CC BY
28
УДК 517
Оценка параметров функции субъективной полезности
Е.В. Данько
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Evaluation of Subjective Utility Function Parameters
E. V. Danko
Altai State University (Barnaul, Russia)
Обосновывается метод количественной оценки значений коэффициентов для функции субъективной полезности решений при реализации инвестиционных проектов. Рассматриваемый метод позволяет путем тестирования инвесторов оценить их склонность к риску и отношение к упущенным возможностям.
Рассматриваются процессы реализации инвестиционных проектов в условиях неопределенности. Доходность проекта оценивается показателем ЫРУ, значения которого случайны и известны инвестору с точностью до отрезка: ЫРУ е [ЫРУ1; ИРУ2 ]. В случае, когда отрезок [ЫРУ1; ЫРУ2 ] включает нулевое значение, возникают трудности в принятии решения.
Для оптимизации данного процесса разработана модель поддержки принятия решения, в основе которой используется функция субъективной полезности решения. Коэффициенты у и р являются параметрами данной функции: у - коэффициент, оценивающий эффект сожаления об упущенной выгоде, р - коэффициент, оценивающий эффект страха риска. Для количественной оценки значений указанных параметров в рамках исследования разработана методика тестирования инвесторов, состоящая из набора тестовых вопросов.
Рассмотрены некоторые особенности самих вопросов, используемых для тестирования инвесторов, а также процесс вычисления усредненных значений искомых коэффициентов.
Ключевые слова: оценка полезности решения, склонность к риску, упущенные возможности, ожидаемая полезность, учет индивидуального восприятия ЛПР, оценка результатов инвестиций.
The paper presents a method of quantitative evaluation of subjective utility function parameters for investment decision-making process. The proposed method allows quantitative evaluation of two factors: the individual risk aversion and individual disposition toward lost business opportunities. Both factors are the main psychological aspects that can be observed during a decision-making process under uncertainty and risk.
The effectiveness of an investment project is evaluated by NPV index. This index is considered a random variable that can be estimated by an investor as an interval [NPV1; NPV2 ]. Main difficulties in decision-making process arise when [NPVl; NPV2 ] interval includes a zero value.
The mathematical model for decision-making process optimization was developed and proposed in this paper. The model is based on subjective utility function with two parameters: p and y. Coefficient p is used for quantitative evaluation of fear of financial losses and coefficient y is used for evaluation of regret of profit loss. The method of quantitative evaluation of p and y is a test with 10 questions.
Peculiarities of test questions are discussed, and calculation process of sought coefficients is presented. Key words: evaluation of decision utility, risk aversion, loss of profit, expected utility function, evaluation of individual decision-maker characteristics, evaluation of investment results.
DOI 10.14258/izvasu(2017)1-12
Введение. В последнее время активно развивается интеграция научных дисциплин. В частности, методы математики, психологии начинают использоваться в исследованиях экономических и социальных явлений.
В литературе [1-5] отражены некоторые методы формализации влияния индивидуальных особенностей субъекта на процесс принятия решения.
Существующие методы в большинстве своем носят качественный характер исследования, количественная оценка влияния индивидуальных особенностей инвесторов рассмотрена только при учете фактора склонности к риску [2-3]. Методы формализации влияния фактора упущенной выгоды на процесс принятия решения представлены в [6].
Рассмотрим случай, когда при оценке чистого приведенного дохода инвестиционного проекта определены показатели МРУг (чистый приведенный доход по пессимистическому сценарию реализации проекта) и МРУ2 (чистый приведенный доход по оптимистическому сценарию). В современных условиях указанные величины МРУг и МРУ2 закладываются в большинстве бизнес-планов. Рассмотрим случай, когда МРУХ < 0 и МРУ2. Указанному случаю может соответствовать любой инвестиционный проект, если рассчитывать показатель ЫРУ^ по самому негативному сценарию реализации инвестиционного проекта (например, в случае возникновения форс-мажорных обстоятельств).
Мотивом для реализации проекта является возможность получения дохода, оценка величины которого определяется по формуле
ЫРУг
Р = | МРУ ■ Р(МРУ)с! (МРУ). Риски при реализа-
0
ции такого проекта состоят в возможности получения отрицательного значения для чистого приведенного дохода, а их оценка равна
0
Ь = | МРУ ■ Р (МРУ )с! (МРУ).
МРУ,
В работе [6] введены формулы для оценок полез-ностей решений принятия (,) и отклонения (2) инвестиционного проекта в данной ситуации:
иА = (1+ Р) | МРУ ■ Р (МРУ) (МРУ)-
МРУ,
(1)
..... 2
+ | МРУ ■ Р (МРУ )с! (МРУ);
0
0
ик =-р | МРУ■ Р(МРУ)!(МРУ)-
МРУ,
(2)
2
-у | МРУ ■ Р(МРУ)с! (МРУ).
Оценка допустимых значений параметров функции. Рассмотрим используемую в литературе [4] классификацию инвесторов в зависимости от особенностей восприятия выигрышей и потерь:
1. Инвестор, склонный к рискованным действиям (ИР).
2. Инвестор, нейтрально относящийся к риску (ИН).
3. Инвестор, склонный к осторожным действиям (ИО).
На рисунке представлены области, соответствующие указанным типам поведения инвесторов в зависимости от оценки полезности дохода (и ) и величины дохода, выраженной в реальных деньгах (М).
Типы инвесторов в зависимости от индивидуального восприятия дохода
Для каждого из рассмотренных типов инвесторов укажем значения параметров функции субъективной полезности, определенной выражениями (1) и (2).
При у = р = 0 функция характеризует поведение ИН. В этом случае формула (1) совпадает с формулой математического ожидания результата реализации проекта с известными вероятностями и размерами убытков и доходов. Значение полезности, согласно формуле (2), обращается в нуль, так как при отклонении инвестиционного проекта математическое ожидание результата равно нулю. Значения коэффициентов функции у и р в данном случае следует трактовать как эффект отсутствия дополнительного «страха риска» (р = 0) и эффект отсутствия сожаления об упущенной выгоде ( у = 0 ).
С учетом сказанного выше субъективные оценки результатов принятия решений ИО отличаются от оценок ИН наличием дополнительного эффекта «страха» наступления рисковой ситуации при принятии проекта. Подтверждающие данный феномен исследования приведены в [7-9]. В случае отклонения проекта учитывается положительная составляющая полезности в виде устранения «страха» риска и отрицательная составляющая полезности, вызванная сожалением о возможной упущенной выгоде. Таким образом, для ИО характерно наличие эффекта «страха риска» (р > 0) и наличие эффекта сожаления об упущенной выгоде (у > 0).
Возможность применения функции субъективной полезности в виде системы формул (1) и (2) для характеристики решений ИР в связи с отсутствием прикладного значения для принятия инвестиционных решений в данной работе не рассмотрена.
Метод оценки параметров функции субъективной полезности. Для практического применения предложенной функции к оценке полезностей инвестиционных решений необходим метод для идентификации численных значений коэффициентов р и у для конкретного инвестора. Оценка коэффициентов Р и у непосредственными измерениями затруднена, поэтому их значения следует оценивать косвенно по наблюдаемым параметрам. К таким параметрам можно отнести показатель индивидуальной толерант-
ности к риску а [2-4], который может быть оценен с помощью проведения тестовых испытаний [10].
Метод тестовой оценки значений коэффициента а для конкретного инвестора состоит в следующем:
1) субъект исследования ставится в тестовую ситуацию, в которой возможно получение дохода и убытка с определенными вероятностями, при этом один из параметров (средняя величина дохода или убытка, или соответствующая вероятность) неизвестен;
2) субъекту исследования предлагается указать значение неизвестного параметра, при котором он принимал или отклонял бы подобный инвестиционный проект;
3) на основании полученных ответов проводится вычисление точечной и интервальной оценок коэффициента а .
Для реализации данного метода составлен перечень вопросов, в которых варьируется соотношение величин риска (доходы/убытки) с вероятностями риска (шансами получения доходов/убытков). При этом уровни риска и упущенной выгоды выбираются в соответствии с раз-
мерами рисков и доходов, встречающихся в практике тестируемого инвестора. Для учета отношения к различным суммам доходов и убытков имеются вопросы с разными возможными величинами выигрышей и проигрышей.
В разработанной методике вопросы для определения склонности ЛПР к риску и его отношения к упущенным возможностям представлены десятью гипотетическими ситуациями, в которых предстоит сделать выбор между имеющимися альтернативами.
Рассмотрим несколько вопросов методики оценки значений коэффициента а .
1. Пусть имеется возможность получить доход при реализации инвестиционного проекта, размер дохода — 1000 тыс. руб. с вероятностью р, а также возможен убыток 500 тыс. руб. с вероятностью [1—р|. Укажите минимально возможное значение для вероятности р (0 < р < 1), при которой вы согласились бы на реализацию подобного проекта.
Далее приведена таблица 1, отражающая соответствие введенного значения р и коэффициента риска а .
Таблица 1
Соответствие получаемого ответа на вопрос 1 и значения параметра а
Введенное значение р Среднее математическое ожидание реализации проекта Значение коэффициента риска а
0 < р < 0,1 - 425 тыс. руб. а = 0,08
0,1 < < 0,2 - 275 тыс. руб. а = 0,23
0,2 < р < 0,3 - 125 тыс. руб. а = 0,38
0,3 < р < 0,333 - 25 тыс. руб. а = 0,47
р = 0,333 0 а = 0,5
0,333 < р < 0,4 50 тыс. руб. а = 0,55
0,4 < р < 0,5 175 тыс. руб. а = 0,68
0,5 < р < 0,6 325 тыс. руб. а = 0,83
0,6 < р < 0,7 475 тыс. руб. а = 0,97
р > 0,7 > 550 тыс. руб. а = 1
2. Пусть имеется возможность участия в лотерее, стоимость лотерейного билета — 200 руб., вероятность того, что он ничего не выиграет — 75%, вероятность выигрыша —25%. Укажите минимальную
сумму выигрыша Р (в руб.), при которой вы согласны участвовать в этой лотерее.
Далее приведена таблица 2, устанавливающая соответствие введенного значения Р и коэффициента риска а.
Таблица 2
Соответствие получаемого ответа на вопрос 3 и значения параметра
Введенное значение Р Среднее математическое ожидание исхода Значение коэффициента риска а
0 < Р < 100 - 137,5 руб. а = 0,07
100 < Р < 200 - 112,5 руб. а = 0,14
200 < Р < 300 - 87,5 руб. а = 0,21
300 < Р < 400 - 62,5 руб. а = 0,3
400 < Р < 500 - 37,5 руб. а = 0,38
500 < Р < 600 - 12,5 руб. а = 0,47
600 < Р < 700 12,5 руб. а = 0,55
700 < Р < 800 37,5 руб. а = 0,63
800 < Р < 900 62,5 руб. а = 0,7
900 < Р < 1000 87,5 руб. а = 0,77
1000 < Р < 1100 112,5 руб. а = 0,85
1100 < Р < 1200 137,5 руб. а = 0,92
Р > 1200 162,5 руб. а = 1
3. Пусть имеется возможность получения дохода 500 тыс. руб. при реализации инвестиционного проекта с вероятностью р, также возможен убыток 100 тыс. руб. с вероятностью (1- р). Укажите минималь-
ное значение вероятности р, при которой такой инвестиционный проект будет принят к реализации.
Далее приведена таблица 3, определяющая соответствие введенного значения Р и коэффициента риска а.
Таблица 3
Соответствие получаемого ответа на вопрос 4 и значения параметра а
Введенное значение p Среднее математическое ожидание реализации проекта Значение коэффициента риска а
0 < p < 0,1 - 70 тыс. руб. а = 0,15
0,1 < p < 0,166 - 20 тыс. руб. а = 0,4
p = 0,166 0 а = 0,5
0,166 < p < 0,2 10 тыс. руб. а = 0,55
0,2 < p < 0,3 50 тыс. руб. а = 0,75
p > 0,3 110 тыс. руб. а = 1
4. Пусть имеется возможность получения дохода от реализации некоторой продукции с вероятностью 60%, а с вероятностью 40% — получение убытка.
Возможные итоги р
Требуется принять или отклонить данные предложения, имеющие следующие возможные доходы и убытки (табл. 4).
Таблица 4
лизации продукции
Номер ситуации 1 2 3 4 5 6 7
Доход (60%), тыс. руб. 100 200 500 1000 1000 1200 1500
Убыток (40%), тыс. руб. 250 200 700 1800 1500 1900 1200
Значение а a = 0,3 a = 0,6 a = 0,52 a = 0,4 a = 0,5 a = 0,45 a = 0,75
Для тех случаев из таблицы 4, где ЛПР выбирает «принять предложение», программа запоминает соответствующее значение коэффициента а . Далее выбирается минимальное значение коэффициента а из всех выбранных ситуаций.
Усредненный коэффициент а вычисляется следующим образом:
10 / 10
а = £ к) •а;/ £ к) ,
где к.—весовой коэффициент соответствующего вопроса.
В данной методике каждому вопросу может быть назначен индивидуальный весовой коэффициент в за-
висимости от важности вопроса для определения усредненного значения коэффициента риска.
В работе [10] доказаны формулы для параметров в и 7 при известном коэффициенте риска а :
2а — 1 _ 2а — 1
7 =-; в = --•
а 1 — а
Заключение. Рассмотренная тестовая методика позволяет оценивать значение коэффициента а , а также рассчитывать точечные оценки для параметров в и 7 , которые могут быть использованы для расчетов полезностей решений по принятию (1) и отклонению (2) конкретного инвестиционного проекта.
Библиографический список
1. Жариков А.В., Матюнин Е.В., Оскорбин Н.М. Подход к формализации задач поддержки принятия решений при информационных ограничениях // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — № 1-2. D01:10.14258/izvasu(2014)1.2-15
2. Трифонов Ю.В., Плеханова А.Ф., Юрлов Ф.Ф. Выбор эффективных решений в экономике в условиях неопределенности. — Н. Новгород, 1998.
3. Корпоративный менеджмент [Электронный ресурс]. — URL: http://www.cfin.ru/finanalysis/koshechkin.shtml.
4. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций. — М., 2005.
5. Ван Хорн Дж. Основы управления финансами / пер. с англ. под ред. И.И. Елисеевой. — М., 1997.
6. Данько Е. В. Функция полезности инвестиционных проектов в условиях неопределенности // МАК-2013 : сборник тр. XVI регион. конф. по математике. — Барнаул, 2013.
7. Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk // Econometrica. — 1979. — Vol. 47.
8. Tversky A., Kahneman D. The framing of decisions and the psychology of choice // Science. — 1981. — № 211.
9. Tversky A., Kahneman D. Loss Aversion in Riskless Choice: A Reference-Dependent Model // The Quarterly Journal of Economics. — 1991. — Vol. 106. — No. 4.
10. Данько Е.В. Функция субъективной полезности инвестиционных решений в условиях информационной неопределенности и метод оценки ее параметров // Вестник Новосибирского гос. ун-та. Сер. Информационные технологии. — 2015. — Т. 13, вып. 3.
