5ФРАКТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ВЯЗКОСТИ ДЛЯ СКОРОСТЕЙ СДВИГА, БЛИЗКИХ К НУЛЮ
В И. Лесин, С В. Лесин*, ИПНГ РАН, РГУНГ им. И.М. Губкина*, e-mail: lesinvictor@yandex.ru
Введение
В работах [1, 2] предложена фрактальная теория вязкости неньютоновских жидких коллоидных растворов. Вытекающая из теории зависимость вязкости от концентрации и физико-химических характеристик агрегатов коллоидных частиц фрактального строения была подтверждена экспериментально на ряде типичных коллоидных растворов, в том числе на нефти, нефтепродуктах и буровых растворах. Однако изложение теории было ограничено большими скоростями сдвига - G = dV/dx, при которых гидродинамические силы вносят основной вклад в процессы отрыва и присоединения коллоидных частиц к фрактальным агрегатам. В данной работе продолжено развитие фрактальной теории для скоростей сдвига, близких к нулю, когда вклад гидродинамических сил сравним со вкладом теплового движения частиц. Исследование этой области особенно важно для условий, когда средние скорости фильтрации флюидов в пласте составляют величины порядка 10-5 см-с-1, а скорости сдвига близки к нулевым значениям.
Теория и эксперимент В [1, 2] получена формула, связывающая вязкость п (Па-с) при данной скорости сдвига G с концентрацией n (см-3) и размерностью поверхности фрактальных агрегатов D:
П = п» (1+ Kna3(R/a)D+1) . (1)
Здесь a (см) - средний радиус коллоидной частицы, R (см) - средний инерциальный радиус фрактального агрегата при данной скорости сдвига G (с-1), п» - вязкость при бесконечной скорости сдвига (что соответствует полностью разрушенным фрактальным агрегатам), D - размерность поверхности фрактального агрегата (2 < D < 3, D = 2 для сферы), K - безразмерный коэффициент, учитывающий форму агрегата. Формула (1) приведена с учетом авторских дополнений, не меняющих ее общий вид, но учитывающих сохранение размерности.
Радиус фрактального агрегата связан со скоростью сдвига G соотношением [3, 4]:
R = £a(Go/Gy , (2)
где k - безразмерный параметр.
Путем подстановки (2) в (1) получаем зависимость
П = п» (1+ kpKna\G0/G)p(D+1) ) , (3)
где G0 - параметр, характеризующий силу парного притяжения коллоидных частиц в агрегате, p - параметр, характеризующий разрушение агрегата в данном диапазоне значений G. Анализ работ, посвященных определению p путем численных экспериментов, показал, что эта величина сложным образом связана со многими параметрами коллоидной системы, в том числе с потенциалом взаимодействия частиц, температурой и механизмами формирования - распада фрактальных агрегатов.
Для жестких сферических частиц формула (1) совпадает с формулой Эйнштейна, когда R = a и, следовательно, коэффициент формы K = 15/4п.
Полагая, что концентрация n - величина постоянная, и принимая k pKna3Gop(D+1) = B, а а = p(D+1), получаем полуэмпирическую формулу, предложенную в
[5]:
П = п» (1+ BG'a) . (4)
В формуле (4) показатель степени а зависит как от фрактальной размерности площади агрегата коллоидных частиц, так и от параметров взаимодействия коллоидных частиц, отражающихся в величине p.
Формула (4) совпадает с формулой Оствальда п ~ G'a для области значений G, когда BG'a >> 1 и а = p(D+1) = const.
Широко известные и экспериментально подтвержденные зависимости являются частными случаями формулы (1) и вытекающей из нее формулы (4), где показатель а имеет ясный физический смысл и может быть определен в не зависящих от измерений вязкости экспериментах.
Зависимость (4) спрямляется в координатах Ln^/п» - 1), LnG путем подбора величины п».
В работе [6] подтверждено, что фрактальная модель и формула (4) применимы и для случая течения жидкости, содержащей фрактальные агрегаты в плоских щелях высотой 1,5 и 4 мкм. Этот экспериментально установленный факт позволяет применять формулу (4) и для моделирования движения нефти и воды в реальных условиях пласта.
Рис. 1 иллюстрирует подход к расчету зависимости вязкости от скорости сдвига. Поверхность фрактального агрегата движется в соответствии с градиентом распределения скоростей во вмещающей жидкости, и значения скоростей линий тока Vx сохраняют свои
значения вплоть до границ фрактального агрегата. Это приводит к тому, что агрегат вращается вокруг своего центра инерции с частотой О, а каждая точка поверхности радиуса Я вращается относительно центра инерции со скоростью ОЯ. При этом горизонтальная составляющая скорости точки на поверхности совпадает со скоростью вмещающей жидкости Ух.
Действительно, обозначая величиной 0 угол, который составляет вектор, направленный из центра инерции к поверхности агрегата, с линией тока, проходящей через центр масс, получаем горизонтальную составляющую скорости поверхности в этой точке, равную (см. рис. 1):
У{0) = Ус + ОЯ$,т0 , (5)
где УС1 - скорость центра инерции агрегата.
Горизонтальная скорость жидкости на этом расстоянии Ябш0 от линии тока жидкости, проходящей через центр инерции, также равна Ух = Уа + ОЯбш0. Следовательно, все точки поверхности агрегата движутся со скоростями, равными скоростям течения вмещающей жидкости, и вращение агрегата позволяет сохранять градиент скорости.
Очевидно, что величина вязкости в рамках предложенной модели стремится к постоянной конечной величине п(0) при О ^ 0. Это связано с тем, что гидродинамическое напряжение £ ~ ОЯ уменьшается с уменьшением О, поэтому начиная с некоторого значения О < Ош;п силы гидродинамического отрыва становятся меньше сил взаимного притяжения коллоидных частиц Г = Ла/12к2 (см., например, [7]). Здесь Л - константа Гамакера, равная по порядку величины кТ при комнатной температуре, к - расстояние между поверхностями частиц. Из вышесказанного следует, что при О < Ош;п вязкость п не будет зависеть от О, поскольку в этих условиях агрегаты можно рассматривать как твердые и недеформируемые частицы.
Оценим величину Ош;п исходя из термодинамического подхода. Согласно этому подходу, Ошш соответствует такому градиенту скорости, который создает вращение агрегата с энергией, меньшей, чем тепловая энергия, приходящаяся на эту степень свободы, - кТ/2. Кинетическая энергия вращения агрегата с частотой Отт равна МЯ/(2лОШ1п)/, где М - масса фрактального агрегата. Следовательно,
МЯ2(2лОшь)2/2 < кТ/2 , (6)
откуда
Отп < (кГ/4л2МЯ2)0,5 . (7)
Принимая Я = 10-3 см, М = 10-8 г, получаем оценку Отт < 2-10-1 с-1.
На рис. 2 показан пример зависимости вязкости коллоидного раствора полимера от скорости сдвига вплоть до очень малых значений. Зависимость Ьп(п/п» - 1) от ЬпО снята при комнатной температуре для 6%-ного раствора ксантогената целлюлозы в воде. Молекулярный вес ксантогената 5000. Величина вязкости при О ^ 0 стремится к конечному значению п (О ~ 0) ~ 1,7 Па-с. Наклон а оценивается в области, где 0,1 с-1 < О < 0,8 с-1, как а ~ 0,025. С учетом общей тенденции снижения а при уменьшении О можно полагать, что а = 0 в этой области значений О. По мере роста О величина растет и составляет а = 0,025; 0,27; 0,36; 0,6. При п (О ~ 0) = 1,7 Па-с, п» = 0,015 Па-с, В = 100.
Следует отметить, что измерение вязкости представляет собой процедуру определения силы т, которая передается от вращающегося цилиндра на неподвижный цилиндр при данной скорости сдвига О. При О ^ 0 сила т ^ 0, и для определения п = О/т необходимо точно определять т, когда время измерения может составлять несколько часов. Очевидно, что точность измерения п в таких условиях не может быть высокой из-за малости величины т.
Отметим, что величина а может быть отрицательной - а < 0 для малых величин О, что, в соответствии с формулой (4), соответствует росту вязкости с ростом О. Это связано с наличием потенциального барьера взаимодействия коллоидных электрически заряженных частиц и электрически заряженных фрактальных агрегатов, что препятствует присоединению коллоидных частиц к фрактальным агрегатам. В этом случае при росте О происходит преодоление потенциального барьера высотой и и, следовательно, дополнительное присоединение коллоидных частиц к фрактальным агрегатам за счет роста скорости соударения на величину ОЯсобВ (см. рис. 1). Полагая и = 4,5-10-14 эрг (что составляет величину порядка кТ при комнатной температуре), оценим кинетическую
энергию столкновения как да0(ЯО)2/2 = 4,5-10-14 эрг.
12 2
Принимая массу частицы т0 = 10" г, радиус Я = 10" см, 0 = 0, получаем оценку
Омах ~ 3 с .
Очевидно, что Омах представляет собой оценку скорости вращения, после превышения которой гидродинамические силы начнут отрывать коллоидные частицы от агрегата и, следовательно, величина а станет положительной.
На рис. 3 показана зависимость Ьп(п/п» - 1) от ЬпО, снятая при комнатной температуре для образца нефти, п(О ^ 0) ~ 25 мПа-с, п« = 0,5 мПа-с. Зависимость представлена в виде ломаной с наклонами участков а = -1,35 (0,7 < О < 1 с-1); 0,43 (1 < О < 8 с-1); 1,06 (8 < О < 25 с-1); 2,05 (25 < О < 60 с-1); 6,25 (75 < О < 60 с-1).
Во всех случаях величина р(П+1) = а ^ 0 при О ^ 0, из чего следует, что р ^ 0 при О ^ 0. Такая зависимость оправданна, поскольку это означает, что со снижением гидродинамического напряжения снижаются скорости отрыва фрагментов и деформации фрактальных агрегатов.
Обработка раствора акустическими колебаниями также может приводить к отрыву фрагментов от фрактальных агрегатов, поскольку колебания сопровождаются возвратно-поступательным, ускоренным движением жидкости и возникновением переменной скорости сдвига с амплитудой Оас, что может приводить к разрушению фрактальных агрегатов и снижению вязкости нефти.
Отметим, что если жидкость, например нефть, подвергается действию колебаний давления, которые сопровождаются незначительными колебаниями Оас, то, как следует из вышеприведенного анализа, такое воздействие может сопровождаться как ростом вязкости нефти, так и отсутствием изменений вязкости. Величина Оас должна быть достаточно большой для достижения эффекта снижения вязкости.
Отметим, что величина БО'а в формуле (4) меняется непрерывно, в то время как величина а меняется скачкообразно и остается постоянной в пределах некоторой области значений О.
Выводы
Фрактальная модель вязкости предсказывает конечные значения вязкости в области скоростей сдвига, близких к нулю, что соответствует известным экспериментальным данным. Показано, что в этой области рост скорости сдвига может сопровождаться ростом вязкости. Теоретические положения фрактальной модели подтверждены экспериментальными данными, полученными для нефти и буровых растворов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лесин В.И. Фрактальная формула зависимости вязкости неньютоновской жидкости от градиента скорости. // Георесурсы, геоэнергетика, геополитика. 2011. Вып. 1(3). Режим доступа: http:/www.oilgasjournal.ru
2. Lesin V.I., Koksharov Yu.A., Khomutov G.B. Viscosity of liquid suspensions with fractal aggregates: magnetic nanoparticles in petroleum colloidal structures. // Colloids and surfaces A: Physicochem. Eng. Aspects. 2011. Vol. 392. P. 88-94.
3. SonntagR.C., Russel W.B. Structure and breakup of flocs subjected to fluid stresses: III. Shear experiments // J. Colloid. Interface Sci. 1986. Vol. 113. P. 399-413.
4. PotaninA.I., Verkhusha V.V., Muller V.M. Disaggregation of particles with biospecific interactions in shear flow // J. Colloid. Interface Sci. 1997. Vol. 188. P. 251-256.
5. Лесин В.И., Лесин С.И. О физической природе степенной зависимости вязкости буровых суспензий от скорости сдвига // Нефтепромысловое дело. 2004. № 1. С. 37-39.
6. Шатагина Е.А., Шатагина А.А., Шатагин И.А. Фрактальная структура ЭЖК слоев н-тетрадекана // Молодой ученый. 2011. Т. 1, № 8. С. 12-16.
7. Долгоносое Б.М. Параметры равновесного спектра частиц в коагулирующей системе с распадом агрегатов // Коллоид. журн. 2001. Т. 63, № 1. С. 39-42.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис. 1. Иллюстрация подхода к расчету зависимости вязкости от скорости сдвига. Ось X направлена вертикально вверх. Направление вращения фрактального агрегата (круг на схеме) относительно центра инерции показано изогнутой фигурной стрелкой внутри круга. Остальные пояснения в тексте
Ьп(п/п» - 1)
Рис. 2. Зависимость Ьп(п/п» - 1) от ЬпО, снятая при комнатной температуре для 6%-ного раствора ксантогената целлюлозы в воде. По мере роста О величина растет и составляет а = 0,025; 0,27; 0,36; 0,6. При п (О ~ 0) = 1,7 Па-с, п» = 0,015 Па-с, В = 100
Ьп(п/п« - 1)
ЬпО
Рис. 3. Зависимость Ьп(п/п« - 1) от ЬпО, снятая при комнатной температуре для образца нефти. п (О ^ 0) ~ 25 мПа-с, п« = 0,5-мПа-с, Отп ~ 3 сек-1
