CC BY
13
УДК 539
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТОНОВ В МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЕ СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
С. А. Маслов1, С. Я. Бронин1, Н.Г. Гусейн-заде2, С. А. Тригер1'2
Показано, что распределение фотонов для полностью ионизированной плазмы со слабым межчастичным взаимодействием при малых значениях импульса фотона к асимптотически соответствует распределению Планка. При увеличении к наблюдается уменьшение числа фотонов по сравнению с Планковским. Вычисление асимптотики для больших значений к требует учета эффектов взаимодействия.
Ключевые слова: распределение фотонов, диэлектрическая проницаемость, электрон.
Введение. Равновесное распределение фотонов в космическом микроволновом фоне ("Cosmic Microwave Background" - CMB) [1, 2] с высокой точностью подчиняется закону Планка [3]. Однако в [4] найдены отклонения от закона Планка, характер которых до сих пор не ясен (см. [5]). Отклонения от закона Планка также возможны и в лабораторных условиях, однако в настоящее время проведение измерений доступно лишь в ограниченной области частот ш, при А ~ 0.4 ^ 0.7 ^m или ш ~ (2.6 ^ 4.7) • 1017 sec-1.
Спектральная плотность энергии равновесного излучения (СПЭРИ) первичной плазмы, существовавшей на ранней стадии Вселенной в заряженной среде высокой плотности, несомненно зависела от ее плотности.
Проблема влияния плотности плазмы на СПЭРИ рассматривалась начиная с работ Бриллюэна (L. Brillouin). При этом были получены различные не совпадающие друг с другом результаты. Главной особенностью всех этих рассмотрений является пренебрежение взаимодействием с веществом, хотя излучение может достичь равновесного состояния только при наличии такого взаимодействия. Тем не менее, плотность вещества в формуле Планка отсутствует.
1 Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Россия, Ыосква, Ижорская ул., 2.
2 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; е-mail: satron@mail.ru.
В [6] влияние плазмоподобного вещества на СПЭРИ рассматривалось на основе флуктуационно-диссипационной теоремы и расчета корреляционных функций электрического и магнитного полей. В [7] рассмотрение СПЭРИ было развито для учета влияния движения заряженных частиц под действием поля на полную энергию системы. В предельном случае прозрачной среды в [7] был воспроизведен результат [8] для СПЭРИ в случае холодной плазмы. Однако, в подходах [6, 7], выделение нулевых колебаний из обобщенного распределения Планка не может быть выполнено однозначно.
Микроскопический подход, который учитывает пространственную и частотную зависимость диэлектрической проницаемости (ДП) (а также эффекты кулоновских столкновений в плазме), был развит в недавних работах [9, 10] с использованием подхода квантовой электродинамики (КЭД), где заряженные частицы и свободные фотоны существуют как изначально заданные и взаимодействующие поля. При этом была установлена решающая роль пространственной дисперсии поперечной диэлектрической проницаемости е1г (к, ш) для вычисления СПЭРИ и обнаружены длинный хвост СПЭРИ при больших значениях частоты излучения и логарифмическая особенность СПЭРИ при малых значениях частоты [11].
В связи с необходимостью учета свойств плазмы в СПЭРИ возникает вопрос о влиянии ДП на функцию распределения фотонов (ФРФ) [12] по сравнению с распределением Бозе-Эйнштейна. Целью данной работы является рассмотрение ФРФ и ее асимптотического поведения в квазиклассической (максвелловской) плазме. Эта проблема может быть решена явно в импульсном пространстве к.
Функция распределения фотонов и диэлектрическая проницаемость. Воспользуемся соотношением для функции распределения фотонов f (к) в плазменной среде на основе подхода квантовой электродинамики [9]:
дШ (Ш \ Ф(У,Ш) 1
те
f (у )=у I дп «*ь( ш)
2 у [(аФ(У,Ш) - 2У2]2 + (аФ(У,Ш))2 2'
о
Функции Ф(у,ш) = Ш2Кее4г(У,Ш) и Ф(У,Ш) = Ш21ше4г(У,Ш) выражаются через поперечную ДП плазмы е1г(к,ш) [10], учитывающую собственный магнитный момент электрона для квазиклассической плазмы. Для рассматриваемого случая однокомпо-
нентной системы электронов функции Ф(У, Ш) и Ф(У, Ш), равны Ф(У, Ш) = Ш2Ие£*г (У, Ш) = Ш2 - 2Гп2/3 - Гп2/3
х
^1l, I - (2У- V))-1 ^ (l, 2 - (2У+у
+ Гп
2/3
Ш У2
У2 + Т
У2 1+-2-
X
х
х
тт 11 3 (ш У\ \ г 1 3 ш У
^ 1, 2; ^ 2У - ~2 +1 ^ 1 2; ^ 2У + ¥
Ф(У, Ш) = Ш21ше4г(У, Ш) = Гп2/3 (1 + У ^ ехр ^-
Ш2 У2\ п , Л
4У2 - Т) 81ПЧт) • (3)
Здесь мы ввели безразмерные переменные Ш = Яш/Т, У = кЛ/\/4п, где Т - температура плазмы, а Л = (2пЯ2/т Т )1/2 - длина де Бройля волны электрона. В задаче есть два независимых безразмерных малых параметра Г = е2п1/3/Т ^ 1 и п = пЛ3 ^ 1, при этом в (1) величина а = Т/тс2 = (е2/Яс)2п2/3/(2пГ)2 ^ 1, где е2/Яс - постоянная тонкой структуры. Функция 1 х) является вырожденной гипергеометрической
функцией.
Когда параметр взаимодействия Г ^ 0, вещественная и мнимая части е1г (У, Ш) стремятся к 1 и 0, соответственно и (1) превращается в распределение Планка для фотонов /Р1(У) = [ехр^Л/2ТаУ) - 1]-1. Чтобы учесть кулоновское взаимодействие между электронами исследуем асимптотическое поведение ФРФ /(У) в (1) для длинных волн, когда У1/4 ^ аГп2/3 ^ 1. Разобьем интеграл для / (У) в (1) на четыре
у3/2
У
у1/4
/(У)
/1 (У,Ш+ /1(У,Ш+ /1(У,Ш+ /1(У,Ш- 2,
У3/2
У
/1(У, Ш) =-^-ссШ ( —
2п
У1/4
Ф(У, Ш)
2 ) [(аФ(У,Ш) - 2У2]2 + (аФ(У,Ш))2'
(4)
Проведем оценку интегралов в (4) используя соответствующие разложения функции х).
1. В области Ш < У3/2 находим
2
аФ(У, Ш) - 2У2 = -аГп2/3 Ш - 2У2; Ф(У, Ш) = ^лГп2/3Ш/У.
У2
2
Учитывая неравенство аГп2/3Ш2/У2 < Ф(У, Ш) для Ш < У3/2, 2У2 < 1, находим приближенно для первого интеграла Д в (4)
у3/2 у3/2
/1 . Г Л(У, Ш)дШ = а^У Г ^ (Ш) _Ф(У>Ш) 2 = ^ (6)
1 У пу ' ] У 2л V 2 у 4У4 + (аФ(У,Ш))2 2У ^
2. В области У3/2 < Ш < У, используя оценки втЬ(Ш/2) > Ш/2, еоШ(Ш/2) < (2/Ш) ео8Ь(Ш/2) < 2/[Ш(1 - Ш2/4)] < 4/Ш < 4/У3/2 и следующее из (3) неравенство
*(У.Ш) ехр (-Ш - £) > ^Гч2/3е-1, (7)
для второго интеграла в (4) можно получить
/ fl (У. Ш< „-1/24У2У-1/2 / < « /1. (8)
,/ ,/ пул! П пула! п2/3
у3/2 у3/2
3. В области Y < W < Y1/4, как следует из (2) и асимптотики iFi(1, 3/2, —x2)
итики 1 F 1 (1 , 3/2, —x2^ ~
1/2x2 для x ^ 1 вырожденной гипергеометрической функции,
2W
, 4ГП2/3 Y 2 ,
Ф(Y, W) = W2 — 2Гп2/3--¿75—, Ф(^ W) < ^ПГп2/3 ■
Ш2 У
Выражение (9) также справедливо для У < Ш < У1/4. Следовательно, третий интеграл в (4) может быть оценен как (где конечное М >> У1/4 > 0)
у1/4 у1/4
/ /1(У. Ш< ^ / < а3/г8УЛМГпг/3У 1/4 < /1. (10)
Y Y
4. В области W ^ Y1/4 асимптотическое поведение W) удовлетворяет (9) а асимптотика Ф(^ W) имеет вид
Ф(У,И'). ^ехр (—£) smh (W). (П)
Таким образом асимптотическое поведение фотонной функции распределения f (Y) совпадает c асимптотикой распределения Планка f (Y) ^ v/2ä/2Y — 1/2 = v/2ä/2Y при Y « 1
f (Y « 1) = fP1 (Y « 1) = ^P — 1, (!2)
39
Рис. 1: Графики /(У) (сплошная линия) согласно (4) и /Р1(У) (пунктирная линия) согласно (12) для Г = 0.01 и п = 0.1 (а ~ 1.83 ■ 10-2) для асимптотически малых У. Горизонтальный масштаб является логарифмическим, вертикальный - линейным для 0 < / (У) < 1, 0 < /Р1(У) < 1 и логарифмическим для других.
На рис. 1 представлен численный расчет функций / (У) и /Р1(У) в области малых У. Отличия /(У) от распределения Планка /Р1(У) появляются с ростом У.
При У ^ 0 оба распределения - Планковское /Р1(У) и /(У) = ^2а/2У - 1/2 = л/2а/2У совпадают. Полученный результат означает, что кулоновское взаимодействие между электронами не оказывает существенного влияния на распределение фотонов для длинных волн.
Рассмотрение асимптотики функций Ф(У, Ш) и Ф(У, Ш) для коротких длин волн (У ^ 1) приводит к выражению для равновесной ФРФ в виде
/(У) , /(У) - = /(У)(1 - ), /(У) = ^• (13)
Поскольку а = Т/тс2 = [е2/(Яс)]2п2/3/(2пГ)2 ^ 1, где е2/Яс - постоянная тонкой структуры, можно сделать вывод, что учет последнего слагаемого в (13) является превышением точности для случая слабо взаимодействующего нерелятивистского электронного газа. При а ^ 0.02 асимптотическая зависимость / (У) сохраняется вплоть Т ~ 106 К. Следовательно, для коротковолнового приближения мы находим длинный хвост степенного типа в ФРФ для случая слабого взаимодействия в электронном газе в отличие от Планковского распределения.
Авторы благодарны А. Г. Загороднему, А. М. Игнатову и М. В. Федорову за полезные обсуждения. С. А. Маслов и С. А. Тригер благодарны Российскому фонду фундаментальных исследований (РФФИ) за поддержку их работы (грант № 17-02-00573а).
ЛИТЕРАТУРА
[1] G. Gamow, The Creation of the Universe (Viking, 1961), revised edition.
[2] A. A. Penzias, and R. W. Wilson, Astrophysical Journal 142, 419 (1965).
[3] M. Planck, Annalen der Physik 4, 553 (1901).
[4] P. Lubin, T. Villela, G. Epstein, G. Smoot, Astrophys. J. Lett. 298, L1 (1985).
[5] P. A. R. Ade et al., A measurments of the cosmic microwave background B-mode polarization power spectrum at sub-degree scales from 2 years of polarbear data (Planck Collab.), arXiv:1705.02907v2 [astro-ph.CO] (2017).
[6] M. Opher, R. Opher, Phys. Rev. Letters 79(14), 2628 (1997).
[7] С. А. Тригер, А. Г. Загородний, Краткие сообщения по физике ФИАН 45(5), 45 (2018).
[8] S. A. Trigger, Physics Letters A 370, 365 (2007).
[9] В. Б. Бобров, И. М. Соколов, С. А. Тригер, Письма в ЖЭТФ 101, 326 (2015) [V.B. Bobrov, I. M. Sokolov, and S. A. Trigger, JETP Lett. 101, 299 (2015)].
[10] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, ТМФ 192(3), 523 (2017) [V. B. Bobrov, S. A. Trigger, Theoret. and Math. Phys. 192(3), 1396 (2017)].
[11] С. А. Маслов, С. А. Тригер, Н. Г. Гусейн-заде, Краткие сообщения по физике ФИАН 45(8), 14 (2018) [S. A. Maslov, S. A. Trigger, N. G. Goussein-zade, Bulletin of the Lebedev Physics Institute 45(8), 233 (2018)].
[12] В. Б. Бобров, ТМФ 88(1), 141 (1991) [V. B. Bobrov, Theoret. and Math. Phys. 88(1), 773 (1991)].
Поступила в редакцию 19 марта 2019 г.
После доработки 5 июня 2019 г.
Принята к публикации 23 июля 2019 г.
