Фактор-матроиды простых графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Итак

f (x,v) = {

1, x = v,

0, otherwise,

что означает, что f - единичная матрица.

Литература

1. М. Холл. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.

УДК 519.1

Фактор-матроиды простых графов 1

© С. В. Кольцова

Ключевые слова: матроиды, графы, преобразование Радона Описываются базы фактор-матроидов графов A description of bases of graph factor-matroids is given

Матроид [3] M - это пара (E, I), где E - конечное множество, I - семейство его подмножеств, удовлетворяющее следующим условиям:

1) пустое множество входит в I;

2) если A С B и B входит в I, то A входит в I;

3) если A и B содержатся в I и количество элементов в A на единицу больше количества элементов в B, то существует элемент a Е A\B такой, что B U {а} содержится в I.

Подмножества из I называются независимыми. Максимальные (по включению) независимые подмножества называются базами матроида, а минимальные зависимые (не являющиеся независимыми) подмножества называются циклами. Все базы имеют одно и то же количество элементов. Это число называется рангом матроида.

Пример 1: матричный матроид. Пусть A - матрица размеров n х m над полем F. Определим матроид Mp(A) следующим образом. Множество E состоит из строк матрицы A. Это - совокупность n векторов в Fт. Множество I состоит из линейно независимых совокупностей строк. Ранг матроида совпадает с рангом матрицы.

Рассматриваемые далее графы считаем конечными, неориентированными, без петель, кратных рёбер и изолированных вершин. Пусть граф G имеет n вершин.

хРабота поддержана грантами: РФФИ 06-06-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

Пример 2: циклический матроид графа. Элементами матроида являются рёбра графа. Независимыми подмножествами - наборы рёбер лесов (подграфов, не содержащих циклов), базами - рёбра остовных лесов, циклами - рёбра простых циклов графа. Ранг матроида равен n - k, где k - число компонент связности графа.

Пусть A - матрица инцидентности графа G. Рассмотрим матричный матро-ид Mp(A).

Если F - поле из двух элементов, то матроид Mp(A) изоморфен циклическому матроиду графа G.

Если F = R, то Mp (A) называется фактор-матроидом графа G. Заметим, что для двудольного графа оба матроида совпадают.

Мы даём описание баз фактор-матроидов.

Разобьём графы на З класса: (l) не имеющие двудольных компонент связности; (2) имеющие только двудольные компоненты, т.е. двудольные графы; (З) имеющие двудольные и не двудольные компоненты.

Графы класса (З) можно представить как дизъюнктные объединения графов классов (l) и (2).

Теорема 1.1 Базы фактор-матроидов графов класса (1) представляют собой набор рёбер остовных подграфов, являющихся дизъюнктными объединениями унициклических графов с нечётными циклами. Ранг таких фактор-матроидов равен n. Базы фактор-матроидов графов класса (2) совпадают с базами циклических матроидов графов, т.е. являются остовными лесами. Ранг таких фактор-матроидов равен n — k, где k- число компонент. Базы фактор-матроидов графов класса (З) представляют собой объединения баз компонент связности графа, указанных выше. Ранг таких фактор-матроидов равен n— m, где m - число двудольных компонент связности.

Доказательство этой теоремы следует из [l] и [2].

В свою очередь из данной заметки следует, что один из результатов работы [2] можно сформулировать так.

Теорема 1.2 Для того чтобы комбинаторное преобразование Радона [2] на графе было инъективным, необходимо и достаточно, чтобы у графа не было двудольных компонент.

Литература

1. С. В. Кольцова, С. В. Поленкова. Матроид Радона графа. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2QQ6, том ll, вып. З, 257—26l.

2. S. V. Koltsova, V. F. Molchanov. Radon transform of graphs and admissible complexes. Вестник Тамбовского ун-та. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2QQ6, том

ll, вып.1, 4l-48.

ll