CC BY
34
УДК 51-77
Е. В. Данько
Алтайский государственный университет пр. Ленина, 61, Барнаул, 656049, Россия
evdanko88@gmail.com
ФУНКЦИЯ СУБЪЕКТИВНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ИНФОРМАЦИОННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И МЕТОД ОЦЕНКИ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ
Обосновывается функция субъективной полезности решений о принятии и отклонении инвестиционных проектов. Реализуемый подход позволяет учесть индивидуальные особенности инвесторов при принятии решения в условиях рисков и неопределенностей. Рассматривается связь функции субъективной полезности с существующими исследованиями, учитывающими фактор индивидуальной склонности к риску, приводится метод оценки параметров предлагаемой функции.
Предложенную функцию рекомендуется использовать в качестве критерия для определения целесообразности принятия к реализации инвестиционного проекта, оценка чистого приведенного дохода которого задана на отрезке с известной функцией плотности вероятности.
Ключевые слова: полезность решения, склонность к риску, отношение к упущенным возможностям, функция субъективной полезности, оценка результатов инвестирования.
Введение
Фундаментальной основой принятия инвестиционных решений в существующей литературе выступает принцип эффективности инвестиций [1; 2]. Данный принцип предполагает расчет показателей эффективности инвестиционного проекта, таких как: индекс прибыльности (PI), чистый приведенный доход (NPV), внутренняя норма рентабельности (IRR) и др. Использование показателя NPV является одним из наиболее распространенных способов оценки проектов. Рассмотрим подробнее методы принятия решения, основанные на оценке NPV проекта.
Сделаем следующие допущения: при оценке чистого приведенного дохода инвестиционного проекта определены показатели NPV1 - чистый приведенный доход по пессимистическому сценарию реализации проекта, и NPV2 - чистый приведенный доход по оптимистическому сценарию. В современных условиях величины NPV1 и NPV2 закладываются в большинстве бизнес-планов. Не теряя общности, можно считать, что NPV1 < 0 и NPV2 > 0 , так как иначе проект либо безоговорочно отклоняется, либо принимается. Пусть NPV - случайная величина на отрезке [NPV1, NPV2] с известной функцией плотности вероятности P(NPV).
Данько Е. В. Функция субъективной полезности инвестиционных решений в условиях информационной неопределенности и метод оценки ее параметров // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Информационные технологии. 2015. Т. 13, вып. 4. С. 24-32.
ISSN 1818-7900. Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. 2015. Том 13, выпуск 4 © Е. В. Данько, 2015
Мотивом для реализации проекта является возможность получения дохода, оценка вели-
ЫРУ2
чины которого определяется по формуле: Р = | ИРУ • Р(ИРУ)(ИРУ). Риски при реали-
о
зации такого проекта состоят в возможности получения отрицательного значения для чисто-
о
го приведенного дохода, а их оценка равна: Ь = | ИРУ • Р (ИРУ) (ИРУ).
МРУ1
Инвестиционный проект рекомендуется принимать к реализации при выполнении условия:
ИРУ = Ь + Р > 0. (1)
В соответствии с [3-6] принцип, основанный на оценке эффективности проекта по выражению (1), не в полной мере характеризует поведение инвесторов на практике.
В литературе [2; 7-10] представлены подходы к формализации влияния индивидуальных особенностей инвестора на принятие им решений. Существующие методы, в большинстве своем, исследуют указанные особенности на качественном уровне, количественная оценка влияния индивидуальных особенностей инвесторов получена только для фактора склонности к риску [2; 8; 9]. Формализация влияния факторов упущенной выгоды и альтернативных издержек на процесс принятия решения представлена в [10].
Учеными-психологами также были проведены подобные исследования применительно к трейдерам, действующим на фондовом рынке. В [5; 6] рассмотрено влияние фактора страха на игроков фондового рынка, при этом в [5] показано, что вторым важным элементом, определяющим поведение трейдеров, является алчность. В соответствии с [6] большинство участников фондового рынка более восприимчиво к надежде, чем к алчности.
Рассмотрим подробнее формализацию влияния индивидуального отношения к риску инвесторов при вложении средств.
Количественная оценка «индивидуальной толерантности к риску», введенная в работах [2; 8; 9], с учетом введенных обозначений может быть сведена к следующему критерию принятия инвестиционных проектов:
ИРУ (а) = (а • Ь + (1 - а) • Р) > 0, (2)
где а - коэффициент индивидуальной толерантности к риску (а е[0,5, 1)).
Здесь ИРУ (а) - субъективная оценка чистого приведенного дохода проекта инвестором,
скорректированная в соответствии с его восприятием риска. Для удобства дальнейшего изложения назовем критерий (2) пороговым принципом принятия решения. Этот принцип принятия решения рекомендует более осторожные действия при вложении инвестиций по сравнению с критерием (1). При этом (2) не является универсальным критерием принятия решений при вложении инвестиций в сравнении с методами теории ожидаемой полезности [1; 2].
В практике инвестиционной деятельности часто возникают задачи, допускающие многовариантные решения. Одной из таких задач рассматриваемой области является оценка полезности проведения инвестиционной экспертизы проекта [7]. Использование функции субъективной полезности в этой задаче позволяет инвестору получать личностно-значимые оценки дополнительного информационного ресурса [11].
Для принятия оптимального решения в рассмотренной ситуации необходимо оценить значения функции полезности для двух решений:
иА - значение функции, если проект принимается; ик - значение функции, если проект отклоняется. При этом рекомендуется принимать то решение, которое имеет максимальную полезность.
В данной работе проводится обоснование функции субъективной полезности двух указанных решений, при условии ее согласования с пороговым правилом принятия решений (2). Под субъективной полезностью в данном исследовании понимается свойственная конкретному индивиду степень удовлетворенности товаром, благом или принятым решением. В рас-
сматриваемой ситуации субъектом является инвестор, выбирающий инвестиционный проект из некоторого количества бизнес-планов, в который будут вложены собственные денежные средства. Реализуемый подход позволяет учесть индивидуальные особенности инвесторов при принятии решения в условиях рисков и неопределенностей.
Также рассматривается связь функции субъективной полезности с существующими исследованиями, учитывающими фактор индивидуальной склонности к риску, приводится метод оценки параметров предлагаемой функции.
Построение функции субъективной полезности
В работе [7] предложена функция, учитывающая фактор субъективности при принятии решения о реализации инвестиционного проекта, которая с учетом введенных обозначений принимает вид:
ил =(1+в) Ь+Р, (3)
ик =-рь - уР. (4)
В выражениях (3) и (4): в - коэффициент, учитывающий «страх» риска инвестора; у -коэффициент, учитывающий сожаление инвестора о возможной упущенной выгоде. Первое слагаемое в (3) оценивает дополнительный эффект «страха» наступления рисковой ситуации при принятии проекта. Подтверждающие данный феномен исследования приведены в [3; 4]. При рассмотрении возможности отклонения проекта необходимо учесть положительную составляющую полезности, возникающую за счет устранения «страха» (первое слагаемое в (4)) и отрицательную составляющую полезности, обусловленную сожалением о возможной упущенной выгоде (второе слагаемое в (4)).
Фактор сожаления об упущенной выгоде, вводимый в функцию полезности, в некоторой степени соответствует количественной оценке параметра надежды, влияющего на принимаемое решение [6]. Фактор «страха» при этом используется в большинстве исследований [2; 5; 6; 8; 9], что указывает на согласованность подхода к заданию функции субъективной полезности с имеющимися результатами в данной области.
Аналитическое и графическое исследование функции субъективной полезности, заданной выражениями (3), (4) приведено в [12] в координате по оси абсцисс - ЫРУ2 при фиксированных значениях параметров ЫРУ1 < 0, в, у и заданной функции
Р(ЫРУ), ЫРУ е [ШУ2, ЫРУ2].
Обозначим полезности решений по формулам (3), (4) соответственно ил = ил (ЫРУ2); ик = ик (НРУ2), ШУ2 > ЫРУХ. Очевидно, что введенные функции являются непрерывными, дифференцируемыми, а при ЫРУ2 = ЫРУ1 < 0, в > о, у > 0 имеют место неравенства: ик(ЫРУ2) > 0; ил(ЫРУ2) < 0 . Кроме того, функция ил = ил(ЫРУ2) - монотонно возрастает, а функция ик = ик(^У2) - монотонно убывает. Можно показать, что на интервалах, в которых плотность вероятности не обращается в нуль, указанные монотонности являются строгими.
Сказанное дает основания утверждать, что при больших положительных значениях ЫРУ2 полезность принятия проекта становится больше полезности его отклонения, а знаки полез-ностей меняются на противоположные. Эти свойства функции полезности будут использованы для оценки областей изменения и идентификации ее параметров.
При аппроксимации функции Р (ЫРУ) кривыми Пирсона первого рода, аналитическое выражение для Р(ЫРУ) задается в виде [13]:
( ЛГОТЛ У"1
Р( ЫРУ) = к
1 -
ЫРУ ЫРУ1 ,
( лготл У"2
1 -
ЫРУ НРУ2,
(5)
где ЫРУ1 < ЫРУ < ЫРУ2; " > -1; т2 >-1.
Если на момент оценки имеется статистическая информация о частоте появления позитивного и негативного сценариев при осуществлении инвестиционных проектов, аналогич-
ных оцениваемому проекту - вид функции Р (ЫРУ) может быть подобран путем расчета значений коэффициентов т1, т2. При неотрицательных значениях т1, т2 обеспечивается ограниченность этой функции на множестве , _МРУ2]. Коэффициент к в (5) определя-
ется из условия нормировки:
1 -
ЫРУ
(
№У1 '
ЫРУ
1
1 -
ЫРУ
\™2
ЫРУ-
а (ту ) = 1.
2
Таким образом, функция субъективной полезности после определения значений параметров в и у для конкретного инвестора может быть использована им при обосновании оптимальных инвестиционных решений.
В заключение к разделу приведем пример графиков функций иА (ЫРУ2) и ик (ЛРУ2) при условиях: в = 1,33; у = 0,57; а = 0,7; ЫРУ1 =-100, а ЫРУ - равномерно распределенная случайная величина на отрезке [тУ1, NPУ2] (рис. 1).
Рис. 1. Пример графика функции субъективной полезности решений принятия проекта (иА (МРУ2))
и его отклонения (Пя (ЫРУ2))
В данном случае при значении NPУ2 = 152,75 (точка пересечения графиков), наблюдаются нулевые значения полезностей решений о принятии и отклонении проекта. Для устранения неопределенности в этой точке рекомендуется решение «отклонить проект», что обеспечивает согласованность с осторожным поведением инвестора на практике. При значении NPУ2 = 152,75 в рассмотренном примере получаем: Ь = 19,78; Р = 46,16. Тогда, согласно выражению (2): тУ (а) = 0, что и является одним из условий согласованности функции субъективной полезности с пороговым правилом принятия решения.
Оценка допустимых значений параметров функций (3), (4)
и
ИР
ин
ио
о
ЛГРУ
Подход, используемый в данной работе для задания функции субъективной полезности, может быть использован для классификации инвесторов в соответствии с работой (5), где выделяются следующие их типы:
1) инвестор, склонный к рискованным действиям (ИР);
2) инвестор, нейтрально относящийся к риску (ИН);
3) инвестор, склонный к осторожным действиям (ИО).
Если по оси ординат отложить оценки субъективной полезности решения о принятии к реализации инвестиционного проекта (ил), а по оси абсцисс - математическое ожидание дохода от реализации проекта (ЫРУ), который может быть рассмотрен как оценка объективной полезности реализации проекта, то систему координат можно разделить на области, соответствующие указанным типам поведения инвесторов (рис. 2).
В условиях рассмотренного выше числового примера для ИО оценка субъективной полезности принятия проекта в условиях риска (ЫРУ1 < 0) изменяется от нуля (в окрестности точки ЫРУ2 = 152,75 справа) и приближается к 100% от объективной полезности при уменьшении риска (при ЫРУ2 ^ +со или ЫРУ1 ^ 0).
Идентификацию параметров функций (3), (4) проведем при условии, что решения, принимаемые по критерию (2) и при использовании функции субъективной полезности (3), (4) -согласованы. Это означает, что при отклонении инвестиционного проекта, имеет место следующая система неравенств:
1а • Ь + (1 - а )• Р < 0, [(1 + 2р)Ь + (1 + у)Р < 0.
В приведенной системе первое неравенство непосредственно следует из (2), а второе получено из условий: ил < 0, ик > 0 , путем их преобразования к виду: ил - ик < 0 .
Для нахождения соотношений между коэффициентами, рассмотрим случай равенства для системы (6) и используем дополнительное условие: ил = ик = 0, которое запишем в следующем виде:
Рис. 2. Типы инвесторов в зависимости от отношения к риску
(6)
[ил =(1 + в) Ь + Р = 0, и =-вЬ - уР = 0.
(7)
Путем элементарных преобразований системы (7) получаем следующие соотношения:
Из системы (6) получаем:
1 1 а Р у = 1 + —; в = -у—. Р Ь
а Р
(1 - а) Ь
Используя выражения (8) и (9) находим формулы для коэффициентов у, в :
2а -1 2а -1
У =-; в = ^—.
а 1 - а
В таблице (см. ниже) представлены результаты расчета значений коэффициентов у, в в зависимости от значений параметра а .
(8) (9)
(10)
Значения коэффициентов у, в в зависимости от а
№ п/п а в У
1 0,5 0,000 0,000
2 0,55 0,222 0,182
3 0,6 0,500 0,333
4 0,65 0,857 0,462
5 0,7 1,333 0,571
6 0,75 2,000 0,667
7 0,8 3,000 0,750
8 0,85 4,667 0,824
9 0,9 8,000 0,889
10 0,95 18,000 0,947
В рассмотренном подходе при известном значении параметра а возможно непосредственное вычисление значений коэффициентов у, в. В данном случае субъективные оценки «страха» риска и упущенной выгоды вычисляются с использованием линейных функций. Данное упрощение может быть устранено при использовании нелинейных зависимостей для оценок «страха» риска и упущенной выгоды.
Для каждого из рассмотренных ранее типов инвесторов укажем значения параметров функции субъективной полезности, определенной выражениями (3) и (4).
Для инвесторов типа ИН коэффициент индивидуальной толерантности к риску принимает значение: а = 0,5 . Как легко убедиться, используя (10), при этом справедливо: у = в = 0.
Указанные соотношения отражают нейтральность к риску (а = 0,5), отсутствие дополнительного «страха» риска (в = 0) и отсутствие сожаления об упущенной выгоде (у = 0).
Для инвесторов типа ИО справедливо: а е (0,5,1). Используя выражения (10) находим: в е (0, да), у е (0,1) . Полученные соотношения говорят о склонности к осторожным действиям (а > 0,5), наличии эффекта «страха» риска (в > 0) и наличии эффекта сожаления об упущенной выгоде (у > 0).
Для ИР (а < 0,5) применимость предложенной функции субъективной полезности в задачах поддержки принятия решений не рассматривалась.
Оценка значения коэффициента индивидуальной толерантности к риску
с использованием тестовых ситуаций
Оценка коэффициентов в, У непосредственными измерениями затруднена, что подтверждается применением экспертного метода оценок при вычислении индекса изменчивости фондового рынка [5]. Таким образом, в, У рассматриваются как латентные переменные [14], поэтому их значения следует оценивать косвенно по наблюдаемым параметрам, к которым можно отнести коэффициент а . Показатель индивидуальной толерантности к риску имеет наглядную интерпретацию [2] и может быть оценен на основе анализа принимаемых решений в практике инвестиционной деятельности или на основе проведения тестовых испытаний [8; 9].
Метод тестовой оценки значений коэффициента а для конкретного инвестора, состоит в следующем:
1) субъект исследования «погружается» в тестовые ситуации риска, в которых неизвестен один из четырех имеющихся параметров: размер возможного дохода и вероятность его получения, размер возможного убытка и его вероятность;
2) субъекту исследования предлагается указать значение неизвестного параметра, при котором он принимал бы или отклонял бы предлагаемый инвестиционный проект;
3) на основании полученных ответов проводится вычисление точечной и интервальной оценок коэффициента а.
Для реализации данного метода необходимо составить перечень вопросов, в которых варьируется соотношение порядка величины риска (доходы/убытки) с порядком вероятности риска (шансами получения доходов/убытков). При этом уровни риска и упущенной выгоды нужно выбирать в соответствии с размерами рисков и доходов, встречающихся в практике тестируемых инвесторов. Возможно тестирование, как индивидуальных инвесторов, так и их групп при принятии коллективного решения. Выбор числа тестовых вопросов должен соответствовать требуемой точности получения оценки коэффициента а .
Указанный подход был реализован в виде 10 тестовых вопросов для индивидуальных инвесторов в случае малых и средних размеров инвестиций. Обработка данных проводилась в условиях, когда можно считать, что оценки значений а имеют нормальное распределение, поэтому интервальные оценки а получены с использованием критерия Стьюдента [13]. Опыт применения рассмотренного метода тестирования показывает, что он позволяет оценивать значение коэффициента а с погрешностью до 5%. Из выражения (10), можно определить интервальные оценки для ß и у при доверительной вероятности на уровне 0,997:
С С С С С С
ß e[ß - 0,22, ß + 0,18], у e [y - 0,22, y + 0,18], где ß , y - точечные оценки параметров, полученные по результатам испытаний.
Инвестор не будет нести дополнительных рисков при принятии инвестиционных решений в условиях рассмотренной неопределенности, если в качестве значения а принять его верхнюю границу. Из выражения (10) следует, что для оценок ß, y следует также использовать их верхние границы.
В условиях приведенного выше числового примера, использование интервальных оценок коэффициентов а, ß, y приведет к изменению порогового значения NPV для принятия проекта к реализации до NPV2 = 173,2, т.е. на 20,45 единиц чистого приведенного дохода (примерно 13,39 %), по сравнению с оценкой NPV2 = 152,75 при средних значениях параметров а, ß, Y.
Заключение
В результате проведенного исследования обоснована функция субъективной полезности, изучены ее свойства, подтверждена согласованность подхода к заданию функции с существующими в литературе методами учета индивидуальных особенностей инвесторов при принятии решений в условиях риска. Предложенную функцию рекомендуется использовать в качестве критерия для определения целесообразности принятия к реализации инвестиционного проекта, оценка чистого приведенного дохода которого задана на отрезке с известной функцией плотности вероятности.
Список литературы
1. Орлов А. И. Теория принятия решений. Учеб. пособие. М.: Экзамен, 2006. 576с.
2. Шапкин А. С., Шапкин В. А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: Учебник. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2005. 880 с.
3. Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk. Econometrica. 1979. Vol. 47 (2). P. 263-291.
4. Tversky A., Kahneman D. The framing of decisions and the psychology of choice // Science. 1981. No. 211. P. 453-458.
5. The Financial Markets: When Fear And Greed Take Ove. URL: http://www.investopedia. com/articles/01/030701.asp
6. Shefrin H. Beyond greed and fear. Boston, Mass.: Harvard Business School Press, 2000.
7. Боговиз А. В., Данько Е. В., Оскорбин Н. М. О функции ожидаемой полезности инвестиционных проектов в условиях риска. URL: http://www.ukrnauka.ru/DN/28-03-2012_A4_tom-82.pdf
8. Трифонов Ю. В., Плеханова А. Ф., Юрлов Ф. Ф. Выбор эффективных решений в экономике в условиях неопределённости: Моногр. Н. Новгород, 1998. 140 с.
9. Кошечкин С. А. Концепция риска инвестиционного проекта. URL: http://www.aup.ru/ ar-ticles/investment/l.htm
10. ВанХорн Дж. Основы управления финансами: Пер. с англ. / Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 1997. 800 с.
11. Федотов А. М. Парадоксы информационных технологий // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Информационные технологии, 2008. Т. 6, № 2. С. 3-14.
12. Данько Е. В. Исследование полезностей принятия и отклонения инвестиционных проектов // Сб. науч. ст. междунар. молодежной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае», Барнаул, 5-8 ноября, 2013: В 6 ч. Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2013. Ч. 1. С. 193-196.
13. Крамер Г. Математические методы статистики / Пер. с англ. 2-е изд. М., 1975. 800 с.
14. Оскорбин Н. М. Математические модели систем с латентными переменными // Изв. Алтайского государственного университета. 2012. №1/2 (73). С. 97-100.
Материал поступил в редколлегию 15.05.2015
E. V. Dan'ko
Altai State University pr. Lenina 61a, Barnaul, 656049, Russia
evdanko88@gmail.com
THE SUBJECTIVE UTILITY FUNCTION OF INVESTMENT DECISIONS AND METHOD EVALUATING ITS PARAMETERS
The subjective utility function of decisions whether or not to invest in a project is substantiated in the article. Offered approach allows evaluation of individual characteristics of investor in the situation of making a decision under uncertainty and risk. The matter of coordination between the subjective utility function and existing researches evaluating factor of individual risk-aversion is also viewed in the article. One of methods which can be used for identification of individual characteristics of decision-maker is presented at the end of the article.
Developed subjective utility function is used as criterion for evaluation of expediency of investment in a project with given evaluative segment for net present value of the project in question.
Keywords: solution utility, risk aversion, loss of profit perception, expected utility function, subjective utility function, efficiency evaluation of investment.
References
1. Orlov A.I. Teoriya prinyatiya resheniy [Decision analysis]. Uchebnoe posobie. Moscow : Ekzamen, 2006. 576 p. (rus)
2. Shapkin A.S., Shapkin V.A. Teoriya riska i modelirovanie riskovykh situatsiy [The theory of risk and risky situations modeling]: Uchebnik. - Moscow : Izdatel'sko-torgovaya korporatsiya «Dashkov i K°», 2005. 880 p. (rus)
3. Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk. Econometrica. 1979. Vol. 47 (2). Pp. 263-291.
4. Tversky A., Kahneman D. The framing of decisions and the psychology of choice. Science. 1981. No. 211. Pp. 453-458.
5. The Financial Markets: When Fear And Greed Take Over // [Electronic resource]. E-link: http://www.investopedia.com/articles/01/030701.asp
6. Shefrin, H. Beyond greed and fear. Boston, Mass.: Harvard Business School Press. 2000.
7. Bogoviz A.V., Dan'ko E. V., Oskorbin N.M. O funktsii ozhidaemoy poleznosti investitsionnykh proektov v usloviyakh riska [On the function of expected utility of investment under risk] // [Electronic resource]. E-link: http://www.ukrnauka.ru/DN/28-03-2012_A4_tom-82.pdf (rus)
8. Trifonov Yu.V., Plekhanova A.F., Yurlov F.F. Vybor effektivnykh resheniy v ekonomike v usloviyakh neopredelennosti [The choice of effective decisions under uncertainty in economics]. Monografiya. N. Novgorod: Izdatel'stvo NNGU, 1998. 140 p. (rus)
9. Koshechkin S.A. Kontseptsiya riska investitsionnogo proekta [Risk conception of investment project] // [Electronic resource]. E-link: http://www.aup.ru/articles/investment/1.htm
10. James C. Van Horne. Osnovy upravleniya finansami [Fundamentals of Financial Management]: per. s angl. (pod redaktsiey I.I. Eliseevoy) - Moscow : Finansy i statistika, 1997. 800 p. (rus)
11. Fedotov A.M. Paradoksy informatsionnykh tekhnologiy [Paradoxes of information technology] // Vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Informatsionnye tekhnologii, 2008. T. 6. № 2. Pp. 3-14. (rus)
12. Dan'ko E. V. Issledovanie poleznostey prinyatiya i otkloneniya investitsionnykh proektov [Research on the utility of realization and rejection of investment projects] // Sbornik nauchnykh statey mezhdunarodnoy molodezhnoy shkoly-seminara «Lomonosovskie chteniya na Altae», Barnaul, 5-8 noyabrya, 2013 : v 6 ch. Barnaul : Izd-vo Alt. un-ta, 2013. Ch.I. Pp. 193-196. (rus)
13. Gabriel Cramer. Matematicheskie metody statistiki [Mathematical Methods of Statistics] / Per. s angl. 2 izd. Moscow, 1975. 800 p. (rus)
14. Oskorbin N.M. Matematicheskie modeli sistem s latentnymi peremennymi [Mathematical models of systems with latent variables] // Izvestiya Altayskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012. № / (73). Pp. 97-100. (rus)
