CC BY
5лосковой клетки и динамику рецепторного потенциала У\ при наличии механического отклонения х верхушки волоскового пучка волосковой клетки [5], где ш, Н\, Н2 — параметры активации и инактивации:
Ст 1 = — /тг — 1т — 1ы, (2)
(ш
тт(У1) — = (твт(У1) - т) <3ю, (3)
М
тнЛУг) ^ = (?1Лет(^1)-Л1)дю, (4)
тн2(У1) ^ = - Ъъ) Яю. (5)
Синаптический ток /8уп описывается алгебраической моделью [6], для которой взят максимальный синаптический ток /¡туПХ = 40 мкА/см2:
59.6962
8УП( ^ " 1+ехР(-^°7Э6031))- (6)
Блок формирования изменения афферентной импульсации, соответствующий процессам в вестибулярном АПН, описывается уравнениями (см. [7]):
Сто2 = — /ка — 1к — 1ь2, (7)
(п
ТпШ— = (поо(У2)-п)Я10. (8)
Здесь У\ — мембранный потенциал волосковой клетки (первичная информация); У2 — мембранный потенциал действия АПН (вторичная информация); Ст — емкость клеточной мембраны; д^ — проводимости токов; тт, Ть — постоянные времени процесса активации; т^, т^2 — постоянные времени процесса инактивации; — стационарные режимы процессов активации и инактивации; д^ —
весовые коэффициенты;
1т1 = 9тг(х,8)(У1-Етг), дтг = дтгР(х,з), р{х,з) = —-1 х-хпл,
1 + ехр(—
/т = дтш3(Н + Н2)(Уг - Ет), /ь1 = дь1 У, /ш = дш (ште (^2))3 (С (У>) - п)(У2 - У^э), /к = дкП4Нк (У2 - Ук), /Ь2 = дЬ2^2 - Еь2),
где /тг, 1т) /ш, /к — ток трансдукции, общий ионный ток волосковой клетки, ток натрия, ток калия; /ь. — токи утечки. Модели (2)-(5) и (7), (8) являются модификациями модели Ходжкина-Хаксли с учетом температурного фактора фю и служат математическим описанием в среднем непрерывных по времени марковских процессов с дискретным числом состояний. Уравнения (3)-(5) и (8) —
шп
вероятности присутствия частиц активации для /т и /к; Н\, Н2, Нк — вероятности отсутствия частиц /т /к
В результате экспериментов на волосковых и биполярных клетках млекопитающих, проведенных в лаборатории нейрофизиологии Института физиологии Автономного университета штата Пу-эбла (Мексика), были получены функциональные параметры модели. Функциональные и численные параметры представлены в [5, 8].
3. Утверждение возможности гальванической коррекции активности афферентного первичного нейрона вестибулярного аппарата (прямой переход в бистабильной системе). Проведем математический анализ построенной математической модели активности АПН вестибулярного механорецентора для утверждения возможности гальванической коррекции активности
АПН в виде прямого перехода в бистабильной системе.
Сначала опишем численные результаты анализа модели АПН вестибулярного аппарата (7), (8). Помимо точки бифуркации Андронова Хонфа найден интервал (рис. 3) существования двух аттракторов периодического аттрактора в левой и правой окрестностях этой точки и точечного аттрактора в левой окрестности данной точки. Интервал бифуркации представляет особый интерес, поскольку свидетельствует о существовании у биосенсоров, в отличие от технических сенсоров, дополнительного третьих) режима режима ожидания механического стимула (два режима у технического сенсора это режим покоя и рабочий режим). Как следует из анализа модели ( 1)—(6), при отсутствии механического воздействия {ùj = 0) значение постсинаптического тока /syn = 1.06 принадлежит этому интервалу бифуркации. При значениях постсинаптического тока в окрестности точки бифуркации (рис. 3) принадлежность сохраняется. Таким образом, корректно назвать интервал бифуркации режимом ожидания механического стимула.
Математический анализ проведем для системы линейных уравнений в вариациях в окрестностях устойчивого фокуса при наличии малых постояннодействующих возмущениий [9]. Построим множество достижимости для такой колебательной системы с помощью принципа максимума Понт-рягина. Решаем задачу Булгакова с нефиксированным временем (модификация В.В. Александрова) и получаем область достижимости, являющуюся множеством точек внутри асимптотически глобально орбитально устойчивого предельного цикла и множеством точек, принадлежащих этому циклу. Результаты математического анализа позволяют поставить задачу о переходе к бистабильной системе. Численный анализ дает построение двух периодических аттракторов на фазовой плоскости. Первый основной глобально орбитально устойчивый предельный цикл, отражающий генерацию релаксационных автоколебаний мембранного потенциала АПН. Второй предельный цикл, асимптотически орбитально устойчивый в обратном времени, являющийся границей области притяжения точечного аттрактора устойчивого фокуса, расположенного внутри основного периодического аттрактора.
Решаем последовательность задач Булгакова о накоплении возмущения при помощи принципа максимума Понтрягина для задачи о максимальном отклонении с нефиксированным временем. Анализ геометрической разности двух рассматриваемых множеств D и A подводит к утверждению о возможности перехода из области притяжения точечного аттрактора в область притяжения периодического аттрактора. Рассмотрим возмущаемую систему (например, уравнения для модели АПН (7), (8) в п. 2 при наличии возмущения)
У = f (У, v(t)) = /(y) + bv о + bvi(t),
vi(0 € V = {vi(0 € KC | |vi(t)| < ¿1 < 1}, ()
A
дельный цикл с областью притяжения. Тогда можно построить глобально устойчивый цикл, являющийся границей множества достижимости Dœ линейной системы
x = A°(v°) x + bvi(t),
(10)
vi(-) € V = {vi(-) € KC | |vi(t)| < ¿i < 1},
представляющей собой систему уравнений в вариациях для системы (9), и осуществить переход из области притяжения точечного аттрактора в область притяжения периодического аттрактора при выполнении условия d(Dœ, A) = шаххедто minyeA p(x, y) > 0 гДе P — расстояние между точками x, y и d — дистанция (полурасстояние) Хаусдорфа (рис. 4).
Предельный цикл
0.1
0.7
0.92
1.147
^syn
Устойчивый узел ,, „ .
Устоичивыи фокус
Центр
Рис. 3. Интервал бифуркации в левой окрестности точки бифуркации Андронова Хопфа для математической модели АПН на бифуркационной диаграмме параметра /нуп [7]
Сформулированное утверждение можно применить к задаче гальванической коррекции активности АПН. Для этого но аналогии с ностояннодействующим малым возмущением в биетабильной динамической системе введем аддитивную добавку гальванического тока коррекции Р(¿) в математической модели активности АПН (7) при Ь € [¿о,^], 0 ^ Р(¿) ^ 5:
лу
ст = /8уп + ъР(1) - 9ь(У - Уь) - 9ш(тиУ))3(С(У) - п)(У - РЫ - 9кп41гк(У2 - Ук). (11)
Линеаризуем эту модель и, используя сформулированное ранее утверждение, находим точную границу множества достижимости. В соответствии с упомянутым утверждением численно получаем при данном значении поетеинаптичееко-го тока интенсивность гальванического тока, при которой дистанция Хаусдорфа положительна. Следовательно, можно констатировать наличие перехода из области притяжения точечного аттрактора в область притяжения предельного цикла (рис. 4). Для математической модели АПН это означает переход из режима ожидания механического стимула в режим генерации спайков. Иными словами, имеем активацию АПН, что и является гальванической коррекцией активности АПН [10].
4. Обратный переход в биетабильной системе. Рассмотрим нелинейную систему модель Ходжкина-Хаксли (11) — под действием малого постояннодействующего возмущения -и(Ь) = Р (¿)
Ы-) € У = {VI(■) € КС : 0 < VI(¿) < 51 < 1}.
При = 0 система (7), (8) имеет асимптотически устойчивый по Пуанкаре предельный цикл у°(Ь) с периодом Т = 35.2 мс для /8уп = 0.99 мкА/см2.
Обратным переходом в биетабильной системе назовем переход из области притяжения периодического аттрактора в область притяжения точечного аттрактора. В рамках модели (10) это означает переход системы из состояния генерации импульсов в состояние ожидания механического стимула. Задача обратного перехода заключается в построении множества достижимости в окрестности предельного цикла, а затем в сравнении множества с множеством притяжения точечного аттрактора Л. Если их пересечение не пусто, то система Ходжкина-Хаксли может осуществить обратный переход под действием малого поетояннодейетвующего возмущения.
В окрестности периодического решения у°(Ь) строим систему в вариациях:
х = А(1)х + ЬЩ(1), х = у-у°(1), А(1)= (12)
где Ь = (1,0)т, Л(Ь + Т) = Л(Ь), 51 = 0.1. Начало координат системы (12) движется по орбите У°(Ь), оси же являются параллельными осям координат нелинейной системы (11). Следующим шагом является нахождение фундаментальной нормированной матрицы Xf = Л(Ь)Х/ с начальными условиями Xf (0) = Е2.
Согласно теории Флоке [7], среди множества фундаментальных матриц решений существует специальная фундаментальная матрица Х5(Ь):
Ха(1) = Фа(1) • (Иае ет1п , (13)
где Ф5(Ь + Т) = Ф5(Ь), Р2 — второй мультипликатор Флоке. С помощью равенства (13) для матрицы Х3(¿) можно получить более удобную формулу для максимальных отклонений системы (12).
Рис. 4. Возможность обратного перехода при положительном полу расстоянии Хаусдорфа: точка М граничная точка области притяжения точечного аттрактора, точка N граничная точка множества достижимости при наличии гальванического
стимула
Для перехода к матрице Х8 (¿) воспользуемся матрицей 5 = ($1,$2):
Хв(*) = X/ (¿) ■
Матрица перехода 5 не единственна и, согласно [7], должна удовлетворять условию
5-1 ■ X/(Т) ■ 5 = diag(1,p2).
(14)
Если в качестве векторов $1 и $2 выбрать собственные векторы матрицы монодромии X/(Т), то условие (14) будет выполняться.
Таким образом, получаем новую квазинормальную систему координат, ее начало координат также движется по орбите предельного цикла. Одна ось будет касательной к точке у0(0), расположение другой зависит от матрицы перехода 5. В данном случае угол между осями составляет р ~ 19°.
Максимальные отклонения по одной координате имеют вид
max xsi(t\) =
/еГф*(*i) (о e(*inH)(tl-s)) ^l(s)bVl(s)ds
1де
i = 1,2.
Воспользуемся методом условного градиента для поиска максимального отклонения по двум координатам. То есть решим задачу поиска максимума функционала 3 = (ж1)2 + (ж2)2 для разного
количества начальных векторов. Чем больше начальных векторов будет использовано, тем с большей точностью будет построена граница области достижимости . На рис. 5 приведен график построения множества достижимости при ¿1 = 35.2 мс и 25 0000 начальных векторов. Очевидно, что пересечение множеств и А* непусто (см. [111).
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 V, мВ Следовательно, сущест-
Рис. 5. График построения множества достижимости и пересечение вует возможность перехода с областью притяжения точечного аттрактора системы (11) за время ¿1 =
35.2
действием постояннодействуюгцего возмущения
Публикация подготовлена в рамках реализации Программы создания и развития научного центра мирового уровня "Сверхзвук" на 2020 2025 годы при финансовой поддержке Минобрнауки России (распоряжение Правительства РФ от 24 октября 2020 г. № 2744-р) и школы "Космос" МГУ имени М.В. Ломоносова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Moore S.T., Dilda V., Hamish G., MacDougal H.G. Galvanic vestibular stimulation as an analogue of spatial disorientation after spaceflight // Aviat. Space and Environ. Med. 2011. 82. N 5. 535 542.
2. Stolbkov Y.K., Tomilovskaya E.S., Kozlovskaya I.В., Geraeimenko Y.P. Galvanic vestibular stimulation in physiological and clinical studies in recent years // Usp. Fisiolog. Nauk. 2014. 45. N 2. 57 76.
3. Sadovnichii V.A., Aleksandrov V. V., Aleksandrova О. V., Vega R., Konovalenko I.S., Soto E., Tikhonova К. V, Gordillo Dominguez J.S., Gonzalez Petlacako O. Galvanic correction of pilot's vestibular activity during visual flight control // Moscow Univ. Mech. Bull. 2019. 74, N1.18.
4. Baloh R.W., Honrubia V Clinical Neurophysiology of Vestibular System. Oxford: Oxford Univ. Press. 2001.
5. Шуленина Н.Э. Математическое моделирование каналоотолитовой реакции на поворот вестибулярного аппарата в гравитационном поле: Канд. дис. М., 2005.
6. Keen Е.С., Hudspeth A.J. Transfer characteristics of the hair cell's afferent synapse / / Proc. Natl. Acad. Sei. USA. 2006. 103, N 14. 5537-5542.
7. Тихонова K.B. Математические задачи коррекции активности вестибулярных механорецепторов: Канд. дис. М., 2019.
8. Садовничий В.А., Александров В.В., Александрова Т.Е., Вега Р., Сото Э., Сидоренко Г.Ю., Шуленина Н.Э. Динамическая имитация стабилизации и потери вертикальной позы и тестирование прототипов вестибулярного протеза // Современные проблемы математики и механики. Т. 1. М., 2009. 154-164.
9. Александров В.В., Александрова Т.В., Коноваленко И.С., Тихонова К.В. Возмущаемые стабильные системы на плоскости, I, II // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 5. 30-36; 2017. № 1. 53-57.
10. Александров В.В., Бугров , /.//.. Тихонова К.В. Задачи о детерминированном и хаотическом переходах в бистабильных системах на плоскости. Ч. 1 // Компьютерный практикум. М.: Изд-во МГУ, 2017.
11. Коноваленко И. С. О построении множества достижимости в окрестности периодического аттрактора // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 3. 67-71.
Поступила в редакцию 09.09.2021
