Гашение колебаний упругого тела при его перемещении Текст научной статьи по специальности «Физика»

2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 3

МЕХАНИКА

УДК 534.11

ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ЕГО ПЕРЕМЕЩЕНИИ*

Д. Н. Гаврилов1, С. А. Зегжда2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Задача о гашении колебаний тележки с маятниками при ее перемещении за заданное время на заданное расстояние была поставлена и решена на основе принципа максимума Понтрягина в монографии [1]. В статье [2] и в монографии [3] эта же задача решена при использовании обобщенного принципа Гаусса. Гашение колебаний консоли при перемещении ее основания за заданное время на заданное расстояние при использовании интегродифференциальных соотношений рассмотрено в работе [4]. Оптимальное управление, которым в данной задаче является ускорение основания консоли, искалось в виде ряда по времени, а определялось из условия минимальности полной энергии упругого стержня в момент остановки основания. Этот подход к выбору оптимального управления был проанализирован и развит в статьях [5, 6]. В них использовались не интегро-дифференциальные соотношения, а уравнения Лагранжа второго рода и отмечалось, что представление управления в виде ряда по времени вытекает из обобщенного принципа Гаусса. В этой статье рассмотрение проблемы гашения колебаний упругого тела при его кинематическом перемещении начинается с решения расширенной краевой задачи для свободной материальной точки. Решение данной задачи на основе использования обобщенного принципа Гаусса приводит к построению системы базисных функций. Искомое управление, позволяющее погасить колебания упругого тела при прямолинейном перемещении некоторого его сечения за заданное время на заданное расстояние, ищется в виде ряда по этим функциям. В качестве примера рассматриваются две задачи: задача о гашении изгибных колебаний консоли при перемещении ее основания и задача о гашении продольных

* Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного Контракта ГК.2.740.11.0619 от 29.03.2010.

© Д. Н. Гаврилов, С. А. Зегжда, 2012

колебаний заделанного стержня при перемещении сечения заделки вдоль оси стержня. Показывается, что и та и другая задачи эквивалентны по математической постановке задаче о гашении колебаний системы соосных маятников при горизонтальном перемещении их общей оси.

2. Моделирование перемещения упругого тела перемещением системы соосных маятников. Прогиб консоли приближенно может быть представлен в следующем виде:

y(x,t) = ^2 (x), 0 < x < l.

(x,t) = Qt(t)XT(x), 0 ^ x

t=1

Здесь l — длина консоли, qT — обобщенные лагранжевы координаты, s — число учитываемых собственных форм колебаний Xt (x).

Полная энергия консоли, соответствующая этому приближенному представлению ее прогиба, может быть записана в виде [3]

(2.1)

где — собственные частоты, m — масса консоли, а

i

Al = ^ J Xl(x)dx, a =T~s.

о

В случае консоли постоянного поперечного сечения имеем [3]

2 EJ 4 sh At + sin At

ujz. = —77тл1, cosA^chA^ = — 1, А„ =

а

ml2 ' ch At + cos Aa

Здесь Е — модуль Юнга, а J — момент инерции поперечного сечения.

При перемещении основания консоли по закону £(£) абсолютное перемещение сечения х таково:

уа(х,г) = у(х,г) + £(г). Используя уравнения Лагранжа второго рода, приходим к системе уравнений [5, 6]

^ (да + = а=~з, (2.2)

аа

в которых

I

1 [ _

аа = — / Ха{х)йх, а = 1, в.

о

Отметим, что для консоли постоянного поперечного сечения первые пять значений величин А2 и а2 приведены в монографии [7].

Выражение (2.1) для полной энергии и уравнения (2.2), описывающие колебания упругого тела, возникающие при поступательном прямолинейном перемещении некоторого его сечения, носят общий характер. Постоянные А2 ,а2 и частоты , содержащиеся в выражениях (2.1) и (2.2), выше были приведены для консоли постоянного

поперечного сечения. Определим эти величины для другого характерного примера. Пусть тот же прямолинейный стержень при закрепленном сечении х = 0 совершает не изгибные, а продольные колебания, и пусть сечение х = 0 перемещается вдоль оси стержня по закону £(£). Тогда при постоянном поперечном сечении стержня будем иметь [7]

(2а - 1)пх

(х)

21

А2

а

1 2 (2а - 1)пс Е

— , о* а = —;-г, = -, с = \ —

2' 7г(2а — 1) 21 V р

Здесь р — плотность материала стержня.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из в математических маятников, подвешенных на одной горизонтальной оси и колеблющихся в параллельных плоскостях. При малых углах поворота <у2<т,а = 1, в, полная энергия этой системы такова:

+ (2-3)

а=1 ^ а /

Здесь д — ускорение свободного падения, та и 1а, а = 1, в, —соответственно массы и длины маятников. При горизонтальном перемещении £(£) оси маятников они будут колебаться по закону

1а (фа + = <7 = М- (2.4)

Выражения (2.3) и (2.4) приводятся соответственно к виду (2.1) и (2.2), если малые углы поворота маятников, их массы и длины таковы:

А1 та1 ,9 — /0 ^

9а = --¡~Ча, та = 1а=—, <7 = (2.5)

аа 1а Аа

Таким образом, математическое описание тех колебаний упругого тела, которые возникают при его кинематическом перемещении, сводится к описанию колебаний системы соосных маятников при горизонтальном перемещении их общей оси. Число маятников равно числу учитываемых собственных форм колебаний упругого тела.

В любой задаче, связанной с возбуждением колебаний упругого тела, необходимо, прежде всего, определить то число собственных форм его колебаний, которым можно ограничиться в соответствии с характером рассматриваемой задачи. Суть изучаемой проблемы о гашении колебаний упругого тела при его кинематическом перемещении наглядно выражена в модели с маятниками. Поэтому в дальнейшем ставить и решать задачу будем в рамках этой модели. Из формулы (2.5) следует, что длины маятников убывают так, как убывают квадраты периодов собственных колебаний упругого тела, то есть достаточно быстро. Массы также убывают, и степень их убывания определяется степенью убывания величины а,, так как постоянные А, при а ^ то стремятся к постоянному значению. При изгибных и при продольных колебаниях стержней как постоянного, так и переменного сечений асимптотика убывания квадрата периода собственных колебаний характеризуется убыванием соответственно величин (2а — 1)-4 и (2а — 1)-2. Различие в степени убывания, как видим, большое. Поэтому в качестве примера и были определены постоянные, входящие в формулы (2.5) для двух характерных задач: перемещение заделанного конца стержня постоянного поперечного

сечения соответственно перпендикулярно и вдоль его оси. При этом были получены следующие законы убывания масс и длин маятников: в случае поперечных колебаний —

_ к к

12 ~ 39' 1з ~ 308' ''' ш\ = 0.613ш, Ш2 = 0.188ш, шз = 0.065ш, ...;

в случае продольных колебаний —

I 8ш

а (2а - 1)2' п2(2а - 1)2'

Быстрое убывание длин маятников и их масс, показанное на примере двух характерных задач, говорит о том, что при вычислении по формуле (2.2) той энергии, которая возбуждается в упругом теле при его кинематическом перемещении, можно ограничиться малым числом в. Отметим, что ортогональность собственных форм колебаний упругого тела в модели проявляется в том, что маятники соосны и каждый из них при неподвижной оси колеблется независимо от всех остальных. Когда же ось маятников начнет горизонтально перемещаться, тогда и все маятники придут в движение. Из уравнений (2.1) и выражений (2.5) следует, что перемещения маятников х7 = —1асвязаны с перемещением их общей оси хо = £ следующим образом:

•• ^ 2 Х0=т^ т— (2-6)

х7 + х7 = и, а = 1, в.

Здесь и = £— искомое управление, которое должно обеспечивать гашение колебаний всех маятников.

Пусть в начальный момент времени £ = 0 все маятники находятся в состоянии покоя. По определению принимается, что в нем и угол поворота, и скорость, и ускорение маятника равны нулю. Случай, когда в начальный или в конечный моменты времени ускорение £ имеет скачок, исключается из рассмотрения. Управление и = £, не имеющее скачков, будем называть безударным и определим то из них, при котором за время т ось маятников горизонтально переместится на расстояние а, а все маятники возвратятся в состояние покоя. Это произойдет тогда, когда будут выполнены граничные условия

жо(0) = 0, ж0(т) = а, ¿р(О) = жр(0) = жр(т) = х0(т) = 0, , ,

ж7(0) = ж7(0) = ж7(т) = ха(т) = 0, а = 1, в.

Управление и, обеспечивающее выполнение этих условий, может быть найдено в виде

2я+4

и = Е С</<(£). (2.8)

7=1

Здесь /7 (£) —линейно независимые функции. Постоянные С7 определяются из условия Хо (0) =0 в начальный момент времени и из 2в + 3 условий в момент времени £ = т. Решение определяется тем, что положено в основу выбора /7 (£). В работах [1-3] показывается, что если исходить из минимальности функционала

т

J = / и 2аг, (2.9)

то управление U при использовании принципа максимума Понтрягина представится в виде

s

U = Ci + Ct + (C2+CT cos t + Cs+2+CT sin t).

Число произвольных постоянных в этом выражении на две единицы меньше того их числа, которое необходимо для безударного управления. Управление, найденное в таком виде, при любом т имеет скачок как при t = 0, так и при t = т. Это продемонстрировано в работах [2, 3].

Полагая в выражении (2.8) в основу выбора функций /(t) обобщенный принцип Гаусса, приходим к отысканию управления в виде полинома. В работах [1, 2, 5, 6] коэффициенты этого полинома определяются из системы алгебраических уравнений, число которых равно 2s + 4. Ниже предлагается другой способ нахождения данного полинома. Он основан на использовании некоторой специальной системы функций. Назовем их базисными.

3. Базисные функции и их применение к решению поставленной задачи. При построении базисных функций и при их применении целесообразно использовать безразмерные переменные, выбранные следующим образом:

t хо ха -— т

¿1 = -, Уо = -, Уа = -, <т=1, в, и= -и.

т а а а

Система уравнений (2.6) и граничные условия (2.7) запишутся при этом в виде

Уо = и, (3.1)

уа+к1уа = и, к и = и>ат, <7 = 1, е. (3.2)

уо(0) = 0, уо(1) = 1, Уо(0) = Уо(0) = Уо(1) = 2/о(1) = 0, (3.3)

уЛ0) = УЛ0) = У<х(1) = Ы1) = 0, а = М. (3.4)

Производные здесь соответствуют безразмерному времени. Оно в дальнейшем для простоты будет обозначаться буквой

Рассмотрим случай, когда маятники отсутствуют (в = 0). Рассматривается только перемещение оси. И пусть наряду с условиями (3.3) ставятся дополнительные граничные условия, то есть формулируется следующая краевая задача:

(т+1)

¿т = 2т(0) = ¿т(0) = ... = гт (0) = 0, (3 _)

(т+1) ^ ' '

2т(1) = 1, ¿т(1) = ... = Хт (1) =0.

Назовем эту задачу расширенной краевой задачей порядка т. Единственное решение для искомого управления и>т получим, потребовав, чтобы функционал

( | (3.6)

был минимален.

В силу нулевых начальных условий имеем

г

¿т(£) = J - . (3.7)

0

При т = 0, когда

1 1 /о = J (¿о)2 ^ = J Л,

о

придем к уравнению [2, 3]

'¿о = w0 = 0.

Отсюда следует, что управление wo(t) является полиномом первой степени. Используя выражения (3.5) и (3.7), получаем

w0(í) = 12 Q -tj ,

Аналогично записывая функционал (3.6) в виде

1

í N2 (2m)

Im = (П) dt, П = Wm ,

получаем

(2m+2) Wm = 0.

Управление wm (t) является, таким образом, полиномом степени 2m +1. Функция wm(t), как и функция wo(t), являются функциями, заданными в интервале [0,1]. Они антисимметричны относительно момента времени t = 1/2. Из выражений (3.5) следует, что производные по времени от функции wm(t) до порядка (m — 1) при t = 0 и t =1 равны нулю. Эти условия будут выполнены, если положить

wm{t) = ат (- -t) tm(í -t)m, 0 m=l,2,... (3.8)

2

Постоянную ат определим из условия ¿т(1) = 1. Используя выражение (3.7) и учитывая, что

^ j !k!

получаем

i

/ xHl - x)kdx — ,

J y ; (j + k + l)V

o

_ 2(2m + 3)!

Cf-m

т!(т + 1)!

Функции и>т(£), заданные в виде (3.8), являются искомыми базисными функциями.

При умножении функции и>т (£) на некоторую постоянную, этой же постоянной становится равным и безразмерное перемещение оси. Отсюда следует, что управление

и, обеспечивающее решение краевой задачи (3.1), (3.3), может быть представлено в виде ряда

в

и = т+ ск (тр+1 (г) - тр(г)) (3.9)

р= 1

при любых значениях постоянных Ср.

Полиномы являются полной системой функций, поэтому в виде ряда (3.9) при в = ж может быть представлена любая функция и(г) аргумента г € [0,1], антисимметричная относительно точки г =1/2 и обращающаяся в нуль на концах.

Выражением (3.9) при конечном числе в задается достаточно широкий класс управлений, при которых некоторое сечение упругого тела за время т перемещается на расстояние а. Постоянные Ср могут быть определены из условия минимальности некоторого функционала или, например, из минимальности полной энергии в конце пути [4-6]. Круг этих вопросов предполагается рассмотреть в дальнейшем. Здесь же ограничимся применением ряда (3.9) к решению краевой задачи (3.1)-(3.4). Построенные управления будем сравнивать с функцией и>1(г), соответствующей основному оптимальному безударному управлению. Для удобства этого сравнения определим в интервале 0 < г < 1/2 максимальное значение и>1тах функции и>1(г). Базисные функции, деленные на величину Ю1тах, приведены на рис. 1. На эту же величину будут делиться найденные ниже управления при изображении их на графиках.

шах

Рис. 1. Базисные функции.

Краевые условия (3.3) при управление (3.9) выполняются при любых коэффициентах Ср. Следовательно, эти коэффициенты должны определяться только из краевых условий (3.4). В начальный момент маятники покоятся по постановке задачи. Возвратятся же они в состояние покоя при г = 1 тогда, когда функции уа (г) будут антисимметричны относительно момента времени г = 1/2, то есть тогда, когда

Ы1-*) = -Ы*), <7 = М- (3.10)

В работах [2, 3, 6] показывется, что u(1 — t) = —u(t). Поэтому

t

y<j(t) = — / u(t*) sin ka (t— t*)dt*, ka J

o

1

ya( 1 -í) = -í/<j(t) + J u(t)sinka( 1 -í)dí,

o

i i j u(t)sin ka (1 — t)dt = — У u(t)sin katdt.

так как

i

oo Поэтому условия (3.10) будут выполнены в том случае, когда

i

J u(t) sin feo-(1 — t)dt = 0, <7=1,S.

o

Отсюда и из выражений (3.9) и (3.2) следует, что постоянные Cp должны удовлетворять системе уравнений

s

aij(T(A) + ^(ap+ii<7(A) - аРг<т(Х)) Ср = 0, a = í,s. (3-11)

p=i

Здесь

i

а а(Х) = í wp(t) sin ( 2тг—Ai ) dt, Л = —, п = —. (3.12)

J V wi / Ti wi

o

Определив из системы уравнений (3.11) коэффициенты Ср,р = 1, s, и подставив их в выражение (3.9), найдем безударное управление как функцию двух переменных t и А.

Обратим внимание на следующую особенность системы уравнений (3.11). Положим величину А при выбранном а, заданной в виде

а=(2Ц^Ь i = 12 (313)

Тогда согласно (3.12) при данном а будем иметь

i

ap,a (А) = j wp(t)sin((2i — 1)nt) dt, i = 1, 2,...

o

Функция sin(2i — 1)nt в интервале 0 ^ t ^ 1 при любом целом положительном i является функцией, симметричной относительно точки t = 1/2, а все функции wp (t) антисимметричны относительно этой точки. Поэтому при значениях А, заданных в виде (3.13), в системе (3.11) у уравнения с номером а все коэффициенты обратятся в

нуль. Следовательно, при данных Л система уравнений (3.11) имеет бесконечно много решений. Однако, если положить, что

(2г — 1)^1

А=--—+£, ¿ = 1,2,...,

2ша

где £ сколь угодно мало, то решение становится единственным. В этом смысле эти значения Л не являются особенными.

Расчеты показали, что существуют другие действительно особые значения величины Л = т/т1, при которых определитель системы уравнений (3.11) обращается в нуль. При приближении Л к этим особым значениям постоянные Ср стремятся к бесконечности. Устранить эту особенность можно следующим образом. Наряду с отысканием уравнения в виде (3.9) будем искать его также в виде

в

и(г) = (г) + Ср (1ир+2(г) - (г)). р= 1

В результате придем к следующей новой системе алгебраических уравнений:

в

02,<т(А) + ^(о/3+21<т(Л) - о/3+11<т(Л)) Ср = 0, <7 = 1, е. (3.14)

р= 1

Определитель этой системы уравнений также при некоторых значениях отношения т/т1 обращается в нуль. Однако эти особые точки отличны от особых точек системы (3.11). Поэтому можно пользоваться то системой (3.11), то системой (3.14). Целесообразно, однако, воспользоваться двумя этими решениями одновременно.

Управления, полученные в результате решения уравнений (3.11) и (3.14), обозначим соответственно « и «2. Суперпозиция этих управлений, заданная в виде

и = и 1 + р(и2 — «1),

Рис. 2. Управления для гашения первой формы колебаний.

является решением краевой задачи (3.1)—(3.4) при любом значении параметра р. Простейшим функционалом, минимизация которого по параметру р позволяет определить функцию п(Ь, Л), не имеющую особых точек, является функционал (2.9). Управления, соответствующие его минимизации при гашении только первой формы колебаний (в = 1) для различных значений Л = т/т\, приведены на рис. 2.

Гашение двух форм (в = 2) также рассматривалось при минимизации функционала (2.9). Управление в этом случае зависит от отношения ш2/^1. На рис.3 и 4 показано, как с ростом величины Л = т/т1 изменяется форма управления при гашении соответственно изгибных колебаний (^/ш = 6.27) и продольных (^/ш = 2). В дальнейшем предполагается на основе построенных управлений п(Ь, Л) исследовать полную энергию (2.3), возбуждающуюся в упругом теле при его кинематическом перемещении. Анализ этой энергии позволит определить то число собственных форм, учетом которых можно ограничится в соответствии с параметрами упругого тела.

и

тах

Рис. 3. Управления для гашения первых двух форм колебаний при Ш2/Ш1 = 6.27.

и

тах

А ___А = 1.1

7 \ 1.8

\ = 25

ИР4

0.4 0.8 \ ____Л /Яо //

Рис. 4. Управления для гашения первых двух форм колебаний при Ш2/Ш1 = 2.

Авторы благодарят Петра Евгеньевича Товстика за конструктивные замечания и за высказанные им новые идеи по развитию данной тематики.

Литература

1. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

2. Зегжда С. А., Солтаханов Ш.Х. Применение обобщенного принципа Гаусса к решению задачи о гашении колебаний механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. №2. С. 20-25.

3. Зегжда С. А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М. П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 344 с.

4. Костин Г. В., Саурин В. В. Моделирование и оптимизация движений упругих систем методом интегродифференциальных соотношений. Доклады академии наук. 2006. Т. 408. №6. С. 750-753.

5. Солтаханов Ш. Х. Гашение колебаний консоли // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. №4. С. 105-112.

6. Гаврилов Д. Н. Применение обобщенного принципа Гаусса к задаче гашения колебаний // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2011. С. 3-14.

7. Бабаков И. М. Теория колебаний. М., 1958. 628 с.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.