CC BY
322
УДК 14
ФРАКТАЛЫ В СОВРЕМЕННОЙ СИНЕРГЕТИКЕ © 2011 г. М.В. Максимова
Южный федеральный университет, Southern Federal University,
пр. Нагибина, 13, г. Ростов-на-Дону, 344038, Nagibin Ave, 13, Rostov-on-Don, 344038,
philosculture@sfedu.ru philosculture @sfedu.ru
Рассматривается актуальность использования понятия «фрактал» в общенаучном исследовательском пространстве. На современном этапе развития научного знания фрактальность прочно интегрирована в понятийный аппарат междисциплинарного направления синергетики, отражающего динамику развития современного научного поля. Изучение возможностей применения фрактала в качестве одной из концептуальных синергетических структур открывает перспективы расширения гносеологического тезауруса постнеклассической научной парадигмы, направленного на предметный анализ структурных основ бытия с точки зрения его нелинейности и нестабильности.
Ключевые слова: фрактал, синергетика, эволюция.
We consider the relevance of the concept of «fractal» in the general scientific research space. At the present stage of development of scientific knowledge fractal firmly integrated into the conceptual apparatus of the interdisciplinary areas of synergetics, reflecting the dynamics of the modern scientific fields. Explore the possibility of a fractal as a conceptual synergies structures opens the prospects of expanding the epistemological thesaurus postnonclassical scientific paradigm, aiming at a substantive analysis of the structural foundations of being in terms of its non-linearity and instability.
Keywords: fractal, synergetics, evolution.
Сегодня термин «фрактал» прочно вошел в лексикон синергетического тезауруса. Фрактальность как концептуальное свойство, наблюдаемое в исследуемых синергетикой структурах, получило особое развитие на современном этапе синергетического знания, преимущественно ориентированного в плоскость гуманитарного бытия.
Экстраполяция понятия «фрактал» из математики в социогуманитарную сферу оказалась необычайно продуктивной, показав перспективы его использования в изучении закономерностей бытия, что выражается в работах таких ученых, как Е.Н. Князева [1], В.В. Тарасенко [2], С.Д. Хайтун [3], и др. Фрактальный характер некоторых ключевых объектов в прикладной синергетике является неоспоримым, что доказано в исследования Б. Мандельброта [4], Г. Айлен-бергера [5], В.Т. Гринченко [6] и т.д. Тем не менее понятие фрактальности не получило единого однозначного мнения по поводу возможности его универсального использования в отношении социогумани-тарных процессов. Поэтому представляется актуальной задача как систематизации данных о научном потенциале этого понятия, так и подтверждения возможности его использования как концептуальной составляющей современной синергетики.
Проблема фрактала как теоретического научного конструкта в рамках современной синергетической парадигмы широко рассматривается в исследованиях В.Э. Войцеховича [7, 8]. В его работах фрактал выделяется в качестве главной стадии эволюции открытых самоорганизующихся систем, изучаемых синергетикой. Чтобы дать фундаментальное обоснование этому тезису, он предлагает выделить системообразующие гносеологические и онтологические принципы, осно-
ванные на методологии синергетики. Это предполагает, во-первых, принятие постулата о свободном обмене системы информацией с окружающей средой, соответственно о состоянии постоянного «становления», динамики. Во-вторых, в рамках синергетиче-ской парадигмы бытие представляет собой эволюционирующую систему, состоящую из подсистем, каждая из которых эволюционирует к притягивающему множеству, называемому аттрактором. Сам фрактал занимает в этой классификации центральную позицию, так как рассматривается как «переходное квазиустойчивое состояние становящейся системы, характеризующееся хаотичностью, нестабильностью, которое постепенно эволюционирует к устойчивому упорядоченному целому» [8, с. 145]. То есть, исходя из принятия постулата о мире как о динамическом процессе, находящемся в состоянии постоянного изменения, Войцехович предлагает понимать фрактал как определяющий концепт для множества структур и объектов, составляющих подобное эволюционное развитие.
Так ли это? Чтобы подтвердить тезис о необходимости понятия фрактальности в современной научной картине мира, представляется актуальным начать с уточнения содержания как самого термина, так и диапазона его применения.
Термин «фрактал» в буквальном переводе с латинского означает «изломанный». Данное название для математических уравнений с дробным показателем было предложено Б. Мандельбротом [4], развившим впоследствии на основе сделанного им открытия масштабную теорию фрактальных множеств.
Самоподобие - главная отличительная черта фрактала, означающая, что любая часть его содержит информацию обо всей структуре или же является
уменьшенной копией целого. Знаковым является тот факт, что, так же как и синергетика, существовавшая изначально в виде методик описания нелинейных диссипативных процессов неорганической природы, теория фракталов возникла вследствие невозможности описания природных объектов с помощью классического математического аппарата, основанного на линейной геометрии Евклида. Как отмечает сам Ман-дельброт, существующая классическая геометрия отдаляется от природы, уходя в сферу абстракций, и все больше теряет связь с реальным определением действительности в своих категориях, не соответствующих ничему из того, что окружает нас.
Действительно традиционная геометрия основана на приблизительном «идеализированном» понимании объектов, тогда как в природе нет ни одной абсолютно прямой линии. Большинство же природных систем обладают не только высоким уровнем сложности, но и нелинейностью и нерегулярностью процессов своего развития, поэтому использование классической евклидовой геометрии в таком случае практически безрезультатно. Все, что окружает человека, не является таким «ровным», как долгое время считалось: практически любые природные поверхности обладают сетью «изломанностей», т. е. они фрактальны. «Изломанность» фрактала понимается буквально как в визуальном смысле (если речь идет об эмпирических объектах), так и в математическом как невозможность построить производную к фрактальной функции, в силу ее «негладкости».
Мандельброт предложил использовать принципиально новую по сравнению со средствами описания евклидовой геометрии количественную меру описания «неидеальных» объектов. Данная размерность в честь ее создателей носит название размерности Хаусдорфа - Безиковича. С математической точки зрения она обладает более высокой способностью к описанию объектов, отличных от идеализированного представления геометрии Евклида. Например, как указано в исследовании «Фракталь-ность» [9], в контексте классической математики отрезок прямой, синусоиды и какого-либо объекта причудливой формы неразличимы с точки зрения топологической размерности - она во всех случаях равна единице, тогда как размерность Хаусдорфа -Безиковича позволяет фиксировать степень «изломанности», т. е. фрактальности объекта. Также отличительной особенностью фрактальной размерности является возможность принимать дробные значения, что позволяет моментально реагировать на любые изменения, происходящие с линией, когда топологическая размерность игнорирует все изменения, кроме самых кардинальных, например разрыва линии. Поэтому фрактальная структура может определяться как множество, хаусдорфова размерность которого превосходит его топологическую размерность (т. е. является дробной). Таким образом, фракталами назывались объекты, обладающие свойством самоподобия и описываемые уравнением с дробным показателем.
В современной литературе существует несколько типов классификации фракталов, самым распространенным из которых является деление их на линейные и нелинейные. Эта классификация легко находит свое визуальное подтверждение: линейные фракталы определяются уравнениями первого порядка, и свойство самоподобия проявляется здесь в прямом виде - часть есть уменьшенная копия целого. Нелинейные фракталы задаются степенью выше первой, и «часть в них есть не точная, а похожая деформированная копия целого» [10, с. 215]. Линейными называются те фракталы, которые определяются уравнениями первого порядка, т. е. простыми линейными функциями (например, знаменитый фрактал снежинки, описываемый триадной кривой Коха). Несомненно, наибольший исследовательский интерес с точки зрения современной синергетики представляют нелинейные фракталы как многообразные полиструктурные множества, способные описывать объекты высокой степени сложности, в частности социальные процессы.
Свойство самоподобия представляет необычайно продуктивный научный феномен, состоящий в том, что фрактальные структуры практически не имеют характерного масштаба: мельчайший сегмент идентичен целой структуре. Поэтому даже такой простейший линейный фрактал, как звезда Коха, обладает периметром бесконечной длины, хотя и ограничивает конечную площадь [9]. Подобная особенность демонстрирует один из основных принципов синергетиче-ской картины мира - холистический характер действительности, интерпретируемый в данном контексте как принцип «единства в многообразии» [10, с. 221]. Математически доказано, что именно фрактальные уравнения описывают динамические процессы в нелинейных системах, характеризующиеся как хаотические в смысле высокого уровня неустойчивости уравнения, в которых условия начальных координат настолько сильно влияют на динамическое поведение системы, что дальнейшее ее поведение фактически непредсказуемо.
Затрагивая проблему применения фрактальности в сегментах собственно гуманитарного знания, невозможно обойти уникальные результаты практической корреляции методов фрактальной геометрии с синер-гетической методологией социальных процессов, включающих в себя субъектный фактор. Здесь следует отметить важность эстетической составляющей, важность меры гармонии как определяющего фактора развития социальных процессов. Подобный тезис является основанием такого направления, как «эстетика фракталов», фундаментальным звеном которого выступает опять же принцип самоподобия.
То, что фрактальные объекты обладают определенной эстетической привлекательностью, стало общеизвестным. Интересен тот факт, что математические уравнения с дробным показателем, т.е. фрактальные уравнения, не имеющие производной ни в одной точке, были классифицированы как нерегулярные и оставались на периферии математики именно по эстетическим соображениям (например, функция
Вейерштрасса [10], открытая в XIX в., но изученная более чем сто лет спустя). По сути математика изломанных самоподобных функций нашла свое применение в сфере гуманитарного знания в связи с развитием синергетики как науки, основоположением которой выступает принцип структурирования порядка из хаоса. Если в природных объектах можно фиксировать несомненную эстетическую привлекательность фрактальных объектов, точно определенных Айленберге-ром как «динамических процессов, застывших во фрактальных формах» [5, с. 156], то в случае с артефактами науки определить предполагаемую фрак-тальность рассматриваемых процессов гораздо сложнее. Тем не менее свойство самоподобия как закон единства в многообразии, наглядно демонстрируемое фрактальными объектами в неорганической природе, проявляет себя не менее выражено и в социальных процессах.
Мера эстетической составляющей эволюции определена в работах многих специалистов в области со-циогуманитарного знания; и в качестве критериев, указывающих на несомненную эстетическую значимость фрактальности в социальных системах, предлагается использовать несколько главных признаков фракталов, предложенных в исследованиях А.В. Во-лошинова [10, 11]. Это понимание фрактала как гармонии хаоса и космоса, как нелинейно-самоподобной структуры, как красоты в простоте. В отношении красоты в простоте имеется в виду исключительно математическая простота построения фрактального алгоритма, порождающего сложнейшие эстетически привлекательные артефакты: «Простота несет в себе мощный эстетический заряд, и этот заряд в превосходной степени сконцентрирован во фрактальных структурах» [10, с. 224].
Можно сказать, что сам фрактал, представляя изначально математически достаточно простую структуру, содержит в себе потенциальный спектр возможных структур с возрастающей степенью сложности. Принцип единства в многообразии, объединяющий все вышеперечисленные производные, преломляется в отношении социальных синергетических процессов в виде существования множества альтернатив дальнейшего системного развития. То есть система в своих начальных координатах содержит в потенции все возможное множество дальнейшего развертывания своей эволюции («в определенных классах открытых нелинейных сред потенциально существует спектр структур (форм организации), которые могут возникнуть в них на развитых асимптотических стадиях процессов» [1, с. 130]). Даже в самой простой нелинейной среде существует множество возможных путей эволюции, в социальных же системах это спектр во много раз шире. Дальнейшая эволюция системы осуществляется с помощью механизма самоорганизации как самоупорядочивания компонентов синерге-тической системы. Получается, что фракталы являются наглядным подтверждением потенциального содержания в исходной среде разнообразия возможностей структурного развития, так как обладают спо-
собностью к «развертыванию», «выявлению» из начальных условий множества дальнейших состояний.
Понимание фрактальности как математического подтверждения процессов иерархизации, оформления сложной нелинейной структуры из первоначальной простоты вполне правомерно используется в синерге-тической методологии в отношении систем любой природы и может быть охарактеризовано как ее эстетический компонент с точки зрения наглядной демонстрации гармонии порядка из хаоса. Синергетика таким образом представляет собой естественный базис для концепции фракталов, так как ориентация синер-гетического знания как знания системного направлена на динамическое осмысления бытия как постоянно становящегося, развивающегося. Фрактал, исходя из этого, действительно может быть осмыслен, как указывает Войцехович, в качестве главной стадии эволюционирующей системы, поскольку сам процесс эволюции системы (физической, биологической, социальной) и есть дробное, самоподобное переходное состояние-процесс [7].
Можно с уверенностью сказать, что природные объекты являются фракталами. Спор об универсальности фрактального характера социальных процессов остается не оконченным. Специалистов, в чью сферу научных интересов входит данная проблема, можно условно разделить на два радикальных лагеря. К первому относятся те, кто сомневается в абсолютной фрактальности окружающей действительности. Ко второму - те, кто считает фрактальность универсальным свойством, присутствующим в той или иной степени во всех синергетических нелинейных системах. В защиту такой позиции выдвигается ряд аргументов. Фрактал является символом неустойчивости, наглядно воплощающем в себе свойства потенциального разнообразия альтернативных возможностей развития системы. Это - структура, представляющая собой «баланс» порядка и хаоса. С позиции синергетики научная картина мира есть эволюционный «становящийся» процесс, чутко реагирующий на малейшие изменения в среде и корректирующий дальнейшее системное поведение в соответствии с этими изменениями. Поэтому вполне логично представить структуру эволюционного процесса как состоящую из множества таких изменчивых, самоподобных компонентов.
Войцехович предлагает рассматривать синергетику как теорию эволюционирующих систем (что согласуется с общепризнанной научной позицией), механизм которой делится на три части. Первая и последняя - некие неизменные предельные состояния, промежуточная стадия - фрактал, понимаемый как переходный процесс. Также фрактальны и другие составляющие подобной системы: «При более подробном рассмотрении средней стадии эволюции конкретной системы всегда выясняется, что эволюция проходит несколько подстадий развития, прежде чем из него развернется система (аналогично и при завершении эволюции). Причем каждая подстадия сама в свою очередь - фрактал. Причем из каждой подсистемы (если она была бы оторвана от всей растущей сово-
купности) в свою очередь мог бы вырасти целостный организм. Все это - фрактал» [7].
Получается, что фрактал присутствует везде, где есть движение, т. е. во всех рассматриваемых синергетикой динамических процессах любой природы. Такая позиция правомерна с точки зрения того, что эволюционная система - главный объект синергети-ческой методологии. Фрактальность ее структуры как в буквальном (в виде нелинейности, развертывании сложного из простого и т. д.), так и в метафорическом смысле («все во всем») очевидна: необходимость в использовании понятия «фрактал» как синергетиче-ского конструкта обусловлена потребностью в адекватном описании эволюционной структуры.
На наш взгляд, в контексте данного вопроса представляет несомненный интерес такое недавно появившееся в современных исследованиях понятие, как «метафизика фрактала». В работе В.В. Тарасенко доказан тот факт, что концепция фрактальности настолько интенсивно интегрировалась в сферу междисциплинарной методологии, что вполне может претендовать на общенаучный контекст [2]. Фракталы получили настолько широкое распространение как в отношении описания неорганической природы, так и в процессах эволюции социальных систем, что позволяет говорить об интерсубъективном контексте фрак-тальности, соответственно о появлении в современной научной парадигме устойчивых признаков «узнавания» фрактального характера окружающей действительности. То есть появилась фрактальная методология (являющаяся, безусловно, частью синергетиче-ской парадигмы), которая связывает воедино математические методы с фактами эмпирического и социального бытия. Как отмечает Тарасенко, «можно предложить схему контекстуального введения категории фрактала и задания на этой базе влиятельной метафизики - как самоорганизации коммуникаций, интерсубъективной среды для диалога между учеными, способствующему усилению познавательной ценности категории фрактала» [2]. По сути такое положение обусловлено «самоорганизацией» концепта фрак-тальности как произошедшей в плоскости современного социогуманитарного знания корреляции математических схем и гносеологических паттернов.
Можно выделить ряд особенностей, благодаря которым свойство фрактальности какого-либо объекта, фиксируемое с помощью математических уравнений, является не просто дискретным приложением синергетики, а частью самостоятельной фрактальной концепции (естественно, в рамках синергетической методологии). Во-первых, с точки зрения синергетическо-го понятийного аппарата фрактал радикально выделяется своей «ковариантностью», т. е. нарушением инвариантности при масштабных преобразованиях. Во-вторых, в отношении фракталов традиционные категории простоты и сложности, линейности и дискретности, инвариантности и динамики приобретают несколько расплывчатый оттенок, так как в отношении фрактальной структуры некоторые из них просто не применимы («например, когда мы говорим о самопо-
добии, о том, что часть в каком-то смысле подобна целому, то познавательный статус понятия "часть" в этом контексте отличается от понятия части в контексте евклидовой геометрии» [2]).
Также фрактальные объекты невозможно сравнить между собой в силу их постоянной изменчивости, «саморазвертывания», нестабильности (математически это также невозможно вследствие отсутствия производной у фрактальных объектов, т. е. их априорной изломанности). Получается, что фрактальная геометрия является принципиально отличной от традиционной научной методологии и приобретает логичный характер исключительно в контексте синерге-тической парадигмы нелинейности. Фрактал может быть понят как бесконечно изменяющийся объект, способный по-разному раскрываться в соответствии со своими потенциальными возможностями в зависимости от действия обратной связи. В таком значении фрактальностью обладают практически все объекты эволюции социальных процессов. Фрактал в математическом отношении - всегда незавершенность, про-цессуальность, чутко реагирующая на малейшие изменения начальных условий, т. е. обладающая повышенной степенью обратной связи. Поэтому, пишет Тарасенко, фрактальные структуры так хорошо описывают процессы самоорганизации. Фрактал, как доказывается в его исследованиях, - это делокализован-ное, т. е. не имеющее границ состояние: фрактал в силу его самоподобия есть одна сплошная целостность, система сама по себе. Ученый отмечает, что методология фрактала должна быть выстроена с точки зрения единого, так как у фрактала нет конца, начала или середины. С точки зрения автора, подобное замечание правомерно и полностью вписывается в контекст синергетической парадигмы - по сути фрактал выступает демонстрацией холизма как такового, это целостная структура, содержащая в себе потенциальное множество возможных состояний, которые способны по-разному проявляться в зависимости от действия обратной связи. Фрактальные структуры как составляющие синергетической методологии уникальны прежде всего не только своей органичной вписанностью в контекст «парадигмы нелинейности», что обусловлено атрибутами процессуальности, изменчивости фракталов: возможность практического применения фрактальной размерности к объектам любой природы служит практическим доказательством конструктивности геометрии Б. Мандельброта.
В контексте синергетической парадигмы фрактальная методология связывает воедино математические методы с фактами эмпирического и социального бытия в его развитии. Фрактальные структуры способны органично описывать процессы самоорганизации, представляя собой универсальный инструмент для описания систем с высокой степенью сложности.
Литература
1. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики. СПб., 2002. 414 с.
2. Тарасенко В.В. Фракталы и аттракторы социальной эволюции. URL: http://www.philosophy.ru/library/fm/taras. html (дата обращения: 12.03.2010).
3. Хайтун С.Д. От эргодической гипотезы к фрактальной картине мира. М., 2007. 256 с.
4. Mandelbrot B. B. The fractal geometry of nature. N. Y., 1983. 462 c.
5. Айленбергер Г. Свобода, наука и эстетика // Рихтер Х.-О. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., 1993. С. 176.
6. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский АА. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. М., 2007. 264 с.
7. Войцехович В.Э. Фрактальная картина мира как основание теории сложности. URL: http://www.inauka.ru/blogs/ article62789.html (дата обращения: 14.04.2010).
Поступила в редакцию
8. Войцехович В.Э. Синергетическая концепция фракталов (социальные и философские основания) // Синергетическая парадигма. Человек и общество в условиях нестабильности. М., 2003. С. 141 - 156.
9. Фрактальность [Электронный ресурс] // Знание - сила. 1995. № 3.URL: http://spkurdyumov.narod.ru/Fractalnost. html (дата обращения: 24.04.2010).
10. Волошинов А.В. Об эстетике фракталов и фрак-тальности искусства // Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. М., 2002. С. 213 - 246.
11. Волошинов А.В. Еще раз о математической традиции красоты // Вопросы философии. 2008. № 8. С. 102 - 112.
28 мая 2010 г.
