О статической диэлектрической проницаемости кулоновскои системы в длинноволновом пределе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.2,537.9

О СТАТИЧЕСКОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КУЛОНОВСКОЙ СИСТЕМЫ В ДЛИННОВОЛНОВОМ ПРЕДЕЛЕ

В. Б. Бобров1, С. А. Тригер1'2

На основе точных предельных соотношений получено общее выражение для статической диэлектрической проницаемости е(д, 0) кулоновской системы в области малых волновых векторов д. Полученное соотношение описывает функцию е(д, 0) как в "металлическом", так и в "диэлектрическом" состоянии кулоновской системы,. На этой основе введено понятие истинного" диэлектрика и обсуждено определение истинного" радиуса экранирования. Получены точные соотношения для, функции е(д, 0) в области малых волновых векторов д в рамках приближения, хаотических фаз при произвольном вырождении.

Ключевые слова: диэлектрическая проницаемость, кулоновская система, приближение хаотических фаз. функция Грина.

1. Рассмотрим статическую диэлектрическую проницаемость е(д, 0) однородной и изотропной кулоновской системы, которая определяется как коэффициент пропорциональности между потенциалом полного электростатического поля в среде и1о1(д, 0) и потенциалом внешнего поля [/ех1(д, 0) [1],

и» (д. 0)= ™. (1)

Согласно [2, 3], функция е(д, 0) связана с поляризационным оператором П(д, 0), который определяет отклик системы на экранированное внешнее поле, соотношением

4п

Ф,0) = 1 - п(д,0), (2)

П(д, 0) = £ гагье2ПаЬ(д, 0), (3)

а,Ь

1 Объединенный институт высоких температур РАН.

2 Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН.

где гав - заряд частиц сорта а, характеризующихся массой та, средней плотностью числа частиц па и химическим потенциалом ца при температуре Т. Предполагается, что рассматриваемая кулоновская система квазинейтральна, т.е. выполняется соотношение

^гавПа = 0. (4)

а

Функции ПаЪ(д, 0) являются парциальными поляризационными операторами частиц сортов а и Ь. С точки зрения вычисления в рамках диаграммной техники [2, 3] функции ПаЪ(д, 0) представляют собой неприводимые по одной линии кулоновского взаимодействия в д-канале части соответствующих функций Грина "плотность-плотность" ХаЪ(д, 0), определяющих отклик системы на внешнее поле.

В отличие от функций Грина хаЪ(д, 0) кулоновских систем поляризационные операторы ПаЪ(д, 0) не имеют особенностей и являются гладкими функциями в области малых волновых векторов д (по крайней мере, для случая нормальных систем). Таким образом, функции ПаЪ(д, 0) при малых волновых векторах д можно представить в виде

Паъ(д, 0) - П0 + п%д2, (5)

(0) V л ( ПЧ (2) т ПаЪ(д,0) - Ит о Паъ(д,0)

ПаЪ = 11П0 ПаЪ(?> 0) ПаЪ = ^-~2-' (6)

д^0 д^0 д2

п'0' _ - ^ , (7)

В [4, 5] было показано, что

(о) _ _ f du,

\dßb/т

где ць - химический потенциал компоненты b. Соотношение (7) является обобщением для многокомпонентной кулоновской системы известного результата [6] для модельного случая однокомпонентной электронной жидкости, который принято называть правилом сумм для сжимаемости [7],

* _ -(Ш)т _ -К ■ Кт _ -1 ® т. w

где 1 - объем, Р - давление, Кт - изотермическая сжимаемость кулоновской системы. В свою очередь, для двухкомпонентной кулоновской системы, состоящей из электронов (индекс - е) и ядер (индекс - с), на основе (8) можно получить [4, 5] предельные соотношения для статических структурных факторов Sab(q), непосредственно измеряемых в экспериментах по рассеянию нейтронов и рентгеновских лучей [8],

u ( u \

limScc(q) _ ПсТКт, limScc(q) _ — limSee(q) _ — limSec(q). (9)

g—о g—>о ne g—o \ue J g—o

Подставляя (5),(6) в (2),(3), получаем для диэлектрической проницаемости 0) ку-лоновской системы произвольного состава при малых волновых векторах д

К2 О о (0) . о (дп„

е(я, 0) - е* + ^, к2 = -4п £ ^= 4п £ гагье2 (^ , (10)

С[ 1,4 / т

= 1 + 4па, а = - ^ гагъв2^. (11)

а,Ь

Очевидно. что все входящие в соотношения (10). (11) коэффициенты ео , к , а являются функциями термодинамических параметров кулоновской системы. С использованием большого канонического ансамбля нетрудно убедиться [9], что

Т^) = V {ШаШЬ)> Ша = Ма - М) , (12)

где па = (Ма)/V, Ма - оператор полного числа частиц сорта а, угловые скобки (...) обозначают усреднение по большому каноническому ансамблю. Подставляя (12) в (10) и учитывая условие электронейтральности (4). получаем для кулоновской системы при произвольных термодинамических параметрах

К2 = 4П0, Я = £ гавМа. (13)

а

а

К

предельных случаях совпадает с волновыми векторами Дебая и Томаса Ферми.

Как видно из (10), величина к-1 характеризует глубину проникновения электростатического поля в вещество [1]. В предельном случае, когда

4П

^ (Я2) = 0, (14)

глубина проникновения стремится к бесконечности. Таким образом. когдсХ выполняется условие (14). кулоновская система ведет себя как "истинный" диэлектрик, изменяя только амплитуду электростатического поля на величину е0* (10), (11), которую, в этом смысле, можно считать статической диэлектрической постоянной вещества. Соответ-а

Здесь необходимо отметить следующее обстоятельство. Как и в случае "традиционного" рассмотрения перехода "металл-диэлектрик" на основе анализа проводимости

(см.. напр.. [10]. [11]), можно утверждать, что разделение веществ на "металлы" и "диэлектрики" носит условный характер, поскольку все известные диэлектрики обладают

Т=0

ношении глубины проникновения электростатического поля в вещество, определяемой величиной, обратной величине (222}/У. В "металлах" глубина проникновения очень мала, в то время как у "диэлектриков" может быть одного порядка с макроскопическими параметрами системы.

В качестве иллюстрации рассмотрим воздействие точечного внешнего заряда на неограниченную однородную кулоновскую систему. Тогда с учетом (1) в г-пространстве получаем

иЬаЬ(г) _ 2 [ ¿д вт(дг)

иех1(г) пУ д е(д, 0)'

о

В пределе г ^ ж из (10), (15) непосредственно следует

(15)

и 1оЧг) 1 1/2

() • -Щ ехр( — г/Дзсг), Дзог = , (16)

иех1(г) ^^ —

где Дзсг - длина проникновения электростатического поля в вещество, или, согласно терминологии, принятой в теории неидеальной плазмы (см., напр., [12]). радиус экранирования. Отметим, что при выполнении условия (14) для "истинного" диэлектрика

Дзсг ^ ж. (17)

Таким образом, можно утверждать, что представление статической диэлектрической проницаемости е(д, 0) в области малых волновых векторов д в виде (10) носит универсальный характер и может быть использовано при описании кулоновской системы как в "металлическом", так и в "диэлектрическом" состояниях. Косвенное подтверждение этому можно найти в [3], где развито обобщенное приближение хаотических фаз для вычисления поляризационного оператора П(д, 0), позволяющее учесть связанные состояния электронов и ядер.

2. Покажем теперь, что величина е^ при последовательном учете квантовых эффектов отлична от единицы даже при использовании приближения идеального газа для вычисления поляризационного оператора П(д, 0). Поэтому вели чина Д8сг, определяемая соотношением (16), отлична в соответствующих приближениях и от радиуса Дебая, и от радиуса Томаса Ферми. По-видимому, впервые на это обстоятельство было обращено внимание в работах [13], [14], посвященных вычислению термодинамических

функций слабонеидеальной плазмы. Следуя авторам работы [14]. будем дохлее н&зыв&ть величину Rscr "истинным" радиусом экранирования.

Для иллюстрации сказанного выттте рассмотрим статическую диэлектрическую проницаемость e(q, 0) в приближении хаотических фаз (RPA) для электронного газа в компенсирующем положительном фоне. Тогда [3]

4пе2

eRPA(q, 0) = 1 -^f-nRPA(q, 0)

(18)

nRPA(q, 0) = 2

d3p f (p - q/2) - f (p + q/2) (2n)3 e(p - q/2) - e(p + q/2)

(19)

m

n2h2q

pf (p)ln

2p + q

2p - q

dp < 0,

h2p2

e(p) = ^— > f (p)

expl |+1

n

2

d3p

f (p).

(20)

2т ' ^ V Т ) ' ') ' " } (2п)3'

Легко проверить, что из (19), (20) непосредственно следует (8). В двух предельных случаях: сильного вырождения (БЕС) и в квазиклассическом приближении (С^СЬ) интеграл в (19) может быть вычислен точно (см.. напр.. [3]). В частности.

П

DEG

3n il k

(q, 0) = ^ + i -

2eF [2 2q V 4k2

q2

F

lu

q + 2k

F

q - 2k

F

(21)

где kF = (3n2n)1/3 - волновой вектор Ферми, eF = h2k"F/2m - энергия Ферми. Из (21) с учетом (10). (11) нетрудно получить

к

k

est TF, е0

YTs , / 6п ne2 \ 1/2

1 - V" ' kTF = - > Y

3п \ eF )

9п )

1/3

(22)

Здесь Аур - волновой вектор Томаса-Ферми, т3 = (4пп/3)-1/3/а0 - известный параметр [7], определяемый как отношение среднего расстояния между частицами к радиусу Бора а0 = Я2/те2. Отметим, что мы намеренно не обсуждаем вопрос об осцилляциях Фриделя (см., напр., [7]).

Для квазиклассического случая с использованием распределения Максвелла имеем

nQ-(q, 0) = -nFl( 1, 3, -Ё1Л уъ ' T 11 V ' 2' 8mT )

k-2 \2

к2 = kl, e0t = 1 - ^, ko =

/4nne2\1/2 л °=( — ,X

\1/2

mT

(23)

(24)

Здесь Fi,i(a,P, z) - вырожденная гипергеометрическая функция, kD - волновой вектор Дебая, Л - тепловая длина волны де Бройля.

Таким образом, как отмечено выше, с учетом отличия 60f от единицы "истинный" радиус экранирования Rscr (16) отличается от традиционно используемых в теории сла-бонеидеальньтх кулоновских систем.

При численном исследовании различных свойств кулоновских систем довольно часто возникает необходимость в общих соотношениях для различных параметров при произвольном вырождении электронов. В рассматриваемом случае речь идет об определении величин к и (или nie"1 и ni2 в соответствии с (5), (6)). Такая задача актуальна, например, при исследовании поверхностных свойств жидких металлов [15].

Для решения этой задачи необходимо выполнить разложение по степеням малого волнового вектора q под знаком интеграла в соотношении (19). Отметим, что такое разложение носит асимптотический характер. В рамках соотношения (19) такое разложение для определения интересующих нас величин выполнить не удается ввиду появления расходимостей при вычислении интеграла в области малых волновых векторов p. Поэтому используем в (19) интегрирование по частям. В результате получаем

сю

n™(q,0) = -V/{ (p2 — ^Ь 2Р + q ......1 df P

2p — q

+ qpt dkjp) PdP' (25)

^ и 4

0

Из соотношения (25) уже нетрудно получить интересующие нас результаты с помощью разложения по степеням малого волнового вектора q под знаком интеграла. В итоге,

_(о) = 2 г дш= _2 /7дШ = _ {М (9м

ее ] де(р)(2п)3 ] \ д» )Т (2п)3 \д») Т К )

= / 7Г777Ф = ТгЫ ^ ) ' ) = I fШр- (27)

1 [df (p) 1 (дp

ee 12п2 J dt(p) 1 12п2\ дp

t J

о 0

Здесь функция f (р) определяется соотношением (20). В соответствующих приближениях для функции распределения f (р) соотношения (26), (27) переходят в результаты (22), (24). При этом величина а, определяемая соотношением (11), отрицательна при произвольном вырождении электронов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] А. А.Рухадзе, В. П.Силин, Электромагнитные свойства плазмы, и плазм,оподоб-ных сред (Госатомиздат, Москва, 1961).

[2] А. А. Абрикосов. Л. П. Горьков. И. И. Дзялотпинский, Методы ква,нтовой теории поля, в статистической физик,е (ГИФМЛ. Москва. 1962).

[3] В.-Д. Крефт, Д. Кремп, В. Эбелинг, Г. Репке. Квантовая, статистика, систем заряженных частиц (Мир. Москва. 1988).

[4] В. Б.Бобров, Н. И. Ключников, С. А. Тригер, ТМФ 89, 263 (1991).

[5] V. В. Bobrov, X. I. Klyuchuikov, and S. A. Trigger, Physica A181, 150 (1992).

[6] E. С. Фрадкин, Труды ФИАН 29, 7 (1965).

[7] Д. Панне, Ф. Нозьер, Теория, ква,нтовых жидкостей (Мир, Москва, 1967).

[8] Н. Марч, М. Паринелло, Коллективные эффекты в твердых телах и жидкостях (Мир, Москва, 1986).

[9] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифтпиц, Статистическая, физика, ч.1 (Наука, Москва, 1976).

[10] В. А. Алексеев, Е. Г. Максимов, Я. Г. Пономарев, Д. И. Хомский, УФН 112, 173 (1974).

[И] А. А. Ликальтер, УФН 170, 831 (2000).

[12] В. Е. Фортов, И. Т. Якубов, Нсидеальная, плазма, (Энергоатомиздат, Москва, 1994).

[13] А. X. Starostin, V. С. Roerich, and R. М. More, Contrib.Plasma Phys. 43, 369 (2003).

[14] A. H. Старостин, В. К. Рерих, ЖЭТФ 127, 186 (2005).

[15] Н. П. Коваленко, К). П. Красный, С. А. Тригер, Статистическая, теория, жидких металлов (Наука, Москва, 1990).

Поступила в редакцию 27 октября 2009 г.