Functional-differential inclusions with upper semicontinuous and multivalued impulses Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Quasisolution of functional-differential inclusions with multivalued impulses. The definition of quasisolution for functional-differential inclusions with multivalued impulses and statement, expressing relation between the set of quasisolutions and the set of convexified problem solutions are formulated.

Key words: functional-differential inclusion; quasisolution.

УДК 517.911, 517.968

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЙ СВЕРХУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ И МНОГОЗНАЧНЫМИ

ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-диффенциальное включение; многозначные импульсные воздействия; продолжаемое решение; связность множества решений.

Получены условия существования и продолжаемости решений функциональнодифференциальных включений с полунепрерывной сверху правой частью и многозначными импульсными воздействиями, а так же исследованы топологические свойства множеств решений таких включений.

Обозначим comp [М”] (conn [М”]) - множество всех непустых компактов ( связных компактов) пространства М”. Пусть U Е [a, b] - измеримое по Лебегу множество; L”(W) - пространство суммируемых по Лебегу функций x : U ^ М” с норм о й ||x||£n(u) = f \x(s)\ds; Q(L”[a, b]) - множество

и

всех непустых выпуклых ограниченных замкнутых подмножеств пространства L”[a, b].

Пусть tk Е [a,b] (a < t1 < ... < tm < b) - конечный набор точек. Обозначим через С [a,b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a,ti], (ti,t2], •••, (tm,b] ограниченных функций x : [a,b] ^ М”, имеющих пределы справа в точках tk, к = 1,с нормой ||x||g"[a6] = sup{\x(t)\ : t Е [a, b]}. Если т Е (a, b], то С [a,r] - это пространство функций x : [a, т] ^ М”, являющихся сужениями на отрезок [a, т] элементов из С [a, b] с нормой

Hxllcn[a,T] = suP{\x(t)\ : t Е [a,r}}-Рассмотрим задачу

x Е &(x), (1)

А(х(гк)) е 1к (х(ги)), к = 1,2,...,т, (2)

х(а) = х0, (3)

где отображение Ф : С [а,Ь] ^ 0,^а[а,Ъ\) полунепрерывно сверху и для каждого ограниченного множества и С С [а, Ъ] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией. Отображения 1к : К” ^ ^ сотр [Кп], к = 1, 2,т полунепрерывны сверху, А(х(Ьк)) = х(Ьк + 0) — х(Ьк), к = 1, 2,т.

Определение 1. Решением задачи (1)-(3) называется функция х е С [а,Ъ], для которой существует такое д е Ф(х), что при всех £ е [а, Ъ] имеет место представление

Р т

х(і) = хо + д(в)д,8 + ^Х(ік ,ь](і)А(х(ік)), (4)

' к=і

где А(х(Ьк)) е 1к (х(Ьк)), к = 1,2,...,т.

Предположим, что оператор Ф : С [а,Ъ] ^ &(^п[а,Ъ]) вольтерров по А.Н. Тихонову (см.[1]). Пусть т е (а, Ъ]. Определим непрерывное отображение Ут : Сп[а,т] ^ Сп[а, Ъ] равенством

V(х))(г) = I х(\ есл" ‘е \а'^ (5)

\ х(т), если £ е (т,Ъ].

Определение 2. Функция х е С п[а,т ] является решением задачи (1)-(3) на отрезке [а,т], т е (а, Ъ], если существует такое д е (Ф(УТ(х)))|т, что функция х : [а,т] ^ Мп представима

В ВИД6

£

х(Ь) = хо д(в)(18 + ^ Х{гкф)А(х(ги)), (6)

а к:Ьк €[а,т]

где отображение Ут : Сп[а,т] ^ Сп[а, Ъ] определено равенством (5), (Ф(УТ(х)))|т - множество сужений функций из множества Ф(Ут (х)) на отрезок [а, т] и А(х(Ьк)) е 1к (х(Ьк)), к = 1, 2,... ,т.

Определение 3. Решение х : [а, с) ^ Мп задачи (1)-(3) называется непродолжаемым, если не существует такого решения у задачи (1)-(3) на [а,т], (т е (с, Ъ], если с < Ъ и т = Ъ, если с = Ъ), что для любого £ е [а, с) выполнено равенство х(1) = у(Ь).

Решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.

Пусть т е (а, Ъ]. Обозначим через Н(хо,т) множество решений задачи (1)-(3) на отрезке [а,т]. Определим оператор Л : Ьп[а,Ъ] ^ Сп[а,Ъ], который имеет вид

Р

(Лг)(і) = х0 + / г(в)йв, і Є [а,Ь]. (7)

Рассмотрим оператор А : Сп[а,Ь] ^ {}(Сп[а,Ъ]), определенный равенством

т

(Ах)(і) = Лф(х) + ^Х(ікд(і)А(х(ік)), (8)

к=1

где 0(Сп[а, Ь]) - множество непустых выпуклых компактов пространства Сп[а,Ь],

А(х(ік)) Є Ік (х(ік)), к = 1,2,...,т.

Теорема 1. Оператор А : С'п[а,Ь] ^ {}(С'п[а,Ь]), определенный равенством (8), является замкнутым.

Определение 4. Множество всех локальных решений задачи (1)-(3) называется априорно ограниченным, если найдется такое число г > 0, что для всякого т Є (а, Ь] не существует решения у задачи (1)-(3) на [а, т], для которого выполняется неравенство ||у|1сп[ат] > г-

В силу теоремы 1 и теоремы Какутани (см. [2]) справедливы следующие утверждения.

Теорема 2. Найдется такое т Е (a,b], что решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [а,т].

Теорема 3. Если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то существует такой выпуклый компакт K С Cn[a,b], что H(x0 ,b) С K, для любого т Е (a,b) выполняется равенство H(х0,т) = H(x0,b)\T, и A(K) С K, где отображение A : Cn[a,b] ^ ^ Q(Cn[a, b]) определено равенством (8), H(x0, b)\T - множество сужений функций из множества H (хо, b) на отрезок [a,т].

Из теорем 1, 2 вытекает следующее утверждение.

Следствие. Если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то множество H(x0,b) - компакт пространства Cn[a,b].

Теорема 4. Для того чтобы решение х : [a, с) ^ Rn задачи (1)-(3) было продолжаемым на [a,т], т Е [c, b], необходимо и достаточно, чтобы lim \x(t)\ < ж.

t^c-0

Теорема 5. Если у - решение задачи (1)-(3) на, [a,т ], т Е (a,b], mo существует непродолжаемое решение x задачи (1)-(3), определенное либо на, [a, с) (с Е (т,Ь]), либо на [a,b] такое, что при всех t Е [a, т] выполнено равенство x(t) = y(t).

Теорема 6. Пуст ь Ik : Rn ^ топ п [Rn], k = 1, 2,... ,m, и множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено. Тогда, H(x0,b) - связный компакт пространства С n[a,b].

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень московского университета. Секция А, 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Philippova O.V. Conditions for existence and prolongability of solutions of functional-differential inclusion with upper semicontinuous and multivalued impulses are obtained. Topologic properties of such inclusions are investigated.

Keywords: functional-differential inclusion; multivalued impulses, extendable solution; solutions set connectivity.