Гарантированные риски и исходы в «Игре с природой» Текст научной статьи по специальности «Математика»

атематические проблемы управления

УДК 658(075.8)

ГАРАНТИРОВАННЫЕ РИСКИ И ИСХОДЫ В «ИГРЕ С ПРИРОДОЙ»

В.И. Жуковский, Н.Г. Солдатова

Рассмотрена однокритериальная задача при неопределенности, причем о последней известны только границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики по тем или иным причинам отсутствуют. Предложено два понятия гарантированного одновременно по исходам и рискам решения. Первый базируется на способе принятия решения в двухуровневой иерархической игре двух лиц, второй — на определении векторного мак-симина. Найден явный вид решения при линейно-квадратичном виде критерия.

Ключевые слова: стратегия, неопределенность, критерий, минимаксное сожаление, максимин, векторный оптимум.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей статье рассматривается однокритериальная задача Г(1) = (Х, У, /(х, у)) в условиях риска и неопределенности (игра с природой). В рамках этой задачи лицо, принимающее решение (ЛПР),

выбирает свою стратегию х е Х с Яп так, чтобы достичь возможно большего исхода (значения скалярного критерия/(х, у)), ориентируясь на реализацию любой чистой неопределенности у е Ус Ят. Предполагается, что о неопределенностях ЛПР известны лишь границы изменения и отсутствуют какие-либо вероятностные характеристики. Такая модель Г(1) возникает, например, на рынке сбыта, где продавец действует с учетом импорта (или конкуренции), добиваясь как можно большей прибыли.

Заметим, что подробные обзоры различных видов неопределенности (неполноты и (или) неточности информации об условиях реализации выбранной стратегии) можно найти, например, в книгах [1, с. 106—114; 2, с. 20—32, и др.].

Наличие неопределенностей приводит к множественности исходов /(х, У) = {/(х, у)| У у е У}, «порожденных» каждой конкретной стратегией х е Х. «Сужается» /(х, У) за счет рисков. Однако, как считает известный специалист в области оптимизации Т.К. Сиразетдинов, «строгого математического определения риска в настоящее время не

существует» [3, с. 31 ]. В книге [4, с. 15] приводится целая серия различных понятий риска. Все из них, кроме приводимого далее, требуют статистических данных. Однако зачастую у исследователя операций (ИО) просто отсутствует возможность описать «поведение» неопределенностей статистическими методами. Как раз этого случая будем в дальнейшем придерживаться.

Итак, приведем определение: «Риск — это возможность отклонения каких-либо величин от их желаемых значений».

Отметим, что именно такому понятию риска отвечают общепринятые многочисленные микроэкономические риски, вид которых приведен в работе [5, с. 40-50].

Численно оценивается риск значением функции сожаления

Ф(х, у) = max f(z, у) - f(x, у), (1)

Z е X

предложенной Леонардом Сэвиджем [6] в 1951 г. Лауреат Нобелевской премии по экономике Мил-тон Фридман сказал о Сэвидже, что тот «... был одним из немногих встреченных мной людей, о которых я, не задумываясь, могу сказать — гений». Предложенный в работе [6] принцип минимаксного сожаления, сводящийся к построению пары

S о

(x , Ф ) согласно

min max Ф(х, у) = max Ф(хS, y) = Фо,

x е X y е Y y е Y

активно используется для решения задачи Г(1) наравне с принципом максимина (гарантированного результата по Вальду [7]), сводящемуся к нахождению пары (xg, fg) такой, что

max min f(x, у) = min f(xg, y) = fg.

xeXye Y ye Y

Сама функция сожаления Ф(х, у) в отечественной и мировой литературе получила название «функция риска по Сэвиджу». Именно функцию риска Ф(х, у) и привлекаем в настоящей статье для оценки гарантированного риска.

Каким бывает отношение людей к риску? В ряде книг по финансовой экономике [1, с. 103; 5, с. 5; 8, с. 343] выделено три группы субъектов в зависимости от отношения их к риску:

— противники риска — рискофобы (люди, боящиеся риска и отвергающие его);

— рисконейтралы (люди, нейтрально относящиеся к риску);

— любители риска — рискофилы.

В экономике считается, что большинство людей относятся к противникам риска. На вопрос о том, как фактор неопределенности влияет на поведение людей, экономист обычно отвечает: «Люди не любят рисковать и готовы заплатить деньги за то, чтобы избежать бремени риска» [5, с. 6].

Однако возникают ситуации, когда риск просто необходим. Люди прошлого выходили в море, что часто было связано с риском для жизни. Существует даже латинская пословица: «Плавать по морю необходимо, жить — не очень». Так любители риска относятся и к альпинизму, авиации, экстремальным ситуациям. Более того, предпринимательство и риск — понятия неразделимые. В экономической практике принято, что некоторая доля риска является необходимым условием увеличения дохода. Зачастую возникают ситуации, когда без риска вообще обойтись невозможно (например, в чрезвычайных ситуациях).

Наконец, значительное большинство относится к рисконейтралам. Они будут пускаться пусть даже и в рискованные ситуации, но в том только случае, если доход будет выглядеть достаточно привлекательным и одновременно, чтобы возможно меньше нужно было бы рисковать.

В соответствии с приведенной градацией, работы [9, 10] и глава 3 из книги [11] посвящены исследованию бескоалиционных игр с позиции противников риска; те же игры, но с позиции любителей риска — в работе [12]; взгляд рисконейтрала на принятие решений в Г(1) — в этой статье. Принятый здесь подход предполагается в дальнейшем распространить на бескоалиционные и кооперативные игры при неопределенности. Именно с

этой целью в статье привлечены некоторые положения теории «игр с приоритетом в действиях у управляющего центра, получивших название иерархических игр Гермейера» [13, с. 8].

Итак, цели настоящей работы:

— формализовать гарантированное решение задачи Г(1) с одновременным учетом исходов и рисков (предложено два варианта понятия);

— установить существование при ограничениях, «привычных» для математического программирования;

— найти явный вид гарантированных решений в случае линейно-квадратичного варианта критерия f(x, у) при ограниченных чистых неопределенностях.

1. ИНФОРМИРОВАННЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Иерархическая игра представляет собой «математическую модель конфликтной ситуации при фиксированной последовательности ходов и обменом информацией участников» [14, с. 477]. Активное развитие теории иерархических игр в России началось со второй половины прошлого века и возглавлялось Юрием Борисовичем Гермейе-ром ([13—17] и др.), продолжается его учениками. В игре двух лиц «такие игры описывают взаимодействие между верхним (ведущим) и нижним (ведомым) уровнями управления» [17, с. 103], именно, задают порядок ходов игроков, т. е. очередность выбора стратегий и (возможно) сообщение о таком выборе партнеру.

Основной момент в иерархических играх заключается в выборе класса используемых стратегий, зависящем от имеющейся у игроков информации. В теории иерархических игр Гермейера сформулировано точное математическое определение информационного расширения игры [14, с. 479; 15, с. 49—51 ], которое, в частном случае, приводит

к использованию в задаче Г(1) наряду с чистыми неопределенностями у е У так называемых, «информированных неопределенностей» — т-век-тор-функций у(х): Х ^ У. Именно такие стратегии применялись в работе [18, с. 353] при изучении детерминированного варианта минимаксной антагонистической позиционной игры, в которой игроки наделены различными информационными возможностями. Такие возможности определяют соответствующие виды стратегий, что приводит, в свою очередь, к различным видам иерархических игр (Г1, Г2 и т. д.) [13, 15, 17].

Наконец, в теории иерархических игр принято выделять оперирующую сторону — ЛПР, несущего полную ответственность за результаты, и исследо-

вателя операции — консультанта, который готовит аргументированные варианты решений.

При рассмотрении задачи Г(1) будем считать, что один игрок (у нас ИО) ограничен только чистыми стратегиями х е Х, другой же может использовать «любую мыслимую информацию» [18, с. 353]. В частности, он может знать стратегию х (информационная дискриминация ИО) и формировать неопределенность в виде функции у(х): Х ^ Y. В этом случае критерий в задаче Г(1) определяется скалярной функцией f(x, у(х)), а исходом будет (при выборе ИО конкретной стратегии х * е Х) зна-

Х

чение Дх *, у(х *)). Такие функции y(-) е Y (множеству m-вектор-функций у(х), определенных на Х со значениями в Y) в теории дифференциальных игр иногда называют контрстратегиями, а задача

вида Г(1), где в качестве неопределенностей используются контрстратегии у(х), названа в работе [18, с. 354] минимаксной игрой. Повторим, что такие задачи возникают при информационной дискриминации ИО и дополнительной информированности игрока, «ведающего» формированием неопределенностей. Заметим также, что далее бу-

v

дем применять подмножество Y , именно множество С(Х, Y) всех покомпонентно непрерывных на Х m-вектор-функций у(х): Х ^ Y.

Итак, в статье используется два вида неопределенностей: чистые y е Y и информированные

У(-) е Yv.

Приведем два результата из теории исследования операций, касающиеся «информированных неопределенностей».

Лемма 1. Если в Г(1) = (Х, Y, f(x, у)) множества Х, Y суть компакты, а f(x, y) непрерывна на Х* Y, то:

а) функция максимума (минимума) max f(x, у)

x е X

(соответственно, minf(x, у)) непрерывна на Y (со-

У е Y

ответственно на Х);

б) если дополнительно Y — выпукло и f(x, y) строго выпукла по y е Y при каждом х е Х, то существует единственная непрерывная функция y(-) е С(Х, Y) такая, что

min f(x, у) = f(x, у(x)) Vx е X. ♦

У е Y

Напомним, что f(x, y) строго выпукла по y е Y при каждом х е Х, если

f(x, A,y(1) + (1 - l)y(2)) < Дх, y(1)) + + (1 - ХДх, y(2))

при любых постоянных X е (0, 1) и всяких у^ е У,

1 = 1, 2, у(1) * у(2).

Утверждение а — известный факт, имеющийся во многих учебных книгах, например, [19, с. 146], а справедливость утверждения б указана, например, в книге [20, с. 54].

Замечание 1. Из леммы утверждения а следует непрерывность на Х* У функции риска (1) (если только в задаче Г(1) множества Х, У суть компакты, а /(х, у) непрерывна на Х* У).

2. ДВУХКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ЗАДАЧЕ Г(1)

Однокритериальной задаче

Г(1) = (Х, Y, f(x, у))

(2)

поставим в соответствие двухкритериальную при неопределенности

Г = (Х, У, Дх, у)), (3)

где двухкомпонентная вектор-функция

Дх, у) = (Д1(х, у), Д2(х, у)), Д\(х, у) =

=/(х, у), Д2(х, у) = -Ф(х, у). (4)

В задаче (3) ИО выбором стратегии х е Х стремится к возможно большим значениям обоих исходов Д(х, у), I = 1, 2, одновременно (именно для такого однообразия в выражении (4) функция риска по Сэвиджу фигурирует со знаком «минус»). При этом ИО учитывает возможную реализацию любой

V

неопределенности у е У (или у(-) е

Приведем ряд сведений из теории многокритериальных задач вида Г(2) = (Х, Д [х]), где х е Х (множеству стратегий х у ИО), вектор критериев Д [х] = (Д1[х], Д2[х]) определен на Х. Используем

для двух векторов Д^ = (Д(]), Д2(^), 1 = 1, 2, отношения строгого порядка:

F(1) < о (< Ff, i = 1, 2),

F(1) < F(2) о 1 (F(1) < F(2)), и нестрогого порядка:

F(1) = F(2) о (Д(1) = F( 2), i = 1, 2), ?(1) * т?(2) о 1( = F(2H

(2)

7(1)

(2) • _

F(1) * F(2) о 1 (F(1) = F(2)), F(1) l F(2) о (F(1) l F(2> , i = 1, 2), F(1) 1 F(2) о 1 (F(1) l F(2) л F(1) * F(2)).

Перейдем к формализации двух максимальных векторных оптимумов:

1) стратегия x е X называется максимальной по Слейтеру в Г(2) = (Х, F[x]), если

F [xS] < F [x] Vx е X,

вектор F [x ] является максимумом по Слейтеру в Г(2) (что эквивалентно: для каждой стратегии х е Х найдется хотя бы один номер j(x) = j е {1, 2} такой,

что F(x) m F(xS));

p

2) стратегия x е X называется максимальной по Парето в Г(2), если

F [xP] m F [x] Vx е X,

Р2

а вектор F [x ] е R есть максимум по Парето для Г(2) (что

эквивалентно любому из двух определений — для каждого х е Х: р

а) либо F[x ] = F[x], либо 3 j(x) = j е {1, 2} такой, что Fj[x] < Fj[xp];

р

б) несовместна система неравенств F[x\ l F[x ],

i = 1, 2, из которых, по крайней мере, одно строгое).

S Р S

Обозначим множество x (x ) через Х (соот-

Р Р S

ветственно, Х ). Согласно определениям Х с Х ,

но они могут не совпадать. Факт максимальности в Г(2) по Слейтеру (по Парето) обозначаем

F [xS] = MAXS F [x] (F [xp] = MAXP F [x]).

x e X

x e X

Будем использовать и множества F [Хл] =

= ^[х] I х е Х5}, F[Хр] = {F[х] I х е Хр}. В теории многокритериальных задач [21, с. 158] установлены следующие факты:

Лемма 2 [21, с. 158]. Если в Г(2) = (Х, F[х]) множество Х суть непустой компакт, а компоненты

р

вектора F [х] непрерывны, то множество X ф 0 и стратегия хр е X, найденная из

(ajFJx] + a2F2[x]) = a1F1 [xP] + a2F2[xP]

max(

x e X

при каких-либо at = const > 0, i = 1, 2, максимальна по Парето в Г(2), множество Xp внутренне Р-устой-

чиво, т. е. V x(j е XP имеет место F[x(1)] m F[x(2)], а также внешне Р-устойчиво, т. е. V x е Х и

P P Р

x g X существует стратегия x е X такая, что

F [x] m F [Л

3. СТРОГО ГАРАНТИРОВАННОЕ ПО ИСХОДАМ И РИСКАМ РЕШЕНИЕ

3.1. Интерпретация максимина «с позиции» двухуровневой иерархической игры двух лиц

Максиминное решение (xg, f g) задачи (2) определяется цепочкой равенств

max min f(x, у) = minf(xg, y) = fg. (5)

x e X y e Y y e Y

Используя «информированные неопределенности», выражение (5) можно представить как последовательное «действие» двух операций: внутреннего минимума — для игрока нижнего уровня — построение у(х): Х ^ Y такого, что

min f(x, у) = f(x, y(x)) = f [x] Vx e Х; (6)

У e Y

предполагая, что вектор-функция у(х) единственна, переходим к операции внешнего максимума (для игрока верхнего уровня иерархии)

max f(x, у(x)) = f(xg, y(xg)) = fg.

x e X

(7)

Тогда в иерархической двухуровневой игре с одним игроком на каждом уровне:

первый ход за ИО — игроком верхнего уровня: он передает на нижний уровень «свои» возможные стратегии х е Х;

второй ход за игроком нижнего уровня — он аналитически конструирует у(х) согласно (6) и, если у(х) единственно, передает у(х) на верхний уровень;

третий ход за игроком верхнего уровня — он находит пару (х^ fg) согласно (7).

Приведенное «трехходовое понятие» укладывается полностью в определение гарантированного результата первого (ведущего) игрока в игре Г(1) (по Гермейеру), если в работе [17, с. 104] заменить функцию выигрыша ведомого на — /(х, у). Нетрудно видеть также, что находясь в рамках игры Г(1), ведущий игрок, если знает правило поведения ведомого, может сам вычислить реакцию ведомого и сразу реализовать третий ход. Еще раз подчеркнем, что аналог и модификацию такого «трехходового понятия» удобно применять к построению гарантированного решения с учетом исходов и рисков для бескоалиционного и кооперативного вариантов конфликта.

Замечание 2. Максиминное решение определяется парой (х * /g) по двум причинам:

а) каждой стратегии х е Х (в результате операции внутреннего минимума (6)) ставится в соответствие гарантия f[x], ибо

f [х] < f(x, y) Vy е Y

(так как исход f [x] «обеспечивает себе» ИО при любых y е Y благодаря применению стратегии х);

б) из таких гарантий ЛПР выбирает наибольшую (максимальную), ибо

f8 = f[x8] l f[x] Vx е X.

Итак, ЛПР предлагается применить в задаче (2) стратегию x8, тем самым «обеспечивая себе» наибольшую (максимальную) гарантию f [x8] = f (x8,

y(x8)) < f (x8, y) Vy е Y. Этот же прием применим при формализации сильно гарантированного по исходам и рискам решения (СГР) задачи (3), (4).

3.2. Формализация

Определение 1. Пару (xp, F8 = F [xp]) е Х sR2 назовем сильно гарантированным по исходам и рискам решением однокритериальной задачи (2), если в задаче (3):

1°) существует для каждых х е Х и i = 1, 2 «своя» гарантия

F[x] = min F(x, y) < F(x, y) Vy е Y;

y е Y

2°) стратегия xp максимальна по Парето (xP е Xp) в двухкритериальной «задаче гарантий» (Х, F [x]).

Замечание 3. Отметим, что:

— в случае компактности Х, Y, выпуклости Y, непрерывности f(x, y) на Х s Yи ее строгой выпуклости по у при каждом х е Х такое гарантированное решение существует (что сразу следует из леммы 1, п. а и леммы 2), причем при использовании ИО стратегии х е Х значение F1[x] будет гарантией по исходам (FJx] < F1(x, y) V y е Y), а F2[x] — гарантией по рискам, ибо F2[x] < F2(x, y) V y е Y;

— п. 1° определения 1 связывает с каждой стратегией х е Х векторную гарантию F [x] < F(x, y) Vy е Y (аналог операции внутреннего минимума в определении максимина);

— п. 2° предлагает лицу, принимающему решение, применять максимальную (по Парето) гарантию FИ (аналог операции внешнего максимума), ибо при х е Х и х ф xp увеличение одной из гарантий F[x] > Fj[xP] неизбежно влечет уменьшение другой Fk[x] < Fk[xP], к ф j е {1, 2};

— вследствие внешней и внутренней Р-устой-

р

чивости множества X , выбор лицом, принимаю-

щим решение, стратегии xP е ХР «обеспечивает»

ему «самую большую» — неулучшаемую вектор-Р

ную гарантию F[x ] (конечно, в рамках максимальности по Парето);

— гарантия F1[x] ограничивает исходы f (x, y) снизу, ибо f(x, y) 1 F1[x] Vy е Y, а риски Ф(х, y) — сверху, так как Ф(х, y) < — F2[x] Vy е Y. Этот подход полностью соответствует желаниям рисконейтра-ла (см. Введение) увеличить исход и одновременно уменьшить риск.

3.3. «Иерархическая» интерпретация определения 1

Как и в п. 3.1, рассматриваем двухуровневую игру с одним игроком на каждом уровне (рис. 1).

Порядок построения СГР

Первый ход за игроком верхнего уровня: он, также как в понятии максимина, посылает на нижний уровень свои возможные стратегии х е Х.

Второй ход за игроком нижнего уровня; он аналитически конструирует две функции F[x], i = 1, 2, согласно

F[x] = min Fi(x, y) Vх е Х,

' У е Y

строя тем самым для каждой стратегии х е Х векторную гарантию F [x] = (F1[x], F2[x]), и отправляет векторную гарантию F [x] на верхний уровень иерархии.

Третий ход снова за игроком верхнего уровня:

он находит максимальную по Парето стратегию xP в двухкритериальной «задаче гарантий» (Х, F [x]) и

строит соответствующий вектор Fg = (F1[xP], F2[xP]).

Тогда пара (хр, Fg) и образует строго гарантированное по исходам и рискам решение задачи (2). «Двухкритериальный смысл» такого решения см. в замечании 3.

Рис. 1. Порядок построения СГР

3.4. Существование

Существование (x^, Fg) устанавливает Утверждение 1. Если в задаче (2) множества Х и Y компакты (замкнуты и ограничены в соответствующих евклидовых пространствах), а критерий f(x, у) непрерывен на Х s Y, то в однокритериальной задаче (2) существует сильно гарантированное по исходам и рискам решение.

Доказательство. Из непрерывности f(x, y) и Ф(х, у) = maxf (z, y) — f (x, у) на Х s Y, а также компакт-

z е X

ности Х, Y и леммы 1, п. а следует существование непрерывных на Х функций F[x] = min F(x, y), i = 1, 2. По' У е Y '

этому линейная свертка Y(x) = ajFj[x] + a2F2[x] при, например, aj = a2 = 1 также непрерывна на Х. По теореме

p

Вейерштрасса тогда найдется стратегия x е X, для ко-pp

торой max Y(x) = Y(x ). По лемме 2 такая стратегия x

x е X

максимальна по Парето в задаче (3) (безотносительно к конкретному виду Fi[x], i = 1, 2). Затем по стратегии

xp е Xпостроим вектор Fg = (Fj[xp], F2[xp]) е R2. Пара

Р g

(x , Fg) как раз и образует сильно гарантированное по исходам и рискам решение задачи (2).

Замечание 4. Для построения явного вида сильно гарантированного решения (xp, Fg) определение 1 «диктует» следующие этапы.

Этап 1. Найти min f(x, у) = Fl [x] Vx e Х.

У e Y

Этап 2. Найти min[—Ф(x, у)] = —maxФ(x, у) =

y e Y y e Y

= F2[x] Vx e Х.

Этап 3. Определить максимизатор xP = = argmax (FJx] + F2[x]) и построить Fi[xp], i = 1, 2.

x e X

Тогда пара (xp, Fg = (Fx[xP], F2[xP])) является сильно гарантированным по исходам и рискам решением задачи (2).

3.5. Линейно-квадратичный вариант задачи с ограниченной скалярной неопределенностью

Рассматриваем однокритериальную задачу Гл = <Х = R", Y = {у e R|ух < у < у^, f(x, у)),

x' — вектор-строка); En — единичная ns «-матрица, 0" — нулевой n-вектор, || || — евклидова норма. Предполагаем (только для сокращения громоздких записей), что у2 = — у1 = у0 > 0.

Условие Х = R" не позволяет воспользоваться утверждением 1 для решения вопроса существования СГР в задаче Гл; поэтому найдем ограничения на постоянные параметры (в критерии (8)), достаточные для существования, и при этом построим явный вид сильно гарантированного по исходам и рискам решения.

Будем следовать этапам 1—3 из замечания 4.

Этап 1 (построение функции FJx] =

= min f(x, у), определенной на R").

у e [ -y , у ]

Лемма 3. Если С > 0, то глобальный минимум (при каждом х e Х)

^(x) = min f(x, у) =

y e R

A - -ICE"] x + 2x' (a - bg) - - . (9)

= x'

Доказательство. Функция (8) строго выпукла по

у для каждого х е Rп, ибо df = 2C > 0.

0y2

Построим теперь «информированную неопределенность» y(x): Rп ^ R такую, что

min f(x, y) = f(x, y(x)) Vx е Rn.

y e R

Достаточные условия выполнения этого тождества имеют вид

Д( У y )

dy

= 2xb + 2 Cy(x) + 2c = 0 Vx е Rn,

У = У (x)

ад-у) = 2C > о. dy2

Отсюда следуют при Vx е Rn, что

y(x) = - ¿(xb + c)

в которой линейно-квадратичный критерий

/(х, у) = х'Ах + 2хЪу + Су2 + 2а'х + 2су, (8)

где (п х п)-матрица А постоянна и симметрична, также постоянны п-векторы-столбцы а и Ъ; С и с — числа. Далее А < 0 означает, что квадратичная форма х'Ах определенно отрицательна, а штрих сверху отвечает операции транспонирования (например,

Поэтому

2xby + Cy2(x) + 2cy = -Cy2(x).

1

min f(x, y(x)) = xAx + 2a x — — (xb + c)(bx + c) y e r C

и, наконец, перемножая, получаем справедливость выражения (9).

и

Лемма 4. Если С > 0, то для х е Rn, удовлетворяющих ограничению

-Cy0 - c m b'x m Cy° - c,

(10)

минимум функции /(%, у) из выражения (9) совпадает с минимумом функции/(%, у) на отрезке [—у0, у0].

Доказательство. Для каждого х е Яп функция /х, у) из выражения (8) строго выпукла по у (ибо С > 0). Поэтому при Ух е Яп частные производные

f( x, y ) dy

f( - y)

dy

= 2xb - 2Cy0 + 2c < 0,

= 2xb + 2Cy0 + 2c > 0

(11)

(т. е. функция /(х, у) для каждого х е Х убывает при возрастании у < —у0 и возрастает при возрастании у > у0).

Наконец, оба строгих неравенства (11) справедливы для тех и только тех х е Яп, при которых выполнена цепочка неравенств (10).

Утверждение 2. При С > 0 искомая функция

F1[x] = min f(x, y) =

1 г 0

У е [ -У , У ]

f( x, -y0) при b'x > Cy0 - c,

¥( x) при b'x е (- Cy0 - c, Cy0 - c), (12)

f( x, y0) при b'x < - Cy0 - c,

где скалярная функция (см. (9))

и 2-,

¥(x) = x'

A - En öj

x + 2x' \a - b-) - -. ♦

2

c. C---- .

Доказательство следует из леммы 4. Замечание 5. Согласно выражению (12) функция F1 [x] непрерывна на Rn. ♦

Этап 2 (построение функции F2[x] = = min [-Ф^, y)]). Прежде всего, укажем явный

г 0

У е [ -У , У ]

вид функции риска Ф^, y) = max f(z, y) - f(x, y).

d"

Z е R

Лемма 5. Если в критерии (8) постоянная (п s п)-матрица A < 0, то

Ф(х, у) = -x'Ax - 2x'by - b'A-1by2 -

— 2a'x — 2aA 1by - a'A 1a = = -(xA + by + a')A-1(Ax + by + a). ♦ (13)

Доказательство этого факта см. в работе [2, с. 97-98].

Лемма 6. Если в задаче (2) матрица A < 0 и n-век-тор b ф 0 , то функция Ф(х, у) строго выпукла по у и

F2[x] = min [—Ф(х, y)] =

-y s y s y

= -тах{Ф(х, -у0), Ф(х, у0)}.

Доказательство. Справедлива цепочка импликаций

(A < 0) ^ (А-1 < 0) ^ (bA-1b < 0), так как b ф 0n, а из выражения (13) получаем

2

d [ -ф У) ] = bA-1b < 0.

dy2

Поэтому при каждом х е Rn и функция риска Ф(х, у) строго выпукла по у е [—y°, у0]. ♦

Максимум строго выпуклой по у функции Ф(х, у) достигается на ее граничных точках. Поэтому

min [-Ф^, y)] = - max Ф(х, у) =

00 -У - У - У

00 -У - У - У

= -max{Ф(х, -у0), Ф(х, у0)}.

(14)

Здесь

Ф(х, у) = -x'Ax - 2x'byt - b'A-1b(y)2 -

- 2a'x - 2a'A-lbyt - a'A-la, l = 1, 2,

00 где yj = -у и y2 = у .

Лемма 7. При A < 0, b ф 0n

Ф(х, -у0) - Ф(х, у0) = 4у°(Ьx + b'A-la). ♦ (15)

Доказательство см. в работе [2, с. 99]. Утверждение 3. Если в критерии (8) матрица A < 0 и n-вектор b ф 0n, то

F2[x] = min [—Ф(x, y)] =

2 0^ „ 0

-y s y s y

_ [-Ф( x, -y°) при b'x > -a, _

-Ф(x, y ) при b'x< -a,

x 'Ax + 2 x'(- by0 + a) + (- b'y0 + a ) A-1( - by0 + a) при b 'x > -a,

x'Ax + 2x'(by0 + a) + (b y0 + a')A-1 (by0 + a) при b 'x < -a,

здесь а = Ь'А а.

Доказательство. Если в формуле (15) будет Ьх > -а, то Ф(х, -у0) > Ф(х, у0) о -Ф(х, -у0) < -Ф(х, у0), и тогда из выражения (14) следует справедливость первой строки в выражении (16); аналогично устанавливается вторая строка.

о

о

Этап 3 (построение максимальной по Парето

р

стратегии х = а^шах (^[х] + ^2[х])). Далее всюду

пп

X е К

до окончания п. 3.5, не оговаривая особо, будем считать выполненными

Условия 1. В задаче (2) постоянная симметричная (п х п)-матрица А < 0, постоянный п-вектор Ь * 0 , число С > 0. ♦

(-да, -Су0 - с], (-Су0 - с, Су0 - с), [Су0

Здесь выделяем три случая в зависимости от принадлежности точки —а одному из трех интервалов

с, +да).

В каждом из этих случаев значения Ь 'х могут принадлежать одному из шести интервалов, на которые

могут разбить множество Я точки —а, —Су0 — с и

Су0 - с.

Случай 1: (—а е (—да, —Су0 — с]) Утверждение 4. Пусть для задачи (2) выполняются условия 1, тогда при —да < Ь'х < —а < (—Су0 — с)

гарантированное по исходам и рискам решение р р р

(х , / , Ф ) имеет вид

хр = —А-1(Ьу0 + а),

/р = /(хр, у0) = [—ЬА-1Ь + С ](у0)2 + + 2(-аА-1Ь + с) у0 — а'А-1а,

Фр = Ф(хр, у0) = 0.

откуда

/р = /(/, y0) = F1[xP] = [-bA-1b + C](y0)2 + + 2(-aA-1b + c)y0 - aA-1a,

ФР = Ф(хр, y0) = = -((xP) A + b'y° + a )A-1(AxP + by0 + a) = 0. Утверждение 5. Если выполнены условия 1 и

—а < b'x < (—Су0 — с), то гарантированное по ис-

р р р

ходам и рискам решение (x , f , Ф ) принимает вид

-1,

xP = -A

fP = C(y0)2 + 2(-aA 1b + c)y0 - a'A 1 a, (18)

ФР = -bA-1b(y0)2.

Доказательство. По утверждениям 2 и 3 стратегия xP является максимизатором Fj[x] + F2[x], т. е.

xP = arg max (f(x, y0) - Ф(х, -y0)).

x e R

Согласно выражениям (12) и (16) тогда max Ф2(х) = ф2(хр),

пп

x e R

где Ф2(х) = 2хАх + 4ха. Из достаточных условий

0ф2( х)

дх

= 4AxP + 4а = 0,,

Доказательство. В случае bx < —а < (—Су — с), согласно утверждениям 2 и 3, найдем максимизатор xP:

max (F1[x] + F2[x]) = max /(x, y0) - Ф(х, y0)] =

nn nn

x e R x e R

= /(х*, y0) - Ф'х*, y0). (17)

Исходя из вида функции /(х, y0) в формуле (8) и Ф(х, y0) из выражения (16), стратегия xP удовлетворяет равенству (17), если

р

max ф1(х) = ф1(х ),

пп

x e R

где ф1(х) = 2хАх + 4х'(Ьу° + а). Достаточные условия при этом будут иметь вид

grad^Pj (х)|

_ дФ1( х)

дх

= 4Ахр + 4(by0 + а) = 0n,

ддШ = 4A < 0.

дх

Из первого равенства получаем

/ = -A-1(by0 + а),

^ = 4А < 0

дх

р _1

находим стратегию х = —А а, подставляя которую в выражение (8), найдем

/р = /(хр, у0) = (хр)Ахр + 2(хр) (Ьу0 + а) + у0(Су0 + 2с). Аналогично для

ФР = -((хр) А - Ьу0 + а' )А_1(Ахр - Ьу0 + а) = = —ЬА_1Ь(у0)2 > 0.

Аналогично рассматриваются и остальные возможные случаи (результаты сведены в таблицу; предполагается, что в выражении (8) матрица А < 0, вектор Ь * 0П, число С > 0).

Замечание 6. Почему тройка (хр, /р, Фр) является строго гарантированным по исходам и рискам решением задачи (2)? Напомним, что в задаче (2) ЛПР «выступает» как «рисконейтрал» (см. Введение): он выбирает стратегию х е Х так, чтобы:

— его исход /(х, у) стал возможно большим и одновременно соответствующий риск по Сэвиджу Ф(х, у) как можно меньшим, ориентируясь при этом на реализацию любой чистой неопределен-

р

x

р

x

ности у e Y. Выбирая стратегию х e Х, ЛПР гарантирует себе исход, не меньший

F1[x] = f [x] = min f(x, у) < f(x, у) Vy e Y,

1 0^0 -y s у s у

и одновременно риск, не больший

—F2 [x] = Ф[x] = max Ф(x, у) l Ф(x, у) Vy e Y;

2 0^ „ 0

-y s у s у

— считая эти гарантии (f [x], Ф[x]) «равноправными», ЛПР предпочитает использовать стратегию xP, максимальную по Парето в двухкритери-альной задаче <Х, {f [x], — Ф[x]}) (максимальную в <Х, f [x] — ФМ)).

Из этой паретовости следует, что, прежде всего, при переходе ЛПР к стратегии x ^ x увеличение гарантированного исхода f [x] > f [xP] неизбежно влечет увеличение гарантированного риска

Ф[x] > Ф[xP], далее, уменьшение гарантированного риска ФМ < Ф[/] приводит к уменьшению га-

рантированного исхода f [x] < f [xP]. Таким образом, переход от двухкритериальной задачи при неопределенности

{Х, Y, {f (x, у), -Ф(х, y)}>

к двухкритериальной «задаче гарантий без неопределенностей»

{Х, {min f(x, y) = f [x], -тахФ(х, y) = -Ф[х]}>

y e Y y e Y

с последующим использованием векторного максимума (по Парето) позволяет «выйти» на явный вид гарантированного решения с позиции «риско-нейтрала».

Однако недостатком предпринятого здесь подхода выступает ориентация на «самые плохие»

(маленькие) исходы min f(x, y) = f [x] и на «самые

y e Y

большие» риски maxФ(x, y) = ФЭД. Ослабить этот

y e Y

недочет позволяет другой способ выбора гарантированного по исходам и рискам решения, ориен-

Явный вид гарантированного по исходам и рискам решения (Х, fP, Фр)

Случай 1: -a < (-Су0 - с) Случай 1а: -да m bx m -a / = -A-J(by0 + a), f P= [C - bA-Jb](y0)2 + 2(c - aA-Jb)y0 - aA-Ja, ФР = 0

Случай 1б: -a< bx m (-Су0- с) xP = -A-Ja, fP = C(y0)2 + 2(c - aA-Jb)y0 - aA-Ja, ФР = -bA-Jb(y0)2 > 0

Случай 2: (-Су0 - с) < - a < Су0 - c Случай 2а: (-Су0 - с) < bx m -a xP= -[2A - llC £„]-1 (2 a + b(y° - ß , fP= (xP)'[A-xP + 2(xP)'(a-b|) - C , ФР = -((xP) A + by0 + a' )A-J(AxP + by0 + a)

Случай 2б: - a < ¿x < Су - c xP= -[2A - М- E„]-1 (2 a - b (/ + C)) , fP= (xP)'[A-ICeJxP + 2(xP)'(a-b|) - C , ФР = - ((xP) A - by0 + a')A-J(AxP - by0 + a)> 0

Случай 3: -a l Су0- с Случай 3а: (Су0 -с) m bx m-a xP = —A-Ja, fP = C(y0)2 - 2(c - aA-Jb) y0 - aA-Ja, ФР = -bA-Jb(y0)2 > 0

Случай 3б: -a < ¿x < да xP= A-J(by0 - a), fP = [C - bA-Jb] (y0)2 - 2(c - aA-Jb) y0 - aA-Ja, ФР = 0

тированный на векторный максимин [22], разработка которого начата в 1990 г. одним из авторов в книге [23], близкой задаче посвящено уже значительное число публикаций, из которых особо отметим [24, 25].

4. МАКСИМИН ПО СЛЕЙТЕРУ

4.1. Формализация векторного максимина

Рассматриваем двухкритериальную задачу при неопределенности

Г = (Х, Y, F(x, y) = (F(x, y), F2(x, y))), (19)

ориентация здесь, в конце концов, на F1(x, y) = = f(x, y), F2(x, y) = —Ф(х, y), где f(x, y) — критерий из задачи (2), а Ф(х, y) — функция риска по Сэвид-жу (1). Так же, как в задаче (3), (4), в двухкрите-

риальной задаче (19) стратегии ИО есть х е Х с Rn, чистые неопределенности y е Yc Rm, наряду с чистыми будем использовать «информированные неопределенности» — m-мерные вектор-функции У(х): Х ^ Y, в этом случае определенный на Х s Y векторный критерий

F(x, y) = (F1(x, y(x)), F2(x, y(x))) = F(x, y(x)) = = F[x] = (F1[x], Fj[x]).

Пусть в критерии (19) «заморожена» стратегия х е Х, т. е. получаем Г(х) = (x, Y, F(x, y)). Используем бинарные отношения строгого порядка (>) и (>) из § 2.

Неопределенность yS(x) называется минимальной по Слейтеру в задаче Г(х), если F(x, yS(x)) > F(x, y) Vу е Y; множество таких yS(x) обозначим YS(x). Далее используем обозначение F(x, yS(x)) =

= MINS F(x, y).

У е Y

Определение 2. Стратегия Х называется максиминной по Слейтеру в задаче (19), если существует «информированная неопределенность»

УS (x) е YS(x) V х е Х, для которой

F(xS, Уs (xS)) < F(x, yS(x))

при всех х е Х и yS(x) е YS(x). ♦

S

При этом n-вектор х называют максиминной по Слейтеру стратегией в задаче (19), сам вектор

SS

F(x , yS (x )) — максимином по Слейтеру, а пару

S S S

(х , F(x , yS (x ))) назовем максиминным по Слейте-

ру решением задачи Г.

Если воспользоваться обозначениями из § 2 и

MINSF(x, y) = F(x, yS(x)) = F[x] Vхе Х, (20)

У е Y

MAXS F(x, ys(x)) = F(xS, ys (xS)), (21)

x е X ) е Ys(x)

то аналогом понятия максимина из п. 3.1 будет

F(xS, yS (xS)) = MAXS U MINS F(x, y) =

x е X y = y_y( x) е Y_y( x)

= MINS F(xS, y).

y е Y

Операция (20) соответствует нахождению внутреннего минимума (из п. 3.1), а операция (21) — операции внешнего максимума.

Замечание 7. Вектор F [x] = F(x, yS(x)) является векторной гарантией для каждой стратегии х е Х. Действительно, из выражения (20) имеем

F[x] = MINSF(x, y),

y е Y

и поэтому F[x] > F(x, y) V у е Y, т. е. при использовании любой стратегии х е Х все компоненты Fi(x, y) вектора F(x, y) не могут стать одновременно меньшими F[x], i = 1, 2, ни при каких у е Y. Таким образом, F [x] ограничивает убывание F(x, y) одновременно по двум компонентам. Однако для одних и тех же стратегий х е Х

min F.(x, y) < F(x, y) Vу е Y,

y е Y

и тогда

min F(x, y) < F.(x, yS(x)) Vх е Х, i = 1, 2.

y е Y

В этом смысле гарантии в строго гарантированном по исходам и рискам решении (см. определение 1) покомпонентно не больше, чем векторные гарантии F [x] из определения 2. Как раз этим обстоятельством и вызван термин «сильно» (гарантированное решение). ♦

Затем, согласно выражению (21), из всех таких векторных гарантий выбрана в качестве максимин-ного по Слейтеру решения наибольшая в «векторном смысле» (максимальная по Слейтеру) по отношению ко всем компонентам F [x], ибо F [x] > F [xS].

4.2. Геометрическая интерпретация

Пусть х — максиминная по Слейтеру стратегия в двухкритериальной задаче (19), а yS (x )) — соответствующее значение неопределенности. Согласно определению минимума по Слейтеру каждому

х е Х ставится в соответствие множество минимальных по Слейтеру значений Д(х, У*(х)) векторного критерия Д(х, у), т. е.

Д(х, у) < Д(х, у*(х)). (22)

Таким образом,

Д(х, у*(х)) = и ит5/(х, у).

* У е X)

Тогда из условия (22) следует, что при каждых х е Х и ус(х) е У*(х) точки множества Д(х, У) = = {Д(х, у) | у е У} не могут попасть внутрь прямого угла О(х, ус(х)) с вершиной в точке Д(х, ус(х)) (для всех ус(х) е Ус(х)). На рис. 2 указаны три таких

прямых угла О(х, у^ (х)), к = 1, 2, 3, ограничивающих изменение Д(х, У) в юго-западном направлении. В частности, таким свойством обладают

с

максиминная стратегия х и соответствующая нел с

определенность ус(х ) (рис. 3).

>\\\\\^£(Х) у5 (х))}

77777Я\

в(х, ул- (х))/_:

111111111111М^ГТТШПШТТ

в(х, у<3(х))

Рис. 2. Интерпретация множества Г^(х) при фиксированном х

\Л\^(Х) 7) \\\\ Л\\\\\\\\\\ /(х5) у5(X5)) \\\\\\ ■ у Ч Ч\ \ Ч \ \ \ \ \1

0(х5, У^х5)) ^

3 /2

Рис. 3. Интерпретация эффекта векторной минимизации для

с

максиминной стратегии х

(1)

(X 1 ) ))

^ Ь(х5, у5(х5))

V, /(X5, у5(X5))

/(х<2), 75(х(2) ))

г(х<3>, У3(х<3) ))

Рис. 4. Интерпретация эффекта векторной максимизации для х

С другой стороны, в условии (22) значение векторного критерия Дх*, у (х*)) сравнивается с множествами Д(х, Ус(х)) при каждом фиксированном

х е Х. Эти множества суть минимальные по Слейтеру значения векторного критерия Д(х, у) при данном х. Тогда условие (22) означает, что точки Д(х, У*(х)) при всех х е Х и ус(х) е !*(х) не попадают

внутрь прямого угла Ь(хБ, у (хс)) с вершиной в той

же самой точке Д(хс, у с (хс)), но направленного противоположно углам О. На рис. 4 указаны расположения трех множеств Д(х(к), 1*(х(к))), к = 1, 2, 3,

С /V С

относительно точки Д(х , ус (х )).

Таким образом, максимин по Слейтеру

С /V С С /V С

Д(х , ус (х )) ограничивает углом Ь(х , у (х )) распространение (в северо-восточном направлении) минимальных по Слейтеру значений Д(х, Ус(х)) Ух е Х.

4.3. Существование

Утверждение 6. Если в однокритериальной задаче

при неопределенности Г(1) = (Х, У, /(х, у)) множества

X е сошрЯп, У е сошрЯт, а критерий /(х, у) непрерывен на Х х У, то для двухкритериальной задачи при неопределенности

Г(1) = (Х, У, Д(х, у) = (ДДх, у) = /(х, у), Д2(х, у) = -Ф(х, у)))

существует максиминное по Слейтеру решение (хс, Д(хс, у* (хс))) е Х X Я2.

Доказательство. Функция риска по Сэвиджу Ф(х, у) непрерывна на Х х У (замечание 1). Тогда из компактности Х, У и непрерывности компонент Дх, у)

2

на Х х У, а также из работы [23, с. 17—21] сразу следует существование максиминного по Слейтеру решения

(х5, Д./, у 5 (/))) задачи Г(1).

4.4. Задача с «разделенными» критериями

Согласно определению 2, при «разделенном» (по стратегиям и неопределенностям) векторном

критерии Дх, у) = ф(х) + у (у), Д, ф, у е В задачу построения максиминного по Слейтеру решения

(х5, Дх5, ус (х5))) можно свести к следующим четырем этапам.

Этап 1. Для двухкритериальной задачи

Гф = (Х, ф(х)> найти все множество

Х5 максимальных по Слейте-

ру стратегий х , т. е.

ф(х5) < ф(х) Ух е Х, х5 е Х5,

затем построить множество ф(Х5) = {Дх) I х е Х5} максимумов по Слейтеру для задачи Гф.

Этап 2. Для двухкритериальной задачи Г^ = = (У, у(у)> найти все множество Ус минимальных по Слейтеру неопределенностей у5 и у(Ус) = = {у(у) I у Е У5}, т. е.

у(у) < у(у^) Уу Е У, у^ Е У^.

Этап 3. Сложить множества ф(Х5) + у(Ус),

например, по правилу ф(Х5) + у(Ус) = {у(У5) +

+ ф I ф Е ф(Х5)}.

Этап 4. Построить множество максимумов по

S S

Слейтеру F для ф(Х ) + y(YS) и уже для точки

S S S S S

F е F найти пару ф е ф(Х ) и y е y(i^) таких, что фЛ< + yS = FS. Затем определить по фЛ< и yS точ-

S S S S

ки х и yS соответственно: ф = ф(х ), y = y(yS).

Тогда максиминным по Слейтеру решением будет

(xS, ф(х^ + y(yS)).

Пример. Пусть в задаче Г = (Х, Y, F(x, у)) двух-компонентный критерий F(x, у) = x + у, множества

I 2 2 2

Х = {х = (хх, х2)| X! + x2 m c } (рис. 5), Y= {у = = (ух, у2) I - с m yz m c, i = 1, 2}, где c = const > 0 (рис. 6). Далее следуем по указанным четырем этапам.

Этап 1. Построим множество Xs максимальных S

по Слейтеру стратегий х двухкритериальной зада-

обведено жирной чертой (дуга АВ), равенство имеет место благодаря специальному виду критерия

ф(х) = (фДх), ф2(х)) = х = (хр х2).

Этап 2. Найдем множество У5 минимальных по Слейтеру неопределенностей в двухкритериальной задаче Г^ = (У, у (у) = у>, множество У5 = у(У5) выделено жирной чертой на рис. 6 (ломаная СБО). Опять-таки равенство вызвано видом критерия

у(у) = у.

с

Этап 3. Построим множество Х + У5, добавив к каждой точке ус е Ус выделенную четверть окружности АВ. Множество Хс + У5 заштриховано на рис. 7.

х2(ф2) J c ШЯ/л A /У ///Л в ///////I W

Щ 0 ////// c Х1(ф1) /////Xу/

Рис. 5. Множество Xs

s

yi(Vi)

чи Г

(Х, ф(х) = х). На рис. 5 множество Xs = ф(Х^

Рис. 6. Множество У<

s

C

c

D

G

Этап 4. Множество максимумов по Слейтеру для + Ус образуют точки жирной линии PQLMN (см. рис. 7). Например, точке М отвечает макси-

с С

минное по Слейтеру решение (х , Д(х , ус)), где хс = (0, с), ус = (с, -с), Д(х*, ус) = х* + ус = (с, 0) = М.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье предложено два подхода к принятию решения в однокритериальной задаче при неопределенности, о неопределенностях известны лишь границы изменения. В обоих подходах ЛПР стремится не только увеличить исход, но и одновременно понизить риск. Первый подход базируется на подходящей модификации максимина и на принятии решения в иерархической двухуровневой игре, второй — на векторном максимине. Найден явный вид первого решения при линейно-квадратичном критерии.

Авторы благодарят рецензентов за замечания, большинство из которых учтено при подготовке рукописи к печати.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. — М.: ИНФРА, 2008. — 843 с.

2. Жуковский В.И. Риски при конфликтных ситуациях. — М.: URSS, Ленанд, 2011. — 328 с.

3. Сиразетдинов Т. К., Сиразетдинов Р.Т. Проблема риска и его моделирование // Проблемы человеческого риска. — 2007. — № 1. — С. 31—43.

4. Шахов В.В. Введение в страхование. Экономический аспект. — М.: Финансы и статистика, 1994. — 188 с.

5. Цветкова Е.В., Арлюкова И.О. Риски в экономической деятельности. — СПб.: ИВЭСЭП, 2002. — 64 с.

6. Savage L.Y. The theory of statistical décision // J. American Statistic Association. — 1951. — N 46. — Р. 55—67.

7. Wald A. Contribution to the theory of statistical estimation and testing hypothesis // Annuals Math. Statist. — 1939. — Vol. 10. — P. 299—326.

8. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. — М.: Дело, 1998. — 829 с.

9. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. — М.: МНИИПУ, 1997. — 459 с.

10. Zhukovskiy V.I. Lyapunov Functions in Differential Games. — London; N.-Y.: Taylor & Francis, 2003. — 282 с.

11. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. — Киев: Наукова думка. — 1994. — 320 с.

12. Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. — М.: Эдиториал УРСС. — 2004. — 272 с.

13. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. — М.: Наука, 1978. — 328 с.

14. Ватель И.А, Ерешко Ф.И. Игра с иерархической структурой // Математическая энциклопедия. — М., 1979. — Т. 2.

15. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. — М.: МГУ, 1984. — 104 с.

16. Ватель И.А., Ерешко Ф.И. Математика конфликта и сотрудничества. — М.: Знание, 1974. — С. 478—481.

17. Морозов В.В. Основы теории игр. — М.: Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ, 2002. — 150 с.

18. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974. — 456 с.

19. Дмитрук А.В. Выпуклый анализ. Элементарный вводный курс. — М.: ВМиК МГУ, 2012. — 172 с.

20. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. — М.: Высшая школа, 1968. — 286 с.

21. Подиновский В.В, Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982. — 254 с.

22. Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The Vector-Valued Maximin. — N.-Y.: Academic Press, 1994. — 282 p.

23. Жуковский В.И., Молоствов В.С. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. — М.: МНИИПУ, 1990. — 112 с.

24. Поспелова И.И. Классификация задач векторной оптимизации с неопределенными факторами // Журнал выч. математики и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 6. — С. 860—876.

25. Новикова Н.М., Малашенко Ю.Е. Модели неопределенности в многопользовательских сетях. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 160 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. РАН Д.А. Новиковым.

Жуковский Владислав Иосифович — д-р физ.-мат. наук, профессор, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, И zhkvlad@yandex.ru,

Солдатова Наталья Геннадьевна — ст. преподаватель, Московский государственный областной гуманитарный институт, г. Орехово-Зуево, И solnata@pochta.ru.