Гарантированное по исходам и рискам решение в однокритериальной задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 198-210.

УДК 519.853.53 MSC2000: 49К35, 91410

В. И. Жуковский, М. И. Высокос

ГАРАНТИРОВАННОЕ ПО ИСХОДАМ И РИСКАМ РЕШЕНИЕ В ОДНОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ

На основе модификации максимина предлагается понятие Парето-гарантированного по исходам и рискам решения для однокритериальной задачи при неопределенности. Найден явный вид в задаче диверсификации единичного вклада по рублевому и валютному депозитам.

Ключевые слова: Риск, неопределенность, стратегия, максимин, исход

E-mail: [email protected]

Введение

В статье рассматривается однокритериальная задача Г = {X,Y,f (x,y)) в условиях риска и неопределенности (игра с природой). В рамках этой задачи лицо, принимающее решение (ЛПР), выбирает свою стратегию x € X С Rra так, чтобы достичь возможно большего исхода (значения скалярного критерия f (x,y)), ориентируясь при этом на реализацию любой чистой неопределенности y € € Y С Rm. Предполагается, что о неопределенностях ЛПР известны лишь границы изменения и отсутствуют какие-либо вероятностные характеристики. Такая модель Г возникает, например, на рынке сбыта, где продавец действует с учетом импорта (или конкуренции), добиваясь как можно большей прибыли.

Заметим, что подробные обзоры различных видов неопределенности (неполноты и (или) неточности информации об условиях реализации выбранной стратегии) можно найти, например, в книгах [1, c. 106-114; 2, c. 20-32] и др.

Наличие неопределенностей приводит к множественности исходов f (x,Y) = = {f (x,y)\Vy € Y}, «порожденных» каждой конкретной стратегией x € X. «Сужается» f (x, Y) за счет рисков. Однако, как считает известный специалист в области оптимизации Т.К. Сиразединов, «строгого математического определения риска в настоящее время не существует» [3, c. 31]. В книге [4, c. 15] приводится целая

серия различных понятий риска. Все из них, кроме приводимого далее, требуют статистических данных. Однако зачастую у исследователя операций (ИО) просто отсутствует возможность описать «поведение» неопределенностей статистическими методами. Как раз этого случая будем в дальнейшем придерживаться.

Итак, приведем определение: «Риск - это возможность отклонения каких-либо величин от их желаемых значений».

Отметим, что именно такому понятию риска отвечают общепринятые многочисленные микроэкономические риски, вид которых приведен в работе [5, с. 40-50].

Численно оценивается риск значением функции сожаления (риска)

$(x,y) = max f (z,y) - f (x,y), (1)

zex

предложенной Леонардом Сэвиджем [6] в 1951 г. Лауреат Нобелевской премии по экономике Милтон Фридман сказал о Сэвидже, что тот «... был одним из немногих встреченных мною людей, о которых я, не задумываясь, могу сказать - гений». Предложенный в работе [6] принцип минимаксного сожаления, сводящийся к построению пары (xS, ) согласно

min max Ф(х, у) = max $(xS, у) = ,

xGX y£Y V&Y

активно используется для решения задачи Г наравне с принципом максимина (гарантированного результата по Вальду [7]), сводящемуся к нахождению пары (xg, fg) такой, что

max min f (x,y) = min f (xg ,y) = fg.

xGX y£Y y&Y

Сама функция сожаления $(x,y) в отечественной и мировой литературе получила название «функция риска по Сэвиджу». Именно функцию риска ^(x,y) и привлекаем в настоящей статье для оценки гарантированного риска.

Каким бывает отношение людей к риску? В ряде книг по финансовой экономике [1, с. 103; 5, с. 5; 8, с. 343] выделено три группы субъектов в зависимости от отношения их к риску:

- противники риска — рискофобы (люди, боящиеся риска и отвергающие его);

- любители риска — рискофилы;

- рисконейтралы (люди, нейтрально относящиеся к риску).

В экономике считается, что большинство людей относятся к противникам риска. На вопрос о том, как фактор неопределенности влияет на поведение людей, экономист обычно отвечает: «Люди не любят рисковать и готовы заплатить деньги за то, чтобы избежать бремени риска» [5, с.6].

Однако возникают ситуации, когда риск просто необходим. Люди прошлого выходили в море, что часто было связано с риском для жизни. Существует даже латинская пословица: «Плавать по морю необходимо, жить — не очень». Так любители риска относятся и к альпинизму, авиации, экстремальным ситуациям. Более того,

предпринимательство и риск — понятия неразделимые. В экономической практике принято, что некоторая доля риска является необходимым условием увеличения дохода. Зачастую возникают ситуации, когда без риска вообще обойтись невозможно (например, в чрезвычайных ситуациях).

Наконец, значительное большинство относится к рисконейтралам. Они будут пускаться пусть даже и в рискованные ситуации, но в том только случае, если доход будет выглядеть достаточно привлекательным и одновременно, чтобы возможно меньше нужно было бы рисковать.

В соответствии с приведенной градацией, работы [9,10] и глава 3 из книги [11] посвящены исследованию бескоалиционных игр с позиции противников риска; те же игры но с позиции любителей риска — в работе [12]; взгляд рисконейтрала на принятие решений в Г — в этой статье. Принятый здесь подход предполагается в дальнейшем распространить на бескоалиционные и кооперативные игры при неопределенности. Именно с этой целью в статье привлечены некоторые положения теории «игр с приоритетом в действиях у управляющего центра, получивших название иерархических игр Гермейера» [13, е. 8].

Итак, цели настоящей работы:

- формализовать гарантированное решение задачи Г с одновременным учетом исходов и рисков (т.е. с позиции рисконейтрала);

- найти явный вид такого решения в задаче диверсификации вклада (на год) на рублевый и валютный депозиты.

1. Информированные неопределенности

Иерархическая игра представляет собой «математическую модель конфликтной ситуации при фиксированной последовательности ходов и обменом информацией участников» [14, е. 477]. Активное развитие теории иерархических тгр в России началось со второй половины прошлого века и возглавлялось Юрием Борисовичем Гермейером ([13-17] и др.), продолжается сейчас его учениками. В игре двух лиц «такие игры описывают взаимодействие между верхним (ведущим) и нижним (ведомым) уровнями управления» [17, е.103], именно, задают порядок ходов игроков, т.е. очередность выбора стратегий и (возможно) сообщение о таком выборе партнеру.

Основной момент в иерархических играх заключается в выборе класса используемых стратегий, зависящий от имеющейся у игроков информации. В теории иерархических игр Гермейера сформулировано точное математическое определение информационного расширения игры [14, е. 497; 15, е. 49-51], которое, в частном случае, приводит к использованию в задаче Г наряду с чистыми неопределеностя-ми у € У так называемых, «информированных неопределенностей» — т-вектор-функций у(х) : X — У. Именно такие стратегии применялись в работе [18, е. 353]

при изучении детерминированного варианта минимаксной антагонистической позиционной игры, в которой игроки наделены различными информационными возможностями. Такие возможности определяют соответствующие виды стратегий, что приводит, в свою очередь, к различным видам иерархических игр (Г1, Г2 и т.д.) [13,15,17].

Наконец, в теории иерархических игр принято выделять оперирующую сторону— ЛПР, несущего полную ответственость за результаты, и исследователя операций — консультанта, который готовит аргументированные варианты решений.

При рассмотрении задачи Г будем считать, что один игрок (у нас ИО) ограничен только чистыми стратегиями x € X, другой же может использовать «любую мыслимую информацию» [18, с. 353]. В часности, он может знать стратегию x (информационная дискриминация ИО) и формировать неопределенность в виде функции y(x) : X ^ Y .В этом случае критерий в задаче Г определяется скалярной функцией f (x,y(x)), а исходом будет (при выборе ИО конкретной стратегии x* € X) значение f(x*,y(x*)). Такие функции y(-) € YX (множеству m-вектор функций y(x), определенных на X со значениями в Y) в теории дифференциальных игр иногда называют контрстратегиями, а задача вида Г, где в качестве неопределенности используются контрстратегии y(x), названа в работе [18, с. 354] минимаксной игрой. Повторим, что такие задачи возникают при информационной дискриминации ИО и дополнительной информированности игрока, «ведающего» формированием неопределенностей. Заметим также, что далее будем применять подмножество YX, именно множество C (X, Y) всех покомпонентно непрерывных на X т-вектор-функций y(x) : X ^ Y.

Итак, в статье используется два вида неопределенностей: чистые y € Y и информированные y(-) € YX.

Приведем два результата из теории исследования операций, касающиеся «информированных неопределенностей».

Лемма 1. Если в Г(1) = (X,Y,f (x,y)) множества X,Y суть компакты, а f (x, y) напрерывна на X х Y, то:

а) функция максимума (минимума) max f (x,y) (соответственно, min f (x,y))

xeX y£Y

непрерывна на Y (соответственно, на X);

б) если дополнительно Y - выпукло и f(x, y) строго выпукла по y € Y при каждом x € X, то существует единственная непрерывная функция y(-) € C(X,Y) такая, что

min f (x,y) = f (x,y(x)) "ix € X.

y&Y

Напомним, что f (x,y) строго выпукла по y € Y при каждом x € X, если

f (x, Ay(1 + (1 - A)y(2)) < Xf (x, y(1)) + (1 - X)f (x, y(2))

при любых постоянных Л € (0,1) и всяких € У, (] = 1, 2), у(1) = у(2).

Утверждение (а) — известный факт, имеющийся во многих учебных книгах, например, [19, е. 146], а справедливость утверждения (б) указана, например, в книге [20, е. 54].

2. Двухкритериальная задача, соответствующая задаче Г Однокритериальной задаче

Г = (Х,у,/ (х,у)) (2)

поставим в соответствие двухкритериальную при неопределенности

Г = (Х,У,Г (х,у)), (3)

где двухкомпонентная вектор-функция

Р(х, у) = (^1(х,у),^2(х,у)),^1(х,у) = f (х,у),^2(х,у) = -Ф(х,у). (4)

В задаче (3) ИО выбором стратегии х € X стремится к возможно большим значениям обоих исходов р^(х,у) (г = 1, 2) одновременно (именно для такого «однообразия» в выражении (4) функция риска по Севиджу фигурирует со знаком «минус»). При этом ИО учитывает возможную реализацию любой неопределенности у € У (или у(0 € Ух).

Приведем ряд сведений из теории многокритериальных задач вида Г(2) = = (ХР[х]), где х € X (множеству стратегий х у ИО), вектор критериев р[х] = = (Р1[х],Р2[х]) определен на X. Используем для двух векторов р (Л =(Рр),Р2(Л), ] = 1, 2, отношения строгого порядка:

р(1) <р(2) & (р(1) <р(2), г = 1,2) р(1) £ р(2) &](р(1) <р(2)),

и нестрогого порядка:

р(1) = р(2) & рр) = р(2\ г = 1,2), р(1) = р(2) &](р(1) = р(2)),

р(1) 2 р(2) & (р(1) 2 р(2\ г = 1,2), р(1) ^ р(2) &](р(1) > р(2) л р(1) = р(2)). Перейдем к формализации двух максимальных векторных оптимумов: 1) стратегия х^ € X называется максимальной по Слейтеру в Г(2) = (X,р [х]), если

р х] £ р [х] Ух € X,

вектор F[ж5] является .максимумом по Слейтеру в Г(2) (что эквивалентно: для каждой стратегии ж € X найдется хотя бы один номер j(ж) = j € {1, 2} такой, что Fj(ж) < Fj(ж8));

2) стратегия жр € X называется максимальной по Парето в Г(2), если

F [жр] ^ F [ж] Уж € X,

а вектор F [жр] € R2 есть максимум по Парето для Г(2) (что эквивалентно любому из двух определений - для каждого ж € X:

а) либо F[жр] = F[ж], либо 3j(ж) = j € {1, 2} такой, что Fj[ж] < Fj[жр];

б) несовместна система неравенств F^] ^ Fi[жр], i = 1, 2, из которых, по крайней мере, одно строгое).

Обозначим множество ж8(жр) через X8 (соответственно, Xр). Согласно определениям Xр С X8, но они могут не совпадать. Факт максимальности (минимальности) в Г(2) по Слейтеру (по Парето) обозначаем

F[ж8] = MAX85&xF[ж] (F[жр] = MAX^F[ж]),

F[ж8] = MIN^xF[ж] (F[жр] = MIN^xF[ж]).

Будем использовать и множества F[X8] = {F[ж]|ж € X8}, F[Xр] = {F[ж]|ж € Xр}. В теории многокритериальных задач [21, с. 158] установлены следующие факты:

Лемма 2. [21, с. 158]. Если в Г(2) = (X,F(ж)) множество X суть непустой компакт, а компоненты вектора F[ж] непрерывны, то множество Xр = 0 и стратегия ж € X, найденная из

тах(а^[ж] + a2F2[ж]) = а^[жр ] + а2 F2 [жр ]

x&X

при каких-либо ai = const > 0 (i = 1, 2), максимальна по Парето в Г(2); множество Xр внутренне P-устойчиво, т.е. € Xр имеет место F[ж(1)] ^ F[ж(2)], а также внешне P-устойчиво, т.е. Уж € X и ж € Xр существует стратегия жр € Xр такая, что F [ж] < F [жр]. Аналогично, имеет место

Лемма 3. Пусть «информированная» неопределенность ур(ж) € YX, найдена

из

min[aiFi^,y) + a2F^,y)] = alFl(ж,yр(ж)) + a2F2^,yp^)) Уж € X,

V&Y

при каких-либо ai = const > 0 (i = 1, 2).

Тогда при каждом ж € X неопределенность ур (ж) минимальна по Парето в двухкритериальной задаче Г(ж) = (ж,Y,, {Fi^,y)}i=1,2), т.е. F (ж,у) ^ F (ж,ур (ж)) Уж € X, y € Y.

Замечание 1. Положим в леммах 2 и 3 постоянные ai постоянная а € (0,1). Тогда, с учетом (1), а также F1(x,y) = —Ф(х, y) и обозначения

ф(х,у) = aiFi(x,y) + a2F2(x,y),

получаем

ф(х, y) = (1 — a)f (x,y) — аФ(х, y) = = f (x, y) — af (x, y) — а [max f (z, y) — f (x, y)] = f (x, y) — а max f (z, y). y °J

z&X z&X

3. Парето-гарантированное по исходам и рискам решение

Интерпретация максимина «с позиции» двухуровневой иерархической

игры двух лиц

Максиминное решение (xg, fg) задачи (2) определяется цепочкой равенств

maxmin f (x,y) = min f (xg ,y) = fg. (6)

xGX y£Y V&Y

Используя «информированные неопределенности», выражение (6) можно представить как последовательное «действие» двух операций: внутреннего минимума - для игрока нижнего уровня - построение y(x) : X ^ Y такого, что

min f (x, y) = f (x, y(x)) = f [x] ix € X; (7)

y&

предполагая, что вектор-функция y(x) единственна, переходим к операции внешнего максимума (для игрока верхнего уровня иерархии)

max f (x,y(x)) = f (xg ,y(xg)) = fg. (8)

x€X

Тогда в иерархической двухуровневой игре с одним игроком на каждом уровне: первый ход за ИО - игроком верхнего уровня: он предает на нижний уровень «свои» возможные стратегии x € X;

второй ход за игроком нижнего уровня - он аналитически конструирует y(x) согласно (7) и, если y(x) единственно, передает y(x) на верхний уровень;

третий ход за игроком верхнего уровня - он находит пару (xg,yg) согласно (8). Приведенное «трехходовое понятие» укладывается полностью в определение гарантированного результата первого (ведущего) игрока в игре Г1 (по Гермейеру), если в работе [17, с. 104] заменить функцию выигрыша ведомого на —f (x,y). Еще раз подчеркнем, что аналог и модификацию такого «трехходового понятия» удобно применять к построению гарантированного решения с учетом исходов и рисков для бескоалиционного и кооперативного вариантов конфликта, здесь применим для формализации решения задачи Г с позиции рисконейтрала.

= 1 — a, a2 = а, где = f (x,y) и F2(x,y) =

Замечание 2. Максиминное решение определяется парой (ж9, f9) по двум причинам:

а) каждой стратегии ж € X (в результате операции внутреннего минимума (6)) ставится в соответствие гарантия f [ж], ибо

f [ж] < f (ж, y) Уу € Y

(так как исход f [ж] «обеспечивает себе» ИО при любых у € Y благодаря применению стратегии ж);

б) из таких гарантий ЛПР выбирает наибольшую (максимальную), ибо

f9 = f [ж9] > f [ж] Уж € X. Итак, ЛПРу предлогается применить в задаче (2) стратегию ж9, тем самым «обеспечивая себе» наибольшую (максимальную) гарантию f[ж9] = f(ж9,у(ж9)) < < f(ж9,у) Уу € Y. Этот же прием применим при формализации сильно гарантированного по исходам и рискам решения (СГР) задачи (3), (4).

Формализация

Здесь будем использовать функцию ф(ж, у) = f (ж, у) — a max f (z, у) из замечания

z£X

1.

Определение 1. Пару (жр, Fр = F[жр]) € X х R2 назовем Парето-гарантированным по исходам и рискам решением (ПГИР) однокритериальной задачи (2), если в задаче (3):

10) существует для каждой стратегии ж € X и какой-либо хотя бы одной a € (0,1) своя паретовская гарантия F[ж] = (F^], F2^]) такая, что

ф[ж] = min ф(ж,у) = ф(ж,ур(ж)) Уж € X,

v&

(Fl [ж] = f (ж,ур (ж))^[ж] = —Ф(ж,ур (ж)).

Тогда

F[ж] = F(ж,ур(ж)) является паретовской (а, значит, и слейтеровской) гарантией [22], ибо

F[ж] ^ F(ж, у) (соответственно, F[ж] / F(ж, у)) Уу € Y; 20) стратегия жр максимальна по Парето (жр € Xр) в двухкритериальной «задаче гарантий» (X,F[ж]), т.е. F[жр] ^ F[ж] Уж € X. Замечание 3. Отметим, что:

- п. 10 определения 1 связывает с каждой стратегией ж € X векторную гарантию F[ж] < F(ж, у) Уу € Y (аналог операции внутреннего минимума в определении максимина);

- п. 20 предлагает лицу, принимающему решение, применять максимальную (по Парето) гарантию F[жр] (аналог операции внешнего максимума), ибо при ж € X и

х = хр увеличение одной из гарантий Е^ [х] > Е^ [хр] неизбежно влечет уменьшение другой Ек[ж] < Ек[хр], к = 3 е {1, 2};

- вследствие внешней и внутренней Р-устойчивости множества Xр, выбор лицом, принимающим решение, стратегии хр е Xр «обеспечивает» ему «самую большую» - неулучшаемую векторную гарантию Е[хр] (конечно, в рамках максимальности по Парето);

- гарантия Ех[х] ограничивает исходы f(х,у) снизу, ибо из f(х,у) > Е\[х] следует ограничесние рисков Ф(х,у) снизу, так как тогда Ф(х,у) > Ф[х] У у е У и обратно. Поэтому предпринятый здесь подход полностью соответствует желаниям рисконейтрала (см. Введение) увеличить исход и одновременно уменьшить риск.

Иерархическая интерпретация определения 1

Как и в п. 3.1, рассматриваем двухуровневую игру с одним игроком на каждом уровне (рис. 1).

*/•■[.у" ] = МАХ / [л] = -*

\//А Пх.у) = Пх.у (л-)) = / |л|^

Рис. 1. Порядок построения ПГИР

Порядок построения СГР Первый ход за игроком верхнего уровня: он, также как в понятии максимина, посылает на нижний уровень свои возможные стратегии х е X.

Второй ход за игроком нижнего уровня; он аналитически конструирует две функции Ег[х], г = 1, 2, согласно

Е[х] = мтреуЕ(х,у) = Е(х,ур(х)), Ег[х] = Ег(х,ур(х)) (г = 1,2) Ух е X,

строя тем самым для каждой стратегии х е X векторную гарантию Е [х] = = (Ех[х],Е2[х]), и отправляет векторную гарантию Е[х] на верхний уровень иерархии.

Третий ход снова за игроком верхнего уровня: он находит максимальную по Парето стратегию хр в двухкритериальной «задаче гарантий» [х]) и строит

соответствующий вектор Ер = (Ех[хр],Е2[хр]). Тогда тройка (хр,Ер) е X х Я2 и

образует Парето-гарантированное по исходам и рискам решение задачи (2). «Двух-критериальный смысл» такого решения см. в замечании 3.

Замечание 4. Для построения явного вида Парето-гарантированного решения (xP,FP) определение 1 «диктует» следующие этапы. Этап 1. Найти

minф(х,у) = ф(х,ур(x)) = ф[х] = (1 — a)Fi[x] + aF2[x] Ух € X. (9)

y&Y

Этап 2. Определить максимизатор

xP = arg max p(x,yP(x)). (10)

x&X

Этап 3. Найти векторную гарантию Fр = (F1[xP],F2[xP]) = (Fp = fP = = f (xP,yP(xP)), FPp = (xP,yP(xP)) = .

Тогда пара (xP,FP) является Парето-гарантированным по исходам и рискам решением задачи (2)

Замечание 5. Объединение (9) и (10) означает, что xP € X является максимин-ной стратегией в антагонистической игре

(X,Y,<p(x,y) = f (x,y) — a max f (z,y)),

z&X

где седловая точка (xP,yP) функции p(x,y) определяется цепочкой неравенств

Ф, yP) < v(xP, yP) < v(xP, y) yx € X, y € Y, (11)

что эквивалентно

max p(x,yP) = min max p(x,y) = min ф(xP,y) = maxmin ф(x,y).

xGX V&Y xGX V&Y xGX y£Y

Отсюда получаем следующий способ построения Парето-гарантированного по исходам и рискам решением задачи (2).

I этап: найти f [y] = max f (z,y) Уу € Y;

zeX

II этап: построить скалярную функцию p(x,y) = f (x,y) — af [y] для постоянной a € (0,1);

III этап: определить седловую точку (xP,yP) € X х Y функции y(x,y) из (5);

IV этап: с помощью (xP,yP) вычислить два числа fP = f(xP,yP), $P = = $P(xP,yP) = f [yP] — f (xP,yP). Тогда найденная тройка (xP,fP, $P) и будет искомым ПГИР задачи (2).

Этот способ в следующем разделе применяется для задачи диверсификации вклада (на 1 год) по рублевому и валютному депозитам.

4. Задача о диверсификации

Математическая модель

Наращенную за год сумму единичного вклада по двум депозитам (рублевому и валютному) на конец года можно [23, с. 58-60] представить в виде

где г и с! - процентные ставки по рублевому и валютному депозитам соответственно; К и у - курс валюты (к рублю) в начале и в конце годового периода; х € [0,1] -дробь, которая определяет пропорцию, в которой вклад разделяется на рублевую и валютную части.

Согласно (12), х есть доля рублевого вложения, а остаток 1 — х вкладчик конвертирует в валюту и помещает ее на валютный депозит. В конце года с помощью обратной конвертации валютный вклад по курсу у переводится в рубли и итоговая наличность определяется суммой f (х, у) из (12). Для вкладчика требуется определить пропорцию х, при которой итоговая наличность f (х,у) будет возможно большей. При этом следует учесть, что будущий курс валюты у, как правило, неизвестен. Но он все-таки может быть задан коридором возможных значений, именно, у € [а, Ь], где постоянные Ь > а > 0 заданы или выбраны априори.

Итак, математическую модель задачи диверсификации можно представить упорядоченной тройкой

где функция f (ж, у) определена в (12). Здесь X = [0,1] - множество стратегий ж у ЛПР (вкладчика), Y = [a,b] - множество неопределенностей у, наконец, f (ж,у)-- функция полезности вкладчика, значение которой в дальнейшем называется исходом. С точки зрения исследования операций, Г* есть однокритериальная задача принятия решений при неопределенности.

Замечание 6. Замечание 5 «диктует» способ построения Парето-гарантированного по исходам и рискам решения задачи Г*. Он сводится к выполнению трех этапов, именно,

I этап: построить скалярную функцию f [у] = max f (ж, у), и с ее помощью найти

1x

f (x, y) = x(1 + r) + — (1 + d)y,

(12)

0

Г* = (X = [0,1], Y = [a,b],f(x,y)),

III этап: с помощью пары (xp,yp) вычислить два числа

fP = f(xP,yP), $P = f[yP] — f(xP,yP).

(13)

Тогда найденная в результате тройка (хр ,f р, Фр) как раз и образует Парето--гарантированное по исходам и рискам решение задачи Г*.

Явный вид Парето-гарантированного решения

Утверждение 1. Для задачи Г* Парето-гарантированное по исходам и рискам решение имеет вид

(xr ,fr, Фг ) = <

при при

а < tfoftâ < b при при

b<Koï+ï,,

a>Ko¥d,

oi+З,

l+r 1+d,

(14)

а < y<Ko1+r,, {0~1+d

1 l+d, KoI+d < У < b.

(1,1 + г, 0) (0, а, 0) для

(1,1 + г, 0) (0,1 + г, 0)

Доказательство основывается на замечании 5.

Замечание 7. Чтобы использовать утверждение 1 следует,

- во-первых, по заданным постоянным Ко, а, Ь, г и d найти число 1+Ко,

- во-вторых, выяснить какое из четырех неравенств

1 + г 1 + г 1 + г 1 + г

Ь < -г—Ко, а > —— Ко, а < у < —— Ко или —— Ко < у < Ь 1 + d 1 + d 1 + d 1 + d

имеет место; для третьего и четвертого соотношений дополнительно учесть границы изменения неопределенности у,

-в-третьих, в зависимости от реализации хотя бы одного из этих четырех случаев, с помощью утверждения 1 выписать Парето-гарантированное по исходам и рискам решение (хр, fр, Фр).

Например, пусть г = 0,12, d = 0, 8, Ко =30, а = 30 и Ь = 40. Тогда

1 + г 1,12

ТГлК = 1Ж30Э! 31'3 >" = 30

Согласно третьей и четвертой строке из (14) будет

(xp,f P, Фр) =

P\

И

(1,1 + r, 0) при y е [30; 31, 3], (0,1 + r, 0) при y е [31, 3; 40].

Этот результат означает, что ЛПР получит один и тот же гарантированный выигрыш 1 + г с нулевым риском, вкладывая всю сумму в рублевый вклад, если неопределенность у е [30; 31, 3) ив валютный, если у е [31, 3; 40].

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №14-01-90408 Укр_а.

Список литературы

[1] Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. - М.: ИНФРА, - 2008.

[2] Жуковский В.И. Риски при конфликтных ситуациях. - М.: URSS, ЛЕНАНД, 2011.

[3] Сиразетдинов Т.К., Сиразетдинов Р.Т. Проблемы риска и его моделирование //Проблемы человеческого риска. - 2007. - № 1.-С. 31-43.

4] Шахов В.В. Введение в страхование. Экономический аспект. - М.: Финансы и статистика, 1994.

5] Цветкова Е.В., Арлюкова И.О. Риски в экономической деятельности. - СПб.: ИВЭС-ЭП, 2002.

6] Savage L.Y. The theory of statistical decision //J. American Statistic Association.- 1951. № 46. - P. 55-67.

7] Wald A. Contribution to the theory of statistical estimation and testing hypothesis // Annuals Math. Statist.- 1939. Vol. 10 - P. 299-326.

8] Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. - М.: Дело, 1998.

9] Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. - М.: МНИИПУ, 1997.

10] Zhukovskiy V.I. Luapunov Function in Differential Games.- London, N.-Y.: Taylor& Fransis, 2003.

11] Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры.- Киев: Наукова Думка.- 1994.

12] Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности.- М.: Эдиториал УРСС. -2004.

13] Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. - М.: Наука. - 1978.

14] Ватель И.А., Ерешко Ф.И. Игра с иерархической структурой // Математическая энциклопедия. - М. - 1979. - Т.2.

15] Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. - М.: МГУ, 1984.

16] Ватель И.А., Ерешко Ф.И. Математика конфликта и сотрудничества. - М.: Знание, 1974.

17] Морозов В.В. Основы теории игр. - М.: Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ, 2002.

18] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.: Наука, 1974.

19] Дмитрук В.А. Выпуклый анализ. Элементарный вводный курс. - М.: ВМиК МГУ, 2012.

20] Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. - М.: Высшая школа, 1968.

21] Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982.

22] Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The vector-Valued Maximin. - N.-Y.: Academic Press, 1994.

23] Капитоненко В.В. Финансовая математика ее приложения. - М.: ПРИОР, 2000.

Guaranteed in outcomes and risks solution for single-criterion problem

Concept of Pareto-guaranteed in outcomes and risks solution for single-criterion problem under uncertainty is proposed. It is based on a modification of the maximin. Explicit solution for the problem of a single contribution to the diversification of ruble and foreign currency deposit is found.

Keywords: Risk, uncertainty, strategy, maximin, outcome.