CC BY
14
ФУНКЦИЯ R И ЕЕ СВОЙСТВА
Ш. Ш. Алламова С. Д. Ризаева
Чирчикский государственный педагогический институт Ташкентской области
АННОТАЦИЯ
В этой статье обсуждаются функции R, ее свойства, способы их использования для создания модели двумерных объектов, теоремы помогают распознавать R-функции среди других функций действительных аргументов, а также, используя известные R-функции, строить новые.
Ключевые слова: R функции, отрицания, конъюнкция, дизъюнкция, равнозначности, Булевым функциям.
FUNCTION R AND ITS PROPERTIES
Sh. Sh. Allamova S. D. Rizaeva
Chirchik State Pedagogical Institute of Tashkent region
ABSTRACT
This article discusses the R functions, its properties, how to use them to create a model of two-dimensional objects, theorems help to recognize R-functions among other functions of real arguments, and also, using known R-functions, to build new ones.
Keywords: R functions, negations, conjunction, disjunction, equivalence, Boolean functions.
ВВЕДЕНИЕ
При выполнении операций над обычными действительными переменными х, у. z необходимо учитывать их знаки. Во многих случаях знак результата операции вполне определяется знаками величин, над которыми операция производится. Например, знак произведения ху не зависит от модулей величин х и у, а зависит лишь от их знаков.
Знак переменной величины можно рассматривать как двоичную переменную. Можно, например считать, что знаку «плюс» соответствует значение истинности (единица), а знаку «минус» — значение ложности (нуль). Тогда во многих случаях выполнению операций над действительными величинами будут соответствовать некоторые операции над двоичными величинами, т. е. булевы функции[1].
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
В этом предположении любая действительная величина принадлежит классу либо положительных, либо отрицательных чисел. Принадлежность величины х к одному из этих классор будем определять с помощью предиката S (х), который вводится так:
адп =i а)
Заметим, что предикат S(x) связан с известной функцией sign x:
S (x) = 1(1 + signx) (x ф 0) (2)
Вырожденная точка, у которой равна нулю координата хк, лежит на координатной гиперплоскости хк = 0. Если равны нулю координаты xi и Xj, то точка находится на пересечении координатных гиперплоскостей xi = 0 и xj = 0, и т. д. Таким образом, множество всех вырожденных точек n-мерного пространства представляет собой объединение п гиперплоскостей xi = 0 (i = 1, 2, 3, ... , n), которое можно рассматривать как единую гиперповерхность (H). Легко убедиться в том, что гиперповерхность (H) разбивает n-мерное пространство на 2п областей (Hj) (/'=1,2, ... , 2n). Действительно, каждой невырожденной точке М (x¡, x2, ... , хп) соответствует определенный набор двоичных величин Х1, Х2, ..., Хп, определяемых по формуле:
X = S(x) (i = 1,2,....,n) (3)
Так как различных наборов двоичных величин Х1, Х2, ... , Хп может быть 2n, то множество всех невырожденных точек разбивается на 2п подмножеств. Точкам каждого из этих подмножеств соответствует один и тот же набор двоичных величин Xj, Х2, .. . , Хп. В случае двумерного пространства (координатной плоскости) имеем четыре области (Hj) (j= 1, 2, 3, 4) (четверти); для трехмерного пространства — восемь областей (октантов) и т. д.
Определение. Пусть у = f(xj, х2, ... ,хп) есть функция, определенная всюду в пространстве X {x1, х2, ....}. Назовем функцию у = f(xj, х2, ... , хп Я-функцией, если в каждой из областей (Hj) (j= 1, 2, ... , 2п) она сохраняет постоянный знак, т. е.
S [/(xl,x2>......,Xn )] = F = COnSt> (4)
где Fi — двоичная величина одна и та же для всех точек области(Н^) (j= 1, 2, ... , 2n).
Так как каждому набору двоичных переменных = = S (xi) (i = 1, 2, ... , п) соответствует определенная область (Hj), а, следовательно, и величина Fi, то получим некоторую булеву функцию F (Х1, Х2,...., Xn) такую, что выполняется равенство .
S [_/(X1,X2,.....,X J] = F [ S(xi), S (X2),...., S (x J] (5)
Очевидно и обратное: если выполняется равенство (5), то функция f(xj, х2, ... ,хп) есть R-функция. Таким образом, выполнение условия (5) является не. — - - i
обходимым и достаточным для того, чтобы функция f(xbx2,....,xj была R-функцией.
Функция y = x2 + х\ + х2 - х^д/х2+x\ является R-функцией, которой соответствует
операция импликации У =X1^ X2 . Действительно, полагая x¡ = r cos ф, x2 = r sin ф, получим
y = r 2(1 + sin^-cos^) (6)
3n
Выражение 1+sin ф - cos ф на интервале [0, 2п] имеет два корня ф=0 и ф2=—,
причем, на интервале 3ж
это выражение имеет знак «+», а на интервале
,2ж 2
, знак «-». Следова-тельно, функция у положительна в первой, второй и
третьей четвертях и отрицательна в четвертой четверти. Соответствующая булева функция равна единице для всех наборов, кроме набора Х1 = 1, Х2 = 0, Т. е. является импликацией X2[2].
Булевы постоянные 0 и 1 могут рассматриваться как булевы функции любого числа аргументов, принимающие для всех наборов постоянное значение. Очевидно, что этим постоянным могут соответствовать лишь знакопостоянные функции непрерывных аргументов, т. е., если у = /(х15х2,.....,хп)>+0, то
/ (х ,х2'.....,Х п
) есть R-функция, соответствующая единице; функция
У = / (х1 5 Х2'.....,хп
) < - 0 есть R-функция, соответствующая нулю[3].
В дальнейшем (если не будет оговорено особо) будут рассматриваться непрерывные R-функции. Для непрерывных функций имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если непрерывная функция у = /(х15х2,.....,хп) имеет нулей в
открытых областях (Ц) 0 = 1, 2, ... , 2п), то она является R-функцией.
В самом деле, если бы функция у = / (х15х2,.....,х п) в некоторой области (И|)
принимала значения разных знаков, то, в силу непрерывности, она принимала бы
в этой области и нулевые значения. Следовательно, функция у = / (х15х2,.....,х п)
может иметь нулевые значения лишь на координатных гиперплоскостях. В областях (И|) она принимает знакопостоянные значения и, следовательно, является R-функциёй.
Функция у = х?1 х^-.-.-С" ,где^/ = 1,2, ... , п) целые числа, может принимать нулевые значения лишь на координатных гиперплоскостях. Следовательно, у = х?1 х?....хт есть ^-функция.
Приведенные ниже теоремы посвящены преобразованиям над R-функциями, в результате которых получаются R-функции.
Теорема 2. Если у = /(х15х2,.....,хп) и у2 = /(х15х2,.....,хп) есть Я-функции, то
их произведение у — // есть также R-функция.
Доказательство. Выше было показано что
= 8(^)0 _ (7)
Пусть R-функциям у — / и у2 — / соответствуют булевы функции У — ^1(Х1,Х2,....ХИ) и Т2 — ^2(Х1,Х2,....Х„). Тогда
8(^2) = ^[5(Х1),5(Х2),.....,5(хи)]П
□ .),5-(х2),.....,5-(хи)] (8)
Таким образом, функция у = /¡/2 является R-функцией и ей соответствует булева функция
Г=^(ХРХ2,....Х„)П _ :2,....хи) (9)
Следствие. Если у1 — /1(х1 5 Х25......5 ХП ) (1 — 1,2,....., т) есть R-функции, то
у=/ь/2, :../т есть R-функция. Функция
у — + х\ + (х2- Х^д/ХТ+Х2 (10) является R-функцией, соответствующей импликации Х]^Х2. Функция
y = X! х2(1 + x2 - eX1), (11)
соответствует отрицанию равнозначности X □
Следовательно, функция
y = XX (1 - x2 - eX2) xl + x\ + (x2 - x + x
есть R-функция, соответствующая булевой функции
7 = (X1^X2)D
□
13)
(12)
Разлагая функцию (13) попеременной согласно
1=Ч у=к (1)
^ — v[ЛХ7 л^(а®,а®,....,^®,Хк+1,...,Хи)], получим
/=1 j=1
7 = д[(1 —» Х2) □ = {X л[X2Ü_""
□
□ □
-¡) у
формуле
= (Xл 0) V (X лX2) = X л X2
(14)
Следовательно, Я-функция (12) соответствует булевой функции У — X1 л Х2 Теорема 3. Если у — /(и1,и1,......ит) и щ —фк (х1 5 Х25......Хп
) (к-1,2,...., т) есть Я-
функции, то
у — / [^ (х1,х25....,хп )
^2 (x1, x2,----, x n ),......,Фт (x1, x2,----, x n )] (15)
есть R-функция (т. е. сложная функция, составленная из R-функций, есть R-функция).
Доказательство. Пусть F(UJt Uj,_.,Um), есть булева функция, соответствующая
R-функции y = f(ux, щ,....., Um), a Фк = f(Xl,X2,.....,Xn ),(k = 1,2,..., m) - булевы
функции, соответствующие R-функциям щ = р (x1,x2,...,x n). Тогда, на
основании формулы (5),получим
S { f [^1(x1,x2,....,x n ), ^2(x1,x2,....,x n ),...^m (x1,x2,....,x n ) ]} =
F {S [^1(x1,x2,....,x n ) ], S [^2(x1,x2,....,x n ) ] — S [Pm (x1,x2,....,x n )] } =
F Ф [S (x1), S(x2),...., S (x n ) ] ,02 [S(x1), S(x2),...., S (x n ) ],....,Фт [S(x), S(x2),...., S(xn)] } (16) Следовательно, функций (15) соответствует булева функция
Y = F [01(X1,X2,...,X„); 02(X1,X2,....,X„);.......; Фт (X1,X2,....,Xn)]. (17)
Функция y = щ2 + u22 + (u2 - u, Щ + u22 соответствует импликации U ^ U2 функция X}X2 равнозначности Xx □ Поэтому функция
y = x2x\ + x2+(x - xx )\]x2x2 + x2 (18) соответствует булевой функции
Y = (Xj □ _ ^ (19)
Замечая, что функция (19) принимает значение, равное нулю лишь когда X1= 0 и Х2 = 0, получим
(Xj □ _ (20)
т. е., функции (18) соответствует операция дизъюнкции.
Теорема 4. Если y = f (u1,u2,...,u т) есть R-функция, а функции щ = р (x1 ) (i = 1,2,...,m)знакопостоянные, то функция
y = f [((x1,x2,....,x n\(p2(x1,x2,....,x n X......(m (x1,x2,....,x n X ] (21)
является знакопостоянной..
Доказательство. Пусть Y = F (U,U2,....,Um) есть булева функция, соответствующая R-функции y = f(u1,u2,...,um) а Ej, Е2, ... , Ет — булевы постоянные, соответствующие знакопостоянным функциям р,р2,....,pm. Тогда
S { f [(1(x1,x2,....,x n ),(2(x1,x2,....,x n ),...(m (x1,x2,....,x n ),]} =
F {S [(1(x1,x2,....,x n )],S [(2(x1,x2,....,x n ) ] ,....S [(m (x1,x2,....,x n )]} =
F (E1,E2,...,E m) = E = const. (22)
Так как функции (21) соответствует булева константа, то она является знакопостоянной.
Теорема 5. Если R-функция y = f (xpx2,...,xn) интегрируема по переменной х1у то функция
x1
У = (p(xl,x2,......,x „ ) = j f (xi,x2,.....,x „ )dx1 (23)
0
является R-функцией.
Доказательство. Зафиксируем значения аргументов х2, х3, ..., хп. Так как У = f (x1 ,x2,...,x n ) есть R- функция, то функция ^(x1) = f(x1,x2,...,xm) на интервалах (- да, 0) и (+да,0) знакопостоянная. Очевидно, что интеграл (23) положителен лишь тогда, когда х1 > 0 и у >+0 или х1 < 0 и у < -0, т. е., когда S (x, )~S (у) =1. Следовательно,
= S(|/(t,x2,....,x„)dt) = S(xj) □ 2,....,хя)] =
0
S(Xl)D . S(x2),...,S(x„)] = 0[S(x1),S(x2),...S(x„)] (24) где Y = F (Хъ Х2, ... , Хп) — булева функция, соответствующая R-функции У = f (x1
, x2,....,x n ) Таким образом, функция y = ((x1,x2,....,x n) является R-функцией
и ей соответствует булева функция
Y = Ф(Х1,Х2,....,Хп) = Х1 □ 2,...,Х„) (25)
Теорема 6. Если y = f(xj,x2,...,xn)есть R-функция, непрерывная всюду в пространстве ^{x1?x2,...,xn}, а функция (?(x1,x2,...,xn) положительна, то функция
У = y(x1,x2,....., x n ) = ((x1,x2,.....,xn )f(0,0,...,0,x k+1,...,xn ) + f(x1,x2,...,xn) (26)
есть R-функция, принадлежащая той же ветви, что и функция y = f (x1?x2,...,x n) Теорема 7. Если выполняются условия:
а)функция y = f(x1?x2,...,xn) не имеет нулей внутри областей (Hj)(j = 1, 2, ... ,
2n);
б) имеет место тождество
f (x
,x2,...,x n ) = q[(1(x1,x2,...,x n ),(2(x1,x2,....,x n ),...(m (x1,x2,....,x n )] (27)
в) функция ^(u1,u2,...,u m) непрерывна в пространстве U {u1,u2,...,u т}и обращается в нуль при равенстве нулю хотя бы одного из ее аргументов;
г) функции ( (x1
,x2,....,x n ) (i = 1, 2, ... , т) непрерывны, то функции (i(x1,x2,....,xn) i = 1, 2, ... , т) являются R-функциями.
Доказательство. Так как функция f (x1?x2,...,xn)не имеет нулей в областях
(Hj) (j = 1, 2, .. . , 2n), то с учетом условий б) и в) не имеют нулей в этих областях и функции ((xj,x2,....,xn) (i = 1, 2, . . . , т). Тогда, учитывая условие г) и теорему 1, приходим к выводу, что функции (i(xl,x2,....,xn) (i=1,2,...,rn) являются R-
функциями.
Следствие 1. Если функция у = /(х1зх2,...,хп)не имеет нулей в областях (Щ (] = 1, 2, .. . , 2п) и может быть представлена в виде
/ (х1,х2,...,х п ) = 0(х15Х2,....,Хп ),^2(х1,х2,....,хп ),...<рт (х15Х2,....,Хп )] (28)
где р (х1;х2,....,хп)(I = 1, 2,...., т) — непрерывные функции, то р(х15х2,....,хп) (1 —1, 2, ....,т) есть R-функции[4].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Так как функция хх2 не имеет нулей вне координатных осей и имеет место тождество
являются ^-функциями.
Рассмотренные в настоящем статье теоремы помогают распознавать R-функции среди других функций действительных аргументов, а также, используя известные R-функции, строить новые.
REFERENCES
1. Kuzmanova, G. B., Kuzmanova, N. N. (2021). Umumiy o'rta ta'lim maktab matematika darslarida o'rganiladigan konsentratsiyaga va aralashmaga doir matnli masalalarni yechishni ba'zi tadbiqlari. Ekonomika i sotsium, 5(84).
2. Kuzmanova, G. B. (2021). Umumiy o'rta ta'lim maktablari matematika darslarida matnli masalalarni o'rgatishda innovatsion klaster usulining ahamiyati. Ekonomika i sotsium, 4(83).
3. Kuzmanova, G.B. (2021). Umumiy o'rta ta'lim maktablarida matnli masalalarning ta'limiy ahamiyati. Academic research in educational sciences, 2(3), 1154-1159.
4. Жабборова, О., Ташпулатова, Д. (2021). Бошлангич синф укитувчиларининг малака талаблари. Ekonomika i sotsium, 5(84).
5. Каримжонов, А., Жабборова, О. (2021). Ян Амос Коменскийнинг таълим-тарбияга оид карашлари. Ekonomika i sotsium, 5(84).
6. Жабборова, О. М., Ахмедова, Н. Ш. (2021). Бошлангич синф укувчиларини миллий гоя асосида тарбиялаш омиллари. Ekonomika i sotsium, 4(83).
7. Ахмедов, Б. А. (2021). Задачи обеспечения надежности кластерных систем в непрерывной образовательной среде. Eurasian Education Science and Innovation
(29)
то функции
3 I 3x x^ I X3
Journal, 7(22), 15-19.
8. Ахмедов, Б. А. (2021). Динамическая идентификация надежности корпоративных вычислительных кластерных систем. Academic Research in Educational Sciences, 2(3), 495-499.
9. Ахмедов, Б. А. (2020). О развитии навыков интерактивных онлайн-курсов в дистанционных условиях современного общества (модель-программа для преподавателей образовательных учреждений). Universum: технические науки, 12-1 (81).
10. Akhmedov, B. A. (2021). Cluster methods for the development of thinking of students of informatics. Academy, 3(66), 13-14.
11. Akhmedov, B. A. (2021). Innovative cluster model for improving the quality of education. Academic Research in Educational Sciences, 2(3), 528-534.
12. Akhmedov, B. A. (2021). Information technologies in Cluster systems: a competence approach. Universum: технические науки, 4 (85
13. Ахмедов, Б. А. (2020). Математические модели оценки характиристик качества и надежности программного обеспечения. Eurasian Education Science And Innovation Journal, 3(10), 97-100.
14. Akhmedov, B. A. (2021). Development of network shell for organization of processes of safe communication of data in pedagogical institutions. Scientific progress, 1(3), 113-117.
15. Наримбетова, З. А., Сытина, Н. (2021). Учитель-нравственный пример для ученика. Academic research in educational sciences, 2(1), 1153-1159.
16. Eshkaraev, K., Norimbetova, Z. (2020). Methodological recommendations for organizing and holding mathematical circles. European Scientific Conference, 248-250.
17. Norimbetova, Z. A. (2020). Axborot kommunikatsion texnologiyalari yordamida geometriya fanini o'qitish metodikasi (10-11-sinflar misolida). Science and Education,
1(7).
18. Narimbetova, Z. A. (2020). Matematika fanida ta'lim texnologiyalaridan foydalanish o'quvchilar tafakkurining rivojlantiruvchi omil. Academic research in educational sciences, 1(3), 1253-1261.
19. Narimbetova, Z., Makhmudova, D. (2020). Developing creative competence through the formation of scientific generalization in students. International Journal of Psychosocial Rehabilitation ISSN, 1475-7192.
20. Наримбетова, З. А. (2020). Изучение элементов фрактальной геометрии как средства интеграции знаний по математике и информатике в образовательный процесс учащихся средней школы. International Journal of Scientific & Technology Research, 9(4), 677-682
21. Narimbetova, Z. A. (2021). Matematika darslarida o'quvchilar ijodkorligini rivojlantirishda axborot-kommunikatsion texnologiyalarning o'rni. XALQ TA'LIMI, 2, 131-134.
22. Нарымбетова, З. А. (2021). Использование интерактивные методы обучения в учебном процессе. Экономика и социум, 3(82).
23. Zakiya Narimbetova, (2021). Boshlang'ich maktab matematikasini o'qitishda yangi texnologiyalardan foydalanish. Ekonomika i sotsium.
24. Narimbetova, Z. A., Asqarova, N. J. (2021). Boshlang'ich sinf matematika darslarida didaktik o'yinlarning ahamiyati. Мугаллим хэм Yзликсиз билимлендириу, 1, 62-66.
25. Солаева, М. Н., Наримбетова, З. А. (2021). Умумий урта мактабларида илдизли ифода-ларни хдсоблашда педагогиканинг тажриба усулини тадбик этиш. FIZIKA MATEMATIKA va INFORMATIKA, 4, 22-26.
26. Наримбетова, З. А. (2020). Математикадан сыныптан тыс окытуды ^ымдастырудагы м^гаимнщ рeлi. Almaty, 117-120.
27. Наримбетова, З. А., Сытина, Н. (2020). Проблемы детей, связанныех с социальной адаптацией в современном обществе. Экономика и социум, 4.
28. Наримбетова, З. А. (2020). Математикани укитишда илгор педагогик технологиялар ва укитишнинг замонавий усулларидан фойдаланишнинг узига хос хусусиятлари. Samdu Ta'lim sifatini oshirish va zamonaviy interfa'ol metodlardan foydalanishning innovatsion texnologiyalari va uslublari, 3, 143-146.
29. Наримбетова, З. А. (2020). Интерактивные методы обучения на уроках математики. НАУКА ОБРАЗОВАНИЕ И КУЛЬТУРА, 1, 237-241.
30. Махмудова, Д. М., Наримбетова, З. А. (2020). Талабаларда илмий умумлаштира олишни шакллантириш ёрдамида креатив компетентликни ривожлантириш. Europen Journal of Research and Reflection in Educational Sciences, 2(5), 129-134.
