Об одной задаче дискретной оптимизации на фактор-матроиде простого графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ФАКТОР МАТРОИДЕ ПРОСТОГО ГРАФА 1

© С. В. Кольцова

Ключевые слова: матроид; фактор-матроид; база фактор-матроид.

Аннотация: В работе приводится описание баз минимального веса фактор-матроида простых графов. Дан эффективный алгоритм нахождения таких баз.

Матроид [1] М - это пара (Е, I), где Е - конечное множество, I - семейство его подмножеств, удовлетворяющее следующим условиям:

1) пустое множество входит в I;

2) если А С В и В входит в I, то А входит в I;

3) если А и В содержатся в I и количество элементов в А на единицу больше количества элементов в В, то существует элемент а € А\В такой, что В и {а} содержится в I.

Подмножества из I называются независимыми. Максимальные (по включению) независимые подмножества называются базами матроида, а минимальные зависимые (не являющиеся независимыми) подмножества называются циклами. Все базы имеют одно и то же количество элементов. Это число называется рангом матроида.

Пример 1: матричный матроид. Пусть А - матрица размеров п х т над полем Е. Определим матроид Мр(А) следующим образом. Множество Е состоит из строк матрицы А. Это - совокупность п векторов в Ет. Множество I состоит из линейно независимых совокупностей строк. Ранг матроида совпадает с рангом матрицы.

Пример 2: циклический матроид графа. Элементами матроида являются рёбра графа. Независимыми подмножествами - наборы рёбер лесов (подграфов, не содержащих циклов), базами -рёбра остовных лесов, циклами - рёбра простых циклов графа. Ранг матроида равен п — к, где к - число компонент связности графа.

Рассматриваемые далее графы считаем конечными, неориентированными, без петель, кратных рёбер и изолированных вершин. Пусть граф С имеет п вершин.

Пусть А - матрица инцидентности графа С. Рассмотрим матричный матроид Мр (А).

Если Е - поле из двух элементов, то матроид Мр (А) изоморфен циклическому матроиду графа С.

Если Е = М, то Мр (А) называется фактор-матрои дом графа С. Заметим, что для двудольного графа оба матроида совпадают.

В [2] мы дали описание баз фактор-матроидов. Напомним основной результат.

Разобьём графы на 3 класса: (1) не имеющие двудольных компонент связности; (2) имеющие только двудольные компоненты, т. е. двудольные графы; (3) имеющие двудольные и не двудольные компоненты.

Графы класса (3) можно представить как дизъюнктные объединения графов классов (1) и

(2).

Т е о р е м а 1. Базы фактор-матроидов графов класса (1) представляют собой набор рёбер остовных подграфов, являющихся дизъюнктными объединениями унициклических графов с

1 Работа поддержана грантами: научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

нечётными циклами. Ранг таких фактор-матроидов равен п. Базы фактор-матроидов графов класса (2) совпадают с базами циклических; матроидов графов, т. е. являются остовными лесами. Ранг таких фактор-матроидов равен п—к, где к- число компонент. Базы фактор-матроидов графов класса (Я) представляют собой объединения баз компонент связности графа, указанных выше. Ранг таких фактор-матроидов равен п — т, где т - число двудольных компонент связности.

На базе этой теоремы легко дать описание циклов фактор-матроидов.

Для этого введём понятие бицикла графа. Бицикл - это подграф, являющийся подразбиением одного их графов.

Рис. 1.

Бицикл называется нечетным, если оба его цикла нечетные.

Следствие. Циклами фактор-матроида являются простые четные циклы и нечетные бициклы.

Пусть ш - вещественная функция на Е. Для любого подмножества X С Е определим его вес формулой:

ш(Х) = ^ ш(х) хеХ

3 а д а ч а. Найти базу наименьшего веса фактор-матроида.

Эту задачу решает следующий алгоритм. На каждом шаге алгоритм выбирает одно ребро е, чтобы выполнялись следующие три условия: е

е

е

набором предварительно выбранных ребер;

4) Процесс останавливается, если в дальнейшем ребра не могут быть выбраны так, чтобы удовлетворялись ограничения 1), 2) и 3).

Тогда множество выбранных рёбер является множеством рёбер некоторой базы минимального

Обоснование приведённого алгоритма опирается на следующую известную теорему. Теорема 2. Пусть 3 - некоторый набор подмножеств конечног о множества Е. Тогда (Е, 3) является матроидом тогда и только тогда, когда 3 удовлетворяет следующим условиям:

1)0 Є 3,

2) Если I Є 3,1і С I, то V Є 3,

3) Для произвольной весовой функции ш : Е ^ М, жадный алгоритм строит максимальный

3

ЛИТЕРАТУРА

1. Oxley J.G. Matroid Theory. Oxford University Press, 1992. P. 532.

2. Koltsova S. V.,Molchanov V.F. Radon transform of graphs and admissible complexes. // Вести. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2006. Т. 11. Вып. 1. С. 41-48.

Abstract: The article deals with description of minimal weight bases of the factor-matroid for simple graphs. An effective algorithm for finding such bases is derived.

Keywords: matroid; factor-matroid; base of factor-matroid.

Кольцова Светлана Васильевна Svetlana Koltsova

к. ф.-м. н., доцент candidate of phys.-math. sciences,

Тамбовский государственный университет senior lecturer

им. Г.Р. Державина Tambov State University named after

Россия, Тамбов G.R. Derzhavin

e-mail: [email protected] Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

УДК 517.68

COMPUTER ALGEBRA STUDY OF SYMMETRIES IN DISCRETE DYNAMICAL SYSTEMS

© V. V. Kornyak

Keywords: discrete dynamical system; symmetry group; quantization.

Abstract: Symmetries in discrete dynamical systems are investigated due to a computer algebra.

Discrete dynamical systems — deterministic systems, mesoscopic models in statistical mechanics and local quantum models — on lattices are studied by computer algebra and computational group theory methods. Non-trivial connections between symmetries and the system dynamics have been revealed. In particular, we show that formation of moving soliton-like structures — analogs of “spaceships” in cellular automata and “generalized coherent states” in quantum physics — is typical for deterministic dynamical systems with non-trivial symmetry group. We study also gauge invariance in discrete systems and its connection with quantization.

Аннотация: Исследуются симметрии в дискретных динамических системах с помощью средств компьютерной алгебры.

Ключевые слова: дискретные динамические системы; группа симметрий; квантование; компьютерная алгебра.