Наследственные системы, связанные с графами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета. IGG7. № I. С. I1 -14.

УДК 519.8 О.Г. Кукина

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

НАСЛЕДСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ,

СВЯЗАННЫЕ С ГРАФАМИ

Topological properties of hereditary systems are studied. An interior operator, which is dual to the closure one, is introduced. A characterization of open sets of graphical comatroids is obtained.

Введение

Пусть V - непустое конечное множество и А ^ 2У - непустое семейство его подмножеств, удовлетворяющее аксиоме наследственности:

А є А, Аі С А^ Аіє А

Семейство А называется системой независимости на V, а множества семейства А - независимыми. Все остальные подмножества множества V называются зависимыми. Семейство всех зависимых множеств обозначается Ю и называется системой зависимости на V. Заметим, что Ю обладает свойством наследственности «вверх»: Б є Ю, Бі 3 Б ^ Біє Ю.

Следуя [3], определим наследственную систему S на множестве V как разбиение семейства 2¥ всех подмножеств множества V на два не-пересекающихся подсемейства А и Ю, где А - система независимости, а Ю = 24\ А - система зависимости на V. Базами системы ^ называются максимальные по включению независимые, а циклами - минимальные по включению зависимые множества. Семейства всех баз и всех циклов системы ^ будем обозначать В и С соответственно.

В настоящей работе исследуются топологические свойства наследственных систем. Как удобный инструмент исследования вводится оператор внутренности, двойственный оператору замыкания. Введено понятие графического коматроида, и получена характеризация его открытых множеств.

1. Матроиды и коматроиды

Рассмотрим наследственную систему ^ на множестве V с семейством независимых множеств А. Базой множества Ш^ V называется любое максимальное по включению независимое множество, содержащееся в Ш. Система ^ называется м.атроидом, если для любого множества Ш^ V все базы Ш имеют одинаковую мощность, которая называется рангом множества Ш и обозначается г(Ш). В частности, все базы множества V равномощны; их общая мощность называется рангом м,атроида.

Хорошо известно определение матроида в терминах баз. Наследственная система называется матроидом, если выполняется условие:

В, Віє В, ЬіЄ Ві \ ^

З Ьє В \ Ві: (В \ Ь)и Ьі є В. (1)

О О.Г. Кукина, 2007

Еще одно определение матроида может быть дано в терминах оператора замыкания. Пусть дано непустое множество

V. Отображение X ^ X множества 2V в себя называется оператором замыкания, если для всех X, Yе V выполняются следующие условия:

(Spl) X е X;

(Sp2) X е Y ^ X е Y;

(Sp3) X = X.

Замыканием множества X называется множество X. Множество Xе V называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т. е. X = X.

Конечное непустое множество V вместе с оператором замыкания X ^ X называется м,атроидом на V, если для всех Xе V, p, qG V выполняется аксиома замены:

(Sp4) p £ X, p G X u q ^ q G X u p.

Все приведенные определения матроида эквивалентны (см. [1]).

Утверждение 1 [1]. Пусть S - м.атро-

ид на множестве V. Замыкание X множества Xе V - это м.аксимальное по включению множество того же ранга, что X, содержащее X, т. е. X = X u {v g V | r(X) =

= r (X u v)}.

Рассмотрим наследственную систему S на множестве V с семейством зависимых множеств D. Циклом множества Wе V называется любое минимальное по включению зависимое множество, содержащее W. Система S называется комат-роидом, если для любого множества Wе V все циклы W имеют одинаковую мощность, которая называется обхватом множества W и обозначается g(W). В частности, все циклы пустого множества равномощны; их общая мощность называется обхватом коматроида.

Утверждение 2. Функция обхвата коматроида g:2VN суперм.одулярна, т е. g ( X u Y) + g (X n Y) > g (X) + g (Y ) для любых X, Yе V.

Доказательство. Пусть C={vi,..,vk} -некоторый цикл множества Xu Y. Удалением элементов из C получаем сначала цикл множества X: Ci={vi,..,vt-t}, а затем цикл множества XHY: C2={vi,...,vk-t-m}. Име-

ем к=д(Хи У), к-1=д(Х), к——т=д(ХПУ). Поскольку {VI,.., ик-г-т,ик-г+1,..,ик} - зависимое множество, содержащее У, то к-т > д(У). Следовательно,

д(Хи У)+д(Х<ЛУ)=к+(к-г-т)= (к-г)+(к-т)>д(Х)+д(У).

Приведем определение коматроида в терминах циклов [3]. Наследственная система называется коматроидом, если выполняется условие:

С, С1 с с, сяе С1 \ С ^

3 с е С \ С1: (С \ с) и С1 е с. (2)

Введем понятие, аналогичное понятию замыкания.

Пусть дано непустое конечное множество V. Отображение Х^-Х множества 2¥ в себя будем называть оператором внутренности, если для всех Х, УС V выполняются следующие условия:

(1пП) Х С Х;

(1^2) ХС У^ ХС У;

(1^3) Х=Х

Внутренностью множества ХС V назовем множество Х. Будем говорить, что множество Х открыто, если оно совпадает со своей внутренностью, т. е. Х = Х

Непустое конечное множество V вместе с отображением Х^Х назовем коматроидом на V, если для всех ХС V, р, де V выполняется аксиома замены:

(1П:4) де Х, д £ Х \ р ^ р£ Х \ д. Замечание 1. Непосредственно проверяется, что все предложенные определения коматроида эквивалентны.

Утверждение 3. Пусть S - коматро-ид на множестве V. Внутренность Х множества ХС V - это минимальное по включению множество того же обхвата, что Х, содерж:ащееся в Х, т е. Х=Х \ {VI,..,1к}, где VIе Х, причем д(Х \ т)= =д(Х) для любого {=1,..,к. Тогда верно д(Х \ {V1,...^к})=д(Х \ Vi)=д(X) для любого {=1,..,к.

Доказательство. Действительно, очевидно, что д(Х \ №,..,1>к}) < д(Х).

Докажем утверждение для к=2 (а далее - индукция по к). Поскольку функция обхвата супермодулярна, то

д(Х \ {VI, V2}) + д(Х) > д(Х \ Vl)+g(X \ V2) = д(Х) + д(Х), т. е. д(Х \ {VI, V2}) > д(Х).

Отсюда следует требуемое утверждение.

2. Графический матроид Пусть О = (V, Е) - простой связный граф с множеством вершин V и множест-

Наследственные системы, связанные с графами

23

вом ребер Е. Рассмотрим наследственную систему М(О) на множестве Е, базами которой являются остовные деревья графа О, а циклами - множества ребер простых циклов графа О. Таким образом, независимые множества такой наследственной системы - это ациклические подграфы графа О, а зависимые множества - это подграфы, содержащие циклы.

Замечание 2. Если 8, Т - остовные деревья графа О, то для любого ребра еі графа Й\Т существует такое ребро Є2 графа Т\8, что граф (£\єі)и Є2 также является остовным деревом графа О (см. [2]).

Из данного замечания и условия (1) следует, что наследственная система М(О) является матроидом, который называется графическим.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 (Уитни) [1]. Пусть О = (V, Е) - связный граф. Множество ребер Е вместе с оператором замыкания X ^ X,

X^ Е, где X ={є=ииє Е : вершины и, V принадлежат одной компоненте связности подграфа (V, X)}, есть графический м,ат-роид.

Следствие. Пусть Оі=(V, X) - к-компонентный подграф связного графа О = (V, Е); Vl, V2, ...^1^ - множества вершин компонент связности подграфа Оі. Множество X^ Е замкнуто в матроиде М(О) тогда и только тогда, когда Оі является максимальным (по включению) к-компонентным подграфом графа О, множества вершин компонент которого равны Vl,

Доказательство. Достаточность,

очевидно, следует из теоремы Уитни.

Необходимость. Пусть X - замкнутое множество графического матроида, т. е.

X = X. Предположим, что в графе (V, X) одна из компонент связности не максимальна. Рассмотрим ее. Добавив все «недостающие» ребра в пределах этой компоненты связности подграфа (V, X), мы не изменим ранга (ранг полученного множества будет равен рангу множества X). Противоречие с тем, что замыкание - наибольшее по включению множество того же ранга, что и данное.

3. Графический коматроид

Пусть О=(V, Е) - простой связный граф с множеством вершин V и множеством ребер Е. Рассмотрим наследственную систему К(О) на множестве Е, зависимы-

ми множествами которой являются связные остовные подграфы графа О. Независимыми множествами будут являться несвязные остовные подграфы графа О. В данной наследственной системе циклами являются минимальные зависимые множества, т. е. остовные деревья графа О, а базами - максимальные независимые множества, т. е. максимальные по включению несвязные остовные подграфы графа О с двумя компонентами связности. В силу замечания 2 и условия (2) наследственная система К(О) является ко-матроидом, который будем называть графическим.

Связный граф €1=^, Е) называется реберно двусвязным, если любое его ребро єє Е принадлежит некоторому циклу (т. е. является циклическим).

Докажем теорему, аналогичную теореме Уитни.

Теорема 2. Пусть О = (V, Е) - связный граф. Множ:ество ребер Е вм.есте с оператором X^■X, X^ Е, где множество X получено из X удалением всех ациклических ребер подграфа (V, X), есть графический ком.атроид.

Доказательство. Оператор X^■X действует так: из подграфа (V, X) удаляются все «лишние» ребра, т. е. те ребра, удаление которых не уменьшает обхвата множества X. Удаление ациклического ребра не приводит к уменьшению обхвата множества X, а удаление циклического ребра уменьшает обхват множества X на 1.

Оператор X^X есть оператор внутренности на множестве ребер Е, т. е. удовлетворяет условиям (ІпИ), (ІШ2), (ІП3).

Условия (ІпИ) и (ІП:3) выполняются очевидным образом. Докажем (ІП2). Пусть X^ У^ Е; докажем, что X^ У. Пусть єє X, т. е. є - циклическое ребро подграфа (V, X). Следовательно, є - циклическое ребро в подграфе (V, У), значит, є є У. Таким образом, X ^ У-

Докажем (ІП4). Пусть р, цє Е и для X^ Е выполняются условия дє X, X \ р. Докажем, что р£ X \ ц. Поскольку цє X, то ц - циклическое ребро графа (V, X). Поскольку X \ р, то ц - ациклическое ребро графа (V, X \ р). Следовательно, ребра ц и р принадлежат одному простому циклу в графе (V, X), и ни одно из них в отдельности не

лежит ни в каком другом цикле. Значит, р -ациклическое ребро в (V, X \ ц), т. е.

р£ X \ ц.

Следствие. Пусть О=(V, Е) - связный граф с множеством вершин V и множеством ребер Е. Множество X^ Е открыто в коматроиде К(О) тогда и только тогда, когда граф (V, X) - это подграф графа О, каждая нетривиальная компонента связности которого есть реберно двусвязный граф.

Доказательство. Необходимость.

Пусть X^ Е - открытое множество графического коматроида, т. е. X=X. Предположим, что какая-то нетривиальная компонента связности графа (V, X) не является реберно двусвязным графом. Тогда она яв-

ляется реберно односвязным графом. Удалив какое-либо ациклическое ребро e из этой компоненты связности, мы получим подграф с таким множеством ребер El = X X є, что g(El)=g(X). А это противоречит утверждению З.

Достаточность непосредственно следует из теоремы 2.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Айгнер М. Комбинаторная теория. М., 1982. 558 с.

[2] Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И.,

Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384 с.

[3] Il'ev V. Hereditary systems and greedy-type algorithms

// Discrete Appl. Math. 2003. V. 132. P. 137-148.