CC BY
53
УДК 533.93, 537.87
ОБ ОСОБЕННОСТИ ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ КУЛОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
В. Б. Бобров1'2, С. А. Тригер1'3, А. Г. Загородний4
На основе результатов статистической квантовой электродинамики показано, что при рассмотрении нерелятивистской системы заряженных частиц, находящихся в макроскопическом объеме, потенциал кулонов-ского взаимодействия не имеет фурье-компоненты при нулевом волновом векторе. Этот результат имеет, принципиальное значение при исследовании корреляционных функций кулоновской системы, в том числе при наличии конденсата Бозе-Эйнштейна.
Ключевые слова: кулоновский потенциал взаимодействия, корреляционные функции; конденсат Бозе-Эйнштейна.
В статистической теории систем заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона (кулоновских систем - КС), до настоящего времени имеется нерешенный вопрос, связанный с определением значения фурье-образа потенциала кулоновского взаимодействия для волнового вектора q = 0. Дело в том, что установление явного вида потенциала взаимодействия между заряженными частицами (закона Кулона) как функции расстояния между ними в теории поля осуществляется на основе фурье-преобразования уравнений Максвелла [1]. Согласно теории поля [1] кулоновский потенциал определяет электростатическое взаимодействие заряженных частиц, поэтому для определения фурье-образа потенциала кулоновского взаимодействия используется уравнение Пуассона, что и приводят к следующему результату при q = 0
Vab(q) = 4 nzazb e2/q2, (1)
1 Объединенный институт высоких температур РАН, 127412 Россия, Москва, ул. Ижорская, 13/19.
2 Национальный исследовательский университет "МЭИ", 111250 Россия, Москва, ул. Красноказарменная, 14.
3 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: satron@mail.ru.
4 Институт теоретической физики НАН Украины, 03680 Украина, Киев, Метрологична ул., 14б.
где q = |q|, zae - заряд частиц сорта а, а величина vab(q) определяет электростатическое взаимодействие между заряженными частицами сортов а и b. При этом величина vab (q = 0) остается неопределенной согласно уравнению Пуассона. В такой неопределенности, на первый взгляд, отсутствует физическая проблема, так как согласно классической теории поля непосредственный физический смысл имеет напряженность электрического поля, которая определяется волновыми векторами, не равными нулю [1]. Кроме того, с учетом (1) нетрудно установить закон Кулона, используя фурье-преобразование
vab(r) = I 7d-q3vab(q) exp(iq ■ г) = ZaZe-, (2)
J (2n)- r
где r - расстояние между заряженными частицами сортов а и b, так что неопределенность vab (q = 0) не сказывается на виде функции vab(r). Другими словами, величина vab(r) определяется по известному значению vab(q).
Однако ситуация изменяется при построении статистической теории для описания термодинамических, кинетических и электромагнитных свойств КС. При вычислении средних величин в статистической теории необходимо первоначально рассматривать систему в очень большом, но конечном объеме V, а затем перейти к так называемому термодинамическому предельному переходу: Na ^ х>, V ^ х>, na = Na/V = const, где Na - полное число частиц сорта а в рассматриваемой системе, которая занимает объем V и характеризуется заданной величиной средней плотности числа частиц na [2]. При этом многочастичная система заряженных частиц в силу дальнодействующего характера кулоновского взаимодействия (2) принципиально является многокомпонентной, так что для термодинамической устойчивости КС необходимым является условие квазинейтральности
SaZaena = 0. (3)
По этой же причине другим условием термодинамической устойчивости является требование квантового описания КС с учетом эффектов тождественности частиц (см. подробнее [3]). Таким образом, при построении статистической теории для квантовой нерелятивистской КС вместо интегрального преобразования Фурье (2) для кулоновско-го потенциала необходимо использовать ряд Фурье
vab(r) = V ^ vab(q) exP(iq ■ г). (4)
q
До настоящего времени в подавляющем большинстве случаев при вычислении значения vab (q = 0) исходят из того, что потенциал vab(r) (2) известен в том смысле, что
его величина определяется экспериментально установленным законом Кулона. В этом случае в соответствии с определением фурье-преобразования для потенциала Уаъ(т) (2)
полняется. На этой основе из интуитивных соображений в работе [4] при определении термодинамических свойств слабонеидеальной плазмы было сформулировано утверждение о том, что
с учетом условия квазинейтральности в термодинамическом пределе. Аналогичное утверждение используется и при исследовании заряженного бозе-газа [5, 6], а также при рассмотрении корреляционных функций и линейных электромагнитных свойств КС [7]. Более того, как показано в [8], соотношение (7) является необходимым условием эквивалентности при использовании канонического и большого канонического распределений Гиббса для вычисления термодинамических свойств КС. Однако используемое в этом случае соотношение (5) не соответствует классической теории поля [1], согласно которой потенциал Уаъ(т) определяется на основе ^аЪ(д) (2), а не наоборот. Кроме того, вычисление величины иаъ(д) на основе Уаъ(т) связано с искусственной регуляризацией пространственного интеграла. При этом ссылка на справедливость закона Кулона для величины иаъ(т) не может быть принята к рассмотрению в отношении элементарных заряженных частиц, так как закон Кулона экспериментально установлен для макроскопических заряженных тел (см. подробнее [9]).
С учетом сказанного выше для решения вопроса о значении величины иаъ (я = 0) необходимо обратиться к результатам квантовой теории поля, согласно которой заряженные частицы взаимодействуют между собой через квантованное электромагнитное поле. В рамках квантовой статистической электродинамики [10] можно говорить о соответствии между функцией Грина для квантованного электромагнитного поля (к) (р,и = 0,1, 2, 3; к = (ш/о, я)) и потенциалами взаимодействия между заряженными частицами. При этом следует использовать дискретное импульсное представление (см. (4) [11]). В этом случае 4-вектор потенциала, отвечающего квантованному электромагнитному полю, не содержит члена с я = 0, так как квант электромагнитного поля имеет энергию Ко|я|. По этой причине величина волнового вектора я в функции Грина (к) не может принимать нулевого значения. Это означает, что изменение импульса Кя в процессе взаимодействия должно быть отлично от нуля. Другими словами, не
Очевидно, что интеграл в (5) расходится как V 2/3 , поэтому второе равенство в (5) вы
Мя = 0) = 0
(6)
существует физической субстанции, которая является переносчиком взаимодействия, результатом которого является нулевая передача импульса.
В кулоновской калибровке, которая наиболее соответствует переходу к нерелятивистскому пределу при описании системы заряженных частиц, функция Грина Ою^к) для свободного электромагнитного поля имеет вид (к) = 4п/д2, что соответствует кулоновскому потенциалу взаимодействия заряженных частиц. При наличии заряженных частиц функция Грина О00 (к) = 4п/д2£г(к), где £1(к) - продольная диэлектрическая проницаемость системы заряженных частиц и квантованного электромагнитного поля [10], что полностью соответствует экранированному кулоновскому взаимодействию заряженных частиц для равновесной КС в нерелятивистском пределе [3]. Таким образом, согласно результатам квантовой статистической электродинамики утверждение (6) для величины (я = 0) выполняется в том смысле, что потенциал кулоновского взаимодействия ^„¿(г) может быть представлен в виде ряда Фурье (4), в котором отсутствует член с я = 0. Другими словами, соотношение ^ (я = 0) = 0 в КС справедливо и без использования условия квазинейтральности. Это означает, что гамильтониан для нерелятивистской КС в представлении вторичного квантования следует записывать в следующем виде
Н = ^ ^ ба(р)а+ара+
а рст
+ 27 ^ ^ ^ ^аЬ(Я)а+1+ч/2,СТ1 Ь+-д/2,*2 ЬР2+Ч/2^2 аР1 —ч/2,<71 , (7)
а,Ь q=0 {рст}
где е(р) = Я2р2/2та - энергия свободной частицы сорта а с массой та, зарядом гав и спином оа, а+ст и арст - соответственно операторы рождения и уничтожения для частиц сорта а с импульсом Яр и проекцией спина а.
Результат (6) в указанном выше смысле имеет принципиальное значение для установления предельных соотношений для корреляционных функций в КС [7] и приводит к особенностям критических явлений в КС, в частности, возможности существования второй критической точки, непосредственно связанной с состоянием истинного диэлектрика (см. [12, 13] и цитированную тем литературу). Кроме того, при условии (я = 0) = 0 в КС возможно существование энергетической щели в одночастичном спектре возбуждений при наличии конденсата Бозе-Эйнштейна [14]. Действительно, если в КС имеются заряженные частицы - бозоны (для определенности ядра сорта Ь с нулевым спином), то при ультранизких температурах такая КС перейдет в состояние с
конденсатом Бозе-Эйнштейна (КБЭ) [14]. При этом справедливо равенство
fb (p) = N(BEC)ip,o + /Гег)(р) ■ (1 - ip,o), (8)
дт(БЕС) _ (BEC) лг (BEC) ,.(over) / ч
где Nb = nb ■ V, nb плотность числа частиц в КБЭ, / (p) - одночастич-
ная функция распределения по импульсам hp для "надконденсатных" (p = 0) частиц сорта b. В свою очередь, для спектральной функции Ab(p, ш), однозначно определяющей одночастичную функцию Грина для частиц сорта b с массой mb и химическим потенциалом ць, выполняется точное соотношение (см., напр., [15, 16]), которое с учетом (6) имеет вид
сю 2 2
шаь(р,ш) — = Eb(p), Eb(p) = — - цb + vbb(q)fb(q + p). (9) -с П mb q=0
Из (8), (9) непосредственно следует, что функция Eb(p) для КС испытывает разрыв в точке p = 0.
Данная работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 14-19-01492).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля (М., ^ука, 19Т3).
[2] H. H. Боголюбов, H. H. Боголюбов (мл.), Введение в квантовую статистическую механику (М., ^ука, 19S4).
[3] W. Ebeling, W.-D. Kraeft, D. Kremp, and G. Ropke, Quantum Statistics of Charged Particle Systems (Springer, Berlin, 2013).
[4] А. А. Веденов, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 36, 1133 (1959).
[5] L. L. Foldy, Phys. Rev. 124, б49 (19б1).
[6] E. H. Lieb and J. P. Solovej, Commun. Math. Phys. 252, 4S5 (2004). [Т] В. Б. Бобров, H. И. Ключников, С. А. Тригер, ТМФ 89, 2б3 (1991).
[S] V. B. Bobrov, I. M. Sokolov, and S. A. Trigger, Phys. Plasmas 19, 0б2101 (2012). [9] L.-C. Tu and J. Luo, Metrologia 41, Sm (2004).
[10] E. С. Фрадкин, Труды ФИАH 29, Т (19б5).
[11] H. H. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей (М., Шука, 19S4).
[12] V. B. Bobrov, Phys. Rev. E 86, 026401 (2012).
[13] V. B. Bobrov, S. A. Trigger, and A. G. Zagorodny, EPL (Europhys. Lett.) 101, 16002 (2013).
[14] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(12), 58 (2014).
[15] О. К. Калашников, Е. С. Фрадкин, ТМФ 5, 417 (1970).
[16] В. Б. Бобров, А. Г. Загородний, С. А. Тригер, Доклады Академии наук 461, 400 (2015).
Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.
