CC BY
32
Фундаментальные понятия проектирования конструкций, устойчивых к накоплению повреждений
М.П. Внук
Висконсинский университет, Милуоки, WI 53201, США
Основной целью данного обзора является обсуждение различных подходов к оценке несущей способности «несовершенных» конструкций, т.е. конструкций, изготовленных из материалов, уже содержащих дефекты, жесткие включения и другие виды внутренних повреждений. Такие конструкции могут разрушаться при уровнях нагрузки намного ниже значений, полученных на основании только свойств идеальных материалов, используемых в методиках проектирования в рамках механики сплошных сред.
Для того чтобы количественно оценить влияние присущей материалам поврежденности на остаточную прочность элемента конструкции, кратко обсуждаются основные понятия линейной и нелинейной механики разрушения, которые учитываются при проектировании конструкций.
Fundamental concepts of damage tolerant design
M.P. Wnuk
University of Wisconsin, Milwaukee, WI 53201 USA
The primary purpose of this review is to discuss the various approaches to the evaluation of the load carrying capacity of “imperfect” structures, i.e., the structures manufactured of materials containing pre-existing flaws, hard inclusions, or other types of internal damage. Such structures may fail at the load levels well below the estimates based solely on the standard material properties used in the classical continuum mechanics-based design procedures.
In order to quantify the effect of the inherent material damage on the residual strength of a structural component, the essential concepts of the mechanics of fracture, in both its linear and nonlinear range, are briefly discussed and incorporated into the design process.
1. Введение
В многочисленных прикладных приложениях возникает вопрос: как много повреждений могут выносить конструкции, полученные из несовершенных материалов? Несовершенный материал определяется как материал, в котором изначально существуют дефекты микроструктуры, либо дефекты, способные к росту в условиях эксплуатации. Второй вопрос, которым часто задается пользователь или производитель: если существующие ранее дефекты допустимы, как можно оценить их влияние на прочность элемента конструкции? Другими словами, можно ли дать количественную оценку опасности?
Для большинства материалов потеря прочности конструкции происходит в результате конкуренции двух ка-
чественно различных процессов, каждый из которых в конечном счете приводит к разрушению конструкции. Первый из этих процессов заключается в развитии трещины, которая при некотором пороговом напряжении становится критической и распространяется по материалу хрупко или пластически.
Этот тип неограниченного или катастрофического роста трещины, определяемый геометрией удельной нагрузки и трещины, иногда может предваряться некоторой стадией устойчивого или так называемого «до-критического» роста трещины [1-8].
Вторым процессом, вносящим вклад в потерю прочности конструкции, является механизм пластического разрушения. Низкие температуры, высокие скорости
© Внук М.П., 2004
нагружения и высокая степень трехосности, вызванная существующим напряженным состоянием, например в конструкциях больших размеров, способствуют развитию разрушения первого типа, которое проявляет себя как процесс нарушения сплошности, связанный с распространяющейся трещиной. В качестве другой противоположности отклика материала на деформацию и разрушение следует отметить ситуацию, когда элемент конструкции, сделанный из того же самого материала, но имеющий меньшие размеры и находящийся под действием внешних условий, противоположных упомянутым выше, может разрушиться посредством пластического схлопывания, при котором неустойчивость материала приводит к чрезмерному (и неустойчивому) росту деформации.
Интересно, что при анализе остаточной прочности необходимо учитывать одновременное существование обоих процессов. Их совместный эффект в конечном счете определяет окончательную величину несущей способности реальной конструкции.
Если бы дефекты, такие как острые трещины, твердые включения и другие типы вызванных сдвигом не-сплошностей никогда бы не существовали или не возникали бы в ходе эксплуатации элемента конструкции, не было бы никакой необходимости привлекать понятия механики разрушения. Вместо этого можно было бы использовать конструкцию деталей машин, где существование трещин игнорируется, как конструкцию «совершенного» элемента, или, в качестве альтернативы, как конструкцию, не устойчивую к накоплению повреждений. Однако более реалистичный подход достигается, когда с самого начала процесса проектирования предполагается, что существуют трещины и другие дефекты материала, и хотя они не исключают нормальной эксплуатации конструкции, необходимо тщательно учитывать их влияние.
Предположим вначале, что при разумном подходе к проектированию конструкций, устойчивых к повреждениям, начальный размер существующей трещины или дефекта считается равным порогу разрешения специальной методики неразрушающего контроля, используемой для тестирования элемента конструкции до ввода в эксплуатацию. Намного более сложная проблема возникает перед конструктором, когда начальные трещины начинают расти и развиваться в ходе эксплуатации данного элемента. Обе эти возможности должны учитываться при проектировании конструкций, устойчивых к накоплению повреждений. В дальнейшем, мы сконцентрируем внимание на оценке предельных нагрузок или сроков службы конструкций, содержащих внутренние дефекты различных типов. В рамки этих исследований входят такие конструкции, как сосуды высокого давления, мосты, самолеты и автомобили.
1.1. Математическое моделирование упругопластического разрушения, зависящего от времени
Для исследований разрушения в диссипативных средах предлагаются различные асимпотические выражения для полей напряжений и деформаций вблизи вершины трещины. Наиболее общепринятая форма, предложенная Хатчинсоном [9] и Райсом и Розенгреном [10], это так называемое поле Хатчинсона-Райса-Ро-зенгрена (НИИ-поле), которое становится сингулярным в вершине трещины, т.е. при г ^ 0. НЯЯ-поле, применимое в задачах упругопластического разрушения для стационарной трещины, имеет вид:
е у = аг о
EJ
EJ
аа 2 V
Су (Щ 0)
(1)
п +1
(п 0).
Здесь п, е0 =<з0/Е и а — константы определяющего соотношения е/е0 =о/о0 +а(ст/ст0)", 1п — величина, зависящая от степени упрочнения п, представленная в табличном виде Ши [11, 12]. Безразмерные функции углового распределения (п, 0) и еу (п, 0) были по-
лучены численно авторами оригинальной концепции НЯЯ-поля. Можно показать, что интеграл Райса
' ==\
г
Эиг-
дх
(О)
играет роль амплитуды поля, и значит «однопараметрическая» характеристика разрушения распространяется на упругопластическую область. Границы справедливости использования такого асимптотического приближения значительно сужаются требованиями различной природы. Прежде всего, для упругопластической среды требуется пропорциональная нагрузка. Таким образом, распространяющаяся трещина или трещина при циклическом нагружении может не контролироваться полем типа НИИ. Поскольку НЯЯ-сингулярность является просто главным членом асимптотического разложения, и упругие деформации считаются пренебрежимо малыми, такой анализ справедлив только в окрестности вершины трещины, особенно в пластической зоне. Однако при очень маленьких значениях г НИИ-решение недействительно, поскольку оно не учитывает конечных изменений геометрии в вершине трещины. Значительные изменения геометрии в вершине трещины вызывают локальную непропорциональную нагрузку, при этом исключается возможность однопараметрического описания напряжений и деформаций. С другой стороны, с ростом размеров пластической зоны, когда
она становится сравнимой с размером структуры L (скажем, длиной неразрушенного участка перед трещиной), зона, где доминирует ^-фактор, исчезает вообще, в то время как зона с доминированием J-интеграла продолжает существовать. Таким образом, даже если ^-коэффициент теряет смысл в этом случае, J-интеграл (или раскрытие в вершине трещины) все еще остается подходящим критерием разрушения. В конечном счете, в пределе крупномасштабной текучести более не существует области, однозначно описываемой J. Однопараметрическая механика разрушения становится неприменимой, когда критические значения J обнаруживают зависимость от размеров и геометрии.
В данной работе с самого начала вводится дополнительный параметр. Это размер зоны процесса вблизи вершины трещины (0 < г < А). Поскольку в пределах этой зоны (назовем ее PZ-зоной) НИИ-поле фрагментируется, сама зона может быть визуализирована как своего рода «черная дыра», содержащаяся в поле, описываемом механикой сплошной среды. Однако возможно, встраивая такую сильно нелинейную (но не сингулярную!) зону в рассмотрение, учесть поведение материала при непропорциональном нагружении, таком как циклическое нагружение в условиях маломасштабной или крупномасштабной текучести.
Чтобы учесть существование зоны пластичности, применяется модель Внука «конечного удлинения» [13, 14]. Эта модель используется для вывода определяющих уравнений квазистатической трещины и для теоретического описания кривой сопротивления материала, так называемой ^-кривой. Согласно данной теории параметр нагружения Q (= Ост/лст0) остается равновесным при текущей длине трещины £ (= a/Rc) в пределах определенного субкритического диапазона нагрузки Qini < Q < Qf. Для отклика любого идеально пластического материала взаимосвязь между равновесными значениями Q и С описывается нелинейным дифференциальным уравнением:
2ZQ
dZ =_________________
dQ ln(j/ZQ2) - Q2
(3)
где j обозначает соотношение верхнего уровня (в устойчивом состоянии) ^-кривой и начального значения, скажем, j = JSS| JIC . Интегрирование уравнения (3) по одному циклу нагрузки дает величину удлинения трещины за цикл:
AZ ц
AN
Qm
2ZQdQ ln( j"/*Q°)- Q 2
(4)
Z = const
В общем случае интеграл в уравнении (4) должен быть оценен численно. Однако при определенных упрощени-
ях возможно получить решение в аналитической форме, а именно:
da =а E AJ j - Jm/JIC
---- - ^--------------------■
dN 1 а 2 T) j-1
(5)
Здесь а1 — эмпирическая константа; модуль раскрытия Т0 зависит от начального наклона кривой сопротив-
ления JR от Aa
т»=4 [dJ■>
а»
da
(6)
А = Jmax - Jmin — размах J-интеграла; Jm = (1/О) х х( Jmax + Jmin) — среднее значение J-интеграла в пределах одного цикла нагружения, которое можно легко связать с так называемым г-отношением, Jm = (1/О) х х Jmax (1 + гО); j = JSS/JlC — коэффициент увеличения вязкости разрушения.
Для относительно простого отклика материала, рассматриваемого здесь (п = го), уравнение R-кривой было предложено Внуком1 [13]:
^ = м - 11п(4е^А), (7)
аа 2
где R связывается с JR линейным соотношением:
R = (nE/ 8а2) JR.
(8)
Для устойчивого роста трещины модуль разрыва М должен находится в диапазонеО, ограниченном снизу
(Мmin) и сверху (Мтах):
1+-2ln(4p;-) < м <Pi
(9)
Если известен модуль разрыва, предложенный Парисом, т.е. величина Т0 задана, как определено в уравнении (6), тогда легко можно определить модуль М:
M =-Л?0 + 0.5ln(4epi),
8
11,
П =
плоское напряжение,
І1 -V , плоская деформация.
(10)
В итоге, коэффициент увеличения вязкости разрушения у также можно оценить, используя известный показатель пластичности материала рг- и модуль разрыва М:
j = —— exp(2M -1). 4Pi
(11)
1 Сравните также почти идентичные результаты, полученные неизвестным путем в работе [15].
О Этот диапазон был определен при детальном рассмотрении процесса экранирования энергии, который имеет место в нелинейной зоне 0 < г < R.
j
Отметим, что показатель пластичности материала, который включает отношение длины нелинейной зоны в начале роста трещины (Rini) и размера зоны процесса
(А)
.Р1
(12)
оказывает непосредственное влияние на все величины, описывающие усталостный рост трещины с помощью уравнения (5).
Используя уравнения состояния Рамберга-Осгуда для материала с сильным деформационным упрочнением и допуская деформационную пластичность и изотропное упрочнение, т.е.
=— а у 2
'О
П-1
(13)
где а, ст0 и п — те же константы материала, что и в уравнении (1); сте — эффективное напряжение, сте = = (3/2 sijsij )^2; sij — компонента девиатора тензора напряжений, в работе [16] получено следующее выражение для ^-кривой:
& г, 1
— = м г---
йа г 2
в
.11 | 1г1-Л5в
21 А
1-в
(14)
Здесь Мп обозначает модуль разрыва для материала с сильным деформационным упрочнением; ер1 = = а(а/а0)п-1(а/Е), в = (п +1)-1. Для преобразования Ш/йа уравнения в йа/dN уравнение аналогично уравнению (5) используется численная процедура. Окончательно, когда учитываются нелинейные вязкие эффекты, используя обобщенный закон Нортона, который имеет форму, идентичную уравнению (13), но ер1 заменяется тензором скорости вязкой деформации е V, ско-
С*
-интегралом (определяемым таким же выражением, как и в уравнении (О), только плотность энергии деформации Wзаменяется удельной мощностью W*, а вектор смещений щ заменяется скоростью щ), согласно следующему степенному закону:
а = у(с *)т.
Константы у и т связаны с константами материала а и п (т = п/(п + 1)) и с параметрами механики разрушения, такими как критическое значение /-интеграла, показатель пластичности материала рг-, модуль разрыва М и степень увеличения вязкости у = /^//ш . В ре-
зультате проведенного анализа получено выражение для усталостного роста трещины, где скорость да/<Ш описывается как суперпозиция:
- пластичного невязкого роста трещины типа, иллюстрируемого уравнением (5), Аар1 х (А/)я, где q = = q(n), и
- нелинейного вязкого удлинения трещины за счет компоненты ползучести Аау х (АС*)т.
2. Количественная оценка опасности разрушения
2.1. Прочность элементов конструкции, свободных от внутренних повреждений
Вначале рассмотрим несколько примеров классического проектирования, основанного на оценке предельной нагрузки для элементов конструкции, подвергаемых комбинированному нагружению. Чтобы проиллюстрировать эту процедуру, обсудим совместное влияние растяжения и кручения на предел прочности, т.е. предельную нагрузку призматического стержня из изотропного идеально упругопластического материала, пластическое течение в котором развивается при стY при растяжении и при т-у при сдвиге. В начале пластического течения внешние нагрузки — осевая нагрузка N и крутящий момент Т — должны комбинироваться таким образом, чтобы критерий текучести Мизеса
3 _ о
О= аY
выполнялся вдоль замкнутого контура круглого сечения или вдоль некоторых точек по замкнутому контуру некруглого сечения. Если принять ось рассматриваемого элемента за ось г, тензор напряжений принимает вид:
сту =
0 0 Т х2
0 0 Т у
уг
Т г* т г СТ г
А
(15)
Таким образом, разложение выражения Мизеса дает простую формулу:
ст2 + 3(Г І +т ^) = ст £.
(16)
Компоненты сдвигового напряжения тгх и тгу суммируются векторно и результирующий вектор представляет собой сдвиговое напряжение т. Следовательно, уравнение (16) может быть далее упрощено:
_2 , і„.2 _ _2 ст + 3Т — СТу •
(17)
Отметим, что мы опустили индекс г при а, поскольку существует только одна компонента нормального напряжения. В упругой области вплоть до появления начальной текучести мы легко можем связать а и т с внешними нагрузками N и Т, используя хорошо известное
є
ст
в
упругое решение для ст и т. Чтобы сконцентрировать внимание, рассмотрим две формы поперечного сечения: круговую (а) и квадратную (б). Будем иметь
ст — N А в обоих случаях,
т — Т у для круга радиусом с,
(18)
т — вТу (Р = 0.8) для квадрата с длиной стороны с.
А и У соответственно обозначают площадь и полярный момент инерции рассматриваемого поперечного сечения. Подставляя выражения (18) в условие текучести (17), получим
\2
N
~А
г т ч2
У/с
— ст
у?
в—
(19)
Г1 для круга,
[0.8 для квадрата.
Для исключения величин А, / и с обычно используют безразмерные переменные
п = N|NL, т = Т/Т.. (20)
Здесь NL и ^ обозначают предельную осевую нагрузку и предельный крутящий момент соответственно, т.е.
для обоих случаев,
N ь — ст у А
Ть —
(4/3)ту (У/с) для круга, 2ту (У/с) для квадрата.
(21)
Когда осевая нагрузка N заменяется nNL и крутящий момент Тзаменяется и если аY = ОтY, уравнение кривой взаимодействия (19) сводится к
(ОО.1) (ОО.О)
2 16 2 1 п + — т — 1 для круга, 9
п2 + 2.56т2 — 1 для квадрата.
Эти уравнения определяют только начало текучести, но они не выполняются в упругопластической области. Особый интерес представляет предельное состояние, т.е. такой набор параметров состояния (т, п) при котором достигается условие полной пластичности. Такие задачи анализа напряжений достаточно сложные, поскольку в этой области более не выполняются определяющие уравнения. Однако нелинейные задачи такого типа довольно широко рассматривались ранее [17, 18]. Чтобы избежать повторяющихся членов этих длинных решений, приведем здесь окончательные формулы, полученные Внуком [17]:
О 3 О 1 3 т + — п + — п = 1 для круга, (23.1)
4 4
т2 + 0.4709п2 + 0.5291п3 = 1 для квадрата. (О3.О)
Рис. 1. Кривые взаимодействия на начальной стадии пластического течения и в предельном состоянии для призматического стержня под действием кручения и растяжения: круглое (а) и квадратное (б) сечение
В то время как первое из приведенных выше уравнений является точным, второе представляет эрмитову интерполяцию двух предельных решений, полученных методом возмущений, примененным к соответствующей граничной задаче [17]. Кривые взаимодействия, описываемые уравнениями (ОО) и (23) соответственно, представляют начало текучести и состояние полной пластичности, достигаемое под совместным действием растяжения и кручения. Эти кривые показаны на рис. 1 и могут быть использованы в качестве расчетных кривых «совершенного» элемента конструкции, который по определению не содержит дефектов и удовлетворяет уравнениям состояния, лежащим в основе анализа напряженного состояния при дифференцировании. Для любой заданной пары параметров нагружения (т, п) конструктор легко может определить, является ли элемент безопасным. Теперь сфокусируем наше внимание
на задаче с круговым сечением и рассмотрим следующие исходные параметры:
(I)
— 3/4, п — 1/3.
(24)
Является ли конструкция безопасной при этих нагрузках? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны использовать уравнение (ОО.1). Получим
(25)
Данное значение превышает допустимую величину для первого критического состояния, т.е. начала текучести. В этой точке будем считать, что элемент, по меньшей мере, испытал частичную текучесть, но разрушился ли он? Сопоставляя с уравнением (О3.1), найдем
3! 1
41 3
— 0.6551.
(26)
На этот раз число меньше единицы, это означает, что точка (т, п) не выходит за границы предельной кривой, но находится внутри упругопластической области, заключенной между двумя кривыми, показанными на рис. 1 (а), точка Р1. Однако для нагрузок, задаваемых парой
(II) т = 3/4, п = 3/4 (27)
(отметим, что каждое из этих чисел, рассматриваемых отдельно, предполагает условие безопасности!), предельная нагрузка превышена. В этом легко удостовериться, оценив левую часть уравнения (О.9а):
і Т + 2! і ї +1 (315 —1.0898. 4 I 41 4 I 41 4 I
(28)
Поскольку величина выражения больше единицы, рассматриваемая точка лежит за предельной кривой, как показано на рис. 1, а, точка Рп.
Подобная взаимосвязь кривых может быть получена для других форм сечений и при других комбинациях нагрузок [18]. Используя основные уравнения сопротивления материалов, легко предсказать вид кривых взаимодействия, соответствующих состоянию начальной текучести. Хотя для второй критической кривой взаимодействия, которая соответствует комбинации нагрузок при полной пластичности, необходимо использовать определенные приближенные решения теории пластичности (как правило, либо верхний, либо нижний пределы взаимодействия оцениваются, используя вариационные принципы механики). Для случая комбинированного кручения и растяжения Внук [17] предложил следующие приближенные идеально пластические решения, описывающие предельные кривые взаимодействия:
т2 + 0.3000п2 + 0.7000п3 — 1, для равностороннего треугольника
т2 + 0.5779п2 + 0.4221п3 — 1, для шестиугольника
(29.1)
(29.2)
и для произвольного правильного многоугольника, где р — число сторон (р > 6)
т2 +
3 -
9 р2 біг2(П р)
4п2 1 - (2/3)вт2(л/ р)
п2 +
9 р2 біг2(П р)
4п2 1 - (2/3)Бт2(я/ р)
-2
п3 — 1.
(30)
Заметим, что при р ^ х, как и ожидалось, уравнение (30) сводится к уравнению (23.1).
В итоге мы можем привести здесь уравнение, описывающее кривую взаимодействия в пространстве параметров нагружения (т, п), справедливое для поперечного сечения произвольной формы, одно- или многосвязного. Это уравнение было получено Внуком [17], и имеет вид:
а
т2 +1 3 - — 1п2 +' — - 2 |п3 — 1.
а
(31)
Коэффициент а зависит от формы поперечного сечения и определяется следующим образом:
а—
(УыДап ,ц)2
Л(ГР/ G0) 2(КмДап ц)2
или
(32)
Лk
Если все величины уравнения (3О) оценены корректно, а представляет собой безразмерное число. Вначале расшифруем обозначения:
— объем Надаи, т.е. объем песчаной кучи, помещающейся на исследуемом сечении;
Ур — объем Прандтля, т.е. объем, ограниченный функцией напряжений Прандтля ф = ф(х, у), которая при кручении в упругой области удовлетворяет уравнению Пуассона V Оф = -209 в области, ограниченной контуром поперечного сечения, и равна нулю вдоль самого контура;
ц — угол трения в аналогии песчаной кучи Надаи; 9 — единичный угол закручивания;
А — площадь поперечного сечения; k — постоянная кручения для данного поперечного сечения, k = Т/09.
Чтобы проиллюстрировать использование уравнений (31) и (32), определим предельные кривые вза-
+
+
+
имодействия для круглого и квадратного поперечных сечений. Для круга радиусом с имеем:
1/ 2\/ \ ПС
^ — 3(пс )(С^) — —
(33)
1
1
Гр — -УС0, к — У —-пс
22
и, таким образом, используя второе из уравнений (32), получим
31
пс
а—
(пс 2)
4 I
пс
(34)
Подставив это значение в общее уравнение (31), мы вновь получим уравнение (23.1). Аналогично, для квадратного сечения имеем:
2
— — (2а) (atgц) — — tgц, а — с/2, 36
Гр — 0.070360с4, к — 0.1406с4,
(35)
А — с2, У — с 76 2(с3/6)2
а—
с2(0.1406с4)
— 0.395132.
(36)
Теперь, подставляя это значение а в общее уравнение (31), как и ожидалось, вновь получаем уравнение (23.2).
2.2. Остаточная прочность элементов с трещинами. Диаграмма оценки поврежденности
Для того чтобы оценить значение отдельного дефекта для структуры, мы должны определить:
- коэффициент интенсивности напряжений или некоторый другой соответствующий параметр (такой как величина раскрытия в вершине трещины или /), определяющий строгость напряженного состояния в непосредственной близости от фронта трещины, а затем его отношение к сопротивлению материала образованию трещин, т.н. вязкость разрушения;
- приложенную внешнюю нагрузку (или нагрузки) и ее отношение к нагрузке в состоянии пластического разрушения.
При хрупком разрушении достаточно было бы использовать К-фактор линейной механики разрушения, такой как К1, используемый для описания разрушения отрывом. Однако использование этого параметра ограничивалось бы только диапазоном хрупкого разрушения. Поэтому в работе [19] было предложено ввести меру интенсивности поля напряжений, вызванного рос-
том трещины, аналогичную К-фактору, но производную от величины раскрытия в вершине трещины. Последняя величина охватывает диапазон от упругопластического до совершенно вязкого разрушения — так называемый вязкий разрыв. Кроме того, использование критерия разрушения, основанного на раскрытии в вершине трещины, для описания поведения хрупких материалов, сводится к корректному пределу, т.е. хорошо известному уравнению начала хрупкого роста трещины:
КI = Кс. (37)
Существуют различные пути расчета раскрытия в вершине трещины заданной длины в некоторой конструкции определенной геометрии при известных внешних нагрузках. Один подход, в котором не используется ни метод конечных элементов, ни другая сложная математическая методика, — это подход, полученный на основе модели Баренблата-Дагдейла-Билби-Коттрелла-Свиндена. Раскрытие, нормальное к поверхности трещины, в месте, которое определяется как «физическая» вершина трещины, и есть требуемое раскрытие в вершине трещины. Для разрушения нормальным отрывом эта величина, обозначим ее 8 (, связана с приложенным напряжением а, полудлиной трещины а и свойствами материала, такими как напряжение течения а^ модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V, следующим образом:
( па А
для плиты
пЕ'
пст
2сту
с центральной трещиной,
Е' —
\Е,
ІЕ (1 -V 2)-1,
плоское напряжение, плоская деформация.
(38)
Отметим, что это выражение тесно связано с /-интегралом, т.е.
8, = /в/ aY. (39)
Индекс Э добавлен, чтобы акцентировать использование модели Дагдейла. /-интеграл, в свою очередь, можно преобразовать в эквивалентный К-фактор, используя широко известную формулу:
К
(40)
Индекс еИ указывает косвенный способ определения так называемого «эффективного» К-фактора через величину раскрытия в вершине трещины 8как определено в уравнении (38). Комбинирование выражений (38)-(40) приводит к
К ея —4ас
8
ІГБЄС
2сту
12
(41)
^ Безразмерное напряжение Б,- 1
Рис. 2. Диаграмма оценки разрушения
Теперь остался один шаг до определения уравнения кривой взаимодействия, которая будет представлять комбинированное влияние распространения трещины и процесса пластического разрушения на остаточную прочность. Таким образом, можно оценить количественно основные механизмы, которые вызывают потерю структурной целостности конструкции с дефектами.
В предельном случае, потеря структурной целостности может происходить при выполнении только одного из этих условий:
К1 ^ К1С, хрупкое разрушение,
а ^ ас (= разрушающее напряжение), (42)
пластическое разрушение.
Оба ограничения могут быть учтены единственной кривой взаимодействия, определенной в пространстве безразмерных переменных (Sr, Кг), которые определяются следующим образом:
Кт/ К1С или к I/ К
=
а/ас или
Р/Рс-
(43)
Очевидно, что предельные виды разрушения конструкции имеют место либо при Кг ^ 1 (хрупкое разрушение), либо при Sr ^ 1 (пластическое разрушение). Для плиты с центральной трещиной К1 = а4ш, и Кей определяется из уравнения (41) при минимальном его преобразовании путем замены аY на ас, т.е. разрушающее напряжение. Вначале оценим отношение
г / \ п 12
\[аа с 8 1 — 1п вес па
К*г = п 2 а о
Помня, что обратная величина этого отношения идентична безразмерной переменной Кг, а отношение а/ас, которое появляется в уравнении (44), равно Sr, получим предельное геометрическое место точек, или кривую взаимодействия, в пространстве (Sr, Кг) в виде:
К = Яг
-1п sec
-12
(45)
Это уравнение так называемой диаграммы оценки разрушения или, другими словами, расчетной кривой, которая позволяет оценить остаточную прочность элемента с трещинами. Кривая показана на рис. 2. В виде (45) диаграмма оценки разрушения нечувствительна к
- геометрической конфигурации,
- деформационному упрочнению материала.
В следующих разделах мы также будем обращаться к этим эффектам, но можно показать, что форма (45) представляет собой наилучшее приближение для большинства обычно рассматриваемых задач проектирования.
Для иллюстрации приложений диаграммы оценки разрушения в форме (45), рассмотрим задачу о плите с центральной трещиной (рис. 3). Ширина пластины 1 м, толщина 25 мм, длина центральной трещины 200 мм. Предполагается, что пластина несет нагрузку 7 МН. Материал имеет следующие свойства:
- вязкость разрушения, К1С = 200 МПал/м,
- предел текучести, а Y = 350 МПа,
- предел прочности на растяжение, а и = 450 МПа. Чтобы учесть деформационное упрочнение (которое не входит явным образом в уравнение Дагдейла для 5 ^ из которого получено понятие диаграммы оценки разрушения), как правило, предел текучести аY заменяется напряжением течения ар, определяемым как среднее а Y и а и :
к I
а^па
1 ф I г
Рис. 3. Геометрия плиты с центральной трещиной, случай а
350+450
МПа = 400 МПа. (46)
2 2
Затем определяется нагрузка пластического разрушения для нетто-площади сечения:
Рс = (400 МПа)(0.025 м)(1 м - 0.200 м) = 8.00 МН.
Поскольку внешняя нагрузка Р задана, Р = 7 МН, можно вычислить соотношение
= Р = 700МН = о r Pc 8.00 МН
(47)
которое оказалось меньше единицы. Таким образом, судя только по одной переменной Бг, разрушения не произошло бы. Чтобы закончить эти расчеты, необходима еще одна безразмерная переменная, а именно:
Kr = -
K
(48)
IC
Для рассматриваемой геометрии имеем:
-|1/2
KI = а4па
se
па
2W
7.00 МН
п(0.1 м^ес
(0.025 м)(1 м) ^
= 161 МПал/м, следовательно,
K. = !£МП^» = 0.805.
^п(0.1 м) ^ 1м
200 МПал/м
(49)
(50)
И вновь эта величина меньше единицы, и использование только критерия хрупкого разрушения не предсказывало бы разрушения. Однако, если точка, задаваемая координатами
Яг = 0.875, Кг = 0.805 (51)
лежит в плоскости (Бг, Кг), как показано на рис. 2, эта точка выходит за диаграмму оценки разрушения. Это эквивалентно разрушению структуры. Таким образом, в этом частном случае полная картина развития разрушения получается только при использовании диаграммы оценки разрушения и учета взаимосвязи между разрушением по хрупкому и пластическому механизмам.
3. Учет механизмов упругопластического разрушения при проектировании отказоустойчивых конструкций
Чтобы учесть взаимосвязь образования трещин и пластического разрушения, было предложено несколько методов. Упомянем основные из них:
- Проектирование на основе подхода ^-кривой, где сама ^-кривая генерируется, используя уравнение Вну-ка-Райса-Соренсена, dR/da = 1/2ln(Rss/R). Строго говоря это уравнение справедливо только для маломасштабной текучести, но в работе [5] было сделано предположение о возможности его использования для крупномасштабной текучести.
- Комбинирование двух критериев, приводящее к так называемой диаграмме оценки разрушения, предложенной Даулингом, Таунли [20] и Харрисоном с коллегами [21]. Эта методика была включена в официальный документ R6, изданный Центральной комиссией по производству электроэнергии Великобритании (Central Electricity Generating Board) в 1980 году [19].
- Инженерный метод оценки роста трещины и устойчивости дефектных конструкций, предложенный Ши с коллегами [22] и опубликованный в справочнике, изданном позднее Исследовательским институтом электрической энергии (Electric Power Research Institute (EPRI)) [23]. Эту методику часто называют схемой оценки EPRI (EPRI Estimation Scheme) и до сих пор она является наиболее перспективной методикой для предсказания неустойчивостей, возникающих при вязком разрушении.
В то время как первый подход, основанный на уравнении Внука-Райса-Соренсена, ограничен задачами, в которых пластическая зона остается в рамках нетто-сечения образца, в двух других также имеет место крупномасштабная текучесть. Второй подход в некоторой степени ограничен пределами отклика материала, которые он способен учесть. Диаграмма оценки разрушения основана на модели текучести полосы и поскольку она предполагает упругое идеально пластическое поведение материала, она дает завышенные результаты для материалов с деформационным упрочнением. Третья методика является результатом исследований Ши и Хатчинсона [24], в значительной мере расширенных Ши с коллегами в 1981 году [22] в ходе полномасштабных исследований в лабораториях корпорации Дженерал Электрик в Скенектади (штат Нью Йорк). Этот подход сфокусирован на инженерной практике: методика предназначена для расчета трещинодвижущей силы, учитывающей как упругую, так и пластическую компоненты J-интеграла:
Jtot = J el + Jpl.
(52)
В общем случае это уравнение может быть записано в следующем виде:
J tot = С„ P2 + Cp P"+1,
(53)
где Р—нагрузка; функции Са и Ср можно определить для некоторой конфигурации элемента с трещинами при заданных свойствах материала, таких как константы а, е0, п, а0 в уравнении состояния Рамберга-Осгуда.
Рис. 4. Зависимость параметра нагружения Q = па/2а0 от текущей длины трещины при устойчивом вязком росте трещины. В для эксперимента с контролируемой нагрузкой итоговая неустойчивость возникает при максимальной нагрузке, = 0
Кратко проиллюстрируем процедуру проектирования отказоустойчивых конструкций для двух геометрий: (а) плита с центральной трещиной и (б) толстостенный цилиндрический сосуд высокого давления, ослабленный продольной трещиной, зародившейся на внутренней стенке цилиндра. Сосуд испытывает внутреннее давление Р.
Случай а
Рассмотрим центральную трещину длиной 0.1 дюйма (а = 0.05 дюйма) в плексигласовой плите шириной 3 дюйма и толщиной 1/2 дюйма (рис. 3). Материал имеет следующие характеристики: *
- вязкость разрушения К1С = 200 рв1л/!п ,
- предел текучести а0 = 3 000 рв1,
- предел прочности при растяжении а и = 5 000 рв1,
- отношение пластической компоненты деформации при разрушении (8 р) к деформации при пределе текучести (е0) приблизительно равно 5. Обозначая 8р/80 как р/, получаем так называемый показатель пластичности р/ = 5.
Поскольку модуль раскрытия М, который появляется в уравнении Внука-Райса-Соренсена, должен быть несколько выше пороговой величины
M min = 2 + -2 ln(4p,) = 1.99787,
(54)
будем считать, что М на 20 % больше Мтп, т.е. М = = 2.39744. Уравнение ^-кривой записывается как
dR 1
— = — ln da 2
R = R RR
Rss
R
----exp(2M -1)
4pi
= 2.22З64ЛГ
(55.1)
(55.2)
* 1 psi (pounds (force) per square inch) = 6.8948 • 103 Па, 1 in = 2.54 см
Rs
K
IC
= 0.0017453 дюйма,
(55.З)
j =—^ = 2.22З64.
Rini
В безразмерных координатах
z=-
Y =
R
RR
Rini Rini
уравнение (55.1) имеет вид:
dY = 1( 2.22З64
dZ= 2 n
Для начальной длины трещины а0 0.05
Rin
0.001745З
= 28.648
(56)
(57)
(58)
безразмерный истинный параметр вязкости У считается равным единице. При таком начальном условии уравнение (57) можно легко проинтегрировать численно и получить ^-кривую. Так как нас интересует неустойчивость вязкого разрушения, преобразуем эту ^-кривую в 0-кривую, которая является результатом интегрирования уравнения (17) для плиты с центральной трещиной. При
КI = а (na)sec
na
W
Ф
W
= sec1^
/
V
na
W
(59)
уравнение (17) имеет вид:
dQ
dZ
ln
j
22
2ZQФ
Итак, имеем начальные условия при Z = Z0 = 28.648
-а^(а^).
(60)
(61)
Q = йш = cos(alZ 0).
Здесь постоянная а1 определяется как п _ п(0.0017453)
а1 =
wR
= 0.0018176.
(62)
Теперь уравнение (60) можно проинтегрировать непосредственно, в результате имеем так называемую О-кривую (рис. 4). Альтернативный способ построения
а
Таблица 1
Данные, полученные с помощью уравнения Внука-Райса-Соренсена для плиты с центральной трещиной (рис. 3)
Длина трещины a, mil* Параметр Q Напряжение а, psi Осевая нагрузка P, lb** Истинная вязкость Kr KiC = 200.00 psiVin"
50.000 0.26404 504.28 756.42 200.00 Начало роста трещины
51.569 0.29592 565.17 847.76 227.65
5З.1З9 0.З1З97 599.64 899.46 245.20
54.709 0.З2481 620.З4 9З0.50 257.З9
56.279 0.ЗЗ1З1 6З2.75 949.12 266.29 Устойчивый рост
57.849 0.ЗЗ498 6З9.77 959.65 272.99 трещины
59.419 0.ЗЗ674 64З.12 964.68 278.1З
60.814 0.ЗЗ715 64З.15 965.88 281.74 Максимальная нагрузка/ неустойчивость
62.З84 0.ЗЗ669 64З.0З 964.55 284.98 Катастрофическое разрушение
* 1 mil = 1 • 10 6 дюйма ** 1 lb (poundforce) = 4.4482 Н
g-кривой заключается в определении сначала функции истинной вязкости Y = Y(Z), используя уравнение (57), а затем в расчете параметра нагружения Q в виде
J2Y
—cos(a1Z).
(6З)
Результаты, полученные в рамках каждой из этих методик, идентичны и представлены в виде кривой на рис. 4. Две точки этой кривой имеют особый интерес, а именно:
Qini = 0.26404 при Z0 = 28.648 и КIC = 200.00 psiVin"
Qf = 0.ЗЗ715 при Zf = З4.845 и KRf = 281.74 psiVin".
(64.1)
(64.2)
В то время как (64.1) определяет нагрузку и размер трещины в самом начале вязкого (устойчивого) процесса роста трещины, второе выражение определяет нагрузку и размер трещины, при которых происходит переход от вязкого разрушения к неустойчивому растрескиванию. Сравнивая величины, задаваемые уравнениями (64), можно заключить, что
- величина устойчивого трещинообразования Дай/а0 равна 27.6 %,
- увеличение внешней нагрузки ДQ^|Qini равно 27.7 %,
- увеличение истинной вязкости (К- К1С)/К1С составляет 40.87 %.
Все основные результаты, имеющие отношение к этой проблеме, обобщены в таблице 1.
Когда же поведение трещины обусловлено нагрузкой, которая, в свою очередь, контролируется внешним фактором, итоговая неустойчивость имеет место в точке максимальной нагрузки на кривой а от а (или 0 от Z), как показано на рис. 4. Если процесс трещинообразова-ния контролируется вызванным извне смещением, тогда точка перехода к неустойчивому разрушению находится где-то на падающей ветви 0-кривой [25]. Как можно видеть из приведенного здесь простого примера, упругопластическое воздействие оказывает достаточно значительное влияние на процесс разрушения. Нагрузка, достаточная для инициирования роста трещины (756.42 1Ь) должна быть увеличена почти на 30% до возникновения катастрофического разрушения при 965.88 1Ь. Величина медленного устойчивого трещино-образования при таком увеличении внешней нагрузки намного превышает 2 %, допустимые согласно стандарту ASTM Е-399 для К1С тестирования. Следовательно, величину К1С, определенную в начальных данных для этого частного случая (200 р$1л/1п), следует рассматривать как Кгс, эквивалентную вязкости К1С, полученной в рамках /1С теста. С другой стороны, поскольку длина пластической зоны ^;п; составляла только 3.5 % от размера трещины, оправдано использование подхода маломасштабной текучести, основанного на уравнении ^-кривой Внука-Райса-Соренсена. В заключение отметим, что осевое усилие, передаваемое такой же пластиной без трещины, равнялось бы Р = (1.5 т2) (5000 рэ1) = 7500 1Ь. Следовательно, снижение прочности за счет существования трещины длиной всего лишь 100 шй приводит к почти 10-кратному уменьшению допустимой нагрузки (если начало распространения трещины использовать как проектное ограничение) или к почти 8-кратному падению остаточной прочности,
Рис. 5. Схематическое представление цилиндрического сосуда высокого давления с трещиной
если достижение точки катастрофического разрушения рассматривать как проектное ограничение.
Случай б
Чтобы решить задачу о поведении цилиндра с осевой трещиной под действием внутреннего давления (рис. 5) с учетом пластичности материала и деформационного упрочнения, будем использовать две методики:
- Я6-методику или так называемую диаграмму оценки разрушения. Этот метод будем использовать для оценки нагрузки, при которой разорвался бы цилиндр с трещиной, если не учитывать медленное устойчивое трещинообразование и упрочнение материала.
- Схему оценки ЕРШ, основанную на суперпозиции, предлагаемой уравнениями (52) и (53) (см. также рис. 6).
Для геометрии, представленной на рис. 5, предполагается следующий набор исходных данных:
Ri = 500 мм, R0 = 600 мм, I = 100 мм, а = 25 мм, а0 = 60 ksi1 = 414 МПа,
а = 1.12, е0 = 0.002, п = 10.
(65)
Эти характеристики взяты из справочника ЕРШ и соответствуют стали марки А533В, из которой изготавливаются сосуды высокого давления, использующиеся в атомной промышленности. Дополнительно к этим константам на основе эмпирической кривой, взятой в справочнике ЕРМ, аналитически строится полная JR -кривая. Пороговая величина JIC приблизительно равна
1 1 ksi = 1 • 103 psi = 6.8948 • 106 Па
Приложенная нагрузка Р
Рис. 6. ЕРЫ схема оценки J-интеграла [23]
2 ksi • т, которая конвертируется в метрические единицы сл. образом:
JIC = (2.0 ksi • т)
1 МПа У 0.0254 м
0.145 ksi I 1 т
V Л
= 0.350 МПа • м = 350 кПа • м.
(66)
Преобразование этой величины в эквивалентную К1С, скажем К]С (которая необходима при использовании диаграммы оценки разрушения), выполняется достаточно просто:
(0.350 МПа • м)(207 000 МПа)
1 - 0.32
12
= 282 МПал/м.
(67)
Для материала с деформационным упрочнением напряжение пластического течения а^ является более подходящей мерой предела текучести материала, чем общепринятое напряжение течения. Для известного показателя упрочнения N = 1/п и предела текучести а0 было предложено следующее соотношение [26]:
а = '
а0
1 +
(N 8 0) *
ехр N
(68)
Рис. 7. Диаграмма оценки разрушения (failure assessment diagram (FAD)), построенная с использованием уравнения (69)
Для стали А533В подстановка а 0 = 414 МПа и N = 0.1 дает а = 484 МПа. Теперь мы можем использовать диаграмму оценки разрушения, определяемую геометрическим местом точек критических параметров Кг = = К1 / К1С и Зг = а а с, получаемых из модели текучести полосы*, т.е.
Kr = Sr
-lnsec
-12
(69)
Графическое представление этого уравнения приведено на рис. 7. Символ а с обозначает напряжение пластического разрушения для рассматриваемой конструкции. Это напряжение можно оценить на основе решения Хилла, полученного для совершенно пластического состояния во всем объеме цилиндра, т.е.
P (0) а in
рт = ^3 а flow ln
R0
Ri ,
l
:-^(484 МПа) ln л/3
5
■ 102 МПа
(70)
для цилиндра без дефектов и
рт(1) = -
Vs
flow
ln
R
0
Rі + a
(484 МПа) ln
5.25
= 74.6 МПа
(71)
для цилиндра с трещиной.
Вторая величина представляет предельное давление, которое соответствует дефектному цилиндру с бесконечной вязкостью или, другими словами, бесконечному сопротивлению распространению трещины. Будем ис-
[ Ср. с работой [26], C. 552.
пользовать Р[(1) для аппроксимации напряжения схло-пывания а с рассматриваемой конструкции. Таким образом, безразмерная переменная 8Г, которая появляется в уравнении (69), принимает вид:
Sr =
74.6 МПа
(72)
Используя справочник Тада, Париса и Ирвина коэффициентов интенсивности напряжений линейной механики разрушения [27], для геометрии, представленной на рис. 5, получим следующее выражение:
к і =
2 PR0
R0 - Ri
y/naF
t
(73)
/ \ a = 1.1 + A 4.951 / \ a і 2 +1.092 / \ a 4
ч 7 , ч7; ч 7 ,
где A — константа, определяемая как
A=
0.125 R - 0.25
t
14
= 0.7825423.
(74)
(75)
При начальной глубине трещины aft = 0.25 имеем:
F (0.25) = 1.345486,
KI(0.25, P) = 2.468P.
Следовательно, вторая безразмерная переменная из уравнения диаграммы оценки состояния (69) принимает вид:
К r = При
2.468P
_К ■
IC
К
IC
|30 МПал/м, нижний предел вязкости, [282 МПал/м, верхний предел вязкости получаем два корня уравнения (69), где
Sr =
74.6 МПа
Kr =
2.468P
К
(76)
(77)
(78)
IC
Эти корни равны (см. также табл. 2 и рис. 7):
Р^ = 12.10 МПа для нижнего предела вязкости, ри = 71.97 МПа для верхнего предела вязкости.
(79)
Наблюдается значительное уменьшение предельной нагрузки, если сопоставить эти цифры со значением нагрузки пластического разрушения, полученным из уравнения Хилла, соответствующего совершенно пластическому состоянию цилиндрической оболочки (ср. (70) и (71)).
Таблица 2
Численные данные, полученные с помощью (32) и используемые для построения диаграммы оценки разрушения (рис. 7)
Давление «г Кг ^АБ) Кг (30 МПа^/м) Кг (282МПа^/м)
1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 1.0000 0.013405 0.99996 0.082267 0.0087518
3 2.0000 0.026810 0.99985 0.16453 0.017504
4 3.0000 0.040214 0.99967 0.24680 0.026255
5 4.0000 0.053619 0.99941 0.32907 0.035007
6 5.0000 0.067024 0.99907 0.41133 0.043759
7 6.0000 0.080429 0.99867 0.49360 0.052511
8 7.0000 0.093834 0.99818 0.57587 0.061262
9 8.0000 0.10724 0.99763 0.65813 0.070014
10 9.0000 0.12064 0.99699 0.74040 0.078766
11 10.000 0.13405 0.99628 0.82267 0.087518
12 12.000 0.16086 0.99463 0.98720 0.10502 Рсг = 12.1 МПа
13 14.000 0.18767 0.99267 1.1517 0.12252 при Кк = 30 МПаЛм
14 16.000 0.21448 0.99039 1.3163 0.14003
15 18.000 0.24129 0.98778 1.4808 0.15753
16 20.000 0.26810 0.98483 1.6453 0.17504
17 22.000 0.29491 0.98155 1.8099 0.19254
18 24.000 0.32172 0.97790 1.9744 0.21004
19 26.000 0.34853 0.97389 2.1389 0.22755
20 28.000 0.37534 0.96948 2.3035 0.24505
21 30.000 0.40214 0.96468 2.4680 0.26255
22 32.000 0.42895 0.95945 2.6325 0.28006
23 34.000 0.45576 0.95378 2.7971 0.29756
24 36.000 0.48257 0.94763 2.9616 0.31506
25 38.000 0.50938 0.94097 3.1261 0.33257
26 40.000 0.53619 0.93378 3.2907 0.35007
27 42.000 0.56300 0.92600 3.4552 0.36757
28 44.000 0.58981 0.91759 3.6197 0.38508
29 46.000 0.61652 0.90849 3.7843 0.40258
30 49.000 0.64343 0.89863 3.9488 0.42009
31 50.000 0.67024 0.88793 4.1133 0.43759
32 52.000 0.69705 0.87628 4.2779 0.45509
33 54.000 0.72386 0.86356 4.4424 0.47260
34 56.000 0.75067 0.84961 4.6069 0.49010
35 58.000 0.77748 0.83421 4.7715 0.50760
36 60.000 0.80429 0.81709 4.9360 0.52511
37 62.000 0.83110 0.79786 5.1005 0.54261
38 64.000 0.85791 0.77597 5.2651 0.56011
39 66.000 0.88472 0.75053 5.4296 0.57762
40 68.000 0.91153 0.72012 5.5941 0.59512
41 70.000 0.93834 0.68190 5.7587 0.61262 Рсг = 71.97 МПа
42 72.000 0.96515 0.62890 5.9232 0.63013 при К:с = 282 МПал/м
43 73.000 0.97855 0.59026 6.0055 0.63888
44 73.500 0.98525 0.56396 6.0466 0.64326
45 74.000 0.99196 0.52697 6.0877 0.64763
46 74.500 0.99866 0.44681 6.1289 0.65201
47 74.600 1.0000 0.0000 6.1371 0.65288
Однако можно привести доводы, что пластичный материал типа стали А533В выдержит определенное количество стабильных трещин. Следовательно, будут существовать определенные рамки безопасности относительно значений (79). Чтобы облечь это утверждение в более определенные выражения, необходимо привлечь более развитую методологию, разработанную для оценки неустойчивостей, возникающих в ходе пластического деформирования в окрестности фронта трещины. Для этого необходимо использовать схему оценки EPRI. Из уравнения (73) можно определить упругий К-фактор. Таким образом, легко оценить упругий /-интеграл:
Таблица 3
/ е, =
к 2(1 -V2)
(0.91)(4гс)ґ
ХР 2
207000 МПа [1 - (Лг-/Л0)
22
■її 2( X)
X=0.25
(80)
где произвольная функция F(X) определяется следующим образом (А = 0.7825423):
Р (X) = 1.1 + Д4.951Х2 + 1.092X4],
X = а/і.
(81)
При другой крайности поведения материала, когда конструкция с трещиной достигает совершенно пластического состояния, т.е. неразрушенный участок образца перед трещиной становится полностью пластичным, справочник EPRI предлагает использовать пластический /-интеграл:
Трі = аєоао ~~^1І _
П+1
Ро
Ро =
2Ьа0
(82)
л/3(Ri + а) '
Для исходных данных (65) и для произвольной функции h1 (а/г) при п = 10 имеем А1(0.25) = 9.45, тогда пластический /-интеграл запишем как
Зависимость ^ от данных для Да, полученных при интегрировании уравнения (88)
Приращение длины трещины Да, мм (Сталь А 533В) /кПа-м
0.0 350.0
0.1 392.9
0.2 431.6
0.3 467.2
0.4 500.2
0.5 531.3
0.6 560.6
0.7 588.6
0.8 615.3
0.9 640.9
1.0 665.6
1.5 777.6
2.0 876.0
2.5 964.8
3.0 1046.5
3.5 1122.6
4.0 1194.1
4.5 1261.9
5.0 1326.5
5.5 1388.2
6.0 1447.6
6.5 1504.8
7.0 1613.6
Полный /-интеграл есть сумма Jе1 (80) и /р1 (83) и (84). Следовательно, в самом начале вязкого роста трещины (разрушение разрывом) должно выполняться уравнение
[Лі + ^рі ]а=25 мм = 3\
ІС
0.02678Р2 +164.3166
Корень этого уравнения Рп = 70.0837 МПа
Р
68.2923
= 350.
(85.1)
(85.2)
(86)
/рі = 164.3166
” Iа =25 мм
(83)
Начальная нагрузка Р0 для тех же начальных данных равна
Р0 =
2 • 75-10-3 • 414-106
-3
>/з(500 + 25) -10
= 68.2923 МПа.
(84)
определяет величину нагрузки, при которой начнется вязкий рост трещины. Полученная величина достаточно хорошо согласуется со значением, полученным с помощью диаграммы оценки разрушения (71.97 МПа), если учесть, что последняя методика пренебрегает деформационным упрочнением. Следующий шаг заключается в сравнении трещинодвижущей силы
/(X, Р) = /еі(X, Р) + /рі(X, Р)
(87)
Рис. 8. Зависимость трещинодвижущей силы / от безразмерной длины трещины X = аД при постоянных значениях нагрузки: 72 (1); 74 (2); 75 (3); 76.09 (4) и 77 МПа (5). Кривая 4 направлена по касательной к кривой сопротивления материала /к
с кривой сопротивления материала /к = /к (X - X 0) = = /к( ДХ). Для стали А533В существует множество экспериментальных данных, касающихся зависимости /к от Да. Используя такие данные, взятые из справочника ЕРШ и применяя схему аппроксимации кривой вида [25]:
З
ёа
ЛЗ
ІС
З *
- в,
(88)
Рис. 9. Диаграмма оценки устойчивости. Точка пересечения двух кривых определяет переход от устойчивого к неустойчивому разрушению
можно получить аналитическое представление эмпирических данных, полученных из справочника ЕРМ. При /1С = 350 кПа-м и
А = 44000 м-1, В = -1000 кПа (89)
уравнение (88) можно легко проинтегрировать. Результаты такого интегрирования приведены в таблице 3.
Конечно, все, что нам действительно нужно, это самый начальный участок кривой /к - Да . Поскольку для цилиндра с трещиной длина неразрушенного участка перед трещиной равна 75 мм, в то время как начальная длина трещины равна 25 мм, можно было бы считать, что приращение Да не превысит, скажем, 20 % начальной глубины трещины. Эта оценка действительно подтверждается анализом устойчивости, см. рис. 8 и 9.
Таблица 4
Предельная нагрузка (внутреннее давление) для цилиндрического сосуда высокого давления с трещиной
Механизм разрушения Давление разрушения Примечание
Пластическое разрушение бездефектного сосуда 102 МПа Оценка на основе решения Хилла, справедливого для герметичного толстостенного цилиндра без трещин и для идеально пластичного твердого тела
Пластическое разрушение сосуда с трещиной. Предполагается, что материал имеет бесконечно большую вязкость разрушения 74.60 МПа Тот же подход, но предполагается, что нетто-сечение несет нагрузку в совершенно пластичном состоянии
Начало растрескивания (диаграмма оценки разрушения), поведение идеально упругопластичного материала 71.97 МПа Прогноз с использованием диаграммы оценки разрушения независимо от геометрии. Деформационное упрочнение не учитывается. КJC = 282 МПал/м
Начало вязкого роста трещины, оцененное по схеме ЕРШ (с учетом деформационного упрочнения) 70.08 МПа За начальной стадией распространения трещины следует фаза устойчивого вязкого роста трещины вплоть до момента итоговой неустойчивости
Итоговая неустойчивость (глобальное разрушение), оценка по методике ЕРЯ! 76.09 МПа Обе оценки получены на основе методики ЕРШ, где анализируются потребность энергии /Я и затраты энергии / на разрушение разрывом
Увеличение размера трещины 15 %
Увеличение нагрузки 8.6 % Относительные изменения соответствующих величин
Увеличение вязкости /* 214 %
Геометрия (см. рис. 5)
Материал: сталь А533В для сосудов высокого давления, используемых в атомной промышленности (верхний предел вязкости разрушения Кю = 282 МПал/м)
Рисунок 8 представляет «классическую» диаграмму приложенного /-интеграла в виде «силы», которая продвигает трещину вперед, и материального /-интеграла, обозначенного JR и представляющего потребность в энергии (строго говоря, скорость, которая требуется, чтобы энергия потекла в зону процесса, граничащую с передним фронтом трещины). Сравнение этих двух величин приводит к следующей системе уравнений, которые должны выполняться в точке перехода к неустойчивому разрушению (X = а/г):
/(X, Р) = /R(X),
Э/(X, Р) = /^X) (90)
ЭX _ dX '
Таким образом, точка итоговой неустойчивости определяется как точка касания /-кривой, построенной при фиксированной нагрузке Р, и /R -кривой, характеризующей сопротивление материала вязкому росту трещины.
Та же цель может быть достигнута перестройкой соответствующих данных для функций / и /R , как показано на рис. 9. Здесь угол наклона кривых / и ^ отложен на вертикальной оси, а величина / — по горизонтальной. Этот тип фазовой «диаграммы» обычно называют «диаграммой оценки устойчивости», где представлена информация как о свойствах материала, так и о геометрической конфигурации распространяющейся квазистатической трещины. Уравнения (90) выполняются в точке пересечения этих кривых:
= а/хр)
арр1 эх ’
= <Ц R (X ) dX '
Можно видеть, что оба подхода приводят к одинаковым результатам. Для исходных данных, используемых в нашем примере, критическая точка определяется следующим образом:
ДХ£ = 0.036997 или af = 28.6997 мм
(91)
J£ = 1150 кПа • м, Р£ = 76.09 МПа.
Эти величины предполагают 15 % медленное устойчивое растрескивание, сопровождающееся увеличением предельной нагрузки на 8.6 %. Поскольку весь процесс описывается довольно крутым фрагментом /R -кривой, увеличение истинной вязкости материала при оценке с помощью /R -интеграла составляет 214% (или 146 % при использовании KR в качестве меры вязкости).
Итоговая подборка результатов для случая б дана в таблице 4, некоторые детали расчетов кратко изложены в приложении А.
4. Заключение
Центральным стержнем проектирования конструкций, устойчивых к накоплению повреждений, является концепция начального дефекта типа острой трещины, присутствие которого должно учитываться в методике проектирования. Это предъявляет достаточно жесткие требования конструктору при количественной оценке безопасного интервала рабочих напряжений конструкции и прогнозировании уменьшения остаточной прочности при старении (ползучести) материала и воздействии внешней среды. Новые концепции постоянно проверяются учеными из разных стран, работающими в области высоких технологий, которые получили быстрое развитие в конце прошлого - начале нынешнего века, т.н. век информации. Характеристика вязкости материала —только один из аспектов механики разрушения. Чтобы применить понятия механики разрушения при проектировании конструкций, устойчивых к накоплению повреждений, таких как самолеты, элементы электростанций и атомных станций, ракет и космических станций, промышленность должна стремиться внедрять современные технологии и понимать теоретические основы. Необходимо установить математические зависимости между вязкостью, напряжением и размерами дефектов. Значительный вклад внесен рядом исследователей, расширивших ранние идеи Гриффитса до новых задач, включающих упругопластическое и зависящее от времени разрушение. Однако для основных крупных научно-технических достижений необходимо время. В настоящий момент мы являемся свидетелями непрерывного развития новых идей и уточнения старых. Понимание природы является динамичным и бесконечным поиском знания. Как правило, каждая решаемая проблема ставит новые вопросы на более глубоком, не рассмотренном ранее уровне, которые требуют новых ответов.
Литература
1. Slepyan L.I. Quasistatic extension of cracks under tensile loads // Izv. Akad. Nauk SSSR. Mekhanika Tverdogo Tela. - 1974. - Vol. 9. -P. 57.
2. WnukM.P. Accelerating crack in a viscoplastic solid subject to subcriti-cal stress intensity // Proc. Int. Conf. on Dynamic Crack Propagation / Ed. by G.C. Sih. - Lehigh University, 1972. - P. 273-280.
3. Wnuk M.P. Quasistatic extension of a tensile crack contained in a viscoelastic-plastic solid // J. Appl Mech. - 1974. - Vol. 41. - P. 234-242.
4. Rice J.R., Sorensen E.P. Continuing crack-tip deformation and fracture for plane-strain crack growth in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. - 1978. - Vol. 26. - P. 163.
5. Rice J.R., Drugan W.J., Sham TL. Plane strain Prandtl slip line field for mode I quasistatic crack // ASTM STP700, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1980. - P. 189.
6. Hermann L., Rice J.R. Comparison of experimental theory for elastic-plastic plane strain crack growth // Metal Sci. - 1980. - Vol. 14. -P. 285.
7. Drugan W.J., Chen X.Y. Plane strain elastic-ideally plastic crack fields
for mode I quasistatic growth at large-scale yielding. I. A new family
of analytical solutions // J. Mech. Phys. Solids. - 1989. - Vol. 37. -P. 1.
8. Chen X.Y., Drugan WJ. Plane strain elastic-ideally plastic crack fields for mode I quasistatic growth at large-scale yielding. II. Global analytical solutions for finite geometries // J. Mech. Phys. Solids.
9. Hutchinson J.W. // J. Mech. Phys. Solids. - 1968. - Vol. 16. - P. 13-31.
10. Rice J.R., Rosengren G.F. // J. Mech. Phys. Solids. - 1968. - Vol. 16. -P. 1-12.
11. Shih C.F. // J. Mech. Phys. Solids. - 1981. - Vol. 19. - P. 305-326.
12. Shih C.F. // Brown University Report. - 1981. - MRL E-147.
13. Wnuk M.P. // J. Appl. Mechanics. - 1974. - Vol. 41. - P. 234-242.
14. Wnuk M.P. // J. Appl. Mechanics. - 1981. - Vol. 48. - P. 500-508.
15. Rice J.R., Drugan WJ, Sham T.L. // ASTM STP 700. - 1980. -P. 189-221.
16. Hunsacharoonroj I., Wnuk M. / unpublished report which resulted from the first author’s PhD Thesis, Dept. of CE & Mechanics, University of Wisconsin-Milwaukee, 1987.
17. Wnuk M.P. Yield curves for bars ofvarious cross-sections under combined torsion and tension // Applied Mechanics, Bull. of Polish Acad. Sci. - 1963. - Vol. 11. - P. 371.
18. Zyczkowski M. Combined loadings in the theory of plasticity. - Elsevier Publishers, The Netherlands, 1987.
19. Harrison R.P, Loosemore K., Milne I., Dowling A.R. Assessment of the integrity of structures containing defects. - CEGB Report R/H/ R6-Rev.2, Central Electricity Generating Board, UK, 1980.
20. Dowling A.R., Townley C.H.A. The effects of defects on structural failure: a two-criteria approach // Int. J. Pressure Vessels and Piping. -1975. - Vol. 3. - P. 77-137.
21. Harrison R.P, Loosemore K., Milne I. Assessment of the integrity of structures containing defects. - CEGB Report R/H/R6, Central Electricity Generating Board, UK, 1976.
22. Shih C.F, German M.D., Kumar V An engineering approach for examining crack growth and stability in flawed structures // Int. J. Pressure Vessels and Piping. - 1981. - Vol. 9. - P. 159-196.
23. Kumar V., German M.D., Wilkening W.W., Andrews W.R., deLoren-ziH.G., Mowbray D.F. Advances in elastic-plastic fracture analysis // EPRI Report NP-3607, Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, 1985.
24. Shih C.F, Hutchinson J.W. Fully plastic solutions and large-scale yielding estimates for plane stress crack problems // J. Eng. Mat. and Technology. - 1976. - Vol. 98. - P. 289-295.
25. Wnuk M.P, Mura T. Effect of microstructure on the upper and lower limits of material toughness in elastic-plastic fracture // Mechanics of Materials. - 1983. - Vol. 2. - P. 33-46.
26. Anderson T.L. Fracture mechanics. Fundamentals and applications. -Book published by the CRC Press, 1991.
27. Tada H., Paris PC., Irwin G.R. The stress analysis of cracks handbook. - Del Research Corporation, St. Louis, MO, 1989.
28. Raju I.S., Newman J.C. Jr. Stress intensity factors for internal and external surface cracks in cylindrical vessels // J. Pressure Vessel Technology. - 1972. - Vol. 104. - P. 293-298.
29. HayesD.J., Williams J.G. A practical method for determining Dugdale model solutions for cracked bodies of arbitrary shape // Int. J. Fracture Mechanics. - 1972. - Vol. 8. - P. 239-256.
30. Dawes M.G. Fracture control in high yield strength weldments // Welding Journal. - 1974. - Vol. 53. - P. 369-380.
31. Ainsworth R.A. The assessment of defects in structures of strain hardening materials // Eng. Fracture Mechanics. - 1984. - Vol. 19. -P. 633.
32. Anderson T.L. Application of elastic-plastic fracture mechanics to welded structures: a critical review // Mechanics and Materials Center Report MM6165-89-1, Texas A&M University, College Station, TX, 1989.
33. Ainsworth R.A. The treatment of thermal and residual stresses in fracture assessments // CEGB Report TPRD/0479/N84, Central Electricity Generating Board, UK, 1984.
34. Nonlinear fracture mechanics / Ed. by M.P. Wnuk. - Springer-Verlag, CISM Series in Mechanics. - 1990. - No. 314.
Приложение А.
Зависимость трещинодвижущей силы от сопротивления материала (схема оценки EPRI)
Следуя рекомендациям методики оценки EPRI, для конфигурации трещины, представленной на рис. 5, определим полный /-интеграл как сумму упругой /е1 и пластической Jp1 частей:
/ = /е1(X, Р) + /р1(X, Р). (А.1)
Безразмерная переменная X = аД представляет собой текущую глубину трещины, где г — толщина стенки сосуда. Используя известные результаты
j, =
К i°(1 -v °)
(A.2)
где
КI = . 2f“,P ,JXf (X),
1 - №М))°
R
F (X) = 1.1 + ^ 0.125-^- - 0.25 x [4.951X2 +1.092X4],
0.25
(A.3)
для заданного отношения RІ|R0 = 5/6 и известной толщины г = 100 мм, выражение для К1 может можно свести к
КI(X, P) = 2.0698545F(X)Py[nX.
(A.4)
Таким образом, для коэффициента Пуассона V = 0.3 и модуля Юнга Е = 207 000 МПа уравнение (А.2) запишется как
J el( X, P) =
207000
Кі°(X, P) =
= 9.0994 -10-6 (nX) P2 F2 (X).
(A.5)
Здесь /-интеграл выражен в МПа-м. Удобно перейти к кПа-м и переписать уравнение (А.5) следующим образом:
Jel(X, Р) = 28.5865 • 10-3 • X • Р2 • F2(X)[кПа • м].
(А.6)
Теперь, пользуясь справочником EPRI, оценим вклад в /-интеграл для совершенно пластического состояния по нетто-сечению цилиндра с дефектом:
Jpl(X> P) = аєo°o— h1
n+1
t l P0
(A.7)
Для а = 1.12, є0 = 0.002, а0 = 414 МПа и ^(a/t), аппроксимируемому полиномом при n = 10,
x
X) = 21.46977 - 56.04871Х +
+ 29.0963X2 +11.12434X3
уравнение (А.7) принимает вид Jpl (X, Р) = 92.736(1 - X) Xh1 (X)
(А.8)
[кПа - м].
(А.9)
Начальная нагрузка Р0 оценивается как
2Ьа0 _ 2(і - а)а0 _ 2ст0 1 - X
Ро( X) _
л/3(Я,- + а) л/3( +1) л/3 5 + X'
(А.10)
Например, для начальной глубины трещины а0 = 25 мм (X = 0.25), нагрузка Р0 равняется
Р0(0.25) _ 68.292289 МПа.
(А.11)
Комбинируя выражения (А.6), (А.9), (А.10), согласно уравнению (А.1) получаем полное выражение для /интеграла, которое соответствует рассматриваемой задаче:
/(X, Р) = 28.5865 • 10-3 • XP2F2(X) +
+ 92.736(1 - X) Х^( X)
У?Р 5 + X 2ст 0 1 - X^
[кПа - м ].
(А.12)
Чтобы определить нагрузку Р в момент начала распространения трещины, сведем выражение (А.12) к пороговой величине /-интеграла, /1С = 350 кПа-м, т.е.
/(0.25, Р) _ 350.
Корень данного уравнения имеет вид: Рп1 _ 70.0837 МПа.
(А.13)
(А.14)
При X0 _ 0.25 и давлении в сосуде, достигающем уровня, определенного уравнением (А.14), имеет место вязкий (устойчивый) рост трещины. Для нахождения точки итоговой неустойчивости, определяемой длиной трещины Xf и давлением разрыва Рі, построим две диаграммы:
1) зависимость /арр1 _ /(X, Р) отXпри неизменном Р; кривая сопротивления материала /к _ /к (X) используется в качестве «основы» (рис. 8).
2) зависимость угла наклона Э/(X, Р)/ЭX от /(X, Р) с учетом соответствующих характеристик материала, т.е. зависимость угла наклона _ dJR/dX от /к. Это так называемая диаграмма оценки устойчивости, впервые предложенная Парисом (рис. 9).
Рис. А1. Зависимость нагрузки инициирования роста трещины Р— (сплошная линия) и критической нагрузки Р^ (пунктир) от начальной длины трещины. Эти кривые можно рассматривать как «нижний» и «верхний» пределы предельной нагрузки при вязком разрушении
Каждая из этих методик определяет точку перехода от устойчивого к неустойчивому разрушению, при котором оба эти уравнения должны выполняться одновременно
/(X, Р) _ /к(X), Э/ (X, Р) _ /к( X )
(А.15)
ЭX dX
Эти уравнения решены графически (рис. 8 и 9):
Хг = 0.286997, Р{ = 76.09 МПа. (А.16)
Это означает, что ДX £/ X 0 составляет около 15 %, а ДР{/ Ры — около 8.6 %, как показано в таблице 4.
Данные результаты можно обобщить, определив следующие корни уравнения начала разрушения
/(X, Р) - 350 _ 0. Результаты приведены ниже:
(А.17)
Xo Р • 1П1
0.25 70.08383
0.26 68.975462
0.27 67.882927
0.28 66.805003
0.29 65.740522
0.30 64.688447
0.31 63.647826
0.32 62.617826
0.33 61.597673
0.34 60.586673
0.35 59.584156
0.36 58.589581
0.37 57.602408
0.38 56.622166
0.39 55.648386
0.40 54.680717
Интересно, что указанные выше числа образуют почти совершенно прямую линию
Рш = 95.755685- 102.68742Х0 [МПа]. (А.18)
Похожую аппроксимацию, хотя и менее точную, можно предложить для давления разрыва:
Р{ = 107.82 - 126.93Х0 [МПа]. (А.19)
Обе линии, описываемые уравнениями (А.18) и (А.19), показаны на рис. А1. Эти простые результаты могут применяться непосредственно при проектировании со-
судов высокого давления из стали А533В, содержащих трещины (см. рис. 5), но устойчивых к накоплению повреждений.
Если трещина зарождается внутри наплавленного покрытия с вязкостью разрушения значительно ниже вязкости разрушения основного материала (30 МПал/м по сравнению с 282 МПа^/м), то, вероятнее всего, мы будем иметь дело с более длинной начальной трещиной, передний фронт которой все еще находится внутри основного металла из-за явления остановки трещины в более вязком материале.
