CC BY
39
Литература
1. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Н. Я. Виленкин. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.
2. Л. И. Грошева. Об умножении обобщенных функций. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 1, 10-11.
3. X. Ding, Xh. Wang. Multiplication of weak functions. Acta Math. Sci. Ser. B, 2005, vol. 25, No. 3, 569-576.
УДК 519.1
Функция Мебиуса на корневых деревьях
© М. С. Ильина
Ключевые слова: частично упорядоченные множества, дзета-функция, функция Мебиуса
Вычисляется функция Мебиуса на корневых деревьях The Mobius function for root trees is written explicitly
Мы используем понятия из [1]. Пусть P - конечное частично упорядоченное множество с отношением порядка ^. Дзета-функция Z(x,y) двух переменных, заданная на P, определяется следующим образом: Z(x,y) = 1 при x ^ у, Z(x,y) = 0 в остальных случаях. Функцией Мёбиуса fi(x,y) называется функция, обратная к дзета-функции. Множество P можно изобразить в виде ориентированного графа, его вершины- это точки x Е P.
Предположим, что P - корневое дерево. Тогда в P существует единственный максимальный элемент xo и для каждого x = x0 существует единственный элемент x1 ^ x, x1 = x, ближайший к x. Мы утверждаем, что в нашем случае функция Мёбиуса есть
В самом деле, пусть f (х, у) - произведение функций Мёбиуса и дзета-функции:
Если x = y, то x = z = y и потому f (x, x) = 1. Если x = y, то x1 ^ y и поэтому
f (x,y) = ^(x,z)z (z,y)■
f (x,y) = ((x,y) - ((x',y) = 1 - 1 = 0.
Итак
f (x,y) = {
1, x = y,
0, otherwise,
что означает, что f - единичная матрица.
Литература
1. М. Холл. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.
УДК 519.1
Фактор-матроиды простых графов 1
© С. В. Кольцова
Ключевые слова: матроиды, графы, преобразование Радона Описываются базы фактор-матроидов графов A description of bases of graph factor-matroids is given
Матроид [3] M - это пара (E, I), где E - конечное множество, I - семейство его подмножеств, удовлетворяющее следующим условиям:
1) пустое множество входит в I;
2) если A С B и B входит в I, то A входит в I;
3) если A и B содержатся в I и количество элементов в A на единицу больше количества элементов в B, то существует элемент а Е A\B такой, что B U {а} содержится в I.
Подмножества из I называются независимыми. Максимальные (по включению) независимые подмножества называются базами матроида, а минимальные зависимые (не являющиеся независимыми) подмножества называются циклами. Все базы имеют одно и то же количество элементов. Это число называется рангом матроида.
Пример 1: матричный матроид. Пусть A - матрица размеров n х m над полем F. Определим матроид Mp(A) следующим образом. Множество E состоит из строк матрицы A. Это - совокупность n векторов в Fт. Множество I состоит из линейно независимых совокупностей строк. Ранг матроида совпадает с рангом матрицы.
Рассматриваемые далее графы считаем конечными, неориентированными, без петель, кратных рёбер и изолированных вершин. Пусть граф G имеет n вершин.
хРабота поддержана грантами: РФФИ 06-06-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.
