CC BY
23
15. Rosenstein M. T., Collins J. J., Carlo J. De Luca A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets / Neuro Muscular Research Center and Department of Biomedical Engineering, Boston University, November 20, i992.
16. Кантор Б. Я., Богатыренко Т. Л., Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек // Докл. АН УССР. Cер. А. 1986. № 1. С. 18-2i.
17. Awrejcewicz J., Krysko V. A., Papkova I. V., Krysko A. V. Deterministic Chaos in One-Dimentional Continuous Systems. Singapur // World Scientific series on Nonlinear Science Series. 20i6. 56i p.
УДК 531.8:004.94
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ СИНТЕЗА РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ ТРЕТЬЕГО КЛАССА ПО ЗАДАННОЙ ЦИКЛОГРАММЕ С ОСТАНОВКАМИ В КРАЙНИХ ПОЛОЖЕНИЯХ
В. Г. Хомченко, Е. А. Кривохатько
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
DDI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-172-176
Аннотация - Предложен алгоритм построения рычажных механизмов третьего класса, позволяющий простыми графическими средствами создавать исполнительные механизмы для перемещения рабочих органов цикловых машин-автоматов с приближенными остановками в крайних положениях. Показано, что, в связи с получением предложенным методом высокой кинематической точности выстоя рабочего органа, в некоторых случаях можно отказаться от строгого выполнения чебышевского приближения. На основе созданного алгоритма для числового расчета параметров механизма получены необходимые аналитические зависимости. Приведен пример, в котором с использованием пакета MathCAD результаты графического синтеза подтверждены численными расчетами.
Ключевые слова: геометрический алгоритм, шарнирный механизм третьего класса, машины-автоматы, циклограмма, выстой рабочего органа, математическая модель.
I. Введение
В современных машинах-автоматах циклического действия различных отраслей промышленности, таких как машиностроительная, полиграфическая, текстильная, шинная и другие, для обеспечения согласованного высокоскоростного движения рабочих органов широко используются рычажные механизмы [1, 2, 3]. Одной из проблем широкого применения таких механизмов является проектирование их для реализации наперед заданной циклограммы с выстоями рабочего органа в обоих крайних положениях. С помощью рычажных механизмов теоретически можно обеспечить только приближенные остановки рабочего органа машины-автомата. Однако за счет оптимизации параметров расчетные отклонения могут быть столь незначительны, что такие механизмы можно считать более точными, чем кулачковые механизмы, теоретически точно воспроизводящие остановку рабочего органа.
II. Постановка задачи
При использовании рычажных механизмов, обеспечивающих приближенные остановки выходного звена за счет предельных положений, приходится применять для обеспечения остановок в обоих крайних положениях, как правило, восьмизвенные механизмы [1]. В данной статье предлагается геометрический алгоритм синтеза рычажного механизма, выполняющего такие же функции, но имеющего в своем составе шесть кинематических звеньев.
Синтезу такого механизма посвящен ряд работ [1, 4, 5]. В данной статье основное внимание уделяется геометрическому аспекту проектирования шестизвенного рычажного механизма, обеспечивающего приближенные остановки в обоих крайних положениях, и получению на этой основе уточненной аналитической геометрической модели.
III. Теория
В обобщенном виде циклограмму движения рабочего органа с остановками в крайних положениях можно представить следующим образом (рис.1). В качестве параметров циклограммы выступают: ф1, ф2, фВ1 и - углы поворота входного звена механизма при прямом и обратном угловом перемещении рабочего органа машины-автомата, при его первой остановке и угол размаха рабочего органа.
0
9«
<?2
<РВ2
2Х
Рис. 1. Циклограмма с выстоями рабочего органа в крайних положениях
Приведем алгоритм геометрического синтеза шарнирного механизма третьего класса, доставляющего рабочему органу машины-автомата остановки в крайних положениях (рис. 2):
1. Из некоторой точки А проводится окружность единичного радиуса (а = 1).
2. Наносятся углы поворота входного звена АВ за соответствующие интервалы движения (начальное положение АВ0 кривошипа выбирается на данном этапе проектирования произвольно).
3. Проводятся биссектрисы v1 и v2 углов фВ1 и фВ2, соответствующих остановкам рабочего органа в первом и втором крайних положениях. Здесь:
4. Из точек В0 и В1 назначенной относительной длиной Ь шатуна ВЕ делаются засечки на биссектрисах v1 и v2 для получения положений Е0 и Е1 центра шарнира Е трехшарнирного звена ЕС¥ в моменты начала и окончания первого интервала движения рабочего органа.
5. Для указанного в п. 1 момента строится положение трехшарнирного звена ЕС¥ по принятым разработчиком значениям относительных длин е и /сторон ЕС и С Е , значению угла п между этими сторонами (принятое первоначальное значение угла п должно быть уточнено в последующем из определенных условий, сформулированных ниже), а также углов х0 и х1 между биссектрисами v1 и v2 и стороной ЕС .
6. Проводится хорда С0С1.
7. Принимая на данном этапе геометрического построения механизма угол ут размаха выходного звена БС за интервалы движения равным углу щк размаха рабочего органа, известными графическими построениями находится центр вращения Б этого звена. На последнем этапе синтеза механизма для обеспечения равномерного (чебышевского) приближения положение центра Б может быть скорректировано из условия [1]:
где у0 и у1 - соответственно углы малого размаха выходного звена за интервалы выстоя фВ0 и фВ1.
8. Считая точки С0 и С1 центрами вращения звена ЕСЕ, находятся положение этого звена в предельных положениях ЕеСЕе и Е,СЕ, и, соответственно, углы т0 и т1 между сторонами этого звена. Для этого достаточно найти точки Ее и Еi пересечения окружностей, проведенных из точек А и С0, С1 радиусами, равными соответственно Ь—1 и Ь+1, и е.
9. Определяется положение центра Н вращения третьего поводка группы Ассура третьего класса, что является заключительным этапом геометрического синтеза рассматриваемого механизма. Центр Н должен находиться на пересечении биссектрис углов т0 и т1 и перпендикуляра к хорде Ее Е1. При произвольном назначении угла п будет две точки пересечения биссектрис с перпендикуляром. Для совпадения этих точек следует произвести подбор графически или численно соответствующего значения угла п.
10. По результатам графического построения определяются малые углы размаха выходного звена, характеризующие кинематическую точность выстоя рабочего органа машины-автомата у0 и у1.
11. Для обеспечения равномерного (чебышевского) приближения положения рабочего органа к требуемому положению выстоя рабочего органа корректируются координаты центра Н с использованием выражения (1) и последующим пересчетом углов у0 и в соответствии с п. 10 до выполнения необходимого условия по точности решения уравнения (1) и расчетом относительной длины г звена БН и межцентрового расстояния АН.
Фв2 =П-Ф\ -Ф2 - Фв1 .
(1)
Рис. 2. Шарнирный механизм третьего класса
Изложенный выше геометрический алгоритм дает возможность получить аналитическую геометрическая модель синтеза шестизвенных шарнирных механизмов третьего класса для реализации циклограмм с выстоями конечной продолжительности в обоих крайних положениях. Ранее в работах [1, 4, 5] были получены необходимые для синтеза данного механизма аналитические зависимости. В данной статье предлагается более простой способ выполнения расчетов на заключительной стадии проектирования механизма, связанный с представлением уравнений биссектрис углов т0 и т и перпендикуляра к хорде ¥е
Считая формулы для расчета координат точек С0, С1, Г0 , ¥е , ^ , ^ i известными [1, 4, 5], запишем уравнения биссектрис углов т0 и Т1 как прямых, проходящих через точки Со, С1 и через середины отрезков ¥0 и Важно отметить, что координаты точек ¥0 , , и являются функциями угла ц.
Уравнения упомянутых прямых, разрешенные относительно координат х, имеют, соответственно, следующий вид:
хо = У о • 1о (п) + то (п), (2)
х1 = У1 • 11 (П)+т1 (п), (3)
™ 1 (п) = 0 (п)-ХС0 . т („)= ХС0 (.Уз0 (п)- Ус0 )- уС0 (хз0 (п)- ХС0 ) . где ( \ ; т0^)~ ( \ ; Уз 0 (П)-УС 0 Уз 0 (П)-УС 0
, ( ) Х31 (П)- ХС1 . ( ) ХС1 (уз! (П)-УС1)-УС1 (х31 (П)- ХС1)
(П)--гт-; т1 (П)--гг-,
Уз! (П)-УС1 Уз1 (П)-УС1
ХС0, уС0, ХС1, уС1, Хз0, уз0, Хз1, уз1 - соответственно координаты точек Са С1 и середин отрезков Е0Ее и ЕЕ
Запишем уравнение перпендикуляра к отрезку С0С1, восстановленному из его середины, относительно ординаты у:
ys =- Т (xs - xs П)) + Уз (п),
(Хз - Хз (п)) + Уз (п), (4)
к
где к - Уе1—Уе0— угловой коэффициент отрезка С0С1; Хз и уз - координаты его середины.
ХЕ1 - ХЕ 0
Подставив выражение (4) в формулы (2) и (3), получим зависимости для расчета абсцисс точек пересечения биссектрис углов т0 и т1 с перпендикуляром, проведенным из середины отрезка С0С1:
( ) 5о (П) ( ) sj (п)
Хн 0 (п)=xh1 (п)=1+Ш
k (п) k(n)
Л
(п) , „ _ . „ („)_ , Г XS (п)
Л
где ^0 (П) = 10 ^Х^П + Уз + т0; ^ (П) = 11 ["П + Уз + т1. Решая численно уравнение
Хн 0 (П)- ХН1 (П)- ° (5)
определим его корень п*, обеспечивающий с достаточной точностью совпадение точек ХН0(п) и ХН1(п), принимаемых за координаты ХН ; УН центра Н вращения звена НЕ механизма.
Подставляя значение угла п* в известные формулы расчета [1, 4, 5], можно рассчитать предварительные значения координат точек Е0, Ее, Е1, Е, Н, а также малых углов размаха у0 и рабочего органа. Окончательные значения перечисленных параметров определяются как результат решения уравнения (1).
IV. Результаты экспериментов В качестве проверки работоспособности предложенного геометрического алгоритма синтеза рассматриваемого механизма были проведены его графические построения (рис. 2) и аналитические расчеты, соответственно, с использованием графического редактора КОМПАС и математического программного обеспечения
О О О R О
MathCAD при следующих исходных данных: ф1 = 148 ; ф2 = 140 ; фв1 = 50 ; ^ = 60 . Примем следующие относительные значения свободных линейных параметров синтеза: b = 1.5; e = 1; f = 0.82 и угловых: х0 = 50 ;
Х1 = 50°.
В качестве начального решения уравнения (5) было принято значение аргумента п, равное 50 . При этом абсциссы точек пересечения оказались равными: xH0 = 1.376; xH1 = 1.617.
В результате решения уравнения (5) с помощью встроенной функции Minimize в пакете MathCAD было получено значение угла п*, равное 55.682 , при котором xH0 = xH1 = 1.515.
Углы малого размаха в синтезированном механизме: щ0 = 0.024 и = 0.033 .
V. Обсуждение результатов
Синтезированный механизм, как это следует из полученных значений углов малого размаха у0 и обеспе-
чивает высокую кинематическую точность позиционирования рабочего органа машины-автомата. Учитывая малые значения этих углов можно принять полученные результаты в качестве окончательных, не прибегая
к решению уравнения (1) и не обеспечивая строгого выполнения чебышевского приближения. В случае же
необходимости достичь большей точности позиционирования следует численно решить уравнение (1) и обес-
печить равномерное приближение к требуемому положению выстоя рабочего органа.
VI. Выводы и заключение
Результаты численного эксперимента подтвердили, во-первых, возможность получения на основе предложенного геометрического алгоритма необходимые аналитические геометрические модели рассматриваемого механизма, а во-вторых, пригодность механизмов третьего класса для воспроизведения циклограмм с выстоями в крайних положениях с достаточно высокой кинематической точностью.
Список литературы
1. Хомченко В. Г. Проектирование плоских рычажных механизмов цикловых машин-автоматов и манипуляторов. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1995. 152 с.
2. Надеждин И. В. Проектирование рычажных механизмов цикловых машин-автоматов. М.: Машиностроение, 2010. 232 с.
3. Кольман-Иванов Э. Э. Машины-автоматы химических производств. Теория и расчет. М.: Машиностроение, 1972. 296 с.
4. Хомченко В. Г. Аналитический синтез шестизвенного механизма третьего класса с двумя остановками выходного звена по заданной циклограмме // Теория механизмов и машин. Харьков. 1986. Вып. 41. С 48-52.
5. Хомченко В. Г. Графический и аналитический методы синтеза шестизвенного шарнирного механизма третьего класса с приближенным выстоем выходного звена в крайнем положении по заданной циклограмме. Омск. политехн. ин-т. Омск, 1991. 7 с. Деп в ВИНИТИ 11.06.91, № 2460-В91.
