CC BY
20APRIL 27-28, 2023
FRAKTALLARNI GEOMETRIK MODELLASHTIRISH ShA.Anarova1, S.N.Ismailova2
1Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti,
"Axborot texnologiyalari" kafedrasi mudiri, 2Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti
tayanch doktoranti https://doi.org/10.5281/zenodo.7875824
Abstract. This article analyzes the origin of fractals, that is, self-similar images, and the initial views on fractal geometry. Based on the definitions of mathematical analysis based on the theory of fractals, fractal forms of different dimensions are modeled.
Keywords: Cantor set, Koch snowflake, fractional set, Euclidean geometry, square fractal, circular fractal, cubic fractal.
KIRISH
Ko'pgina tabiiy tizimlar shunchalik murakkab va tartibsizki, ularni modellash uchun faqat klassik geometriyaning tanish obyektlaridan foydalanish juda qiyin. Fraktal geometriyaning birinchi g'oyalari IXX asrda paydo bo'lgan. Georg Kantor eng qadimgi fraktallardan birini -Kantor to'plamini ixtiro qildi. U chiziqni oldi, markaziy uchinchi qismini olib tashladi va keyin qolgan segmentlar bilan xuddi shunday takrorladi. Shunga o'xshash protseduraning ikkinchi bosqichida uchta teng qismga bo'linib, keyin o'rtasini olib tashlash uchun qolgan ikkita segmentning har biri ochiladi [1-4].
Taniqli nemis matematigi Fon Kox 1904-yilda Georg Kantor va Karl Veyershtraslarning ishini o'rganayotganda, egri chiziqlarning tavsifiga duch keldi. Egri chiziqning arzimas kichik segmenti ham egri chiziqning xususiyatlarini aynan takrorlaydi. Kox o'zining "shaxsiy" chizigini qurishni boshladi, matematika yilnomalariga "Kox qor parchasi" nomi bilan abadiy kirdi [1].
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
1-rasm. Kox qor parchasi va uni qurish
Ingliz meteorologi va tabiatshunosi Luis Fry Richardson bu egri chiziqlarga qiziqib qoladi. U Angliya qirg'oq chizig'ining aniq uzunligini o'lchashi kerak edi. "Kox qor parchasi"ni ko'zdan kechirgandan so'ng, Richardson ham xuddi shunday "o'lchovsizlik" xususiyatiga ega ekanligini aniqladi [5].
Benoit Mandelbrot fraktallarni taqqoslab, matematikada yangi yo'nalish - fraktal geometriyani kashf qildi. Fraktal geometriyaning yaralishi 1977-yilda B.Mandelbrotning "Tabiatning fraktal geometriyasi" kitobining nashr etilishi bilan bog'liq. Kitobning asosiy g'oyalaridan biri shundaki, an'anaviy geometriya (ya'ni chiziqlar va sirtlar yordamida) yordamida tabiiy obyektlarni tasvirlash murakkab. Fraktal geometriya ularni juda sodda tarzda ifodalaydi. 1981-yilda Jon Xatchinson "Fraktallar va o'ziga o'xshashlik" maqolasini nashr etdi, unda iteratsion funktsiya tizimi (IFS) yordamida fraktallarni qurish nazariyasi taqdim etildi. 1985 yilda
APRIL 27-28, 2023
Maykl Barnsli va Stefan Demkoning maqolasi paydo bo'ldi, unda IFSning juda izchil nazariyasi taqdim etilgan. 1988 yilda u "Fraktallar hamma joyda" asosiy asarini nashr etdi. Fraktal siqish imkoniyatlari haqidagi ma'lumotlar birinchi marta 1991-yilda nashr etilgan. Algoritmni ishlab chiquvchilardan biri Maykl Barnslining ta'kidlashicha, fraktalning koeffitsientlarini asl rasmga iloji boricha yaqinroq topish usuli ishlab chiqilgan [3].
Fraktal geometriyaning kashfiyotidan kelib chiqqan g'oyalardan biri fazodagi o'zgarish miqdori uchun butun son bo'lmagan qiymatlar g'oyasi edi. Bizga ma'lumki, Evklid geometriyasi 1, 2, 3 o'lchamli shakllarni o'rganadi. O'lchovi 1 ga teng bo'lgan raqamlar segmenti, o'lchovi 2 bo'lgan - tekislikdagi shakl, o'lchovi 3 bo'lgan - geometrik jismlar. Fraktallar nazariyasiga asoslanib olimlar fraktal - bu kasr o'lchamli to'plam degan xulosaga kelishdi [1-4].
Kvadrat fraktalni niodellashtirish. Buning uchun asl birlik kvadratiga ketma-ket unga o'xshash tomonlari 1/3, 1/9 va hokazo bo'lgan kvadratlarni qo'shiladi. Birinchi bosqichda kvadratning tomonlari uchta teng qismga bo'linadi va ularning o'rta nuqtalari asl nusxaga o'xshash kvadratlar bilan almashtiriladi.
n=0
n=1 n=2 n=3 n=4
2-rasm. Kvadratni fraktal modellashtirish bosqichlari
Olingan ko'pburchakning tomonlari yana uchta teng qismga bo'linadi va ularning o'rta nuqtalari kvadratlar bilan almashtiriladi. Ushbu jarayonni takrorlash orqali murakkab ko'pburchaklarni olamiz. Fraktal shaklning asosi - kvadrat sirtining yuzi va perimetrini yozamiz:
S0 = a2 P = 4a
Fraktal shaklning sirt maydoni - kvadrat Kox qor parchasi. Kvadrat Kox qor parchasining fraktal shaklini qurishning birinchi qadamda unga o'xshash tomonlari asl nusxasidan uch baravar kichikroq bo'lgan to'rtta kvadrat qo'shiladi. Har bir bunday kvadratning yuzi 1/9 ni tashkil qiladi.
a
a
i+K
2\
Si = So + 4* l-l = a + 4- = a
^ y \ y
p =p*- = 4a*-3 3
Ikkinchi qadam: Keyingi bosqichga a/9 tomoni bo'lgan 20 ta o'xshash kvadrat qo'shiladi. Kvadrat tomonlarining uzunligi har bir qadamda uch marta qisqarganligi sababli, ularning yuzi to'qqiz marta kamayadi:
2
APRIL 27-28, 2023
a
S2 = Sx + 20*1 - I = a
f
i+4
+ 5*4* = a2 34
32
P = P *5 = 4a*5*5 = 4a*5r
v " J
2
f 2 , N
'2 2 1 + ^ + 5^
32 34
v
J
3
33
32
Uchinchi qadam: Ushbu bosqichda a/27 tomoni bo'lgan 100 ta o'xshash kvadrat qo'shiladi va quyidagi formulalaga ega bo'ladi:
a
\2 f
S3 = S2 +100* I —I = a2
1+ -T + 5-r 32 34
P = P *- = 4a= 4a*5-3 2 3 32 3 33
+ 52 *4*4 = a2
r, 22 22 1 + —r + 5 —~ + 52 —
v
32 34
36
J
To'rtinchi qadam:
S4 = a
1 + -9
2 «3 V\
1 5 5 5
1 + - + -T + —
9 92
JJ
1 9
b = 1; q = 5;S =^ S =-L. = - = -1 9 1 - q ,544
1 -
Geometrik progressiya
5 52 53
S = 1 + - + — + — +... 9 92 93
Geometrik progressiyaning yig'indisi: n bo'lganda
N-iteratsiyadan keyin kvadrat Kox qor parchasining yuzi va perimetri uchun olingan formulalar:
f
S = a2 + a2
f
5 52 53 5
1 + - + -T + —r +... + ^7
r\2 /-\3 An+1
1 + -
n+1 ^
V
JJ
P = 4a * —
n 3n
Bunda teng tomonli uchburchaklardan Kox qor parchasining maydonini topish variantidan foydalanib, 4- va n-iteratsiyadan keyin kvadratlardan Kox yulduzining maydoni va perimetrini topildi. Kvadrat Kox qor parchasi fraktal shaklning yuzi kamayib boruvchi geometrik progressiyaning yig'indisidir (maxraj q=5/9 bilan) va u cheklangan. Fraktal kvadratning perimetri kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisiga teng (maxraji q= 5/3 bo'lgan holda) va tartib raqami ortgan sari u ham ortadi [4].
Doira fraktalni niodellashtirish. Aylanalardan tashkil topgan quyidagi 1 radiusli doiraga ketma-ket 1/2, 1/4 va hokazo radiusli doiralarni qo'shish orqali olingan fraktal raqamning maydonini aniqladi va bu fraktal shaklning maydonini 4- va n-iteratsiyalardan keyin topiladi.
n=1 n=2 n=3 n=4 3-rasm. Fraktal doirani modellashtirish
2
2
3
APRIL 27-28, 2023
Fraktal figuraning asosi bo'lgan doira yuzini yozamiz: S0 = 7tR2 Birinchi qadam: 1/2 radiusli 4 ta o'xshash doira qo'shiladi va quyidagiga ega bo'lamiz:
Ikkinchi qadam: 1/4 radiusli 12 ta o'xshash doira qo'shiladi va quyidagiga ega bo'lamiz:
Uchinchi qadam: 1/8 radiusli 36 ta o'xshash doira qo'shiladi va quyidagiga ega bo'lamiz:
R 3 I 36^R2 3 32 ^
S3 = S2 + ,! 8 I *36 = I 2 + 4 j + 64
= nRl
2 + - + -4 42
To'rtinchi qadam: 1/16 radiusli 108 ta o'xshash doira qo'shiladi va quyidagiga ega bo'lamiz:
R
v 2
S = s *108 = nR
' 3 32 ^
4 42 v 44 j
108^R2 256
f
= xR
3 32 3 2 + - + — + —
v 4 42 43 j
N-iteratsiyadan keyin fraktal doiraning yuzi uchun olingan formula quyidagicha bo'ladi:
S = tZR2
, , 3 32 33 1 +1 + - + — + — +... + -4 42 43
>n+1 A
I n+1
Kub fraktalni modellashtirish. Biz fraktal kubni oddiy kub deb hisoblab, uning tashqi yuzalarida ham kublar hosil qilamiz, unga o 'xshash kublar oldingisidan uch baravar kichikroq qirra bilan qo'shamiz.
n=0
n=1 n=2 n=3 n=4
4-rasm. Fraktal kubni modellashtirish
Fraktal shaklning asosi bo'lgan kubning yuzi va hajmini yozamiz:
APRIL 27-28, 2023
S0 = 6a
V = a3
Birinchi qadam: Birlik kubga qirrasi 1/3 ga teng oltita kub qo'shiladi va birinchi darajali fraktal kubning sirt yuzasi va hajmi uchun quyidagiga ega bo'lamiz:
S =S+6*4
г л2 ' a l
V = V + 6
f a Y
Ikkinchi qadam: Qirrasi 1/9 ga teng bo'lgan 30 ta kub qo'shiladi va ikkinchi darajali fraktal kubning sirt yuzasi va hajmi uchun hajmi uchun quyidagiga ega bo'lamiz :
S =S+6*5*4
г л2 ' a i
V =V+6*5*
f a Y
Uchinchi qadam: Qirrasi 1/27 ga teng bo'lgan 150 ta kub qo'shiladi va uchinchi darajali fraktal kubning sirt yuzasi va hajmi uchun hajmi uchun quyidagiga ega bo'lamiz:
S = S + 6*52 *4*
г л2 ' a I
27 J
V = V + 6*52 *
r a Y
To'rtinchi qadam: Qirrasi 1/81 ga teng bo'lgan 750 ta kub qo'shiladi va to'rtinchi darajali fraktal kubning sirt yuzasi va hajmi uchun hajmi uchun quyidagiga ega bo'lamiz:
S = S + 6*53*4*
' a_ Y
81J
V = V + 6*53 *
r a Y
n-tartibli fraktal kubning sirt yuzasi va hajmi uchun olingan formula quyidagicha bo'ladi:
" f 2 ^ = S 6*4*5n-1* " k=1
V = V 6 * 5" 1 *
v 3
f a Y
k=1
Xulosa qiladigan bo'lsak, Kvadrat Kox qor parchasi, doira, kub fraktallar modellashtirildi va har bir qadamda fraktal shakllarning maydoni, perimetri qonuniyati topildi. Geometrik parametrlarning iteratsiyaga analitik bog'liqligidan foydalanib, har qanday fraktal shaklni modellashtirish mumkin va bunda fraktal shaklning sirt maydoni cheksizlikka intiladi.
n
APRIL 27-28, 2023
REFERENCES
1. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы. -М.: Институт компьютерных исследований, 2002. C - 656.
2. Nazirov Sh.A., Anarova Sh.A., Nuraliyev F.M. Fraktallar nazariyasi asoslari. Monografiya. -T.: Navruz nashriyoti, 2017. 128-b.
3. Перерва Л.М., Юдин В.В., П 27 Фрактальное моделирование.: учебное посо-бие / Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2007. - 186 с.
4. Anarova Sh.A. Fraktallar nazariyasi va fraktal grafika. Darslik. -T.: "Universitet", 2021. 289-b.
