CC BY
20
УДК 533.951
ЗАВИСИМОСТЬ ТЕМПЕРАТУРЫ СТОХАСТИЧЕСКИ НАГРЕВАЕМЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ОТ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ИМПУЛЬСНОГО ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА МИШЕНИ
Ю.В. Крыленко, Ю. А. Михайлов1, А. С. Орехов2, Г. В. Склизков,
A.A. Филиппов
Численными методами рассматривается динамика электронов в поле сфокусированного многомодового лазерного излучения, пикосекундной длительности. Обнаружено, что при стохастическом возмущении траектории электрона его энергия, может на несколько порядков превосходить энергию осцилля,торного движения в плоской волне. На основании 2D численного моделирования исследуется, функция, распределения, электронов. Получено аналитическое выражение для, функции распределения, релятивистских электронов как идеального газа. Функция, распределения, в диапазоне плотности потоков излучения 1014 — 1017 Вт/см? сравнивается, с аналитическим выражением, равновесного распределения, и вводится, температурная, характеристика для, стохастически нагреваемых лазерным, полем, электронов. Найдена зависимость температуры электронов от плотности потока, излучения.
Ключевые слова: лазерная плазма, стохастическое ускорение электронов, функция распределения.
Генерация и наличие высокоэнергичных электронов в лазерной плазме имеет большое значение для лазерного термоядерного синтеза. С одной стороны, наличие энергичных электронов в короне термоядерной митттени может иметь негативное и даже ка-
Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 119991 Москва, Ленинский пр., 53.
1 E-mail: mikh@sci.lebedev.ru
2 E-mail: anstanor@gmail.com
тастрофическое значение при адиабатическом сжатии митттени. так как при этом происходит нежелательный предпрогрев сжимаемого ядра. С другой стороны, в схеме быстрого поджига такие электроны могут быть использованы для нагрева до термоядерной температуры и инициирования горения сжатого ядра [1]. Кроме того, актуальность исследований генерации и ускорения электронов в лазерной плазме обуславливается возможностью применения высокоэнергичных электронных пучков из вспомогательного лазер-плазменного источника для весьма перспективной диагностики плазмы по рассеянию электронов на спонтанных магнитных полях сжимаемой термоядерной митттени [2]. Существует также весьма важный аспект исследований генерации электронов в плазме, связанный с их ролью в энергетическом балансе, что необходимо учитывать для корректного написания уравнения состояния плазмы [3] и. следовательно, построения адекватных гидродинамических моделей для теоретического анализа физических процессов в экспериментах по ЛТС.
Проведённые в последнее время многочисленные экспериментальные и теоретические исследования свидетельствуют о генерации электронов аномально большой энергии в лазерной плазме в широком диапазоне световых потоков. Впервые при умеренных потоках пико- и наносекундной длительности наблюдались вьтсокоэнергичньте электроны из лазерной плазмы в работе [4]. а в работах [5, 6] была зарегистрирована и исследована аномально большая эмиссия вьтсокоэнергичньтх электронов. Следует отметить, что при сверхвысоких потоках ~3 • 1020 Вт/см2 наблюдались экспериментально и получались в численных моделях электроны с максимальной энергией ~100 МэВ, что во много раз превышало энергию осцилляторньтх колебаний [8, 9].
В настоящей работе на основании 2Б численного моделирования исследуется функция распределения свободных электронов, нагреваемых интенсивным лазерным полем. Функция распределения в диапазоне плотности потоков излучения 1014 — 1017 Вт/см2, полученная с помощью численного моделирования, сравнивается с аналитическим выражением для равновесного распределения. Вводится температурный параметр и определяется его зависимость от интенсивности лазерного излучения в фокусе. Для импульсов параболической формы длительностью 103 — 104 периодов световой волны с длиной волны А =1 мкм получена зависимость температуры от плотности потока и времени.
Для ансамбля невзаимодействующих релятивистских частиц (идеального релятивистского газа, изотропного в пространстве) справедливо распределение Гибб-са. Если предположить изотропность скоростей в отсутствие внешних сил. из распределения Гиббса следует функция в импульсном пространстве w(p)dp =
Импульс частицы Кинетическая энергия
Рис. 1: Распределение электронов по импульсам при разных температурах. Жирные кривые - функция распределения, нормированная на единицу, тонкие линии - плотность вероятности распределения электронов для температур 51,102, 255, 510,1020 кэВ слева направо соответственно.
Рис. 2: Распределение электронов по энергиям при разных температурах. Жирные кривые - функция распределения, нормированная на единицу, тонкие линии - плотность
1
е'
А'(в')е 0' dpxdpydpz, где е' = у/рс2 + т2с4. Пронормировав эту функцию, получим л^/р 2 с2 + т2 с4
N
А' (в') J е в' djP = —, ^де якобиан равен dp' = Ап^dp\ а штрих от-
V
носится к абсолютным единицам. Для удобства перейдем к относительным величие' p' с в' нам, сделав следующую замену переменных е = —-; p = —-; в = —Условие
тс2 тс2 тс2
нормировки функции распределения на одну частицу выглядит следующим образом
А(в) ^ (тс2)3 • е в А:^2dp = 1. Чтобы найти зависимость нормировочного ко-0
эффициента от температуры в заменим £ = агс8Ь—г = и перепишем условие
pc 1
" г 7)'
тс2 в
оо
нормировки в виде А(г) = [4п(тс2)3 • I(г)]-1, оде I(г) = / e-z8Ь2tcЫdt. Таким обра-
0
зом, нормировка сводится к нахождению интеграла I(г). Интеграл можно вычислить, используя аппарат функций МакДональдса. Тогда уравнение для интеграла примет вид
' 2 • Г(3/2) К^г)
I (г)аг =----•-. Для решения этого уравнения используем соотношения
!(!/2) г
К. (г) = ГУЩ/* ■[ = • / I
Тогда
Г(3/2) У 2 • Г(3/2)
¡1 Шг = 2 • Г(3/2) КМ.
У 1(г) - Г(1/2) г .
/(г) = -2 • Г(3/2) ^ а (КМ^ = (КМ + 2 • Кх(г)
Г(1/2) ¿г\ г ) \ г г2
где Г(^ + 1/2) - гамма-функции полуцелого аргумента, К (г) - модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядка соответственно.
Окончательно для функции распределения в импульсном пространстве имеем
2
лЛ+Р
2е е
ре ^
ш('Р,е) = А(е) • (то2)3 • е е 4пр2 или w(p,е) = --. . . На
е • Ко(-)+2в . ^
рис. 1 тонкими линиями изображена плотность вероятности распределения электро-
е
импульсном пространстве.
Для удобства сравнения с результами численного моделирования выведем выражение для релятивистской функции распределения в представлении кинетической энер-
лА+Р2
2
2
гии. В формуле w(p, е) = А(е) • е е 4пр2 выразим импульс через кинетическую
энергию р = \/Т2 + 2Т. Функция распределения по энергии преобразуется к выраже-Т + 1
нию f (Т,е) = е е у/Т(2 + Т) • (Т + 1). Для нормировки функции распределения
(оо \
найдем нормировочный множитель В(е) = ( / f (Т,е)аТ I . Задача СВОДИТСЯ К ВЫЧИС-
о Т + 1 0
лению интеграла 3(е) = е е ^Т(2 + Т) • (Т + 1)аТ. Сделаем замену Т = сЬу — 1,
0
О О
1 — ' - 2„. 1 „ 7„. 1 I „-.гсЬу 7 т 3„
г = 0. Тогда 3(е) = е гсЬувЬ2у • сЬуау = 3 • е гсЬуавЬ3у. Далее, используя соотноше-
00
ОО ОО 3 1 О
ния / вЬ3уае~гсЬу = —г$ $ЬАуе~хсЬус1у, Г(5/2) = -^П, найдем 3(е) = -вЬ3у • е~хсНу 0 0 4 3
+
0
--( — К2 (г) = -К2 (г). Для зависимости нормировочного коэффициента от темпе-
3 л/пг2 г
г
ратуры имеем В (9) = . Окончательно функция распределения в терминах кине-
К2 (9)
Т + 1
тической энергии имеет вид w(Т, 9)dT = В(9) • е 9 д/Т(2 + Т) • (Т + 1). На рис. 2 тонкими линиями изображена плотность вероятности распределения электронов для 9
энергиям.
оо
Средняя энергия определяется по формуле Тауд(9) = / Т • w(T,9)dT. При малых
о
температурах в классическом случае среднюю энергию можно записать как Тауд = 3
29. При больших температурах в ультрарелятивистском случае зависимость средней
энергии от температуры стремится к Тауд = 39 — 1. Таким образом, температуру можно
л ТаЩ + 1 (Тк[п) + тс2 определить из значения средней энергии 9 = —
3
3
Рис. 3: Кривая 1 описывает среднюю энергию ансамбля частиц, 2, 3 - асимптотика средней энергии в релятивистском и классическом случаях соответственно, 4 5 -нормировочные коэффициенты для функций распределения по импульсам и по энергиям соответственно.
На рис. 3 кривая 1 отображает аналитически выведенную зависимость средней энергии равновесного распределения от температуры, кривые 2 и 3 показывают асимптотическое поведение температуры в релятивистском и классическом случаях соответственно, кривые 4 и 5 являются графиками нормировочных коэффициентов к распределению частиц по импульсам и по энергиям соответственно.
В численных расчетах мы анализировали поведение ансамбля свободных электронов в электромагнитном поле, описанном выше. Для каждого электрона решалась система уравнений движения = Е(р,Ь) + — (—) х В(р,Ь), = — (—), оде г обозначает
(Ь (Ь
р
р
номер частицы, р = ---релятивистский импульс, р(р) = — ,_
тс у/1 + (р • —)
скорость ча-
стицы, Е =
дЕ'
тс2
и В =
дВ'
тс2
- приведенные электрическое и магнитное поля, Ь = сЬ'
Переменные со штрихами являются абсолютными величинами. Неизвестными в этих уравнениях являются пространственные координаты г и вектор импульса частицы р. По этим величинам для каждой из частиц рассчитывалась эволюция кинетической энергии Т = л/1 + р • р — 1 и по ансамблю всех частиц определялся вид функции плотности вероятности электронов от кинетической энергии.
Рис. 4: Функция распределения электронов, построенная на основе численного моделирования для различных плотностей потока лазерного излучения в диапазоне 1015 — 1017 Вт/см2.
Рис. 5: Зависимость температуры электронов от потока энергии. Ниэюняя кривая соответствует стационарному равновесному состоянию; средняя кривая - расчетная температура, усредненная за импульс; точки на верхней кривой - температура, рассчитанная по результатам измерения тока отсечки.
Рассматриваемые электроны начинали свое движение из ограниченной области пространства, в которой были расположены случайным образом. Набор электроном энергии, несмотря на трёхмерную траекторию его движения, происходил только в плоскости Х-У, содержащей волновой вектор и вектор поляризации пучка. Начальное распре-
деление импульсов частиц соответствовало максвелловскому с температурой порядка одного или нескольких килоэлектронвольт. Это отражает типичное состояние короны лазерной плазмы, нагреваемой вблизи критической области при рассматриваемых уровнях интенсивности излучения 6 • 1013 — 1017 Вт/см2. В нашем случае пространственная неоднородность поля в ближней зоне не играет большой роли при наборе электроном энергии. Однако за счет углового распределения мод в пучке (то есть в дальней зоне) в фокальной области образуются спекл-структурьт в распределении поля. При этом, как показано в работе [7], изменение фазы поля при переходе от пичка к пичку носит случайный характер, что учитывается в уравнениях движения. На движущийся электрон действует электромагнитное поле, фаза которого резко меняется, причём время изменения много меньше периода волны. Частота изменения фазы поля при движении электрона соответствует 2/3 плазменной частоты. Фаза является постоянной от одного скачка до другого. Случайное распределение относительной фазы учтено для каждой спектральной компоненты.
Уравнения движения решались с помощью метода Рунге Кутта четвертого порядка с адаптивным размером тттага. Пространственное разрешение при расчетах составляло 50 точек на длину волны. Временная дискретизация тщательно подбиралась, чтобы минимизировать влияние численных возмущений.
Расчетные функции распределения приведены на рис. 4. где кривые 1. 2. 3, 4. 5, 6 соответствуют потокам 1015, 2• 1015, 4• 1015, 6• 1015, 2.5 • 1016, 1017 Вт/см2 соответственно. Сравнивая кривые с функцией w(9), мы получили следующую зависимость эффективной температуры электронов в электромагнитном лазерном поле от плотности потока: 9 ~ д°'85 для д = 1015 — 1016 Вт/см2; 9 ~ д°'6 для д = 1016 — 1017 Вт/см2.
Сравнивая функции распределения равновесных частиц и расчетные данные, получили температуры равновесных ансамблей частиц, которые соответствуют по наиболее вероятной энергии нагретому электронному газу. Из расчетных данных о средней энергии электронов в течение импульса и средней энергии к концу импульса была показана коллинеарность зависимостей температуры от потока энергии равновесного и нагретого состояний. На рис. 5 нижняя кривая отображает эквивалентную температуру равновесного состояния частиц. Средняя кривая показывает температуру электронов, усредненную в течение лазерного импульса. Она оказалась несколько выше теоретической. Верхняя кривая показывает среднюю энергию электронов к концу греющего импульса. Точки на верхней кривой рассчитаны по результатам измерений тока отсечки [7] по
методике, аналогичной описанной в [6]. Эти величины энергии характеризуют энергию электронов, близкую к максимальной.
В данной модели мы рассматриваем появление высокоэнергичных электронов, которые создают положительный пространственный заряд в плазме после вылета из нее. Общее число таких электронов может определяться из потенциального заряда плазменного облака по его конечному размеру и средней энергии вылетающих электронов. Другими словами, на основе статистической обработки траекторий электронов произведен расчет функции распределения энергии электронов и плотности тока, который дает возможность оценить порядок макроскопического электрического поля (плазменный потенциал). Ускорение заряженной частицы происходит в электромагнитном поле, сформированном в фокальной плоскости поляризованными падающим и отраженным лазерными пучками.
В такой схеме стохастического нагрева электронов изменение фазы действующего на электрон поля вызывается за счет движения частицы в спекл-структуре. Однако такое случайное изменение фазы может обусловливаться также неоднородностью плазмы, например. образующейся при облучении малоплотных митттеней со случайной вариацией плотности вещества в нанопорах матрицы [10].
Таким образом. в настоящей работе показано, что энергия генерируемых в плазме электронов может достигать при плотности потока лазерного излучения на миттте-
1017 2
ские результаты, описывающие функцию распределения релятивистских электронов для плотностей потоков лазерного излучения в диапазоне 1014 — 1017 Вт/см2, и найдена зависимость температуры стохастических электронов от плотности потока излучения. Полученные спектральные характеристики высокоэнергичных электронов могут быть использованы для моделирования рассеяния электронов на спонтанных магнитных полях.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант У2 08-02-00913-а) и при поддержке Учебно-научного комплекса ФИАН.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Б. 1лшйаскег, .Т. РЬув. Б: Арр1. РЬуз. 36, К151 (2003).
[2] П. В. Конатп. И. Г. Лебо. Квантовая электроника 36(8), 767 (2006).
[3] В. В. Иванов. А. К. Князев. А. В. Куденко и др.. Краткие сообщения по физике ФИАН, № 7-8, 38 (1997).
[4] С. Rousseaux. F. Amiranoff. С. Labaune. G. Matthieussent. Phys. Fluids В 4(8). 2589 (1992).
[5] В. В. Иванов. А. К. Князев. Н. Е. Корнеев и др.. ПТЭ, Л"2 4. 112 (1995).
[6] В. В. Иванов, А. К. Князев, А. В. Куденко и др., ЖЭТФ 109(4), 1257 (1996).
[7] Y. A. Mikhailov. L. A. Xikitina. G. V. Sklizkov. et al.. Laser and Particle Beams 26. 525 (2008).
[8] S. P. D. Mangles. Iv. Krushelnick. Z. Xajmudin. et al.. Phil. Trans. R. Soc. A 364. 663 (2006).
[9] С. Г. Бочкарев. Iv. И. Попов. В. К). Б ыченков, Краткие сообщения по физике ФИАН, 36(11), 33 (2009).
[10] X. G. Borisenko. А. Е. Bugrov. I. X. Burdonskiy. et al.. Laser and Partical Beams 26. 537 (2008).
Поступила в редакцию 24 декабря 2009 г.
