12ФРАКТАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЗАВИСИМОСТИ ВЯЗКОСТИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ
ЖИДКОСТИ ОТ ГРАДИЕНТА СКОРОСТИ
В.И. Лесин ИПНГ РАН, Москва
Введение
Известны десятки моделей и соответствующих им формул, описывающих зависимость вязкости неньютоновской жидкости от градиента скорости (скорости сдвига). Особенности применения наиболее известных моделей к экспериментально полученным данным описаны, например, в статье [1].
Особенностями всех ранее предлагавшихся моделей является большое количество произвольно выбираемых параметров, плохое совпадение с экспериментальными данными для всех значений скоростей сдвига, подход к жидкости как к особому случаю твердого тела с последующим использованием такого понятия, как деформация.
Такие модели и соответствующие им формулы не могут объяснить снижения вязкости при действии магнитного поля и ультразвуковых колебаний.
В данной работе обосновываются предложенная ранее автором физическая модель и соответствующая ей полуэмпирическая формула, продемонстрировавшая высокую точность как при описании экспериментальных данных, так и при обосновании действия магнитных и ультразвуковых полей и описании кинетики релаксации вязкости [2, 3].
Теория
Для вывода фрактальной формулы зависимости вязкости от градиента скорости, основанной на гипотезе, что потери кинетической энергии жидкости на отрыв фрагментов от агрегата коллоидных частиц и на деформацию агрегата пропорциональны радиусу агрегата [2], рассмотрим процесс измерения вязкости с помощью ротационного вискозиметра.
В ротационном вискозиметре коллоидный раствор помещается в зазор высотой к между двумя цилиндрическими поверхностями. Для измерения вязкости одна из поверхностей остается неподвижной, а другая приводится в движение со скоростью V
относительно неподвижной. При этом по формуле Ньютона определяется сила F, с которой жидкость с вязкостью ц действует на неподвижную поверхность площадью Sо:
F= ц^Л (1)
где скорость сдвига G=dV/dh=V/ h из-за малой толщины зазора.
При этом над жидкостью вращающаяся цилиндрическая поверхность совершает работу мощностью N
N=FV= (2)
Эта мощность расходуется на работу сил вязкого трения цо(V/h)SV, где цо - вязкость вмещающей жидкости (или вязкость при бесконечной скорости сдвига), и на деформацию и отрыв фрагментов от фрактального агрегата.
Оценим мощность, которая затрачивается на деформацию и отрыв фрагментов от фрактального агрегата.
Поскольку площадь поверхности фрактального единичного агрегата Sf ~ RD, где R -радиус фрактального агрегата, D - фрактальная размерность его площади [4, 5, 6], затраты мощности на этот вид потерь энергии пропорциональны произведению сил вязкого трения ц0(¥/Ю ^ на скорость движения поверхности агрегата относительно его центра инерции V*: цо(V/h) ^ V*.
Принимая концентрацию агрегатов равной величине п, получаем для потерь мощности Ы^ связанных с отрывом фрагментов и деформацией агрегатов коллоидных частиц фрактального строения в объеме Sоh, оценку:
N ~Цo(V/h)RDnShV*. (3)
Поскольку V* =(V/h)R, с учетом последнего замечания имеем:
N ~ Цo(V/h)RDnSh(V/h)R. (4)
Суммируя все виды потерь мощности и заменяя в (4) знак ~ на константу К, получаем окончательно:
п(V/h)SоV= Цо(У^) SоV + ^0^)^ VR Sо. (5)
Сокращая левую и правую части в (5) на множитель (V/h)SоV, получаем:
ц = По (1+ ЯД0+1 ). (6)
Учтем, что стационарное значение радиуса фрактального агрегата связано со скоростью сдвига G соотношением [7, 8]:
R~G-p. (7)
Подставляя в (6) значение Я, взятое из (7), и заменяя знак ~ на константу к, получаем «фрактальную» формулу, связывающую скорость сдвига с вязкостью неньютоновской жидкости:
П = п + kKщo 0~р (0+1) . (8)
Полагая, что концентрация п - величина постоянная, и принимая кКп=к, а а= р (0+1), получаем формулу, предложенную в [2]:
П = По(1+ к О а). (9)
В формуле (9) показатель степени а зависит как от фрактальной размерности площади агрегата коллоидных частиц, так и от потенциала взаимодействия коллоидных частиц и кинетики формирования фрактального агрегата, отражающихся в величине р.
Формула (6) получена для случая бимодального распределения агрегатов частиц по размерам: в поле скоростей сдвига формируются фракции компактных частиц малого размера и фрактальных агрегатов большого размера [9, 10]. При этом предполагалось, что компактные частицы могут увеличивать п0 на величину, зависящую от занимаемого этими частицами объема. Очевидно, что для больших (10% и более) суммарных объемов коллоидных частиц в растворах для оценки нельзя к п0 применять известную формулу Эйнштейна, полученную для не взаимодействующих между собой твердых коллоидных частиц в жидком растворе.
В формуле (6) Я представляет средний радиус фрактальных агрегатов, причем распределение по радиусам отличается малой шириной, что позволяет заменить сумму Е р(п) Яг01+1 , где р(п) плотность распределения фрактальных агрегатов с количеством частиц 1 и радиусом Яг, на
Экспериментальная проверка формулы (9), вытекающей из формулы (6), показала, что такое приближение справедливо в стационарном случае. Для нестационарного случая величину
следует заменить в формуле (6) на сумму Е р(пг) Яг 1 .
В случае, когда фрактальные агрегаты вырождаются в твердые частицы, с постоянными радиусами Я формула (6) переходит в известную формулу Эйнштейна.
Как видно из формулы (9), для определения постоянных к и а достаточно построить экспериментально полученную зависимость стационарного значения вязкости от скорости сдвига, например, в форме:
Ьп (п/п0 - 1) = ^ к - а Ьп О. (10)
Зависимость (10) линеаризуется путем подбора величины ц0, т.е. величины вязкости, соответствующей большой скорости сдвига, или, если известна вязкость вмещающей жидкости, в качестве первого приближения ц0 можно принять вязкость вмещающей жидкости. Однако, поскольку величине ц0 соответствует вязкость жидкости, содержащей коллоидные частицы в виде компактных агрегатов или отдельных частиц, взаимодействующих между собой, оптимальная величина ц0 должна быть выше вязкости вмещающей жидкости.
На рисунке приведен пример такой линеаризации для случая бурового полимерного раствора в воде при комнатной температуре. Определенные по экспериментальным данным параметры, входящие в формулу (9): ц0 =0,038 Па*с, что много больше вязкости воды при температуре 20 оС, £=1100, а=1,24.
Величина ц0 для данного случая больше вязкости для чистой воды примерно в 40 раз, что вызвано высокой объемной концентрацией коллоидных частиц в воде.
7,0000
Зависимость Ьп(ц/ц0-1) -ось ординат от Ьп О - ось абсцисс для бурового полимерного раствора при 20 оС
Фотографии агрегатов коллоидных частиц в нефти, демонстрирующие их фрактальное строение, представлены в работах [11-13], в которых одновременно было показано присутствие ферромагнитных частиц в составе таких агрегатов. В работах [2, 3, 11] дано объяснение механизмов действия магнитного поля и колебаний давления на вязкость, а также показано [3, 11], что релаксация вязкости соответствует процессам релаксации распределения фрактальных частиц по размерам. Согласно [2, 3, 11],
уменьшение вязкости как под действием магнитного поля, так и под действием ультразвука обусловлено уменьшением радиусов фрактальных агрегатов в результате их разрушения за счет взаимодействия ферромагнитных частиц с магнитным полем и под действием гидродинамических сил, вызванных ультразвуковыми колебаниями, соответственно.
Выводы
На основе применения подхода к определению коэффициента вязкости как величины, отражающей потери энергии движущейся жидкости на деформацию и отрыв фрагментов от агрегатов коллоидных частиц фрактального строения, получена универсальная зависимость вязкости от скорости сдвига.
ЛИТЕРАТУРА
1. Матвеенко В.Н., Кирсанов Е.А., Ремизов С.В. //Вестн. МГУ. Сер.2, Химия. 2001. Т. 42, № 5. С. 363-368.
2. Лесин В.И, Лесин С.В. // Нефтепромысловое дело. 2004. № 1. С. 37-39.
3. Лесин В.И. // Нефтепромысловое дело. 2008. № 1. С. 43-46.
4. Pfeifer P., Avnir D. //Chem. Phys. 1983. Vol. 79. P. 3558-3565.
5. Pfeifer P., Avnir D. // J. Chem. Phys. 1983. Vol. 79. P. 3566-3571.
6. Bale H.D., Schmidt P.W. // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53(6). P. 569-599.
7. SonntagR.C., Russel W.B. // J. Colloid. Interface Sci. 1986. Vol. 113(2). P. 399-413.
8. SonntagR.C., Russel W.B. // J. Colloid. Interface Sci. 1987. Vol. 115(2). P. 378-386.
9. Gardner K.H., Theis T.L., Yong T.C. // Water Res. 1998. Vol. 32(9). P. 2660-2668.
10. Camp T.R. // J.Amer.Water Works Assoc. 1962. Vol. 60(6). P. 656-673.
11. Лесин В.И., Кокшаров Ю.А., Г.Б. Хомутов Г.Б. // Нефтяное хозяйство. 2009. №3. C. 95-97.
12. Лесин В.И., Кокшаров Ю.А., Г.Б. Хомутов Г.Б. // Георесурсы, геоэнергетика, геополитика. 2010. Вып.1. www.oilgasjournal.ru
13. Лесин В.И., Кокшаров Ю.А., Г.Б. Хомутов Г.Б. // Нефтехимия. 2010. Т.50, №2. C. 114-117.
