О продолжаемости решении функционально-дифференциальных включений с многозначными импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Корняк Владимир Васильевич д. ф.-м. и., профессор Объединенный институт ядерных исследований Россия, Дубна e-mail: [email protected]

Vladimir Kornyak

doctor of phys.-math. sciences, professor Joint Institute for Nuclear Research Russia, Dubna e-mail: [email protected]

УДК 517.911, 517.968

О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

© Е. В. Корчагина

Ключевые слова: функционально-диффенциальное включение; многозначные импульсные воздействия; продолжаемое решение.

Аннотация: Рассмотрен вопрос о продолжаемости решений функционально-дифференциального включения с полунепрерывным снизу вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором.

Пусть и € [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ь”(и) пространство суммируемых по Лебегу функций х : и ^ М” с норм о й ||х||£п(и) = / |ж(«)|^«, сот р [М”]- множество

и

непустых компактов пространства М”; 5(Ь”[а, Ь]) - множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) [1] подмножеств пространства Ь” [а, Ь].

Пусть ^ € [а, Ь] (а < £1 < ... <1т < Ь) - конечный набор точек. Обозначим через С [а, Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, £1], (£1^2], ■ ■ ■, (Ът, Ь] ограниченных функций х : [а, Ь] ^ М”, имеющих пределы справа в точках ^, к = 1, 2,т, с нормой ||х||ёп[а6] =

= 8ир{|х(£)| : £ € [а, Ь]}. Если т € (а, Ь], то С” [а, т] - это пространство функций х : [а, т] ^ М”, являющихся сужениями на отрезок [а, т] элементов из С”[а, Ь] с нормой||х||^„^ т] = 8ир{|х(£)| : £ € € [а,т]}.

Рассмотрим задачу

х € Ф(х), (1)

А(х(гк)) € 1и(х(ги)), к = 1,...,т, (2)

х(а) = х0, (3)

где отображение Ф : С [а, Ь] ^ 5(Ь”[а, Ь]) полунепрерывно снизу и удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией.

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131) и включена в Темплан № 1.6.07.

Отображения 1к : Мп ^ сотр [Мп], к = 1, 2, ...т непрерывны по Хаусдорфу, А(х(Ьк)) = х(Ьк + + 0) — х(Ьк), к = 1, 2, ...т.

Определение 1. Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию х € С [а,Ь], для которой существует такое q € Ф(х), что при всех Ь € [а, Ь] имеет место представление

£

Р т

х(Ь) = хо + q(s)ds + ^2х(£к ,Ь](Ь)А(х(Ьк )), (4)

а к=1

ГД6 А(х(гк)) € 1к(х(гк)), к = 1,...,т.

Предположим, что оператор Ф : С [а, Ь] ^ £(1п[а, Ь]) вольтерров по А.Н. Тихонову [2].

Пусть т € (а, Ь]. Определим непрерывное отображение Ут : Сп[а,т] ^ Сп[а, Ь] равенством

(К(х))(0 = (х'(); если Ь€ 1а'т} (5)

^ ^ [ х(т), если Ь € (т, Ь].

Определение 2. Будем говорить, что функция х € Сп [а, т] является решением задачи (1)-

(3) на, отрезке [а, т], т € (а, Ь], если существует такое q € (Ф(У-(х)))|т, что функция х : [а, т] ^ Мп

ПрвДСТ^ВИМЭ. в виде

£

х(Ь) = хо + ^ q(s)ds + ^ Х(1-,к,ъ](£)А(х(гк)), (6)

а к:Ьк €[а,т]

где отображение Ут : Сп[а, т] ^ Сп[а, Ь] определено равенством (5), (Ф(У-(х)))|т - множество сужений функций из множества Ф(Ут (х)) на отрезок [а, т] и А(х(Ьк)) € 1к (х(Ьк)), к = 1,... ,т.

Определение 3. Решение х : [а, с) ^ Мп задачи (1)-(3) называется непродолжаемым,

если не существует такого решения у задачи (1)-(3) на [а, т], (т € (с, Ь], если с < Ь и т = Ь, если

с = Ь), что для любого Ь € [а, с) выполнено равенство х(Ь) = у(Ь).

Решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.

Теорема!.. Найдется такое т € (а, Ь], что решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [а, т].

Пусть т € (а, Ь]. Обозначим через Н(хо,т) множество решений задачи (1)-(3) на отрезке [а,т]. Определим оператор Л : Ьп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь], который имеет вид

£

(Лг)(Ь) = х0 + У г(,в)(1,в, Ь € [а,Ь]. (7)

а

Рассмотрим оператор А : Сп[а, Ь] ^ 2е \а>ь\ определенный равенством

т

(Ах)(Ь) = Лф(х) + ^ Х(ьк M(t)Ax(tk), (8)

к=1

где 2е"][а’Ъ] - множество непустых ограниченных подмножеств Сп[а,Ь], А(х(Ьк)) € 1к(х(Ьк)), к = 1,... ,т.

Теорема 2. Если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то существует такой выпуклый компакт К С Сп[а,Ь], что Н(х0,Ь) С К, для любого т € (а, Ь) выполняется равенство Н(х0,т) = Н(х0,Ь)1т, и А(К) С К, где отображение

А : Сп[а, Ь] ^ 2еп][а’ЬЪ] определено равенством (8), Н(х0,Ь)1т - множество сужений функций из

множества Н(х0, Ь) на отрезок [а, т].

Теорема 3. Для того, чтобы решение х : [а, с) ^ М™ задач и (1) — (3) было продолжаемым на [а,т], (т Є [с, Ь]), необходимо и достаточно, чтобы ііш |х(і)| < ж.

Ь^с-0

Теорема 4. Если у - решение задачи (1) — (3) на, [а, т], т Є (а,Ь], то существует непродолжаемое решение х задач и (1) — (3), определенное либо на [а, с) (с Є (т, Ь]), либо на [а,Ь] такое, что при всех і Є [а, т] выполнено ра венет во х(і) = у(і).

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. № 3. С. 3-16.

2. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень московского университета. Секция А, 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

Abstract: The problem of extendability of solutions for a functional-differential inclusion with lower semi-continuous Volterra operator (in the sense of Tikhonov) is considered.

Keywords: functional-differential inclusion; multivalued impulses, extendable solution.

Корчагина Елена Валерьевна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Elena Korchagina

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

УДК 519.688

О ВЫЧИСЛЕНИИ МНОГОМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ПРОСТОМ ПОЛЕ 1

© А. О. Лапаев

Ключевые слова: компьютерная алгебра; дпекрентное преобразование Фурье; быстрое преобразование Фурье; теория алгоритмов.

Аннотация: Рассматривается способ вычисления дискрентного преобразования Фурье для полиномов многих переменных в кольце Zp[xl,x‘2,..., хп]. Получены теоретические оценки сложности изложенного подхода.

Пусть / € ^р[х1,х2,... ,х^], р - простое число. Пусть наибольшая степень переменной хг в полиноме / равна пг — 1, щ = 2^. Обознач им п = П1П2 ... па- Тогда поли ном / можно записать

В ВИД61

пх-1 п2 1 пл-1

/ = / • • хЧ х*2 хгЛ

/ /г1г2...гп х1 х2 ...ха

il=о г2 =0 г^=0

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).