Гашение колебаний консоли Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.01

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 4

ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ КОНСОЛИ

Ш. Х. Солтаханов

С.-Петербургский государственный университет, докторант, канд. физ.-мат. наук, Soltakhanov@yandex.ru

1. Введение. В монографии [1] изучалась проблема гашения колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы. Для решения поставленных задач применялся метод, основанный на применении принципа максимума Понтрягина. В книге [2] установлена связь данного подхода со смешанной задачи механики. Анализ этой связи показал [2], что для определения ускорения, с которым должна перемещаться упругая система таким образом, чтобы, находясь в начальный момент в состоянии покоя, она, пройдя за заданный промежуток времени заданное расстояние, опять оказалась в состоянии покоя, целесообразно использовать обобщенный принцип Гаусса [3]. Искомое ускорение, обеспечивающее гашение колебаний в конце пути, представится при этом в виде ряда по степеням времени t. Число членов этого ряда равно 2s + 2, где s —число частот упругой системы. Эти частоты предполагаются различными. Частоты располагаются в порядке возрастания, и частоте uia, а = 1, s, соответствуют члены ряда a27t2< + &2а+1 t2a+1, где a27 и a27+i —искомые постоянные. Перемещение упругой системы как абсолютно твердого тела учитывается при этом членами ao + ait.

Упругое тело, например консоль, имеет бесконечное число частот. Естественно, возникает вопрос, целесообразно ли в этом случае при перемещении основания консоли обеспечивать гашение колебаний в конце пути для всего спектра частот. Дело в том, что вклад высших форм колебаний консоли в ее полную энергию в момент остановки мал. Конструктивное решение данного вопроса предложено в работе [4]. В ней искомое ускорение, также представленное в виде ряда по степеням t, предлагается определять, исходя из минимизации полной энергии консоли в момент остановки ее основания. Кривая прогиба, входящая в выражение для этой энергии, определяется в [4] по методу интегродифференциальных соотношений. В предлагаемой работе данная энергия вычисляется на основе применения к решению рассматриваемой задачи уравнений Лагранжа второго рода. Скачки ускорения консоли как абсолютно твердого тела в начале и в конце пути устраняются тем, что разложение ускорения в ряд по степеням времени t начинается с t2. Энергия колебаний рассматривается не только в конце пути, но и в процессе перемещения консоли. Этот расширенный энергетический подход позволяет подойти к данной задаче с новой точки зрения.

2. Применение уравнений Лагранжа второго рода к задаче гашения колебаний консоли. Пусть для простоты, как и в работе [4], консоль является однородной и имеет постоянное поперечное сечение. Эффективность применения уравнений Лагранжа к рассматриваемой задаче определяется тем, что при представлении прогиба консоли в виде ряда по собственным функциям

yr(x,t) = YJ q*(t)Xa(x), 0 < x < l,

<7=1

© Ш.Х. Солтаханов, 2009

при времени перемещения, близком к периоду первой формы колебаний или его превосходящем, кинетическая и потенциальная энергии консоли найдутся в виде быстро сходящихся рядов

к = £

Ma q

п

l

m С EJ

M„ = J J Xl(x)dx, = a;

(2.1)

a = 1, oo .

Здесь l — длина консоли, m — ее масса, e — модуль Юнга, j — момент инерции поперечного сечения, aa — корни уравнения

cos a ch a = — 1.

Собственные формы и приведенные массы М,т, а = 1,оо, таковы [2]:

X/ \ . 'vax i Aax , л ( i Aax Aax

(x) = sin —---sh —---1- Aa [ ch —--cos ——

A„

Aa X Aa

— ~Sb-

sh aa + sin aa ch aa + cos aa

(2.2)

ma = ma2 .

Пусть функцией £(£) задается перемещение основания консоли по направлению, перпендикулярному оси стержня. Тогда абсолютное перемещение сечения х консоли представится в виде

Уа(х,г) = £(£) + Уг (х,4) .

Вычислив кинетическую энергию системы

и подставив ее в уравнения Лагранжа

d ЭК ЭК _ дП

dt dqa dqa dqa '

a = 1, oo .

придем к уравнениям

Здесь

qa+uaqa = <7=1,00.

i

1 f _

aa = — / Xa{x) dx , a = 1, oo .

0

Перейдем к безразмерным переменным и к безразмерному времени т по формулам

X0 =

е

A2

qa

Ха =---Г" , О = 1, ОО .

aa l

т = 1 ,

(2.3)

2

1

l

и для простоты обозначим точкой производную по безразмерному времени. Тогда получим уравнения

2

ха + и? ха = и, и;а = — = (-Г^ ) , а = 1,в. (2.4)

(А,

Хо = и , Ж(7 + Ха = и , си а- = - = —

Здесь и — искомое безразмерное ускорение основания консоли, а в — число учитываемых собственных форм колебаний.

При соударении шаров, как показал Рэлей, упругие колебания в них почти не возбуждаются по той причине, что и само ускорение центра масс каждого из шаров, и производная от него по времени в начале и в конце соударения равны нулю [5]. Учитывая это обстоятельство, перемещение хо подчиним следующим краевым условиям:

хо(0) = хо(0) = Хо(0) = и(0) = хо(0) = и(0) = 0, хо(Т) = а, хо(Т)= хо(Т)= и(Т) = хо(Т) = и(Т) = 0 . (,)

Здесь Т — время перемещения, а а — его величина.

Энергия колебаний консоли, как следует из выражений (2.1)—(2.3), такова:

+ П = (2.6) 2 0=1 А

Пусть стержень является абсолютно твердым телом. Тогда ускорение и*, отыскиваемое в виде

и* = С1Т2 + С2Т3 + Сзт4 + С4Т5 ,

однозначно определится из граничных условий (2.5). Перемещение, соответствующее этому ускорению, обозначим через хо.

Отметим, что функция и*(т) обладает следующим свойством [2]:

и* (т) = —и*(Т - т) .

Отсюда следует, что и* (Т/2) = 0. Учитывая это, а также то, что и*(т) > 0 при 0 < т < Т/2, находим максимальную скорость основания:

' Т

^тах — , Ут — Хд ^ ^ ] .

Принимая за меру энергии величину

2

в соответствии с выражением (2.6) получаем

К + П 1 ^ а2

Еп{т) = ^ = ^Л) • (2-7)

_а_ {, —2„2^

42

"* а=1 ^ а

Введем в рассмотрение максимальное ускорение консоли как абсолютно твердого тела:

£тах = 1^1ит , ит = и (т*) .

Здесь т* —тот момент времени, когда функция и*(т) максимальна.

Искомое ускорение £ гибкой консоли, вычисленное в долях найденного выше ускорения, таково:

- £ -£* ит

'ъшах ,п

Функция и(т), являющаяся решением рассматриваемой задачи, зависит непосредственно и от а, и от Т. Новая же безразмерная величина м, рассматриваемая как функция аргумента т/Т, от величины а не зависит. Параметром ее является только отношение времени перемещения к периоду первой формы колебаний. Учитывая независимость искомого решения от величины а, при расчетах полагаем а = 1.

3. Гашение колебаний консоли как краевая задача и как задача минимизации величины Еп(Т). Первоначально задачу о гашении колебаний консоли в момент времени Т рассмотрим как краевую задачу, т. е. дополним условия (2.5) условиями

ж<7(0) = ¿ст(0) = ха{Т) = ха{Т) = 0, а=Т,1. (3.1)

Краевая задача (2.4), (2.5), (3.1) может быть решена при представлении искомой функции и(т) в виде суммы любых линейно независимых функций, число которых равно 2в+6. В книге [2] установлена связь наложения краевых условий на движение, описываемое уравнениями (2.4), со смешанной задачей механики [6]. Из этого следует, что если при решении рассматриваемой краевой задачи выбрана система линейно независимых функций, то каждой такой системе функций будет соответствовать наложение связи порядка 2в + 8. В соответствии с обобщенным принципом Гаусса [3] порядка 2в + 6 в рассматриваемой задаче наименьшее «принуждение» при связях порядка 2в + 8 будем иметь в том случае, когда искомая функция и(т) удовлетворяет уравнению

(2з+6)

и =0.

Отсюда при учете того, что и(0) = и(0) = 0, вытекает, что согласно обобщенному принципу Гаусса ускорение следует искать в виде

2я+4

и(т) = Е СкТк+1, (3.2)

к=1

где Ск —искомые постоянные, алгоритм определения которых описан в книге [2].

Отметим, что функции и(т), хо(г), ха(т), а = 1, в, являющиеся решением данной задачи, обладают следующими свойствами [2]:

и(т) = -и(Т — т), хо(т) = а — хо(Т — т), ха (т) = —ха (Т — т),

<7 = 1, в .

Рассмотрим теперь метод минимизации величины Еп(Т). Как и в работе [4], ограничимся случаем, когда функция и(т), удовлетворяющая условиям (2.5), имеет или два, или четыре свободных параметра. Итак, пусть

4

и(т) = 53 Сктк+1 + ат6 + вт7 + 7т8 + 5т9 . (3.3)

к=1

Для простоты описания метода ограничимся двумя параметрами, т. е. положим 7 = ¿ = 0. Определив из уравнения хо = и и из условий (2.5) постоянные к = 1,4, как линейные функции параметров а и в, получим

Еп(Т, а, в) =

1 N 2

1 а2

к=1 А

и = и(т, а, в),

(±1 (Т, <*,/?) + ш1х1 (Т, а,/?)).

Здесь

1

хк(Т,а,(3) = J и(т, а, /3) со— т) йт ,

0

т

1 [ _

Х]~{Т, а, ¡3) = — / и(т, а,/3)втшк(Т — т) с1т ,

ик }

о

к = 1,Ж.

Число N выбиралось из условия, чтобы погрешность вычисления полной энергии консоли не превосходила 0.01 %. Расчеты показали, что для этого при Т/Т ^ 0.6 достаточно положить N = 8. Искомые параметры а и в определялись из системы линейных уравнений

ац а + а12 в = -/1(0, 0), а21 а + а22 в = -/2(0, 0),

где

дЕп(Т, а, [3) дЕп(Т, а, /3) /1 (<*,/?) =-^-, /2 («,/?) = ■

а11

дв

д/1 д/1 д/2 а12-а21-—, а22- —.

Аналогично строится решение и при четырех свободных параметрах.

4. Анализ результатов расчетов. Из выражений (3.2) и (3.3) следует, что решение по методу минимизации при двух свободных параметрах следует сравнивать с решением, соответствующим гашению одной формы (в = 1), а при четырех — гашению двух форм (в = 2).

Полная энергия колебаний консоли, оставшаяся после гашения в форм, такова:

1

N

где

к=в +1

(Т) = ! м(я)(г) совйк(Т -т)йт,

о

т

»(Т) = ± [иМ(т)ыпЪк(Т-т)<1т, ик }

к = 1,N.

т

к

Здесь и(в)(т) — решение краевой задачи при гашении в форм. Число N при вычислении энергии полагалось таким же, как и в методе минимизации.

Рис. 1. Результаты расчетов при Т/Т\ = 0.8.

Рис. 2. Результаты расчетов при Т/Т\ = 1.12.

Рис. 3. Результаты расчетов при Т/Т\ = 2.

Величины Еп(в)(Т) быстро убывают с ростом отношения Т/Т\. Их значения приведены в таблице 1.

Таблица 1. Значения Ега(г|)(Т)

"■^-^тут! в 0.6 0.8 1 2

1 0.3954 0.008575 8.205 • КГ7 1.331 • КГ7

2 0.01593 0.1146 • 10^ 3.059 • КГУ 2.059 • КГ1и

Степень гашения характеризуется величиной Еп(в)(Т)/Еп*(Т), где Еп*(Т) —энергия колебаний в конце пути при рассмотрении консоли как абсолютно твердого тела. Данные значения приведены в таблице 2.

Таблица 2. Значения ЕгаМ (Т)/Еп* (Т)

в 0.6 0.8 1 2

1 0.3245 0.005475 5.167 • КГУ 3.771 • КГЬ

2 0.01308 0.7320 • Ю-4 1.926 • 10-у 5.831 • 10-у

Величиы Еп(Т,а,в) и Еп(Т,а, 0,^,6) будут соответственно меньше величин Еп(1)(Т) и Еп(2)(Т). Эти разности, выраженные в процентах

ЕпЫ{Т)-Еп{Т,а,р) Еп&\Т)-Еп{Т,а,р,Ъ5) Еп(Т, а, Т)-1ии/0' -шт

приведены в таблице 3.

Таблица 3. Различие в процентах между краевой задачей и задачей минимизации

в 0.6 0.8 1

1 29.9 0.437 0.576 • КГ4

2 4.66 0.555 0.0633

Расчеты показали, что величинами, приведенными в таблице 3, достаточно точно характеризуется зависимость от параметра Т/Т\ разности между ускорениями, вычисленными этими двумя методами.

Результаты вычислений, приведенные в таблице 3, говорят о том, что отношение Т/Т\ = 0.8 может быть выделено как особое в том смысле, что при его уменьшении различие между данными двумя методами гашения колебаний консоли резко возрастает и, наоборот, при его возрастании быстро убывает. Проблема гашения колебаний консоли при Т/Т\ < 0.8 требует особого подхода. Дело в том, что при малом отношении Т/Т\ гашение первой формы осуществляется при очень больших значениях модуля функции й{т/Т) и, как следствие, при очень большой энергии колебаний в процессе перемещения. Поэтому случай, когда Т/Т\ < 0.8, далее не рассматривается.

Результаты расчетов для трех характерных значений Т/Т\ приведены на рис. 1-3. На них сплошные линии соответствуют стержню как абсолютно твердому телу, кривые, изображенные длинными штрихами, соответствуют гашению первой формы, а кривые с короткими штрихами — гашению двух форм.

Характерное значение Т/Т\ = 0.8 обсуждалось выше. При значении Т/Т\ = = 1.12 расчеты были проведены в работе [4]. Отметим, что в этой статье ускорение консоли как абсолютно твердого тела задавалось полиномом первой степени, а минимизация

полной энергии в момент Т при двух и четырех параметрах проводилась соответственно при полиномах третьей и пятой степеней. Третье значение Т/Т = 2 выбрано потому, что при этом, как видно из таблиц 1 и 2, колебания консоли в момент Т настолько малы, что нет необходимости их гасить.

Из приведенных графиков функций й(т/Т) и Еп(т/Т) можно сделать следующий вывод: при 0.8 ^ Т/Т < 1 целесообразно гашение первых двух форм, при 1 ^ Т/Т ^ 2 достаточным является гашение первой формы, а при Т/Т > 2 вообще нет необходимости гасить колебания.

Литература

1. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

2. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука, 2009. 344 с.

3. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Обобщение принципа Гаусса на случай него-лономных систем высших порядков // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. №6. С. 1328-1330.

4. Костин Г. В., Саурин В. В. Моделирование и оптимизация движений упругих систем методом интегродифференциальных соотношений //Докл. РАН. 2006. Т. 408. №6. С. 750-753.

5. Зегжда С. А. Соударение упругих тел. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1997. 316 с.

6. Зегжда С. А., Юшков М. П. Смешанная задача динамики // Докл. РАН. 2000. Т. 374. №5 С. 628-630.

Статья поступила в редакцию 2 сентября 2009 г.