CC BY
38
УДК 519.642.8
UDK 519.642.8
ГЕНЕРИРУЮЩИМ МНОГОЧЛЕН ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ 2-ГРУПП НАД ПОЛЯМИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВА
Сергеев Александр Эдуардович к.ф.-м.н, доцент
Кубанский государственный университет,
Краснодар, Россия
В статье построены генерирующие многочлены для циклических групп порядков 4, 8 и16 над полями характеристики два. По указанной конструкции можно получать генерирующие многочлены для любых циклических 2-групп над полями характеристики два. Приводится также обзор известных результатов по генерирующим многочленам для циклических групп
Ключевые слова: ГЕНЕРИРУЮЩИЙ МНОГОЧЛЕН, ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА, ГРУППА ГАЛУА МНОГОЧЛЕНА
GENERIC POLYNOMIALS FOR THE CYCLIC 2-GROUPS OVER FIELDS WITH CHARACTERISTIC TWO
Sergeev Alexander Eduardovich Cand.Phys.-Math.Sci, associate professor Kuban State University,
Krasnodar, Russia
In this article, the generic polynomials for cyclic groups of order 4, 8 and 16 over fields with characteristic two are constructed. With this construction, the generic polynomials for all cyclic 2-groups over fields with characteristic two can be obtained. We also give survey of known results of generic polynomials for the cyclic groups.
Keywords: GENERIC POLYNOMIALS,
CYCLIC GROUP, GALOIS GROUP OF POLYNOMIALS
1. Введение
Пусть K - поле и G - конечная группа. Генерирующий многочлен дает описание расширений Галуа с группой Галуа G.
Напомним определение генерирующего многочлена [3].
Определение 1. (Кемпер). Пусть к - поле и G - конечная группа. Назовем нормированный, сепарабельный многочлен g(t1,..., ґт,X) из кольца к(^,..., tm)[X] генерирующим для группы G над полем к, если выполняются следующие два свойства:
(1) группа Галуа многочлена g (как многочлена от X над полем к(^,..., ^)) есть G;
(2) если ь - бесконечное поле, содержащее к и N / ь - расширение Галуа с группой G, тогда существуют элементы 1,..., 1т є ь, такие, что N является полем разложения многочлена g (1,..., 1т, X) над ь.
В последнее время стала интересна следующая проблема.
Проблема 1. Дана конечная группа G и бесконечное поле K. Существует ли для данной группы G над данными полем K генерирующий многочлен , и если да, построить его в явном виде.
Замечание. 1) Общее описание С8-расширений над полями
характеристики, неравной 2, содержащими элемент V2 было дано в [7]. В частности, если элемент V2 є K, то многочлен
л 4
X8 -8sX6 + 20s2X4 - 16s3X2 +—^— является
t2 +1
генерирующим многочленом для циклической группы C8 над полем K , характеристики неравной 2.
С другой стороны, Saltman доказал, что не существует генерирующего многочлена для группы Сп над полем Q, если 81 n [6].
2) Для циклической группы нечетного порядка и поля K, содержащего элемент Z +1/Z, где Z - первообразный корень n -ой степени из единицы, Miyake построил генерирующий многочлен [4].
3) Smith [8] и Dentzer [1], независимо друг от друга, построили генерирующие многочлены для циклических групп нечетных порядков над полем Q.
4) Используя конструкцию Cohen’a, Nakano построил генерирующий многочлен для циклических групп нечетных порядков над полем K характеристики p, p ф 2 [5].
5) Над полем K характеристики p, p ф 2, известно, что существует генерирующий многочлен от n параметров для циклических групп Cpn ,
однако в явном виде они не построены даже для маленьких p и n [2].
В данной работе строятся генерирующие многочлены для циклических групп порядков 4, 8 и 16 над полями характеристики 2.
§ 2. Построение генерирующего многочлена для циклической группы 4-го порядка над полем характеристики два
Сформулируем теорему Витта о циклических расширениях [9].
Теорема 2.1. (Витт). Пусть р — простое число, к — поле характеристики р, ь/к — циклическое расширение степени рг—1 (/ > 1). Обозначим через о — порождающий элемент циклической группы Галуа расширения ь / к. Тогда, существуют такие элементы 8, уе ь, что $рь/к8 = 1, о(у) — у=8р — 8. Для любого ие к поле М, полученное присоединением к ь корня в уравнения хр — х = и + у, является расширением Галуа поля к с циклической группой Галуа порядка рг, и так может быть получено любое циклическое расширение степени рг, содержащее поле ь. При этом М = к (в). Продолжение автоморфизма о поля ь на поле М можно выбрать так, что о(в) = в+8.
Для С4 -расширений Г алуа теорема Витта дает следующие результаты.
Теорема 2.2. Пусть к — поле характеристики 2, М / к — циклическое расширение степени 4, ь з к — квадратичное над к подполе М. Тогда существуют такие элементы а, Ь е к, ае ь, /Зе М, что выполняются равенства: а2 +а = а, /З2 +З = Ь + а а. При этом ь = к (а), М = к (З), а
автоморфизм о, порождающий группу Галуа расширения М / к, можно выбрать так, что о(а) = а +1, о(/) = / + а.
Доказательство. Квадратичное расширение ь /к, как и любое квадратичное расширение поля характеристики 2, получается присоединением к к элемента а, такого что а2 +а= а, где а — некоторый элемент из к. Обозначим через о единственный нетождественный автоморфизм расширения ь / к; тогда, как известно, о(а) = а +1. Имеем:
2
Брь / ка = а + о(а) = а + (а +1) = 1, о(аа) — аа = а = а —а.
Поэтому, по теореме Витта существует такой элемент Ь е к, что поле М получается присоединением к ь корня уравнения х2 + х = Ь + аа, причем М = к(/), и автоморфизм о расширения ь / к можно так продолжить на расширение М / к, что о(/) = / + а.
Теорема 2.3. Пусть к1 = к(1 г2) — поле рациональных функций от независимых переменных г1, г2, ь1 = к1(а), М1 = ь1(/), где а — корень многочлена g(у) = у2 + у + ц е к1[у], а / — корень многочлена
К(х) = х2 + х +12 + ае ь1[х]. Тогда М1 / к1 — расширение Галуа с циклической группой 4-го порядка. При этом, М1 = к1(/), а образующую о группы Галуа расширения М1 / к1 можно выбрать так, что о(а) = а +1, о(/) = / + а.
Доказательство. Ясно, что многочлен g(у) неприводим над к1, а многочлен И(х) неприводим над ь1, поэтому степени расширений ь1/ к1 и М1 / ь1 равны 2, а значит, [М1: к1] = 4. Пусть о— единственный
нетождественный автоморфизм расширения ь1 / к1; тогда о(а) =а+1 , и поэтому
Зрц / к а = а + о(а) = а + (а +1) = 1, о(^а) — 1]_а = ^ =а2 — а.
Поскольку поле М1 получается из поля ь1 присоединением корня / уравнения х2 — х = t2 + г1а, расширение М1/ к1 является по теореме Витта циклическим расширением 4-ой степени, причем М1 = к1 (/), а продолжение автоморфизма о расширения ь1 / к1 на поле М1 можно выбрать так, что о(/) = / + а.
В обозначениях теоремы 2.3 элемент / является корнем не только многочлена И(х), но и многочлена
/(х; tl, t2) = ПЖ(х) = Кх) • о(И(х)),
теОа1(ь1 / к1)
Все коэффициенты которого принадлежат полю к1 = к(1 ^). Укажем явный вид этого многочлена:
9 9 2 2
f (X; /"і, Ґ2) = (X + X + Ґ2 + Ґіа)(X + X + Ґ2 + Ґі + О(а)) = (X + X + Ґ2 + ^а)(X + X + Ґ2 + ґіа + /"і) =
499999 24 2 32
= X + X + Ґ 2 + Ґі а + Ґі X + Ґі X + +ҐіҐ 2 + Ґі а = X + (і + Ґі) X + Ґі X + Ґі + Ґ 2 + Ґі Ґ 2*
Поскольку корень Ь многочлена f(X; ґі, ґ2) порождает расширение Мі / ^і той же степени, что и степень многочлена f (X; Ґі, ґ2), этот многочлен неприводим. Следовательно, все его корни вместе с корнем Ь принадлежат нормальному расширению мі/кі, а потому мі = кі(Ь) - поле разложения f (X; ґі, ґ2), и группа Галуа этого многочлена над полем к (ґі, ґ2) совпадает с группой Галуа расширения мі/ кі, то есть является циклической группой 4-го порядка.
Теорема 2.4. Пусть к - поле характеристики два. Тогда определенный выше многочлен f (X; Ґі, Ґ2) Є к[X, Ґі, Ґ2] является генерирующим для группы С4 над полем к.
Доказательство. Мы уже убедились в том, что группа Галуа многочлена f (X; Ґі, Ґ2) над полем к(Ґі, ґ2) является циклической группой 4-го
порядка. Осталось показать, что если к' - какое-то расширение поля к, а
м'/ к' - циклическое расширение четвертой степени, то существуют такие
элементы а, Ь є к', что м' - поле разложения специализации многочлена
f (X; ґі, ґ2) при ґі = а, ґ2 = Ь.
По теореме 2.2 существуют такие элементы а, Ьє к', а, /Зє м' и
порождающий элемент о группы Галуа расширения м'/к', что
м' = к'(Ь), а2 +а = а, р2 +3 = Ь + аа, о(а) = а +1.
Ясно, что р - корень многочлена Н'(X) = X2 + X+Ь + аа, а значит, и многочлена
f'(X) = Н'(X) ■ о(И'(X)) = (X2 + X + Ь + аа)(X2 + X + Ь + аа + а) = X4 + (і + а)X2 + ax + (а3 + аЬ + Ь2). Следовательно, f'(X) - специализация многочлена f (X; Ґі, Ґ2) при Ґі = а и
Ґ2 = Ь. В частности, это означает, что f'(X) Є к'[X]; поскольку его корень р
порождает расширение м'/ к' той же степени, что и степень многочлена
f'(X), этот многочлен неприводим. Поэтому все корни f'(X) вместе с
корнем / принадлежат нормальному расширению М'/к', и значит, М'=к'(/) — поле разложения многочлена /'(х).
§ 3. Построение генерирующего многочлена для циклической группы 8-го порядка над полем характеристики два
Используя построение С4 -расширений Галуа поля к характеристики два, будем строить согласно теореме Витта, циклические С8-расширения Галуа.
Пусть к — поле характеристики 2 и пусть сначала М / к — циклическое расширение степени 4. Согласно теореме 2.2, существуют такие элементы а, Ь е к, а е ь, /е М, что а2 +а = а, /2 + / = Ь + а а. При этом ь = к (а), М = к (/), а автоморфизм о, порождающий группу Галуа расширения М / к, можно выбрать так, что о(а) = а +1, о(/) = /+а. Отсюда получаем:
о2 (а) = о(о(а)) = о(а +1) = а +1 +1 = а, о2(/) = о(о(/)) = о(/+а) = (/ + а) + (а +1) = /+1, (о—1)(а/) = (а + 1)(/+а) — а/ = /+а2 + а = / + а.
Следовательно,
Брм /к (а/) = (о2 + 1)(о + 1)(а/) = (о2 +1)(/ + а) = (/ +1 + а) + (/ + а) = 1.
Далее,
(а/)2 — а/ = (а + а)(/ + Ь + аа) — а/ = аЬ + (а 2 + Ь)а + а/ + аа2 + аЬ = аЬ + (а 2 + а + Ь)а + а(/ + а) = аЬ(о — 1)а + (а 2 + а + Ь)(о — 1)/ + а(о — 1)(а/) =
= (о — 1)(аЬа + (а2 + а + Ь)/ + аа/).
По теореме Витта получаем теперь, что для произвольного расширения N / к 8-ой степени, содержащего поле М, существует такой элемент с е к, что поле N получается присоединением к М корня у многочлена g(х) = х2 — х—(с + аЬа+(а2 + а+Ь)/+аа/); при этом N = к(у). Поскольку каждое циклическое расширение N/ к степени 8 содержит подрасширение М / к,
являющееся циклическим расширением 4-ой степени, мы получаем отсюда (используя теорему 2.2) следующую теорему.
Теорема 3.1. Пусть к — поле характеристики 2, N / к — циклическое расширение степени 8. Тогда существуют такие элементы а, Ь, с е к, а, /, уе N, что:
а2 +а = а, /2 +/ = Ь + аа, у2 + у = с + аЬа + (а2 + а + Ь)/ + аа/.
При этом N = к (у), а подполя ь = к (а), М = к (/) поля N имеют над к соответственно степени 2 и 4.
Теорема 3.3. Пусть к = к(^ t2, tз), ь = к1(а), М1 = А/), N1 = М1(у), где а — корень многочлена g(г) = г2 + г + ^ е к1[z], /— корень многочлена
К(у) = у2 + у +12 + t1aе ь1[у], у — корень многочлена р(х) = х2 + х +13 + t1t2a+ + (t12 +11 +12)/ + t1a/еМ 1[х]. Тогда расширение N1/к1 является расширением Галуа, группа Галуа которого является циклической группой 8-го порядка. При этом N1 = к1(у) .
Доказательство. Ясно, что многочлен g(г) неприводим над полем к1 , многочлен К(у) неприводим над ь1 , а многочлен р(х) неприводим над М1, так что [ь1: к1] = [М1: ь1] = [N1: М1] = 2, а значит, тогда, [М1: к1] = 4. По теореме 2.3 расширение М1 / к1 является циклическим расширением степени 4, и можно так выбрать порождающий его группу Галуа автоморфизм о, что о(а) = а +1, о(/) = / + а. Как показано в начале параграфа, тогда:
&м1 / к1 (а/) = 1, (а/)2 —а/ = (о — 1)(tlt2a + (^2 + tl + t2)p + цос/).
Поскольку поле N1 получается из поля М1 присоединением корня у уравнения х2 — х = ^ + ^2а + (t12 + ^ +12)/ + t1a/, расширение N1 / к1 является по теореме Витта циклическим расширением степени 8, причем N1 = к1(у).
Сохраним обозначения теоремы 3.2 до конца параграфа. Элемент у является не только корнем многочлена р(х), но и корнем многочлена
f (X; ґі, Ґ2, Ґ3) = П ОР(X) = Р(X) о(р(X)) ■ о2(р(X)) ■ о3(р(X)),
ОєОаї(Иі /кі)
все коэффициенты которого принадлежат полю кі = к(Ґі, Ґ2, ґ3). Поскольку корень у многочлена f (X; ґі, ґ2, ґ3) порождает расширение N1/ кі той же степени, что и степень самого многочлена, этот многочлен неприводим. Следовательно, все корни f (X; Ґі, Ґ2, ґ3) вместе с корнем у принадлежат
нормальному расширению N1/ кі, а потому, Лі = кі(у) - поле разложения многочлена f (X; ґі, ґ2, ґ3), и группа Галуа этого многочлена над полем к(ґі,ґ2,ґ3) совпадает с группой Галуа расширения N1/кі, т.е. является циклической 8-го порядка.
Теорема 3.3. Пусть к - поле характеристики 2. Тогда определенный выше многочлен f (X; Ґі, Ґ2, Ґ3) Є к[X, Ґі, Ґ2, Ґ3] является генерирующим для группы С8 над полем к.
Доказательство. Докажем второй пункт в определении генерирующего многочлена (первый пункт был доказан выше). Покажем, что если к' - какое-то расширение поля к, а N'/ к' - циклическое расширение степени 8, то существуют такие элементы а, Ь, с Є к', что N' -поле разложения специализации многочлена f (X; Ґі, Ґ2, ґ3) при Ґі = а, Ґ2 = Ь,
Ґ3 = с.
По теореме 3.і существуют элементы а, Ь, с Є к', а', р, у'є Л', такие, что N' = к '(у'), а'2 +а' = а, р'2 +р = Ь + аа', а также у2 +у = с + аЬа'+(а 2 + а + Ь)р'+аа'р'.
Положим Г=к'(а'), м'=Г'(Р'). Каждая из степеней [£': к'], [м': V], [N':м'] не больше 2, а их произведение равно [N': к'] = 8. Поэтому [Гі: кі] = [мі: Гі] = [N1:мі] = 2, и следовательно, м'/к' - расширение степени 4, содержащееся в расширении степени 8. Значит, м'/ к' - циклическое
расширение степени 4. Тогда, по теореме 2.2 образующую а' группы Галуа этого расширения можно выбрать так, что а'(а') = «'+1, а'(р) = р'+а'.
Пусть р - гомоморфизм кольца К[^, г2, ^\ в поле к', тождественный на К и отображающий элементы 1 t2, ^ в а, Ь и с; продолжим его до гомоморфизма из К^ъ t2, tз\[a, р\ в Ы', положив р(а) = а', р(р) = р. Такое определение корректно, так как
р(а2 +а) = р(^) = а = а'2 +а', р(р2 + Р) = р(t2 + ^а) = Ь + а а' = р2 +р.
Кроме того, ра = а р:
р(а(а)) = р(а +1) = а'+1 = а'(а') = а'(р(а)), р(а(Р)) = р(р+а) = р+а=а (р) = а (р(Р)).
Заметим, что многочлен р'( х) = х2 + х + с + аЬа'+(а2 + а + Ь )р'+а а' р может быть представлен в виде:
р'( х) = р( х2 + х + ц + t1t2a + (t12 + t1 + t2)Р + t1aР) = р( р( х)); поэтому многочлен
/' (х) = П а'1 (р' (х)) = П а'1 (р(р(х)) = рРП а1 (р(х)) 1 = р(/(х; tl, t2, tз))
г=0 г=0 V г=0 )
является специализацией многочлена /(х; 112, t3) при t1 = а, t2 = Ь, Ц = с. В частности, это значит, что /'(х)е К'[х\; поскольку корень у порождает расширение N'/ к' той же степени, что и степень многочлена /'(х), этот многочлен неприводим. Следовательно, все корни /'(х) вместе с корнем у принадлежат нормальному расширению N'/ к', а потому N' = к '(у) - поле разложения /'(х).
Укажем теперь явный вид найденного нами С8-генерирующего многочлена /(X; t1, ^, t3) :
^(X; tl, 12, tз) = X8 + X6^ + X5^ + X4^2 ^ + tl +1зt 1 +12^ +12^ +12 +1 +12tl + ^ \ + X+
+ X 2[^^ + t зt 1 + 12 + 12 tl + 12^ + 12^ + 12tl + ^ + 12 ^ + tl + 12 tl + 12^\ + X [t 2^ + 12tl + t ^t2 +
+ ї 2^1 + ?і + ^і + ї 2^1 + ^і + ї 2їі + ^з^і + ї ^2 ^і ] + + ї 2 їз + ї 2 ^3^1 + ^з^і + їз^і + їз ^1 + їз^і + ї 2 ^3^1 +
+ Ґ 2ҐзҐі2 + Ґ 2 ҐзҐі + Ґ 2Ґ3Ґ12 + Ґ 2Ґ3Ґ1 + Ґ 2 Ґ3Ґ12 + Ґ 2 Ґ3Ґ1 + Ґ 2Ґ3Ґ12 + Ґ3Ґ1 + Ґ 2^ + Ґ 2 + ^ + Ґ 2ї1 + Ґ 2 *1 + Ґ 2*1 +
+ Ґ 2ґ6 + Ґ 2Ґ12 + Ґ 2Ґ19 + Ґ 2Ґ15 + Ґ 2 Ґ12 + Ґ 2ґ6 + Ґ 2Ґ13-
§ 4. Построение генерирующего многочлена для циклической группы
16-го порядка над полем характеристики два
Используя построения генерирующих многочленов для циклических групп 2-го и 8-го порядков можно построить генерирующий многочлен для циклической группы 16-го порядка. Результатом такого построения являются следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть *1 = К(Ґ1, ї2, Ґз, іл), А = Кі(а), Мі = Ь/ N1 = Му т1 = N^0), где а — корень многочлена g(г) = г2 + г + ї1 Є К1[г], / - корень многочлена Н(у) = у2 + у + ї2 + ї1ає ь1[у], у — корень многочлена р(х) = х2 + х +
+ ї3 + ї1ї2а+ (ї2 + ї1 + ї2)/ + ї1а/єМ 1[х], 6 — корень многочлена г(х) = х2 + х + ї4 +
+ (їії2їз + їзїі + їі + їі ї2 + ї2 + їі + їії2)а + (ї2їз + ї2^1 + їіїз + їі + їі ї2+ їі їз + їі ї2 + їі + їії2^)/ +
+ (їз + ї2 + ї4 + їі ї 2)у + (їі їз + ї3 ї 2 + їі ї 2 + їз + ї 2 + ї2 + ї2ї 2 + ї 2 )а/ + їі ї 2ау + (ї 2 + їі + ї2 )/у+ аа/у. Тогда расширение т1/ К1 — расширение Г алуа, группа Г алуа которого является циклической группой 16-го порядка. При этом т1 = К1(6).
Как и в предыдущих параграфах, аналогичным образом, устанавливается, что элемент 6 является корнем не только многочлена г(х), а но и корнем многочлена
/(х; їі, ї2, їз, ї2) = П а(Р(х)) = р(х) • а(р(х)) • а2 (р(х)) • а3 (р(х)) • а4 (р(х)),
аєОаї(Мх /К[)
причем его группа Галуа является циклической группой 16-го порядка. Отсюда, по аналогии с доказательством теоремы 3.3, справедлива теорема: Теорема 4.3. Пусть К — поле характеристики два. Тогда определенный выше многочлен /(х; ї1, ї2, ї3, ї4 ) Є К[х, ї1, ї2, ї3, ї4 ] является Сіб-генерирующим многочленом над полем К.
Замечание. Очевидно, согласно нашей конструкции, мы можем построить в неявном виде (и доказать их существование) генерирующие
многочлены для циклических групп порядков 2n (n = 1,2,3, ...) над полем характеристики два, однако нахождение таких многочленов в явном виде слишком громоздко.
Список используемой литературы
1. Dentzer R. Polynomials with cyclic Galois group // Comm. in Algebra. - 1995. -vol. 23. № 4. - p. 1593-1603.
2. Jensen C.U., Ledet A., Yui N. Generic polynomials. - Cambridge, 2002, p. 258.
3. Kemper G. Das Noethersche Problem und generische Polynome, Dissertation, Universitat Heidelberg, 1994.
4. Miyake K. Linear fractional transformations and cyclic polynomials // Adv. Stud. Contemp. Math. (Pusan). - 1999. - vol. 1. - p. 137 - 142.
5. Nakano S. On generic polynomials of odd degree // Proc. Japan Acad. - 2000. -vol. 76. Ser A.
6. Saltman D. Generic Galois extensions and problem in field theory // Advances in Math. - 1982. - vol. 43. - p. 250 - 283.
7. Schneps L. On cyclic field extensions of degree 8. // Math. Scand. - 1992. - vol. 71. - p. 24 - 30.
8. Smith G.W. Generic cyclic polynomials of odd degree // Comm. Alg. - 1991. -vol. 19. - p. 3367 - 3391.
9. Witt E. Konstruktion von galoisschen Korpern der Characteristik p zu
vorgegebener Gruppe der ordnung pf // Reine Angew. Math. - 1936. - vol. 174. - p. 237 - 245.
