Научная статья на тему 'Генерирующий многочлен для циклических 2-групп над полями характеристики два'

Генерирующий многочлен для циклических 2-групп над полями характеристики два Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
84
21
Поделиться
Ключевые слова
ГЕНЕРИРУЮЩИЙ МНОГОЧЛЕН / ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА / ГРУППА ГАЛУА МНОГОЧЛЕНА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сергеев Александр Эдуардович

В статье построены генерирующие многочлены для циклических групп порядков 4, 8 и16 над полями характеристики два. По указанной конструкции можно получать генерирующие многочлены для любых циклических 2-групп над полями характеристики два. Приводится также обзор известных результатов по генерирующим многочленам для циклических групп

GENERIC POLYNOMIALS FOR THE CYCLIC 2-GROUPS OVER FIELDS WITH CHARACTERISTIC TWO

In this article, the generic polynomials for cyclic groups of order 4, 8 and 16 over fields with characteristic two are constructed. With this construction, the generic polynomials for all cyclic 2-groups over fields with characteristic two can be obtained. We also give survey of known results of generic polynomials for the cyclic groups.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Генерирующий многочлен для циклических 2-групп над полями характеристики два»

УДК 519.642.8

UDK 519.642.8

ГЕНЕРИРУЮЩИМ МНОГОЧЛЕН ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ 2-ГРУПП НАД ПОЛЯМИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВА

Сергеев Александр Эдуардович к.ф.-м.н, доцент

Кубанский государственный университет,

Краснодар, Россия

В статье построены генерирующие многочлены для циклических групп порядков 4, 8 и16 над полями характеристики два. По указанной конструкции можно получать генерирующие многочлены для любых циклических 2-групп над полями характеристики два. Приводится также обзор известных результатов по генерирующим многочленам для циклических групп

Ключевые слова: ГЕНЕРИРУЮЩИЙ МНОГОЧЛЕН, ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА, ГРУППА ГАЛУА МНОГОЧЛЕНА

GENERIC POLYNOMIALS FOR THE CYCLIC 2-GROUPS OVER FIELDS WITH CHARACTERISTIC TWO

Sergeev Alexander Eduardovich Cand.Phys.-Math.Sci, associate professor Kuban State University,

Krasnodar, Russia

In this article, the generic polynomials for cyclic groups of order 4, 8 and 16 over fields with characteristic two are constructed. With this construction, the generic polynomials for all cyclic 2-groups over fields with characteristic two can be obtained. We also give survey of known results of generic polynomials for the cyclic groups.

Keywords: GENERIC POLYNOMIALS,

CYCLIC GROUP, GALOIS GROUP OF POLYNOMIALS

1. Введение

Пусть K - поле и G - конечная группа. Генерирующий многочлен дает описание расширений Галуа с группой Галуа G.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Напомним определение генерирующего многочлена [3].

Определение 1. (Кемпер). Пусть к - поле и G - конечная группа. Назовем нормированный, сепарабельный многочлен g(t1,..., ґт,X) из кольца к(^,..., tm)[X] генерирующим для группы G над полем к, если выполняются следующие два свойства:

(1) группа Галуа многочлена g (как многочлена от X над полем к(^,..., ^)) есть G;

(2) если ь - бесконечное поле, содержащее к и N / ь - расширение Галуа с группой G, тогда существуют элементы 1,..., 1т є ь, такие, что N является полем разложения многочлена g (1,..., 1т, X) над ь.

В последнее время стала интересна следующая проблема.

Проблема 1. Дана конечная группа G и бесконечное поле K. Существует ли для данной группы G над данными полем K генерирующий многочлен , и если да, построить его в явном виде.

Замечание. 1) Общее описание С8-расширений над полями

характеристики, неравной 2, содержащими элемент V2 было дано в [7]. В частности, если элемент V2 є K, то многочлен

л 4

X8 -8sX6 + 20s2X4 - 16s3X2 +—^— является

t2 +1

генерирующим многочленом для циклической группы C8 над полем K , характеристики неравной 2.

С другой стороны, Saltman доказал, что не существует генерирующего многочлена для группы Сп над полем Q, если 81 n [6].

2) Для циклической группы нечетного порядка и поля K, содержащего элемент Z +1/Z, где Z - первообразный корень n -ой степени из единицы, Miyake построил генерирующий многочлен [4].

3) Smith [8] и Dentzer [1], независимо друг от друга, построили генерирующие многочлены для циклических групп нечетных порядков над полем Q.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4) Используя конструкцию Cohen’a, Nakano построил генерирующий многочлен для циклических групп нечетных порядков над полем K характеристики p, p ф 2 [5].

5) Над полем K характеристики p, p ф 2, известно, что существует генерирующий многочлен от n параметров для циклических групп Cpn ,

однако в явном виде они не построены даже для маленьких p и n [2].

В данной работе строятся генерирующие многочлены для циклических групп порядков 4, 8 и 16 над полями характеристики 2.

§ 2. Построение генерирующего многочлена для циклической группы 4-го порядка над полем характеристики два

Сформулируем теорему Витта о циклических расширениях [9].

Теорема 2.1. (Витт). Пусть р — простое число, к — поле характеристики р, ь/к — циклическое расширение степени рг—1 (/ > 1). Обозначим через о — порождающий элемент циклической группы Галуа расширения ь / к. Тогда, существуют такие элементы 8, уе ь, что $рь/к8 = 1, о(у) — у=8р — 8. Для любого ие к поле М, полученное присоединением к ь корня в уравнения хр — х = и + у, является расширением Галуа поля к с циклической группой Галуа порядка рг, и так может быть получено любое циклическое расширение степени рг, содержащее поле ь. При этом М = к (в). Продолжение автоморфизма о поля ь на поле М можно выбрать так, что о(в) = в+8.

Для С4 -расширений Г алуа теорема Витта дает следующие результаты.

Теорема 2.2. Пусть к — поле характеристики 2, М / к — циклическое расширение степени 4, ь з к — квадратичное над к подполе М. Тогда существуют такие элементы а, Ь е к, ае ь, /Зе М, что выполняются равенства: а2 +а = а, /З2 +З = Ь + а а. При этом ь = к (а), М = к (З), а

автоморфизм о, порождающий группу Галуа расширения М / к, можно выбрать так, что о(а) = а +1, о(/) = / + а.

Доказательство. Квадратичное расширение ь /к, как и любое квадратичное расширение поля характеристики 2, получается присоединением к к элемента а, такого что а2 +а= а, где а — некоторый элемент из к. Обозначим через о единственный нетождественный автоморфизм расширения ь / к; тогда, как известно, о(а) = а +1. Имеем:

2

Брь / ка = а + о(а) = а + (а +1) = 1, о(аа) — аа = а = а —а.

Поэтому, по теореме Витта существует такой элемент Ь е к, что поле М получается присоединением к ь корня уравнения х2 + х = Ь + аа, причем М = к(/), и автоморфизм о расширения ь / к можно так продолжить на расширение М / к, что о(/) = / + а.

Теорема 2.3. Пусть к1 = к(1 г2) — поле рациональных функций от независимых переменных г1, г2, ь1 = к1(а), М1 = ь1(/), где а — корень многочлена g(у) = у2 + у + ц е к1[у], а / — корень многочлена

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

К(х) = х2 + х +12 + ае ь1[х]. Тогда М1 / к1 — расширение Галуа с циклической группой 4-го порядка. При этом, М1 = к1(/), а образующую о группы Галуа расширения М1 / к1 можно выбрать так, что о(а) = а +1, о(/) = / + а.

Доказательство. Ясно, что многочлен g(у) неприводим над к1, а многочлен И(х) неприводим над ь1, поэтому степени расширений ь1/ к1 и М1 / ь1 равны 2, а значит, [М1: к1] = 4. Пусть о— единственный

нетождественный автоморфизм расширения ь1 / к1; тогда о(а) =а+1 , и поэтому

Зрц / к а = а + о(а) = а + (а +1) = 1, о(^а) — 1]_а = ^ =а2 — а.

Поскольку поле М1 получается из поля ь1 присоединением корня / уравнения х2 — х = t2 + г1а, расширение М1/ к1 является по теореме Витта циклическим расширением 4-ой степени, причем М1 = к1 (/), а продолжение автоморфизма о расширения ь1 / к1 на поле М1 можно выбрать так, что о(/) = / + а.

В обозначениях теоремы 2.3 элемент / является корнем не только многочлена И(х), но и многочлена

/(х; tl, t2) = ПЖ(х) = Кх) • о(И(х)),

теОа1(ь1 / к1)

Все коэффициенты которого принадлежат полю к1 = к(1 ^). Укажем явный вид этого многочлена:

9 9 2 2

f (X; /"і, Ґ2) = (X + X + Ґ2 + Ґіа)(X + X + Ґ2 + Ґі + О(а)) = (X + X + Ґ2 + ^а)(X + X + Ґ2 + ґіа + /"і) =

499999 24 2 32

= X + X + Ґ 2 + Ґі а + Ґі X + Ґі X + +ҐіҐ 2 + Ґі а = X + (і + Ґі) X + Ґі X + Ґі + Ґ 2 + Ґі Ґ 2*

Поскольку корень Ь многочлена f(X; ґі, ґ2) порождает расширение Мі / ^і той же степени, что и степень многочлена f (X; Ґі, ґ2), этот многочлен неприводим. Следовательно, все его корни вместе с корнем Ь принадлежат нормальному расширению мі/кі, а потому мі = кі(Ь) - поле разложения f (X; ґі, ґ2), и группа Галуа этого многочлена над полем к (ґі, ґ2) совпадает с группой Галуа расширения мі/ кі, то есть является циклической группой 4-го порядка.

Теорема 2.4. Пусть к - поле характеристики два. Тогда определенный выше многочлен f (X; Ґі, Ґ2) Є к[X, Ґі, Ґ2] является генерирующим для группы С4 над полем к.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Мы уже убедились в том, что группа Галуа многочлена f (X; Ґі, Ґ2) над полем к(Ґі, ґ2) является циклической группой 4-го

порядка. Осталось показать, что если к' - какое-то расширение поля к, а

м'/ к' - циклическое расширение четвертой степени, то существуют такие

элементы а, Ь є к', что м' - поле разложения специализации многочлена

f (X; ґі, ґ2) при ґі = а, ґ2 = Ь.

По теореме 2.2 существуют такие элементы а, Ьє к', а, /Зє м' и

порождающий элемент о группы Галуа расширения м'/к', что

м' = к'(Ь), а2 +а = а, р2 +3 = Ь + аа, о(а) = а +1.

Ясно, что р - корень многочлена Н'(X) = X2 + X+Ь + аа, а значит, и многочлена

f'(X) = Н'(X) ■ о(И'(X)) = (X2 + X + Ь + аа)(X2 + X + Ь + аа + а) = X4 + (і + а)X2 + ax + (а3 + аЬ + Ь2). Следовательно, f'(X) - специализация многочлена f (X; Ґі, Ґ2) при Ґі = а и

Ґ2 = Ь. В частности, это означает, что f'(X) Є к'[X]; поскольку его корень р

порождает расширение м'/ к' той же степени, что и степень многочлена

f'(X), этот многочлен неприводим. Поэтому все корни f'(X) вместе с

корнем / принадлежат нормальному расширению М'/к', и значит, М'=к'(/) — поле разложения многочлена /'(х).

§ 3. Построение генерирующего многочлена для циклической группы 8-го порядка над полем характеристики два

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Используя построение С4 -расширений Галуа поля к характеристики два, будем строить согласно теореме Витта, циклические С8-расширения Галуа.

Пусть к — поле характеристики 2 и пусть сначала М / к — циклическое расширение степени 4. Согласно теореме 2.2, существуют такие элементы а, Ь е к, а е ь, /е М, что а2 +а = а, /2 + / = Ь + а а. При этом ь = к (а), М = к (/), а автоморфизм о, порождающий группу Галуа расширения М / к, можно выбрать так, что о(а) = а +1, о(/) = /+а. Отсюда получаем:

о2 (а) = о(о(а)) = о(а +1) = а +1 +1 = а, о2(/) = о(о(/)) = о(/+а) = (/ + а) + (а +1) = /+1, (о—1)(а/) = (а + 1)(/+а) — а/ = /+а2 + а = / + а.

Следовательно,

Брм /к (а/) = (о2 + 1)(о + 1)(а/) = (о2 +1)(/ + а) = (/ +1 + а) + (/ + а) = 1.

Далее,

(а/)2 — а/ = (а + а)(/ + Ь + аа) — а/ = аЬ + (а 2 + Ь)а + а/ + аа2 + аЬ = аЬ + (а 2 + а + Ь)а + а(/ + а) = аЬ(о — 1)а + (а 2 + а + Ь)(о — 1)/ + а(о — 1)(а/) =

= (о — 1)(аЬа + (а2 + а + Ь)/ + аа/).

По теореме Витта получаем теперь, что для произвольного расширения N / к 8-ой степени, содержащего поле М, существует такой элемент с е к, что поле N получается присоединением к М корня у многочлена g(х) = х2 — х—(с + аЬа+(а2 + а+Ь)/+аа/); при этом N = к(у). Поскольку каждое циклическое расширение N/ к степени 8 содержит подрасширение М / к,

являющееся циклическим расширением 4-ой степени, мы получаем отсюда (используя теорему 2.2) следующую теорему.

Теорема 3.1. Пусть к — поле характеристики 2, N / к — циклическое расширение степени 8. Тогда существуют такие элементы а, Ь, с е к, а, /, уе N, что:

а2 +а = а, /2 +/ = Ь + аа, у2 + у = с + аЬа + (а2 + а + Ь)/ + аа/.

При этом N = к (у), а подполя ь = к (а), М = к (/) поля N имеют над к соответственно степени 2 и 4.

Теорема 3.3. Пусть к = к(^ t2, tз), ь = к1(а), М1 = А/), N1 = М1(у), где а — корень многочлена g(г) = г2 + г + ^ е к1[z], /— корень многочлена

К(у) = у2 + у +12 + t1aе ь1[у], у — корень многочлена р(х) = х2 + х +13 + t1t2a+ + (t12 +11 +12)/ + t1a/еМ 1[х]. Тогда расширение N1/к1 является расширением Галуа, группа Галуа которого является циклической группой 8-го порядка. При этом N1 = к1(у) .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Ясно, что многочлен g(г) неприводим над полем к1 , многочлен К(у) неприводим над ь1 , а многочлен р(х) неприводим над М1, так что [ь1: к1] = [М1: ь1] = [N1: М1] = 2, а значит, тогда, [М1: к1] = 4. По теореме 2.3 расширение М1 / к1 является циклическим расширением степени 4, и можно так выбрать порождающий его группу Галуа автоморфизм о, что о(а) = а +1, о(/) = / + а. Как показано в начале параграфа, тогда:

&м1 / к1 (а/) = 1, (а/)2 —а/ = (о — 1)(tlt2a + (^2 + tl + t2)p + цос/).

Поскольку поле N1 получается из поля М1 присоединением корня у уравнения х2 — х = ^ + ^2а + (t12 + ^ +12)/ + t1a/, расширение N1 / к1 является по теореме Витта циклическим расширением степени 8, причем N1 = к1(у).

Сохраним обозначения теоремы 3.2 до конца параграфа. Элемент у является не только корнем многочлена р(х), но и корнем многочлена

f (X; ґі, Ґ2, Ґ3) = П ОР(X) = Р(X) о(р(X)) ■ о2(р(X)) ■ о3(р(X)),

ОєОаї(Иі /кі)

все коэффициенты которого принадлежат полю кі = к(Ґі, Ґ2, ґ3). Поскольку корень у многочлена f (X; ґі, ґ2, ґ3) порождает расширение N1/ кі той же степени, что и степень самого многочлена, этот многочлен неприводим. Следовательно, все корни f (X; Ґі, Ґ2, ґ3) вместе с корнем у принадлежат

нормальному расширению N1/ кі, а потому, Лі = кі(у) - поле разложения многочлена f (X; ґі, ґ2, ґ3), и группа Галуа этого многочлена над полем к(ґі,ґ2,ґ3) совпадает с группой Галуа расширения N1/кі, т.е. является циклической 8-го порядка.

Теорема 3.3. Пусть к - поле характеристики 2. Тогда определенный выше многочлен f (X; Ґі, Ґ2, Ґ3) Є к[X, Ґі, Ґ2, Ґ3] является генерирующим для группы С8 над полем к.

Доказательство. Докажем второй пункт в определении генерирующего многочлена (первый пункт был доказан выше). Покажем, что если к' - какое-то расширение поля к, а N'/ к' - циклическое расширение степени 8, то существуют такие элементы а, Ь, с Є к', что N' -поле разложения специализации многочлена f (X; Ґі, Ґ2, ґ3) при Ґі = а, Ґ2 = Ь,

Ґ3 = с.

По теореме 3.і существуют элементы а, Ь, с Є к', а', р, у'є Л', такие, что N' = к '(у'), а'2 +а' = а, р'2 +р = Ь + аа', а также у2 +у = с + аЬа'+(а 2 + а + Ь)р'+аа'р'.

Положим Г=к'(а'), м'=Г'(Р'). Каждая из степеней [£': к'], [м': V], [N':м'] не больше 2, а их произведение равно [N': к'] = 8. Поэтому [Гі: кі] = [мі: Гі] = [N1:мі] = 2, и следовательно, м'/к' - расширение степени 4, содержащееся в расширении степени 8. Значит, м'/ к' - циклическое

расширение степени 4. Тогда, по теореме 2.2 образующую а' группы Галуа этого расширения можно выбрать так, что а'(а') = «'+1, а'(р) = р'+а'.

Пусть р - гомоморфизм кольца К[^, г2, ^\ в поле к', тождественный на К и отображающий элементы 1 t2, ^ в а, Ь и с; продолжим его до гомоморфизма из К^ъ t2, tз\[a, р\ в Ы', положив р(а) = а', р(р) = р. Такое определение корректно, так как

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р(а2 +а) = р(^) = а = а'2 +а', р(р2 + Р) = р(t2 + ^а) = Ь + а а' = р2 +р.

Кроме того, ра = а р:

р(а(а)) = р(а +1) = а'+1 = а'(а') = а'(р(а)), р(а(Р)) = р(р+а) = р+а=а (р) = а (р(Р)).

Заметим, что многочлен р'( х) = х2 + х + с + аЬа'+(а2 + а + Ь )р'+а а' р может быть представлен в виде:

р'( х) = р( х2 + х + ц + t1t2a + (t12 + t1 + t2)Р + t1aР) = р( р( х)); поэтому многочлен

/' (х) = П а'1 (р' (х)) = П а'1 (р(р(х)) = рРП а1 (р(х)) 1 = р(/(х; tl, t2, tз))

г=0 г=0 V г=0 )

является специализацией многочлена /(х; 112, t3) при t1 = а, t2 = Ь, Ц = с. В частности, это значит, что /'(х)е К'[х\; поскольку корень у порождает расширение N'/ к' той же степени, что и степень многочлена /'(х), этот многочлен неприводим. Следовательно, все корни /'(х) вместе с корнем у принадлежат нормальному расширению N'/ к', а потому N' = к '(у) - поле разложения /'(х).

Укажем теперь явный вид найденного нами С8-генерирующего многочлена /(X; t1, ^, t3) :

^(X; tl, 12, tз) = X8 + X6^ + X5^ + X4^2 ^ + tl +1зt 1 +12^ +12^ +12 +1 +12tl + ^ \ + X+

+ X 2[^^ + t зt 1 + 12 + 12 tl + 12^ + 12^ + 12tl + ^ + 12 ^ + tl + 12 tl + 12^\ + X [t 2^ + 12tl + t ^t2 +

+ ї 2^1 + ?і + ^і + ї 2^1 + ^і + ї 2їі + ^з^і + ї ^2 ^і ] + + ї 2 їз + ї 2 ^3^1 + ^з^і + їз^і + їз ^1 + їз^і + ї 2 ^3^1 +

+ Ґ 2ҐзҐі2 + Ґ 2 ҐзҐі + Ґ 2Ґ3Ґ12 + Ґ 2Ґ3Ґ1 + Ґ 2 Ґ3Ґ12 + Ґ 2 Ґ3Ґ1 + Ґ 2Ґ3Ґ12 + Ґ3Ґ1 + Ґ 2^ + Ґ 2 + ^ + Ґ 2ї1 + Ґ 2 *1 + Ґ 2*1 +

+ Ґ 2ґ6 + Ґ 2Ґ12 + Ґ 2Ґ19 + Ґ 2Ґ15 + Ґ 2 Ґ12 + Ґ 2ґ6 + Ґ 2Ґ13-

§ 4. Построение генерирующего многочлена для циклической группы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

16-го порядка над полем характеристики два

Используя построения генерирующих многочленов для циклических групп 2-го и 8-го порядков можно построить генерирующий многочлен для циклической группы 16-го порядка. Результатом такого построения являются следующее утверждение.

Теорема 4.1. Пусть *1 = К(Ґ1, ї2, Ґз, іл), А = Кі(а), Мі = Ь/ N1 = Му т1 = N^0), где а — корень многочлена g(г) = г2 + г + ї1 Є К1[г], / - корень многочлена Н(у) = у2 + у + ї2 + ї1ає ь1[у], у — корень многочлена р(х) = х2 + х +

+ ї3 + ї1ї2а+ (ї2 + ї1 + ї2)/ + ї1а/єМ 1[х], 6 — корень многочлена г(х) = х2 + х + ї4 +

+ (їії2їз + їзїі + їі + їі ї2 + ї2 + їі + їії2)а + (ї2їз + ї2^1 + їіїз + їі + їі ї2+ їі їз + їі ї2 + їі + їії2^)/ +

+ (їз + ї2 + ї4 + їі ї 2)у + (їі їз + ї3 ї 2 + їі ї 2 + їз + ї 2 + ї2 + ї2ї 2 + ї 2 )а/ + їі ї 2ау + (ї 2 + їі + ї2 )/у+ аа/у. Тогда расширение т1/ К1 — расширение Г алуа, группа Г алуа которого является циклической группой 16-го порядка. При этом т1 = К1(6).

Как и в предыдущих параграфах, аналогичным образом, устанавливается, что элемент 6 является корнем не только многочлена г(х), а но и корнем многочлена

/(х; їі, ї2, їз, ї2) = П а(Р(х)) = р(х) • а(р(х)) • а2 (р(х)) • а3 (р(х)) • а4 (р(х)),

аєОаї(Мх /К[)

причем его группа Галуа является циклической группой 16-го порядка. Отсюда, по аналогии с доказательством теоремы 3.3, справедлива теорема: Теорема 4.3. Пусть К — поле характеристики два. Тогда определенный выше многочлен /(х; ї1, ї2, ї3, ї4 ) Є К[х, ї1, ї2, ї3, ї4 ] является Сіб-генерирующим многочленом над полем К.

Замечание. Очевидно, согласно нашей конструкции, мы можем построить в неявном виде (и доказать их существование) генерирующие

многочлены для циклических групп порядков 2n (n = 1,2,3, ...) над полем характеристики два, однако нахождение таких многочленов в явном виде слишком громоздко.

Список используемой литературы

1. Dentzer R. Polynomials with cyclic Galois group // Comm. in Algebra. - 1995. -vol. 23. № 4. - p. 1593-1603.

2. Jensen C.U., Ledet A., Yui N. Generic polynomials. - Cambridge, 2002, p. 258.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Kemper G. Das Noethersche Problem und generische Polynome, Dissertation, Universitat Heidelberg, 1994.

4. Miyake K. Linear fractional transformations and cyclic polynomials // Adv. Stud. Contemp. Math. (Pusan). - 1999. - vol. 1. - p. 137 - 142.

5. Nakano S. On generic polynomials of odd degree // Proc. Japan Acad. - 2000. -vol. 76. Ser A.

6. Saltman D. Generic Galois extensions and problem in field theory // Advances in Math. - 1982. - vol. 43. - p. 250 - 283.

7. Schneps L. On cyclic field extensions of degree 8. // Math. Scand. - 1992. - vol. 71. - p. 24 - 30.

8. Smith G.W. Generic cyclic polynomials of odd degree // Comm. Alg. - 1991. -vol. 19. - p. 3367 - 3391.

9. Witt E. Konstruktion von galoisschen Korpern der Characteristik p zu

vorgegebener Gruppe der ordnung pf // Reine Angew. Math. - 1936. - vol. 174. - p. 237 - 245.