CC BY
5УДК 517.93
МОДИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ ХОДЖКИНА-ХАКСЛИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОСНОВНОГО ЗАКОНА НЕЙРОФИЗИОЛОГИИ "ВСЁ ИЛИ НИЧЕГО"
В. В. Александров1, О. В. Александрова2, И. А. Козик3, Ю. С. Семенов4
В статье приводятся результаты моделирования упрощенной модифицированной модели Ходжкина-Хаксли афферентного первичного нейрона при наличии случайного шума. Рассмотрены переход из области притяжения точечного аттрактора типа устойчивый фокус в область притяжения периодического аттрактора и обратный переход в область притяжения точечного аттрактора. Получены примеры, в которых такие переходы могут неоднократно чередоваться, что является математической интерпретацией основного закона нейрофизиологии "Всё или ничего".
Ключевые слова: модель Ходжкина-Хаксли, фазовая траектория, предельный цикл, случайный шум.
In the paper we present the results of numerical simulation for the simplified and modified Hodgkin-Huxley model of primary afferent neuron in the presence of stochastic noise. The transitions from the attraction domain of the stationary point — the stable focus — to the attraction domain of the periodic attractor and back to the attraction domain of the focus are considered. Such transitions can alternate many times, which is the mathematical interpretation of the principal neurophysiologies!! all-or-none law.
Key words: Hodgkin-Huxley model, phase trajectory, limit cycle, random noise.
1. Описание модели Ходжкина-Хаксли при наличии шума и постановка задачи.
Математическая модель формирования информационного процесса в афферентном первичном нейроне (АПН) была создана в 1949-1953 гг. физиологом А.Л. Ходжкиным и биофизиком Э. Хаксли, в 1963 г. ее авторы были удостоены Нобелевской премии. Использование этой модели в течение следующих лет подтвердило ее эффективность и определило возможности ее модификации.
Описание модифицированной модели [1] включает действие основных токов калия (К) и натрия (Na) согласно закону Ома и динамике проводимости этих токов, а также тока утечки (такой ток утечки возникает, например, при эксперименте) с учетом гипотез их формирования в присутствии параметров активации и при отсутствии параметров инактивации (соответствующих воротным токам [2]). Система обыкновенных дифференциальных уравнений модели написана с использованием правила Кирхгофа для токов калия, натрия, тока утечки и входящего тока — постсинаптического. Для параметров активации токов калия и натрия и параметра инактивации тока натрия можно использовать уравнения Колмогорова для непрерывного марковского процесса с двумя состояниями. Физиологи и математики в процессе применения модели Ходжкина-Хаксли упростили систему нелинейных дифференциальных уравнений до 2-го порядка [3] — это уравнение Кирхгофа и два уравнения Колмогорова 1-го порядка при обнаруженном физиологами первом интеграле [3]: сумма параметра активации тока калия и параметра инактивации тока натрия оставалась неизменной в процессе проводимых экспериментов при постоянном потенциале действия.
Начиная с 2000 г. в течение девяти лет в лаборатории клеточной нейрофизиологии Автономного университета Пуэбла (Мексика) велись эксперименты на волосковых клетках и на афферентных
1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.
2Александрова Ольга Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexandrova.oQinbox.ru.
3Козик Игорь Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: igor.kozikQmail.ru.
4 Семенов Юрий Станиславович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. цифровых технологий управления транспортными процессами РУТ (МИИТ), e-mail: yuri_semenoffQmail.ru.
Aleksandrov Vladimir Vasilyevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of Chair of Applied Mechanics and Control.
Aleksandrova Olga Vladimirovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.
Kozik Igor' Aleksandrovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.
Semenov Yuri Stanislavovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Russian University of Transport, Chair "Digital Technologies of Transportation Processes Management".
первичных нейронах вестибулярного аппарата млекопитающих (крысы). В результате руководителем экспериментов — доктором медицинских наук Энрике Сото — был введен новый постоянный параметр Нк- В дальнейшем был сделан математический анализ полученной модели Ходжкина-Хаксли и выполнено ее упрощение до второго порядка [3], что соответствует рассмотрению модели на центральном многообразии Нк = еопв^ ^ ^^^^^^^^^ пространстве {(V, п, Нк)} [4], где V — мембранный потенциал афферентного нейрона, п — вероятность присутствия частицы активации калиевого тока.
Таким образом, мы рассматриваем упрощенную и модифицированную модель Ходжкина-Хаксли, описываемую системой дифференциальных уравнений:
~Ж
' „и. — 1цуъ ^псмве ^Ча ^К 1Ьу
<!п (1)
тп{У)- — = {п00{У)-п)Я.
Здесь Ст — емкость мембраны нейрона; тп — постоянная времени процесса активации калиевого тока; — стационарные значения; Q — определенный температурный безразмерный фактор;
= дшт.1,(V)(С(V) - п)^ - VNa), /к = Якп4Нк(V - Vк), /ь = дь(У -
— токи натрия и калия соответственно; /ь — ток утечки; ^к, VL — соответствующие потенциалы; gN^ дк и дь — проводимости для этих токов; /п018е — случайный ток, играющий роль "шума" (все токи относятся к единице площади, единица измерения — мкА/см2).
Отметим, что параметры Н^ и Нк являются вероятностями отсутствия частиц инактивации натриевого и калиевого тока, Н^ ^ и Нк ^ — это их стационарные значения (считаем, что значение Нк постоянно, Нк = НкЭти параметры служат для описания процесса инактивации соответствующего тока. Кроме того,
С(У) тоо(У) = 1 у_|_зз §\ 1 оо(^) =
1 ^ 5.2 У 1 "Т" ^ 9.9 )
1 68 По°(У)=1+ехр(-^М)' Тга(У) = ехр(-^)+ехр(^о)-
Известно [3], что в отсутствие шума у динамической системы, описываемой уравнениями (1), имеется устойчивый внешний предельный цикл — так называемый "утиный нос" (периодический аттрактор), а также расположенный внутри "утиного носа" неустойчивый внутренний предельный цикл, являющийся границей области притяжения точечного аттрактора типа устойчивый фокус. Внутренний и внешний предельные циклы в определенном месте очень близко подходят друг к другу (рис. 1). Такое поведение системы (1) наблюдается, когда постоянный параметр /8уп принадлежит интервалу (0.92; 1.147) с единицей измерения мкА/см2 [3]. Правая граница интервала является точкой бифуркации Андронова-Хопфа. В левой окрестности этой точки система (1) является грубой системой с двумя аттракторами — периодическим и внутри — точечным.
Предполагается, что добавление случайного шума может приводить к следующим эффектам. Фазовая траектория, выходящая в начальный момент из точки внутри неустойчивого цикла, не будет стремиться к стационарной точке, а при прохождении близких участков внутреннего и внешнего циклов за счет случайной шумовой добавки может выйти за пределы внутреннего цикла и начать приближаться к внешнему (эффект выхода на внешний цикл), попав в его область притяжения. Далее, проходя уже в окрестности внешнего цикла близко к внутреннему циклу опять-таки за счет случайного шума фазовая траектория может вернуться внутрь области притяжения точечного аттрактора (эффект возвращения внутрь области притяжения устойчивого фокуса). Предполагается также, что эти выходы и возвращения, чередуясь, могут произойти несколько раз на протяжении относительно длительного времени.
Как показало численное моделирование, такой эффект чередования выходов и возвращений в самом деле может наблюдаться. В этом и состоит математическая интерпретация основного закона нейрофизиологии "Всё или ничего". Отметим, что этот эффект носит явно стохастический характер, его не всегда удавалось добиться при очередном генерировании случайного шума.
Другими словами, при наличии шума ностсинантичсский ток может попасть в часть множества достижимости, которая не принадлежит области притяжения точечного аттрактора. Следовательно, система находится в области притяжения периодического аттрактора, и тогда формируется пачка (на рис. 2 пачкам соответствуют участки колебаний с большой амплитудой участки спайков) и информация может быть передана по цепочке нейронов в виде автоволны. Формирование информационного процесса закончено и начинается процесс передачи этой информации. Все вышеописанное происходит в начале миализированной оболочки аксона АПН. Наличие шума может прервать эту серию спайков, если точка, изображающая систему (1) и находящаяся в множестве достижимости периодического аттрактора, попадает в область притяжения точечного аттрактора в силу малости расстояния между ними [3]. Процесс передачи информации прерывается до появления следующей пачки спайков.
Таким образом, в зависимости от интенсивности шума, сопровождающего ностсинантичсский ток, информация, поступающая от волосковой клетки в АПН (биполярную нервную клетку), в основном формируется в виде серии пачек (релаксационных автоколебаний) и готова для передачи в виде автоволны по нейронной цепочке. При увеличении интенсивности шума в ностсинантическом сигнале могут происходить сбои в передаче информации.
2. Результаты моделирования. При численном моделировании в пакете Wolfram Mathematiea 12.1.1 были использованы следующие значения параметров:
Cm = 1 мкФ/см2; VNa = 52 мВ; Vk = -84 мВ; VL = -63 мВ; ISyn = 0.96 мВ; gNa = 2.3 мСм/см2; дк = 2.4 мСм/см2; gL = 0.03 мСм/см2; Q = 8.4; Нк = 0.7329.
На рис. 1 представлена одна из фазовых траекторий при наличии шумового тока. Хорошо просматриваются контуры внешних) устой чивого предельного цикла "утиного носа", а также внутренних) неустойчивого (в прямом времени) предельного цикла, охватывающих) точечный аттрактор стационарную точку типа устойчивый фокус с координатами V = -39.253, n = 0.299, которые имеются в системе при отсутствии шума.
Соответствующий этой фазовой траектории график зависимости потенциала V от времени t представлен на рис. 2. Как уже пояснялось выше, на нем можно наблюдать две полные пачки (разной протяженности во времени) и начало третьей пачки (или же это может отвечать однократному выходу на внешний контур, как и перед началом второй пачки).
V 20
10
-10 -20 -30 -40 -50
20 V
200
400
600
800
1000
13'
00 t
Рис. 1. Смоделированная случайная фазовая траектория
Рис. 2. График зависимости потенциала V от времени
В настоящей работе зависящая от времени величина шумового тока /П018е была смоделирована но следующему закону, соответствующему аппроксимационному ряду Каца Шинозуки [5|:
In
Рг N
Amp • J — cos(wfci + Lpk) k=i
(2)
I noise 1.0
0.5
Ш,У1|ШЬ
при достаточно больших N (было взято значение N = 100); Amp — амплитуда (было взято значение Amp = 0.3); Wk, (рk — независимые случайные величины. При моделировании величины рассматривались как равномерно распределенные на промежутке [0;2п), Wk — как равномерно распределенные на промежутке (0; 10]. Пример такого случайного шумового тока представлен на рис. 3.
Заключение. Подводя итоги приведенного выше описания информационного процесса в афферентном первичном нейроне вестибулярного аппарата, мы можем утверждать, что формат этого процесса в виде релаксационных автоколебаний (импульсов, или спайков) почти одной и той же амплитуды, следующих пачками (группами, или беретами), имеет место благодаря трем свойствам:
а) наличию точки бифуркации Андронова Хопфа' Рис. 3. Пример случайного шумового тока
б) существованию в левой окрестности этой точки интервала бифуркации, в каждой точке которого система (1) является бистабильной динамической системой;
в) область притяжения точечного аттрактора расположена очень близко к основному предельному циклу, генерирующему спайки, что приводит к стохастизации информационного процесса.
Описанная выше математическая интерпретация нейробиологичеекого закона "Все или ничего" позволяет более детально объяснить функционирование афферентных первичных нейронов в режиме ожидания механического воздействия на вестибулярные механорецепторы.
-0.5
-1.0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Садовничий В.А., Александров В.В., Александрова Т.Е. и др. Информационный процесс в латеральных полукружных каналах // Докл. РАН. 2011. 436, № 1. 129 132.
2. Рубин A.B. Биофизика. Т. 2. М.: Наука, 2004.
3. Тихонова К.В. Математические задачи коррекции активности вестибулярных механорецепторов: Канд. дне. М., 2019.
4. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чу а Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 2. Ижевск. 2009.
5. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастических системах. Применение метода Мельникова в технике, физике и нейрофизиологии. М.: Физматлит. 2007.
Поступила в редакцию 11.11.2020
УДК 514.86 + 539.3
ОБ ИНВАРИАНТНОМ СООТВЕТСТВИИ СИММЕТРИЧНЫХ ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА И СИСТЕМ ВЕКТОРОВ
Д. В. Георгиевский1
Обсуждаются возможности различных представлений тензоров высоких рангов в трехмерном пространстве с помощью тензоров меньших рангов, в частности представления тензоров второго ранга векторными полями. Цель этих представлений удобная геометрическая интерпретация определенных механических свойств объектов, описываемых тензорами высоких рангов. Предлагается инвариантное соответствие симметричных
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович доктор физ.-мат. паук. проф.. зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: georgievOmecli.mat.li.msu.su.
Georyievskii Dimitri Vladim.iruvich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of the Chair of Elasticity Theory.
