татьяна Ивановна, — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tzhdanl992Qmail.ru.
Zhdan Tatiana Ivanoma — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
