Циклические расширения 4 и 8-й степеней над полями характеристики два Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.4

ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 4 И 8-Й СТЕПЕНЕЙ НАД ПОЛЯМИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВА

© 2004 г. А.Э. Сергеев

In this article considered cyclic extensions degree four and eight over fields with characteristic two. Also generic polynomials for C4 and Cg as Galois groups are constructed.

Введение. Пусть K - поле характеристики p и L/K -циклическое расширение степени p- (f >1), тогда, по теореме Витта, существует циклическое расширение N/K степени pf содержащее расширение L/K [1].

В случае charK=0 или ÆarK=q, q Ф p = char K, известно, что не всякое циклическое расширение L/K f-i

степени q погружаемо в циклическое расширение N/K степени qf над K.

Сформулируем две общие теоремы, связанные с р-расширениями над полями характеристики p.

Теорема 1 (Витт). Пусть L/K - циклическое расширение степени pf_1, где f > 1. Тогда каждое циклическое расширение N/K степени pf, содержащее поле L, может быть получено следующим путем:

(A) Берем порождающий автоморфизм s группы Галуа расширения L/K;

(B) Берем некоторый элемент X ф 0 из простого подполя поля K;

(C) Пусть 5 - корень уравнения SpS = %, где Sp -след относительно расширения L/K.

(Д) Пусть у - некоторое решение уравнения (s - 1)у = = 5Р - 5 и 9 означает корень уравнения xp - x = у, тогда N = K(9) - искомое циклическое расширение. Все

f

другие циклические расширения степени p получим, если будем заменять у на у + г, где r пробегает ненулевые элементы из поля K, т.е. рассматриваем корни уравнений xp - x = у + r.

Следующая теорема принадлежит Гашуцу [2].

Теорема 2 (Гашуц). Пусть K - поле характеристики p, G - конечная p- группа, изоморфная некоторой подгруппе группы GL(n, K), и действующая линейными подстановками переменных на элементы чисто трансцендентного поля M=K(xb ... , xn). Тогда поле неподвижных элементов MG есть чисто трансцендентное расширение поля K.

Пусть G - конечная группа, K - поле. Важным понятием в теории Галуа является понятие G-генерирующего полинома над полем K [3].

Определение 1 (Кемпер). Пусть K - поле и G -конечная группа. Назовем нормированный, сепарабельный полином g(ti, ... , tm, X) є K(ti, ... , tm)[X] генерирующим для группы G над K, если выполняются следующие два свойства:

(1) Группа Галуа полинома g (как полинома от X над K(t1, . , tm)) есть G,.

(2) Если L - бесконечное поле, содержащее K, и N/L - расширение Галуа с группой G, тогда существуют такие Х1, ... , Xm є L, что N является полем расщепления полинома g(X1, ... , Xm, X) над L.

Полиномы, параметризующие все G-расширения поля K были исследованы в [4]. Не всегда полином, параметризующий все G-расширения поля K, яаляет-ся генерирующим полиномом. В частности, в [4] получен полином, параметризующий все С8-расширения над Q, однако не являющийся генерирующим (для группы С8 Ленстра доказал, что не существует генерирующего полинома над Q [5]).

Теорема 1 позволяет по крайней мере теоретически параметризовать все циклические pf расширения поля K характеристики p, если над полем K существует циклическое расширение степени p.

Теорема 2 гарантирует существование в этих слу-

f

чаях генерирующих полиномов степени p над произвольным бесконечным полем ввиду справедливости следующей теоремы [6] :

Теорема 3. Пусть G действует точно на конечное множество независимых переменных x1, ... , xn;, k -бесконечное поле. Если k(x1, ... , xn)G - рационально над k, тогда существует генерирующий полином для группы G над k.

Замечание 1. Рациональность поля k(x1, ... , xn)G над k в литературе известна как проблема Эмми Нетер, которая поставила ее в 1897 г. [7]. До сих пор нет полного ответа на эту проблему. Имеются лишь частичные ответы на нее для отдельных групп [5, 8-11].

Если поле K = Zp(t), то с помощью векторов Витта

~ 2 можно построить генерирующий полином степени p

над полем Zp(t) [12].

Целью работы является эффективное решение указанных вопросов для циклических С4 и С8 расширений над полем К характеристики два.

В работе явным образом построены С4 и С8 - генерирующие полиномы над полями характеристики два

Циклические расширения 4-й степени над полями характеристики два. Для С4-расширений Галуа справедлива следующая теорема [13]:

Теорема 4. Пусть charK = 2 и K2 = K(a), K4 = =K2(P), где a2+a=s, Р2+Р= a+ba, причем s, a, b є K и степени [К2:К]=2, [К4:К]=4. Тогда поле К4 есть циклическое расширение Галуа над K степени 4 тогда и только тогда, когда след Tr поля К2 над К элемента a+ba имеет вид: Tr(a+ba)=b=s z2+z, для некоторого элемента zєK.

Дадим новое доказательство теоремы 4 и выведем с его помощью новые утверждения о С4-расширениях Галуа поля К. На базе этого исследования рассмотрим С8-расширения Галуа поля К.

Пусть К - поле, charK=2 и N/L - циклическое расширение степени четыре с группой Галуа Gal(N/K) = = (ст, ст2, ст3, ст4= i} = G. Тогда H={id, ст2} - подгруппа группы G, которой соответствует при соответствии

Галуа поле Ь. Имеем N з Ь з К, причем [№ Ь] = [Ь : К]=2. Тогда, как известно, существуют такие элементы аеЬ, P6N, что Ь=К(а), N=Ь(P) и а - корень неприводимого над K полинома ^=х2+х+ееК[х], а р -корень неприводимого над L полинома :1:2=х2+х+а+ЬаеЬ[х], где а, ЪеК. Можно заметить, что Ъ^0, ибо в противоположном случае (Ь=0) мы бы получили, что N есть С2хС2 - расширение Галуа. Полином ^ имеет корни а и а+1, а ^ - р и р+1, следовательно, ст(а)=а+1; кроме того, р2+р=а+Ъа, Ъ^0, и значит, а выражается через р над К, отсюда №К(Р). Имеем,

ст(12)=х2+х+а+Ьст(а)=х2+х+а+Ьст(а)=х2+х+а+Ьа+Ь. Пусть далее: f=f2•стf2=(x2+x+a+bа)(x2+x+a+bа+b) =х4+(1+Ь)х2+

+ Ьх+Ь2е +а2+Ьа.

Таким образом, полином feK[x], причем Д р+1 -одни из его корней. Полином f нормален над K, поэтому два других корня выражаются через Д. Они должны иметь вид у=Лр+Б, где Л, БеК(а). Так как ст^(у)=0, то

(Лр+Б)2+(Лр+Б)+а+Ьа+Ь = 0, откуда А2р2+Б2+Лр+Б+а+Ьа+Ь=0, и значит, А2(Р+ +а+Ьа)+Б2+Лр+Б+а+Ьа+Ь=0, следовательно:

(А2+А)Р+Л2(а+Ьа)+Б2+Б+а+Ьа+Ь=0. (1)

Из (1) ввиду линейной независимости элементов 1, в над К(а) имеем Л2+Л=0, т.е.

Л(Л+1) = 0. (2)

Из (2) вытекает: или Л=0 (что невозможно, так как полином f неприводим на полем К) или Л=1, следовательно, А=1. Тогда из (1) имеем а+Ьа+Б2+Б+а+Ьа+ +Ь=0, следовательно

Б2+Б+Ь=0. (3)

Пусть Б=т+па, (т, пеК), тогда из (3) получаем: (т+па)2+(т+па)+Ь=0, следовательно, т2+п2а2+т+па+Ь=0, так как а2=а+е, то (п2+п)а+т2+п2е+т+Ь=0. (4)

Из (4) имеем п2+п=0, следовательно, п=1 (так как п=0 ведет к противоречию ввиду того, что при п=0 имеем Б=теК, т.е. у=р+т, тогда ст(р)=р+т, или ст(Р)=Р+т+1, но в обоих случаях ст2(Р)=ст(стР)=Р, т.е. ст2=id - противоречие). Из (4) при п =1 получаем: т2+т+е=Ь. Таким образом, имеем:у=Лр+Б=р + Б = р+ + (т + па) = р + а + т.

Если далее ст(Р) = р + а + т, то ст2(Р)=ст(ст(Р))=Р+1, ст3(Р)=р+т+а+1, ст4(Р)=Р, т.е. ст4^. Аналогичное соотношение ст4=id получаем, полагая ст(Р)=р+а+т+1.

Верно и обратное: если Ь=т2+т+е (т, е е К) и полиномы ^=х2+х+е, и

f=x4+(1+b)x2+bx+b26+а2+bа (5)

оба неприводимы над К, то группа Галуа полинома f над К есть циклическая группа 4-го порядка С4.

Действительно пусть а - какой-нибудь корень полинома ^=х2+х+е е К[х], тогда а+1 - другой его корень. Полином f из (5) расщепляется над полем К(а) в произведение неприводимых множителей следующим образом:

f = f21) • f22) =(х2 + х + а + Ь6)х2 + х + Ь6 + Ь + а).

Пусть р — какой-нибудь корень полинома , тогда р+1 — другой его корень, а р+ш+а+1, р+ш+а —

(2) 2 корни полинома f^ . Ясно, что р +р=а+Ьа и поэтому

все корни полинома f выражаются через р над полем K, следовательно, К(р)/К — нормальное, сепарабельное расширение 4-й степени поля K.

Если ст(р)=р+ш+а, тогда ст(а)=а+1 и ст є Gal(N/K), где N=K(P) — поле расщепления полинома f над K. Имеем:ст2(р)=ст(ст(р))=ст(р+ш+а)=ст(р)+ст(ш)+ст(а)=р+ ш+а+ш+а+1=р+1, ст3(р)=ст(ст2(р))=ст(р)+ст(1)=р+ш+

+а+1, ст4(р)=ст(ст3(р))=р, т.е. порядок автоморфизма ст равен четырем.

Таким образом, справедлива теорема:

Теорема 5. Пусть K — поле характеристики два, є є К и полином fj = x2+ x+є — неприводим над K; шєК и Ь=ш2+ш+є. Полином f вида (5) неприводим над K. Тогда группа Галуа полинома f над K есть циклическая группа четвертого порядка. Все циклические расширения поля K степени четыре можно получить как поля расщеплений полиномов f вида (5) при соответствующих специализациях є, m, ає К.

Докажем, что полином f вида (5) является С4-генерирующим полиномом над полем K = Z2(t).

Теорема 6. Пусть поле K=Z2(t). Тогда полином f=x4+(1+b)x2+bx+b^+a2+ba, где а, є, m — параметры и Ь=ш2+ш+є является С4-генерирующим полиномом над полем K.

Доказательство Пусть а, є, m — алгебраически независимые, трансцендентные над K элементы и поле К1=К(а, є, ш). Тогда полином f вида (5) при Ь=ш2+ш+є имеет циклическую группу C4 над полем К1.

Очевидно, что полином f1=x2+x+e — неприводим над полем К1 (ввиду алгебраической независимости параметров а, є, m над K). Пусть а — один из корней полинома f1, тогда а + 1 — другой его корень. Полином f вида (5) также неприводим над К1, так как при специализации а=1; є=1; ш=1, имеем b=1 и при этих значениях f =x4+x+1 — неприводим над Z2.

Пусть р— один из корней полинома f, тогда Д р+1, р+а+ш, р+а+ш+1 — все корни полинома f, и значит, это нормальный полином. К1-автоморфизм ст поля К1(р), действующий по правилу ст(р) = р+а+ш, имеет порядок четыре. Таким образом, первый пункт определения генерирующего полинома (см. выше) доказан.

Докажем, что выполняется второй пункт этого определения.

Пусть KcMcN и N/M — циклическое расширение степени 4, пусть также McLcN, причем [L : M] = [N : L] = 2. Тогда, как показывает доказательство теоремы 6 (см. выше), существует такой ео єM, что L=M( б о ),

где б о — один из корней полинома f=x2+ )x+ е 0 и существует такой в о є^ что N= ( в о), где в о — один из корней полинома f^x^x+ао + Ьо6о , для некоторых ао, Ьо є L, причем Ьо = шо + шо + ео , для некоторого шо є M. Следовательно, поле N является по-

лем расщепления над М полинома

4 2 2 2

^ = х +(1+Ь0)х + Ь0х+Ь0е0 + а0 + a0b0 .

Циклические расширения 8-й степени над полями характеристики два. Используя построение С4-расширений Галуа поля К характеристики два, мы будем строить, согласно теореме 1, циклические С8-расширения Галуа.

Пусть М/К - циклическое С8-расширение и группа Галуа Оа1(М/К)=<х>=(х, т2, т3, т4, т5, т6, т7, т8 = id}=G. Группа Галуа G содержит подгруппу Н4=^, т2, т4, т6} 4-го порядка и подгруппу Н2=^, т4} 2-го порядка. Пусть поля N и L - поля неподвижных элементов

н

для групп Н2 и Н4 соответственно, т.е. N = М 2,

н

Ь = М 4 . Следовательно, имеем башню полей: KcЬcNcM,

где [Ь : К] = [Ы : Ь] = [М : N = 2 и N/K - циклическое расширение четвертой степени с группой Галуа Ga1(N/K) = < ст > = {ст, ст2, ст3, ст4 = id}. Тогда в предыдущих обозначениях существуют такие аеЬ, Ре^ 9еМ, что Ь=К(а), ^Ь(Р), M=N(9). Элемент а - корень полинома ^=х2+х+е еК[х], а р - корень полинома f вида (5), для которого b=m2+m+6 (те К), и p2+p=a+bа, аеК.

Найдем полином второй степени ^еЩх], корнем которого является 9, используя С4-циклическое расширение N/K и теорему 1.

Так как должны выполняться соотношения т2(а)=а и т4(Р)=Р, то т(а)=а+1, т(р)=р+а+т, поэтому т(а)=ст(а), т(Р)=ст(Р). Можно считать, что поле 22 содержится в поле К, и поэтому, согласно пункту (Б) теоремы 1, х=1.

Найдем след 8р элемента ар относительно расширения МК. Имеем:

8р(бв) = бв + у(бв) + у 2 (бв) + у 3(бв) = бв + (б + 1)х. х (б + в + т) + б(в +1) + (б + 1)(б + в + т +1) = 1. Следовательно, в качестве элемента 5 в конструкции Витта (пункт (С) теоремы 1) можно взять 5=ар.

Пусть далее (согласно пункту (Б) теоремы Витта): г = d0 + d1б + d2в + d3бв, где dvеK. Тогда имеем:

ст(у^^1(а+1^2(а+р+т^3(а+1)(а+р+т)= =d0+dl+d2m)+(dl+d2)а+d2p+dз(аp+аm+а2+p+m+а)= =d0+dl+d2m)+d3(е+m)+(dl+d2+d3m)а+(d2+d3)p+d3аp. Отсюда вытекает следующее равенство: ст(y)-y=(d1+d2m+d3(6+m))+(d2+d3m)a+d3p.

Кроме того:

52-5=(aP)2-aP=(a+е)(P+a+ba)-aP=(a+еb+b)a+еP+bе+

+еа.

Таким образом, уравнение ст(у)-у=52-5 имеет следующий вид:

(d1+d2m+d3(6+m))+(d2+d3m)a+d3p=(а+6b+b)a+6p+ +bе+еa. (6)

Из (6) ввиду линейной независимости элементов 1, а, в над полем К имеем систему: d1 + d2m + d3(е + т) = bе + аее

d2 + d3m = а + bе + Ь , dз = е

из которой

d3=s, d2=a+eb+b+em, di=M(a+8B+b+8+8M)+8a+eb+ є2.

Таким образом, уравнение x2+x=y имеет вид: x2+x=do+(ma+mєb+mb+mє+m2є+єa+єb+є2)a+(a+єb+ +єm+b)ß+єaß. (7)

Если теперь 9 - корень уравнения (7), то по теореме 1, поле К(в) - искомое циклическое расширение 8-й степени, содержащее циклическое расширение 4-й степени K(ß).

Минимальный полином h для элемента в над K имеет вид:

h=(x2+x+y)(x2+x+a(y))(x2+x+CT2(y))(x2+x+CT3(y)) (8) Можно убедиться, что корнями полинома h являются элементы:

в, в+1, в+ß+aß, e+ß+am+a+є, в+ß+aß+l, (9)

e+aß+am+є, e+ß+am+a+є+І, B+aß+am+1+є. Доказана справедливость следующей теоремы: Теорема 7. Пусть N/K - циклическое расширение степени 4 поля K характеристики 2 и N = K(ß), L = = K(a) (как в предыдущих обозначениях). Тогда все циклические расширения 8-й степени поля K, содержащие поле N, получаются в форме K(9), где в - корень уравнения (7), неприводимого над N (или, что эквивалентно, 9 - корень полинома h, неприводимого над K), в случае, когда d0, a, b, m, є пробегают все значения поля K, причем b=m2+m+є.

Пусть полином h при некоторых значениях d0, a, m, є є K, b=m2+m+є, неприводим над K, тогда, так как корни этого полинома выражаются через один корень по формулам (9), поле расщепления этого полинома нормально и сепарабельно над K.

Определим K-автоморфизм т поля расщепления полинома g над K соотношением: T(9)=9+ß+aß.

Можно убедиться, что равенство тп(9)=9 получается впервые при п=8, т.е. порядок автоморфизма т равен 8. Таким образом, справедлива теорема:

Теорема 8. Пусть K - поле характеристики два, элемент є є K и полином f1=x2+x+є - неприводим над K, a, m, d^K, b=m2+m+є и полином h вида (8) неприводим над K. Тогда группа Галуа полинома h над K есть циклическая группа 8-го порядка. Все циклические расширения поля K степени 8 можно получить как поля расщеплений полиномов h вида (8) при соответствующих специализациях є, a, m, d^K.

Аналогично теореме 7 может быть установлена справедливость следующей теоремы:

Теорема 9. Пусть K=Z2(t), тогда полином h вида (8), где є, a, m, d0 - переменные, b=m2+m+є, является С8-генерирующим полиномом над полем K.

Замечание 2. Известно, что не существует генерирующего полинома для группы С8 над полем Q [5].

Очевидно, что аналогичным образом можно исследовать циклические С16-расширения над полем K характеристики два, но в этом случае конечные результаты становятся слишком громоздкими.

Литература

1. Witt. E. // Reine Angew. Math. 1936. Vol.174. Р.237-245.

2. Gaschutz W. // Math. Zeitschr. 1959. Vol. 71. P.466- 8. Furtwängler P. // Akad. Wiss. Wien. 1925. Vol.34.

468. Р. 69-80.

3. Kemper G., Mattig, E. // J. Symb. Comp. 2000. 9. KangM. // Algebra. 2002. Vol. 12. P.23-136.

Vol.30. P.843-857. 10. Kemper G., Malle, G. // Math. Ann. 1999. Vol.315,

4. Martinais D., Schneps, L. // Manuscripta math. 1993. Р.569-586.

Vol.80. P.191-197. 11. Воскресенский В.Е. // УМН. 1973. Т. 28. Вып. 4.

5. Lenstra H.W. // Invent. math. 1974. Vol.25. P.299- С.77-102.

325. 12. Matzat B.H., Malle G. Inverse Calois Theory. Berlin.

б. Saltman D. // Advances in Math. 1982. Vol.43. 1999.

P. 250-283. 13. Serre J.-P. Topics in Galois theory, Jones and

7. NoetherE. // Math. Ann. 1918. Vol.78. P. 221-229. Barthelett Pub. Boston. 1992.

14. LedetA. J. Symb. Comp. 2000. Vol.30. Р. 867-872.

Санкт-Петербургский государственный университет_________________________________________13 октября 2004 г