О решении трехкритериальной задачи при неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 90-99.

УДК 519.816 MSC2000: 91А80517.922

Н. Г. СОЛДАТОВА

О РЕШЕНИИ ТРЕХКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В работе формализовано гарантированное решение трехкритериальной задачи при неопределенности на основе процедуры принятия решения в иерархической двухуровневой игре. Получены условия существования данного решения. Приведен пример.

E-mail: solnata@pochta.ru

1. Постановка задачи

Рассмотрим трехкритериальную задачу при неопределенности

(X,Y,F (x,y)), (1)

где множество X С Rn стратегий x у ЛПР (лица, принимающего решение), множество Y С Мт чистых неопределенностей у, скалярные функции Fi(x, y) (i = 1, 2, 3) являются компонентами векторного критерия

F (x,y) = (Fi(x,y),F2(x,y),F3(x,y)).

На «содержательном уровне», цель ЛПР состоит в выборе такой стратегии x € X, при которой все компоненты векторного критерия F(x, y) принимают одновременно возможно большие значения, при этом ЛПР ориентируется на возможность реализации любой чистой неопределенности y € Y.

Одновременно с чистыми неопределенностями y € Y здесь будем применять «информированные неопределенности» - m-вектор-функции y(x) : X — Y, y(-) € YX. Последние использованы академиком Н.Н. Красовским при изучении детерминированного варианта антагонистической игры [5, с. 353 - 354], где выделяется случай различной информированности игроков. В (1) будем считать, что один игрок (ЛПР) ограничен только чистыми стратегиями x € X, а второй (формирующий в (1) неопределенность) может использовать «любую мыслимую информацию»

[5, с. 354]. В частности, он может знать стратегию, реализуемую ЛПР, то есть имеет место так называемая информационная дискриминация ЛПР. Тогда неопределенность в задаче (1) формируется в виде m-вектор-функции y(x) : X — Y, y(■) € YX, где YX — множество m-вектор-функций y(x), определенных на X со значениями в Y. Такие функции y(■) € YX называют в теории игр контрстратегиями. Далее ограничимся подмножеством YX, именно непрерывными т-вектор-функциями y(x) (этот факт обозначаем y() € C(X,Y)). Задача вида (1), в которой в качестве неопределенностей используются контрстратегии (информированные неопределенности y(x)) названа в [5, с. 353] минимаксной.

2. Иерархическая интерпретация максимина

Сначала рассмотрим однокритериальную задачу при неопределенности

(X,Y,f (x,y)). (2)

В (2) множество X С Rra стратегий x, множество Y С Rm чистых неопределенностей y, скалярный критерий f (x, y) определен на произведении X х Y.

Определение 1. Пара (xg, fg) € X х R является максиминным решением задачи (2), если

maxmin f (x,y) = min f (xg,y) = fg. (3)

xGX y£Y V&Y

Фактически в цепочке равенств (3) используются две операции: внутреннего минимума и внешнего максимума. В первой из них для каждого x € X находится т-вектор-функция y(x) : X — Y такая, что

min f (x, y) = f (x, y(x)) = f [x] yx € X, (4)

y&Y

во второй операции - внешнего максимума - как раз и определяются как стратегия xg, так и число fg такие, что

max f (x,y(x)) = f (xg ,y(xg)) = fg. (5)

x€X

С точки зрения теории иерархических игр процесс построения (xg ,fg) можно представить в виде иерархической двухуровневой трехходовой игры, в которой право первого хода принадлежит игроку верхнего уровня иерархии (ЛПР). Он сообщает игроку нижнего уровня «свои» возможные стратегии x € X.

Второй ход за игроком нижнего уровня: он формирует «информированную» неопределенность y(x) : X — Y, y() € YX, которая определена в (4) и отсылает найденную y(x) на верхний уровень иерархии. В этом случае подразумевается информационная дискриминация ЛПР — игрока верхнего уровня иерархии. Наконец, третий ход снова за ЛПРом. Он, исходя из (5), формирует пару (xg, fg), которая как раз и является максиминным решением задачи (X,Y, f (x,y)) (рис. 1).

ЛПР предлагает пользователю применять стратегию xg € X по двум причинам:

11 ход

111 ход

Ä—► таxf(x,y(x)) - f(x',y(x*)) - fs xeX X ►l

У(х) 1 ход

y(x) = arg min f(x,y) yeY

Рис. 1. Процедура построения максиминного решения (xg,fg)

a) каждой стратегии х € X (в результате операции внутреннего минимума) ставится в соответствие гарантия / [х], ибо

/ [х] < / (х,у) Уу € У

(т.к. исход / [х] «обеспечивает себе» ЛПР при любых у € У за счет использования стратегии х);

b) из таких гарантий / [х] игрок верхнего уровня (ЛПР) выбирает наибольшую (максимальную), ибо

/д = / [хд] ^ / [х] Ух € X.

3. Формализация сильно гарантированного решения трехкритериальной задачи

Приведем одно из возможных понятий гарантированного решения задачи (1). Определение 2. Пару (xS, FS = F[xS]) € X x R3 назовем сильно гарантированным решением задачи (1), если

1°. существуют три непрерывные единственные т-вектор-функции y(i\x) : X ^ Y, определяемые тождествами

minFi(x,y) = Fi(x,y(i)(x)) = Fi[x] Ух € X (i = 1,2,3); (6)

V&Y

2°. для трехкритериальной «задачи гарантий»

{X,F [x] = (Fi[x],F2[x],F3[x])> (7)

стратегия х3 максимальна по Слейтеру, то есть при всех х € X несовместна система строгих неравенств

^[х] >^[х3] (г = 1,2,3). Замечание 1. Пара (х33) выбрана в качестве гарантированного решения задачи (1) по следующим двум причинам:

a) требование (6) ставит в соответствие каждой стратегии х € X векторную гарантию F[х] = (^1[х], ^2[х], ^з[х]), ибо при У у € У будет

Fг(x,y) > ад (г = 1, 2, 3);

b) из всех таких гарантий наибольшая (в «векторном смысле») будет F[х3]. Сам процесс построения сильно гарантированного решения (х3, F3) представим

(аналогично рис. 1) следующей трехшаговой иерархической двухуровневой игрой двух лиц (рис. 2).

Рис. 2. Способ построения сильно гарантированного решения (xS, FS)

По схеме из рис. 2 первый ход за игроком верхнего уровня иерархии (ЛПР): он отсылает на нижний уровень свои возможные стратегии x € X.

Второй ход за игроком, «ведающим» формированием неопределенности; здесь, аналогом операции внутреннего минимума (в определении максимина) является формирование для каждого критерия Fi(x,y) «его» неопределенности

y(i\x) = arg min Fi(x,y) (i = 1,2,3)

V&Y

с последующим нахождением Fi[x] = Fi(x, y(i(x)) (i = 1, 2, 3) и передачей векторного критерия F[x] на верхний уровень иерархии.

Третий ход (аналог внешнего максимума в определении максимина) за ЛПР. Он определяет максимальную по Слейтеру стратегию xS и максимум по Слейтеру FS

в трехкритериальной задаче (7) (обозначение F3 = F[х3] = MAX3F[х] на рис. 2,

х£Х

взятое из [4], как раз и означает, что х3 является максимальной по Слейтеру стратегией в трехкритериальной задаче (7)). Затем ЛПР сообщает о результатах (х3 ^ 3) пользователю. Последний же, основываясь на замечании 1, может использовать эту пару (х3, F3) как «руководство к действию».

4. Существование

Теорема 1. Пусть в (1)

1°. множества X, У — компакты и У выпукло;

2°. каждый из критериев Fг(x,y) непрерывен на X х У и строго выпуклый по у для Ух € X.

Тогда в трехкритериальной задаче существует сильно гарантированное решение.

Заметим, что функции Fг(x, у) строго выпуклы по у при каждом х € X, если при любых постоянных Л € (0,1) и всяких € У (] = 1, 2) имеет место

Fг(x, Лу(1) + (1 - Л)у(2)) < ЛFг(x, у(1)) + (1 - ЛЩ(х, у(2)) Ух € X.

Доказательство теоремы 1. В силу компактности и выпуклости множества У С Кт, строгой выпуклости Fг(x,y) по у и [3, с. 80-83] существуют единственные непрерывные т-вектор-функции у(г\х) : X ^ У такие, что имеют место тождества (6). Но тогда непрерывными на X х У будут и скалярные функции Fг[x] = Fг(x,y(гXx)) как суперпозиции непрерывных Fг(x,y) и у(г\х). Наконец, из компактности X, непрерывности Fг[x] и [6, с. 66-71, 137] следует существование максимальной по Слейтеру (в задаче (7)) стратегии х3. Затем с помощью стратегии х3 € X определяем Fг [х3] = F3 — г-тые (г = 1, 2, 3) компоненты векторной гарантии F3 = F[х3].

Замечание 2. Отметим, что приведенное доказательство справедливо для задачи (1) с каким угодно конечным числом критериев.

5. Линейно-квадратичная задача без ограничений

Будем считать, что в (2) будет X = Мга, У = Мт, и критерий

/(х, у) = х'Ах + 2х' Ву + у'Су + 2а'х + 2с'у + й, (8)

где матрицы А, В и С постоянны и соответствующих размерностей, кроме того А и С — симметричны, также вектора а и с соответствующих размерностей и постоянны, наконец й — постоянное число; штрих сверху означает операцию транспонирования. Если квадратичная форма х' Ах (у'Су) определенно отрицательна (соответственно, положительна), то этот факт обозначается А < 0 (С > 0), используем также нуль й-вектор 0k € .

Далее в (1) ограничимся лишь специальным трехкомпонентным критерием F [ж] = (Fi [ж], F2[x], F3 [ж]), где Fi [ж] = min f (ж,у), F2[x] = min [—Ф(ж, у)], F3[x] =

y€Rm y€Rm

= —Rv[ж], здесь критерий f(ж,у) определен в (8), функция сожаления (по Сэви-

джу)

Ф(ж, у) = max f (ж, у) — f (ж, у) (9)

x€Rn

и так называемый [1] стратегический риск по Вальду

RV(ж) = max min f(ж,у) — min f(ж,у). (10)

Замечание 3.Для приведенной трехкритериальной задачи нельзя применить теорему 1, ибо здесь множества X = Rra и Y = Rm (не компакты). Однако специальный вид критерия f (ж, у) позволяет найти явный вид сильно гарантированного решения.

Построение сильно гарантированного решения для трехкритериальной задачи при неопределенности

(X = Rra, Y = Rm, {f (ж, у), —Ф(ж, у), —Rv[ж]}) (11)

сводится, согласно определению 2, к трем последовательным операциям:

I этап: нахождению явного вида функций Ф(ж,у) и Rv [ж] согласно (9) и (10) соответственно;

II этап: построению двух функций F1[x] = min f (ж, у), F2[x] = min [—Ф(ж,у)] и,

y€Rm y€Rm

вследствие зависимости Rv [ж] только от ж, F3[x] = —Rv [ж];

III этап: определению ситуации жS € Rra максимальной по Слейтеру в трехкритериальной «задаче гарантий»

(X,F [ж] = (Fl[x],F2[x],Fa[x])); (12)

для этого достаточно (согласно теории многокритериальных задач [6, с. 69]), например, найти xS € X, исходя из равенства

max ф(ж) = ф(ж3),

x&n

3 3

где ф(ж) = aiFi[x], при каких-либо постоянных а ^ 0 и Y1 щ > 0; наконец с i=1 i=1 помощью xS построить вектор F [xS] = FS.

Тогда пара (xS, FS) € Rra х R3 как раз и образует сильно гарантированное решение задачи (11), (8).

Итак, далее следуем этапам I - III.

Этап I.

Утверждение 1. Если A < 0, то функция сожаления Ф(ж,у) из (9) имеет вид Ф(ж, у) = —(ж'A + у'В' + a' )A-1(Ax + Ву + а). (13)

Эти формулы получены Жуковским В.И. в [2, с. 105 - 106].

Утверждение 2. Если A < 0 и C > 0, то стратегический риск по Вальду из (10) примет вид

Rv(x) = -(x'K - c'C-lB' + a')K-l(Kx - BC-lc + a), (14)

где K = A - B'C-1B < 0.

Доказательство утверждения 2. Следуя (10), найдем

min f (x, у) = f (x, y(l (x) = Fi [x] Vx € Rra. y€Rm

С учетом (8) достаточными условиями существования такого y(l\x) будут

9Fi(x,y) dy

y(1)(x)

gradxFi(x,y)\y(i){x) = 2Cy(l){x) + 2B' x + 2c = 0

(x)

д2Fl(x'y)=2C> 0,

dy2

где Fi{x, y) = y'Cy + 2x'By + 2cy. Из первого равенства получаем

y(1)(x) = -C-1(B'x + c) (15)

и, кроме того,

[y(1)(x)]' Cy(1)(x) + 2x'By(1)(x) + 2c'y(1)(x) = -[y(1)(x)] 'Cy(1)(x). С учетом последнего тождества и (15)

minf (x,y) = f (x,y(1\x)) = F1[x] =

y£Rm

= x'Ax + 2x'a + d - (c' + x'B)C-1(B'x + c) = = x'(A - B'C-1B)x + 2x'(a - BC-1 c) + d - c'C-1c = = x'Kx + 2x'(a - BC-1c) + d - c'C-1c,

где K = A - B'C-1B.

Затем построим максиминную стратегию xg € Кга согласно

max F1 [x\ = F1 [xg ]. Последнее равенство имеет место, если

dFi[x] dx

(16)

= 2Кхд +2(а - ВС-1с)=0п, (17)

хд

^ = 2К < 0.

ох2

Далее, во-первых, установим, что К < 0. Этот факт будет следовать из двух цепочек импликаций

(С > 0) ^ (С-1 > 0) ^ (ВС-1В' ^ 0) ^ (-ВС-1 В' < 0),

(А < 0 Л -ВС-1В' < 0) ^ (К = А - В'С-1В < 0);

m

здесь для симметричной m х m-матрицы M ^ 0 (^ 0) означает, что y'My ^ 0 (соответственно ^ 0) при Vy € Rm. Согласно (17) и K < 0 ^ detK = 0 ^ 3K-l и тогда

xg = -K-l(a - BC-lc). (18)

Во-вторых, используя (16) - (18), получаем

max min f (x,y) = maxFl[x] =

xeRnyeRm xeRn

= Fl[xg] = (xg)'Kxg + 2(xg)'(a - BC-lc) + d - c'C-lc = = -(a' - c'C-lB')K-l(a - BC-lc) + d - c'C-lc = = d - c'C-lc - a'K-la + 2c'C-lB'K-la - c'C-lB'K-lBC-lc.

Наконец, с учетом последнего равенства, (16) и (10), имеем

Rv(x) = -x'Kx - 2x'(a - BC-lc) - a'K-la + 2c'C-lB'K-la--c'C-lB'K-lBC-lc = -(x'K - c'C-lB' + a')K-l(Kx - BC-lc + a).

Этап II.

Утверждение 3. Если C > 0 и A < 0, то

min f (x, y) = x'Kx + 2x'(a - BC-lc) + d - c'C-lc, y€Rm

где K = A - B'C-lB < 0. Доказано в (16).

Утверждение 4. Если A < 0 и detB = 0, то

min [-Q(x, y)] = min (x'A' + y'B' + a'')A-l(Ax + By + a) = 0.

y&m yeRm

Доказательство утверждения 4. Достаточным условием существования y(2\x) : Rn ^ Rm такого, что

min [-Ф^,у)] = -&(x,y(2\x)) Vx € Rn,

y€Rm

будет

д (-$(x,y)) dy

(9V = 2B'A-l(Ax + By(2\x) + a) = 0m, (19)

y(9>(x)

ff2(-^y»=2B'A-lB< 0.

dy2

Соотношение B'A-lB < 0 имеет место, ибо

(A< 0 Л detB = 0) ^ (B'C-lB < 0). Из (19) и detB = 0 сразу следует

y(2](x) = -B-l(Ax + a)

и тогда

min [-$(x, y)] = -<^(x, y(2) (x)) = 0 Vx € Rn

y€Rm

Замечание 4■ Выполнение требования detB = 0 автоматически приводит к условию m = n. Поэтому далее считаем, не оговаривая особо, что в (8) все матрицы A, B и C квадратные и размерности n х n.

Замечание 5■ Итак, будем считать в трехкритериальной задаче (12)

FIX] = x'Kx + 2x'(a - BC-1c) + d - c'C-1c,

F2[x] = 0,

F3[x] = -Rv(x) = (x'K - c'C-1B' + a')K-1(Kx - BC-1 c + a), если только в (8) справедливы A < 0, C > 0, m = n и detB = 0.

Этап III.

Явный вид сильно гарантированного по исходу и рискам решения задачи (11) при X = Y = Rn, критерии f (x,y), заданном в (8), приводится в следующем утверждении.

Утверждение 5. Если в (8) матрицы A < 0, C > 0, m = n и detB = 0, то сильно гарантированное решение (xS,FS) задачи (11) будет

xS = (A - BC-1B')-1(BC-1c - a), FS = (Ff, 0,0),

где FS = -(a' - c'C-1B')(A - BC-1B')-1(a - BC-1c) + d - c'C-1c. Доказательство утверждения 5. Составим функцию

■0(x) = F1[x] + F3[x] = x'Kx + 2x'(a - BC-1c) + d - c'C-1c+ +x'Kx + 2x'(a - BC-1c) + a'K-1a - 2c'C-1B'K-1a+ +c'C-1B'K-1BC-1 c = 2x'Kx + 4x'(a - BC-1c) + d--c'C-1(C - B'K-1B)C-1c - 2c'C-1B'K-1a + a'K-1a,

где K = A - B'C-1B.

Найдем теперь стратегию xS £ Rn согласно

max ^(x) = ф(xS). Достаточные условия в этом случае

дф(ж) дж

= 4KxS + 4(а — BC-1 c) = 0, д2^(ж) = 4K < 0.

dx2

Из первого соотношения и K < 0 получаем

xS = -K-1(a - BC-1c) и тогда компоненты Fi[xS] (i = 1, 2, 3) векторной гарантии FS будут

FS = F1[xS] = min f (x,y) = -(a' - c'C-1B')K-1(a - BC-1c) + d - c'C-1c,

y&Y

F2S = FSS = 0.

S

x

6. Выводы

В данной работе на основе синтеза понятий максимина и решения по Штакель-бергу (из теории иерархических игр) определяется сильно гарантированное решение многокритериальной задачи при неопределенности. Найден явный вид такого решения при линейно-квадратичном виде критерия.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Жуковского В.И. за обсуждение работы и замечания.

Список литературы

[1] Бардин А.Е., Солдатова Н.Г. Однокритериальная задача при неопределенности с учетом рисков и сожалений // Сборник научных трудов VII Международной школы-симпозиума «Анализ, Моделирование, Управление, Развитие экономических систем». Симферополь: ТНУ, 2013. - с. 37-39.

[2] Жуковский В.И. Конфликты и риски. М.: РосЗИТЛП, 2007. 456 с.

[3] Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н., Смирнова Л.В. Гарантированные решения конфликтов и их приложения. М.: КРАСАНД, 2013. 368 c.

[4] Жуковский В.И., Молоствов В.С. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988. 131 с.

[5] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

[6] Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.

On the solution of three-criteria problem under uncertainty

In this paper the definition of guaranteed solution for three-criteria problem under uncertainty is introduced. New solution is based on the method of decision-making in hierarchical two-level game. The conditions of existence are formulated. The example is given.