Асимптотическое поведение спектральной функции распределения энергии равновесного излучения в максвелловской плазме при низких частотах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЕ ПРИ НИЗКИХ ЧАСТОТАХ

С. А. Маслов1'2, С. А. Тригер1'3, Н.Г. Гусейн-заде3

Исследована низкочастотная асимптотика спектральной плотности распределения равновесного излучения в бесстолкновительной невырожденной электронной плазме. Показано, что учет пространственной дисперсии в диэлектрической проницаемости электронного газа приводит к логарифмической особенности в спектральной плотности распределения при малых частотах. При этом полная энергия излучения остается конечной. Результаты аналитического рассмотрения совпадают с численным расчетом.

Ключевые слова: спектральная плотность распределения излучения, диэлектрическая проницаемость.

Как известно, спектральное распределение энергии равновесного излучения, установленное М. Планком [1], привело к становлению квантовой теории. Распределение Планка соответствует идеализированной модели абсолютно черного тела, рассматриваемой как полость, заполненная излучением и ограниченная абсолютно поглощающим веществом. При этом предполагается, что излучение находится в термодинамическом равновесии с веществом, хотя эффекты взаимодействия фотонов с ограничивающим веществом не рассматриваются [2]. Практическая реализация распределения Планка, как правило, связана с рассмотрением макроскопического тела, находящегося в тепловом равновесии с окружающим его "черным" излучением [2]. В решении этой задачи, имеющей непосредственное отношение к закону Кирхгофа, достигнуты большие успехи

1 ОИВТ РАН, 125412 Россия, Москва, ул. Ижорская, 13; e-mail: satron@mail.ru.

2 МГУ имени М. В. Ломоносова, 119991 Россия, Москва, ул. Ленинские горы, 1.

3 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38.

(см. подробнее [3-5] и цитированную там литературу). В то же время, вопросу о спектральном распределении энергии излучения в самом веществе, находящемся в состоянии равновесия, уделялось мало внимания (см. [6] и цитированную там литературу). Решение этой задачи в основном ограничивалось анализом областей прозрачности при малых импульсах фотонов. Такой подход представляется заведомо ограниченным, так как из физических соображений ясно, что для установления термодинамического равновесия излучения в веществе необходимо учитывать эффекты поглощения излучения. Последовательному рассмотрению вопроса о влиянии поглощающей плазменной среды на спектральное распределение энергии равновесного излучения в веществе посвящены недавние статьи [7-9]. В этих работах рассмотрение проводилось как для полностью равновесной системы нерелятивистских заряженных частиц и фотонов [7, 8], так и на основе обобщения более традиционного подхода, использующего флуктуационно-диссипационную теорему [9]. Ниже, при вычислении асимптотического поведения спектральной плотности излучения, мы будем базироваться на результатах работ [7, 8].

Спектральная плотность распределения энергии равновесного излучения при наличии электронного газа в предположении а, Г, п << 1 вычисляется как

^ (Ж)

W3

+

ехр(Ж) - 1

3ео1М Ж )

4^2

Ф(У, Ж) ■ У4 ¿У

па1/2Ж3 У (аФ(У, Ж) - 2У2)2 + (аФ(У, Ж))2 2

(1)

где Г = е2п1/3/Т - параметр кулоновского взаимодействия электронов, е, п, Т - заряд, концентрация и температура электронов соответственно, п = пЛ3, а Л = К^/2п/тТ -длина волны де Бройля. Параметр а определяется выражением а = (Иу-п2/3)/(птс2Г2), где т - масса электрона, с - скорость света, Иу - постоянная Ридберга.

Первый член в (1) отвечает спектральной плотности Планковского излучения, а второй член описывает влияние заряженных частиц на спектральную плотность, выражающуюся через поперечную диэлектрическую проницаемость. Функции Ф(У, Ж) = Ж2Иее4г (У, Ж) и Ф(У, Ж) = Ж21ше4г (У, Ж) в безразмерных переменных У = кЛ/^4П, Ж = Кш/Т, (к, ш - соответственно волновое число и частота) определяются формулами [8]

Ж У2

Ф(У, Ж) = Ж2 - 2Гп2/3 - Гп2/3 + —

У2 2

х

х

1^1

1 3

2 - 2У - 2

-1

3 (Ж У

1, -, ---+ —

' 2' V 2У 2

+

1

2

2

+гп2/3(1 + т)^

ф(у, ж) = /пгп2/3 (+ |ехр

1 3 /к.У ' 2' I 2У 2

+1

3 Ш У

1, -, ---+ —

' 2' I 2У 2

К

2У

У

ехр

-(К + У

V 2У 2

, (2) , (3)

где 1С1(1, 3/2, —ж2) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера [10]. Исследуем поведение спектральной функции распределения энергии при частоте К ^ 0 в предположении /К << аГ^2/3 << 1. Из (1) видно, что

^ (К)

/(У, К)^У + 0(К3),

/ (У, К)

8/2

Ф(У,К) ■ У4 ^У

(4)

па1/2К (аФ(У, К) — 2У2)2 + (аФ(У, К))2' Символ = здесь и в дальнейшем означает асимптотику. Асимптотика Ф(У, К) при К ^ 0 имеет вид

/пГп2/3 ■ К/У ■ ехр(—К2/4У2),

У << /К

Ф(У, К)

/ПГп2/3 ■ К/У, У - /К

/ПГп2/3(1/У + У/2п) ■ Кехр(—У2/4), У >> /К

(5)

Рассмотрим асимптотическое поведение / (У, К) при различных У.

1. У << К .В этом случае К/2У ± У/2 ^ то. Из асимптотики 1 С1(1, 3/2, —ж2) = 1/2ж2, ж ^ следует аФ(У, К) — 2У2 - — 2аГ^2/3 >> Ф(У, К), откуда

г(У ш) ^ 8/2 /ПГп2/3 ■ У3 ехр(—К2/4У2) 2/2 Гп2/3 ■ У3

/ (У, К ) --! /г. ' / ~ „ г. /оч г. <<

па

1/2

(—2аГп2/3)2

па (аГп2/3)

(6)

2. У ~ К или К << У - /К. Из (4)-(5) находим верхнюю оценку /(У, К):

К 2

/ (У ш ) < 8/2 Ф(У,К) ■ У % 8/2 Гп2/3У5

1 ( , ) - па1/2К (аФ(У,К))2 <

8/2

<<

Па (а^Гп2/3К)2 Гп2/3У

ехр

4У 2

<<

па (^Л/пГп2/3)2

(7)

3. /К - У << 1. В силу того, что ^(1, 3/2, —ж2) = 1 — 2ж2/3, ж ^ 0, выражение аФ(У, К) — 2У2 = 2аГп2/3У2/3 — 2У2 - —2У2, следовательно,

4/2 Гп2/3 ■ У3(2п + У2)ехр(—У2/4)

/ (У, К)

V/Пза 4У4 + (а^Гп2/3(1/У + У/2п) ■ Кехр(—У2/4))2

(8)

2

2

2

2

2

При ^ << У << 1 справедливо 2У2 >> Ф(У, Ж) и формулу (8) можно упростить:

/(У, Ж) = ^^ ■ (2п + У2) ехр Г-У2

У

п3а 4 ' ' \ 4

2

(9)

4. У — 1 или У >> 1. Поскольку 1С1(1, 3/2, -х2) < 1 при всех х, для Ф(У, Ж) из формулы (2) справедлива следующая оценка:

|Ф(У, Ж)| < Ж2 + 2Гп2/3 + 2Гп2/3 ^W2 + У2 + - 2Гп2/3У2 << 2У2, (10)

откуда |аФ(У, Ж) - 2У21 = 2У2 >> Ф(У, Ж), и /(У, Ж) удовлетворяет (9).

С целью дальнейшего исследования асимптотики (1) разложим интеграл в формуле (4) в следующую сумму:

•/ш

/ш

у/ (У, Ж )^У = у / (У, Ж )^У + у / (У, Ж )^У + у / (У, Ж )^У.

0 0 /ш /ш

(11)

Здесь учтено, что >> "3W. Из (7)-(11) следует, что

у/Ш

/ш

/ (У, Ж)^У <

[ Гп2/3У 8л/2 Гп2/3 Ж

па У (^Л/лГп2/3)2 "УПа (ау^Гп2^)2

(12)

/ш

/ (У, Ж )^У

4^2

/ш

Гп2/3 ■ У3(2п + У2) ехр(-У2/4)^У

/ш

V/Пза У 4У4 + (а^Гп2/3(1/У + У/2п) ■ Жехр(-У2/4))2 /ш

8^2

//Ш

Гп2/3 ■ У5^У

Па У 4У6 + (а^Гп2/3 ■ Ж)2 /ш

^2Гп2/3

/ш

па

[1п(4Ж2) - 21п(а^ПГп2/3 ■ Ж)] >> /(У, Ж)^У,

(13)

/(У, Ж)^У

с

^2Гп2/3 [ (2п + У2) У

п3а

/ш

У ехР( НУ

^2Гп2/3

па

с с

/• е-2 2

+ - I е-2

У ^ п _

л/ш/4 /ш/4

2

= ^ и - 1п^ + 2«-Н =

у па \ 4 п /

(X

7 - 1П^ + 2 >> / !(У,1)ЛУ, (14)

4п

' 0

где Z = У2/4, 7 = 0.5772156649 ... - постоянная Эйлера. Из (4), (11)—(14), следует, что

(15)

г (1) = ^2/3

6

41п4 + 37 + - - 21п (а ^ПГп2/3 ■ 1) /па |_ п

На рис. 1 для примера представлены сравнительные графики спектральной функции распределения (1) и ее асимптотики (15) при Г = 0.01, п = 0.1. В этом случае произведение аГп2/3 « 5.826871 ■ 10-5 << 1 и при 1 << (аГп2/3)2 « 3.395243 ■ 10-9 асимптотика спектральной функции удовлетворяет (15).

Рис. 1: Графики функции Г(1) (сплошная линия) и ее асимптотического поведения найденного аналитически (штриховая линия) при Г = 0.01, п = 0.1. По горизонтальной оси масштаб логарифмический, по вертикальной - линейный.

Таким образом, влияние плазменной среды принципиально меняет поведение спектральной плотности излучения на малых частотах. Отметим, что наличие логарифмического роста спектральной плотности излучения при малых частотах не приводит к расходимости полной энергии излучения, являющейся интегралом по частоте от спектральной плотности излучения. Результаты работы могут быть применены как для лабораторных условий, так и для астрофизических приложений, включая изучение моделей ранней Вселенной.

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 17-02-00573).

ЛИТЕРАТУРА

[1] M. Planck, Ann. der Phys. 1, 719 (1900); 4, 553 (1900).

[2] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика, часть 1 (М., Наука, 1976).

[3] М. Л. Левин, С. М. Рытов, Теория равновесных тепловых флуктуации в электродинамике (М., Наука, 1967).

[4] А. И. Волокитин, Б. Н. Дж. Перссон, УФН 177, 921 (2007).

[5] Е. А. Виноградов, И. А. Дорофеев, УФН 179, 449 (2009).

[6] S. A. Trigger, Phys. Lett. A 370, 365 (2007).

[7] В. Б. Бобров, И. М. Соколов, С. А. Тригер, Письма в ЖЭТФ 101, 326 (2015).

[8] В. Б. Бобров, С. А. Тригер, Теоретическая и математическая физика 187, 104

(2016).

[9] А. Г. Загородний, С. А. Тригер, Краткие сообщения по физике ФИАН 45(5), 45 (2018).

[10] М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (М., Наука, 1979) [M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables (Washington D. C., National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55)].

Поступила в редакцию 27 июня 2018 г.