CC BY
15
Зайцев Александр Васильевич
Сибирский государственный университет путей сообщения (СГУПС).
Дуси Ковальчук ул., 191, г. Новосибирск, 630049, Российская Федерация.
Старший преподаватель кафедры «Подъемно -транспортные, путевые, строительные и дорожные машины», СГУПС.
E-mail: zaitsev.zaw@yandex.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
191, Dusi Kovalchuk st., Novosibirsk, 630049, the Russion Federation.
Engineer Master, senior Lecturer of the «Lifting-transport, travel, construction and road machines», SSTU. E-mail: zaitsev.zaw@yandex.ru
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Базилевич, С. В. Обоснование применения планировщика откосов балластной призмы в технологическом процессе модернизации железнодорожного пути [Текст] / С. В. Базилевич, В. А. Глотов, А. В. Зайцев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2016. - № 2 (26). - С. 18 - 27.
Bazilevich S. V., Glotov V. A., Zaytsev A. V. Justification of scheduler slopes the ballast technological process modernization railway track. Journal of Transsib Railway Studies, 2016, vol. 26, no. 2, pp. 18 - 27. (In Russian).
УДК 629.4; 534-16; 62.752; 621:534;833; 888.6
С. В. Елисеев, А. П. Хоменко
Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС), г. Иркутск, Российская Федерация
ФОРМЫ СОВМЕСТНЫХ ДВИЖЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕХМАССОВОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ: ВЛИЯНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ
Аннотация. Предлагается метод оценки динамических свойств механических колебательных систем с несколькими степенями свободы. Метод основан на преобразованиях характеристического частотного уравнения системы. Для преобразований вводятся понятия динамических жесткостей по отношению к отдельным элементам, их блокам и системы в целом. Преобразование характеристического частотного уравнения производится при использовании понятия об обобщенной парциальной системе. Такая система представляет собой последовательное соединение двух парциальных систем обычного вида. В результате преобразований характеристическое частотное уравнение интерпретируется как сумма динамических жесткостей, равная нулю. В физическом смысле это означает, что суммирование предполагает приведение жесткостей отдельных элементов и блоков к некоторой опорной базе, которой выступает парциальная система с приложенным к ней внешним возмущением. Использование метода ориентировано на задачи управления динамическим состоянием объекта с одной степенью свободы, в частности, для решения задач вибрационной защиты. Обосновано введение квазипружин как некоторых структур в составе системы, которые могут иметь положительную, нулевую и отрицательные жесткости на определенных частотах внешнего воздействия. Показано, что режим резонансных явлений может рассматриваться как особенность поведения системы при действии гармонического возмущения и нулевой динамической жесткости системы в целом.
Фрагменты системы квазипружины в частности также могут обладать нулевой жесткостью, что проявляется через особенности совместных движений элементов системы.
Результаты исследований подтверждаются вычислительным моделированием, приводятся графики частотных зависимостей для отношений координат движения. Получен ряд аналитических соотношений для определения частот граничных условий перехода к различным режимам. Для оценки динамических свойств используются структурные математические модели и правила их преобразования.
Ключевые слова: обобщенные парциальные системы, межпарциальные связи, динамическая жесткость, квазипружины.
Sergey V. Eliseev, Andrey P. Khomenko
Irkutsk State Transport University (ISTU), Irkutsk, the Russian Federation
FORMS OF JOINT MOTION OF ELEMENT OF THREE-MASS OSCILLATING SYSTEM: INFLUENCE OF DYNAMIC STIFFNESS
Abstract. The method of an assessment of dynamic properties of mechanical oscillatory systems with several degrees offreedom is offered. The method is based on transformations of the characteristic frequency equation of system.
For transformations concepts of dynamic rigidity in relation to separate elements, their blocks and systems in general are entered. Transformation of the characteristic frequency equation is made when using concept about the generalized partial system. Such system represents serial connection of two partial systems of a normal look. As a result of transformations the characteristic frequency equation is interpreted as the sum of dynamic rigidity equal to zero. In physical terms, this means that the sum involves bringing the stiffness of individual elements and blocks to a supporting base, which acts as a partial system attached to it an external perturbation. Use of a method is oriented to problems of management of a dynamic condition of object with one degree offreedom, in particular, for the solution ofproblems of vibration protection. Introduction of quasi-springs as some structures as a part of system which can have positive, zero and negative rigidity at certain frequencies of external influence is proved. It is shown that the mode of the resonant phenomena can be considered as feature of behavior of system at action of harmonious oscillations and zero dynamic rigidity of system in general.
Fragments of system, quasi-spring, in particular, can also possess zero rigidity that is shown through features of joint movements of elements of system.
Results of researches are confirmed by computing modeling; schedules offrequency dependences for the relations of coordinates of the movement are provided. A number of analytical ratios for determination offrequencies of boundary conditions of transition to the different modes is received. For an assessment of dynamic properties structural mathematical models and rules of their transformation are used.
Keywords: generalized partial system, inter-partial ties, dynamic rigidity, quasi-springs.
Совместные движения элементов механических колебательных систем определяют специфику их динамических свойств, которая проявляется не только при собственных колебаниях в главных формах, но и в таких режимах, как динамическое гашение колебаний, резо-нансы и др. Исследование таких процессов связано с оценкой и изучением особенностей формирования совместных движений элементов, проявляющихся через распределение амплитуд колебаний элементов систем с учетом эффектов образования узлов и «пучностей», характерных для систем с распределенными параметрами, что нашло отражение в работах [1, 2]. Вместе с тем аналогичные эффекты проявляются и в системах с сосредоточенными параметрами, в частности, в механических цепях, что представляет интерес в плане усовершенствования и развития методических основ определения динамических реакций, возникающих в специфичных формах совместных движений элементов. Такие подходы создают возможности исследований и оценок, связанных с распределением энергетических потоков, выявлением условий концентрации напряжений и др.
Многие вопросы динамики взаимодействия элементов механических колебательных систем еще не получили должной степени детализации физических представлений. К числу таких вопросов относятся особенности совместных движений элементов и их самоорганизация в различных формах ее проявления.
В предлагаемой статье рассматриваются вопросы формирования динамических жестко-стей в различных точках механических систем с несколькими степенями свободы в связи с возможностями определения условий совместных движений нескольких соединенных между собой элементов системы при гармонических внешних воздействиях.
Совместные формы движения элементов механических систем характерны для многих задач динамики машин, в частности, для задач вибрационной защиты различных технических объектов [3 - 5].
Рассмотрим в качестве исходной расчетную схему виброзащитной системы (ВЗС) в виде механической колебательной системы с тремя степенями свободы (рисунок 1, а). Система совершает малые колебания относительно положения устойчивого равновесия под действием гармонических сил Q1, Q2, Q3. Предполагается, что силы Q1, Q2, Q3 приложены к массои-нерционным элементам m1, m2, m3. Механическая цепь формируется с помощью соединительных элементов - пружин с жесткостями k1, k2, k3, k4, k5. Для описания движений используется система координат y1, y2, y3, связанная с неподвижным базисом. Для составления математической модели применяются обычные методы, основанные на использовании уравнения Лагранжа 2-го рода, что характерно для методов структурного математического моделирования [3, 5]. На рисунке 1, б представлена структурная схема системы, использование ко-
торой дает возможность детализации представлении о связях между элементами и определения необходимых передаточных функций систем.
01
к 1
71
б 2
О О
т 1 к.
У2
к ЛМ ллл
т2
бз
о О
2 к
У 3
_тъ к
о о к 4
Рисунок 1 - Расчетная (а), структурная (б) и детализированная (в) схемы механической колебательной системы с тремя степенями свободы (р = /ю - комплексная переменная, значок «-» означает изображение по Лапласу [3])
Математическая модель представляет собой, как это следует из описания, систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В таблице приведены соответствующие коэффициенты уравнений в координатах у1, у2, у3.
Система коэффициентов уравнений движения в координатах у1, у2, у3
а
б
в
аи а12 а1з
т1р1 + к1 + к2 + к5 -к2 -кз
а21 а22 а2з
-к2 т2р2 + к2 + к3 -кз
аз1 аз2 азз
-кз -кз тр + к3 + к4 + к5
Ql Q2 Qз
Связи между переменными у1, у2, у3 и Q1, Q2, Q3 в операторной форме могут быть представлены в виде следующих выражений:
— _ б1 (а22а33 ~ а23а32 ) ^ б2 (Д13Д32 ~ Д33Д12 ) ^ б3 (Д12Д23 ~ Д13Д22 )
У1 = А ' (1)
где
— _ Ql (а23а31 ^31^33 ) + 02 (а11а33 - а13а31) + Qз (а13а21 - а11а23 )
Л" Л ' (2)
_ (а21а32 - а22а31)+ (а12а31 - ^32)+ 03 ^22 - Д12Д21) ^ч
У3 А '
Ао
А0 а11а22а33 а11а23а32 а33а12а21 ^22^13^31 + ^13^21^32 + ^12^23^31' (4)
На основе выражения (4) при = 0 может быть получено характеристическое уравнение системы (система симметрична: a12 = a21; a1з = aз1; a23 = aз2). При использовании формул (1) - (3) определяются передаточные функции. Для дальнейшего рассмотрения принято, что на массоинерционные элементы m1, m2, m3 действуют внешние периодические (гармонические) силы Q1, Q2, Q3, но на каждый элемент по отдельности. Совместное действие внешних сил в данном случае не рассматривается.
Задача исследования заключается в разработке метода определения параметров системы, особенностей ее структуры, форм взаимодействия элементов систем и специфических режимов при внешнем силовом возмущении на основе преобразований и трансформации частотного характеристического уравнения.
Метод оценки форм совместных движений элементов цепной системы с тремя степенями свободы.
1. Если внешнее воздействие Q связано с массоинерционным элементом m1, то передаточные функции системы (1) - (3) примут вид:
2
щ („) = Д = а22а33 - а23 ; (5)
Й:0О Ао
а23а31 - а31а33 • (6)
Щ(Р)" 01 " Л ; ()
а12а23 - а13а22 (7)
Щ (Р)= 01 = Ао ' ()
2. Для случая Q2 Ф 0 (Q1 = 0, Q3 = 0) имеем следующие выражения:
Щ( р) = А = а13а32 - а12а33 . (8)
1( „ Ао '
ТУ'(Р) = = а11а33 - а13а3к (9)
2( „ 02 Ао '
Щ(р) = Л. = а12а31 - а11а32 (10)
3 (Р) 02 Ао '
Выражения (5) - (10) для передаточных функций могут быть также получены на основе преобразований структурной схемы на рисунке 1, б [6].
3. В случае действия силы Q3 на элемент m3 = 0, Q1 = 0) соответственно можно получить:
)= _У1 = а21а32 - а22а31 • (11)
1 (Р)" 03 " Ао '
Щ'(р) = = а32а31 - а11а32 ; (12)
0 3 Ао
^р)=У!=^ 3 2 з А
(13)
4. Для исследований характеристического частотного уравнения (4), учитывая, что возмущение Q1 будет приложено к элементу т1, проведем некоторые преобразования и получим уравнение (4) в виде:
аи -
а22 а31
а33а21 2а12а23а31 _ д
[т2т3 ] [т2т3 ] [т2т3 ]
(14)
Уравнение (14), в свою очередь, можно представить так:
а31 (а31а22 а21а23 ) а12 (а12а33 а2заз1 ) _ „
а11--;-ц---;-ц-— и,
\Ш2т3 ]
К тз ]
где
[т2тз] = <0:2033 - а23 = [тр +к2 + кз] [тзр2 +кз + к4 + £5] - к32 •
(14')
(15)
Структурная схема системы (см. рисунок 1, б) в этом случае трансформируется, что представлено на рисунке 2.
а31(а31а22 - а21а23 )
а22а33 - «23
-Я
'Ух
б
Рисунок 2 - Структурные схемы для варианта действия возмущающей силы Q1, приложенной к элементу т1:
а - обобщенный вид; б - детализированный вид
Для придания решаемым задачам технического содержания будем полагать, что массои-нерционный элемент т1 рассматривается как объект защиты от вибрационных внешних возмущений. На структурной схеме, как показано на рисунке 2, а, объекту защиты будет соответствовать звено с передаточной функцией
^об.(р) =
1
(15')
Относительно объекта защиты, как основного элемента структурной модели, могут быть сформированы две цепи обратной связи. Эти цепи отражают действие на объект защиты со стороны системы «в целом» при динамических взаимодействиях элементов, вызванных приложением к объекту силы 2 •
Элемент с передаточной функцией Жоб(р) = -— может быть представлен в виде:
а,,
С,(Р)—— —
1
аи тр + к + к2 + к5
(16)
В этом случае в рассмотрение вводится парциальная система. Очевидно, что объект защиты, т. е. его свойства, определяются, в соответствующей части, параметрами парциальной системы [7].
№ 2(26) 2016
а
а
5. На рисунке 2, в исходная структурная схема (см. рисунок 2, б) представлена в детализированном виде, что позволяет интерпретировать, в данном случае, объект виброзащиты (парциальная система определяется выражением (16)), обратные цепи на структурной схеме (см. рисунок 2, б) как действие обобщенных пружин (или квазипружин).
Дополнительные обратные цепи, возникающие при преобразованиях исходных систем (рисунок 1, б, в) привносят в такой постановке задачи обратные отрицательные связи. При этом передаточная функция цепи обратной связи в физическом смысле соответствует динамической жесткости квазипружины. В данном случае в структурной математической модели системы, представленной на рисунке 2, а, могут рассматриваться две квазипружины, как показано на рисунке 2, б.
На структурных математических моделях (см. рисунок 2, а, б) показано, что исходная система (см. рисунок 1, б) может быть преобразована и условно приведена к системе с одной степенью свободы. В таком случае имеет смысл выделять базовую систему ^п = m1p + ^ + + ^ + k5), как это показано на рисунке 2, б. Базовая система является парциальной системой, в которой имеются связи с опорной поверхностью и массоинерционным элементом
mз(k5).
Отметим, что в такой интерпретации определенные части системы (см. рисунок 2, а) могут быть представлены в виде квазипружин с динамическими жесткостями:
_ к21 (тпр2 + к9 + к,)к + кЖ,
кил (р )= 511 . 2 ; 5 2 3 ]; (17)
[т2т3 ]
_ к21 (тр2 + К + к. + к)К + кк
кпр2 (р) = -3 4 + 5 ) 2 3 5 \ . (18)
[ т2 т3 ]
С учетом выражений (17), (18) характеристическое частотное уравнение (14') примет
вид:
mlp2 + ^ + k2 + k5 - кпр1 - кпр2 = 0. (19)
Физический смысл характеристического уравнения (14') в форме (19) заключается в том, что сумма динамических жесткостей элементов и фрагментов исходной системы (см. рисунок 1, а), приведенных к точке приложения силы Q1, равняется нулю. Отметим также еще одну возможность интерпретации. Поскольку преобразования (14) по существу связаны с исключением координат _у2 и _у3, то умножение (19) на у1 позволяет сделать заключение о том, что в точке приведения (точка приложения силы Q1) сумма всех действующих на систему сил, включая силы реакции связей, будет равна нулю. Последнее отражает проявление действия принципа Даламбера [6, 7].
Рассмотрим некоторые подходы к построению математических моделей.
1. Если для упрощения принять ^ = 0, что исходную систему, приведенную на рисунке 1, а - в, превращает из замкнутой в цепную систему, то можно ввести в рассмотрение понятие обобщенной парциальной системы. Такая система образуется при остановке движения по координате _у1. Обобщенная парциальная система приведена на рисунке 3, а, б в виде принципиальной схемы механической колебательной системы (см. рисунок 3, а) и ее структурного аналога (см. рисунок 3, б).
Обобщенная парциальная система представляет собой цепную механическую колебательную систему с кинематическим возмущением в виде координаты _у1; в этом случае
щ(р)= ¡2 =(т3р 2 + к3 + к4 )• к2 ; (20)
У1 [т2 т3 ]
///. ¿//
Ж2"(р) — Уз — ^
У1 К т3 ]
(21)
////////
б
Рисунок 3 - Принципиальная (а) и структурная (б) схемы обобщенной парциальной системы
Парциальная система (см. рисунок 3, а), рассматриваемая отдельно, имеет две частоты «собственных» колебаний, определяемых из уравнения [т2т3] = 0, получаемого из формулы (15). Обозначим эти частоты через п2 и п3. Обычная парциальная система при а11 = 0 имеет парциальную частоту
к + к 2
т.
Аналогично, что для других парциальных систем в обычной форме
1к2 + к3 .
к3 + к4
(22)
(22')
(22'')
т,
Запишем характеристическое уравнение системы «в целом» при к5 = 0, используя выражение (19) для динамической жесткости кпр2(р), поскольку квазипружина имеет непосредственный контакт с массоинерционным элементом т1:
тр2 + к + к2 - к 1 — тр2 + к + к2 -■
к2 (т3р2 + к3 + к4)
[т2т3 ]
Из соотношения (23) следует, что
к2(к3 + к4 - тш2)
к1 + к2 -т1ш2 — у--' 2\ / •-:
(к2 + к3 - тш )• (к3 + к
3 + к4 - тш2)-к2
(23)
(24)
Уравнение (25) может быть решено графическим методом в соответствии со схемой пересечения двух графиков:
Дю) = £ + £2 - т!Ю2; (25)
А(ю) = кпр.2(ю). (25')
Отметим при этом, что из [т2т3] = 0 могут быть найдены частоты п , п , при которых значения кпр2(ю) будут принимать бесконечно большие значения; на этих частотах динамическая жесткость А(ю) квазипружины становится бесконечно большой, что соответствует частотам, определяющим режимы динамического гашения колебаний для массы т1. В частности, это следует из выражения (1) при Q2 = 0, Q3 = 0.
При пересечении Дю) и ^1(ю) определяются частоты собственных колебаний исходной системы (см. рисунок 1, а).
№ 2(26) 2016
к
т
к
т
к
У
а
П1 —
п —
пз —
2. Если при силовом внешнем возмущении Q1 рассматривать движение по координатам У2 и У3, то связи между координатами у2, у3 и у1 характеризуются передаточными функциями (20) и (21); такие передаточные функции можно было бы назвать «передаточными функциями межпарциальных связей».
Для взаимодействия элементов системы характерно, что в связях у 1 - у3 возможен режим динамического гашения на частоте
<ин. = ^ . (26)
т3
Отметим также, что частоты динамического гашения для случая, когда Q1 приложено к массе m1, определяются из частотного уравнения (14'). Такие значения соответствуют значениям собственных частот обобщенной парциальной системы с двумя степенями свободы.
При возбуждении колебаний в цепных системах с тремя степенями свободы вид амплитудно-частотных характеристик существенно зависит от выбора места приложения силы [ 1, 8, 9]; отличаются и частотные характеристики по отдельным координатам. На рисунке 4, а -в представлено семейство амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) при силовом возмущении 0\, приложенном к массе т\ (при = 0).
а
в
Рисунок 4 - Амплитудно-частотные характеристики системы с тремя степенями свободы при приложении внешней силы к массе ш1 (по рисунку 1, а): АЧХ соответствует движению по координате у1 (а); по координате у2 (б); по координате у3 (в); (т. (1), (2), (3) определяют частоты динамического гашения
при Ql ф 0, Q2 = 0, Qз = 0)
Характерным для семейства АЧХ является уменьшение числа режимов динамического гашения при переходе к координатам у2 и у3 соответственно, а также появление режимов, для которых характерны графики АЧХ с формированием зон уменьшения колебаний массоинер-ционных элементов до минимума; при этом движение по координатам происходит без изменения знака. Специфическая особенность колебаний механических систем достаточно подробно рассмотрена в работах [8, 9].
Отношения амплитуд колебаний, определяемых передаточными функциями (20), (21), представлены на рисунке 5.
У 2 У 3
Рисунок 5 - Графики отношения амплитуд -=— (ю) и (ю) колебаний системы с тремя степенями свободы
У1
У1
У 2 ( \
при приложении внешней силы к массе ш\ (к5 = 0): кривая 1 соответствует — (ш)
ш);
Ух
кривая 2 соответствует —3 (ш )
Ух
При частоте, определяемой выражением (26), движение по координате у2 = 0, что соответствует режиму динамического гашения колебаний (т.(1) на рис. 5). Одновременно на двух частотах возможны резонансные явления; их частоты п'2 и п'3 совпадают с частотами динамического гашения по координате уь частоты определяются из условия [т2т3] = 0 (или из решения частотного уравнения (14')). Отметим также, что совместное решение уравнений
(20) и (21) при — = - дает значение частоты
Ух Ух
„2 Ш0 = — да.
(27)
при которой движение по координатам у2 и у3 будет происходить «слитно», т. е. с равными амплитудами и в одном направлении (т. (2) и юо на рисунке 5).
Детализация представлений о движениях по отдельным координатам носит, при всей общности представлений, и ряд различий в зависимости от способа возбуждения (или места приложения) внешнего возмущения.
На рисунке 6 представлена сводная картина взаимодействий элементов системы, что дает возможность выявить некоторые характерные особенности.
Пересечение кривых О(ю) и А(ю), определяемых выражениями (25) и (25') собственных колебаний ю1соб, ю2соб, ю3соб в физическом смысле, можно интерпретировать как выявление частот определенных режимов от приложенного к элементу ш1 внешнего возмущения. При этом на выявленных частотах суммарная динамическая жесткость для системы в целом становится равной нулю. По существу на каждой из трех частот собственных колебаний выполняется условие
Дю) = А(ю). (28)
Доз) / I; 1
""--О г Г 1 1;
В ('»> /
......*........ 'V, <3 2со6 •(3) //
0 \ -ко. ■ / Щ<о) у ч, 2 --------- --------
У1 ч / у/ //
1 1 / 1 Чч 7
/ \
\ V
: N
Рисунок 6 - Схема расположения зависимостей, соответственно обозначенных: --— (ш);------£>(ю);-----Д(ю);--— (ш); • • • • - Уз (и)
01 У У
Из условия (28), частности, следует, что динамические жесткости могут иметь положительные и отрицательные значения. Вопросы определения динамических жесткостей упругих элементов и квазипружины как обобщенных пружин с приведенными жесткостями, зависящими от частоты, рассматривались в работе [3]. Таким образом, резонансный режим в механической колебательной системе может трактоваться как режим, в рамках которого внешняя гармоническая сила, действуя на массоинерционный элемент (в данном случае на массу Ш1), не встречает на этой частоте «сопротивления» или противодействия.
Отметим также, что динамическая жесткость парциальной системы ш1, к1, к2 может принимать нулевое значение на частоте, определяемой выражением (22). Нулевое значение динамической жесткости фрагмента механической колебательной системы ^1(ю), что соответствует частоте, определяемой выражением (26). В подобного рода случаях возможна перемена знака динамических жесткостей и соответственно динамических реакций, что «генерирует» определенные формы совместных движений. На графиках зависимостей, приведенных на
рисунке 5, имеются особенности изменения соотношений (ш) и У3(ш), которые в сово-
У У1
купности с движением по координате у1 дают представление о формах совместных движений элементов системы при нагружении силой Q1. В определенной степени такие представления можно отнести к особенностям форм свободных колебаний системы.
Особенности совместных движений по трем координатам - у1, у2, у3. Анализ расположения графиков на рисунке 5 показывает, что соотношение (ш) в т. (1) (см. рисунок 5) при
У1
частоте из выражения (26) меняет знак. При этом в диапазоне от 0 до п1дин. происходит плавУ 2
ное изменение отношения , в том числе при прохождении через частоту первого резонан-
У1
са Ю1соб.
сунок 6) У2 (ш) меняет знак, и форма совместного движения трех элементов изменяется. Ес-
В упомянутом диапазоне частот все координаты движутся в одном направлении («слитно»), хотя соотношения амплитуд у1, у2, у3 на разных частотах будет различным. В определенном смысле можно рассматривать такое совместное движение как некоторый аналог движений по первой форме свободных колебаний системы. Вместе с тем отношения между амплитудами движения, особенно на частотах собственных колебаний ю1соб, ю2соб, ю3соб, имеют значения, которые коррелируются с соответствующими данными при определении частот собственных колебаний системы по энергетическому методу [1о].
Точка (1) на рисунке 5 соответствует «резонансу» значения динамической жесткости квазипружины ^(ю), что одновременно определяет режим динамического гашений колебаний на графике у1(ю) (см. рисунок 6), точка (1)). Частота второго резонанса динамической жесткости А(ю) (см. рисунок 5, точка (2)) совпадает с частотой динамического гашения по координате у1, что совпадает с т. (2) на рисунке 6. В каждой из точек (т. (1) и т. (2)) на рисунке 6 координата у1 меняет свой знак. Между т. (1) и (2) на рисунке 5 находится т. (3). В т. (3) координата у2 принимает нулевое значение. На рисунке 6 этой точке также соответствует т. 3. Динамическая жесткость фрагмента системы А(ю) будет равна нулю, но это не означает, что динамическая жесткость системы в целом будет нулевой. На этой частоте движение системы будет происходить с определенным соотношением амплитуд колебаний элементов системы, создавая определенную форму.
Таким образом, движение трех элементов - т1, т2 и т3 - в частотном диапазоне 0 - т. (1) будет происходить «слитно», как уже упоминалось выше. При переходе через т. (3) (см. ри-
У2
Ух
ли анализировать формы совместных движений элементов по графикам на рисунке 4, то можно выделить ряд диапазонов частот.
1. При изменении частоты внешнего воздействия от 0 до частоты динамического гашения по координате у1 (т. (1) на рисунке 4) все элементы (т1, т2, т3) движутся «слитно», что
сохраняется при переходе через ю1соб; при переходе через ю1соб отношения амплитуд ^ (ш )
У1
и (ш ) при численных экспериментах совпадают с коэффициентами отношения коорди-
Ух
нат при построении частотной энергетической функции [9].
2. В точке (1) на рисунке 4 на частоте динамического гашения (п2 определяется из решения частотного уравнения [т2т3] = 0) движение идет по координате у1 = 0, а массы т2 и т3 движутся в одном направлении («слитно»).
3. При дальнейшем увеличении частоты направление движения по координате у1 меняется на противоположное; движение по координате у1 будет противоположным по отношению к движению по координатам у2 и у3, которые на каждой частоте перемещаются «слитно» (или
группой), хотя при изменении частоты отношение амплитуд будет соответственно изме-
У 3
няться. Описанная выше форма совместных движений элементов системы сохраняется и при переходе через вторую частоту собственных колебаний ю2соб.
4. Изменения в совместных формах движения по координатам у1, у2, у3 начинаются при частоте, соответствующей режиму динамического гашения по координате у2 (т. (3) на рисунке 4). В этом случае движение идет по координате у2 = 0, а движение по координатам у1 и у3 будет «совместным». Возникающая форма совместных движений может быть отмечена как особая из-за движения центрального элемента т2 в противоположном направлении по отношению к т1 и т3, перемещающимся «слитно». Такая форма движения при увеличении частоты внешнего воздействия сохраняется до второй частоты динамического гашения п2 по координате у1 (т. (2) на рисунке 4), определяемой из решения частотного уравнения [т2т3] = 0.
На частоте п' движение идет по координате у1 = 0. Что касается движений по координатам у2 и у3, то они будут направлены противоположно друг другу.
5. При прохождении частоты динамического гашения колебаний п'2 (т. (2) на рисунке 4) форма предыдущего движения сохраняется. При прохождении частоты собственных колебаний возникающая форма совместных движений также сохраняется.
На рисунке 5 представлены графики зависимостей У. (Ш) (кривая 1) и У±_ (Ш) (кривая 2).
Ух У
Соотношение графиков зависимостей на рисунке 5 также определяется положением т. (1), (2) и (3), характеризующих расположения частот, соответствующих режимам динамического гашения колебаний. Сводная картина взаимного расположения АЧХ, а также графиков динамических жесткостей Дю) и А(ю) и графиков отношения координат (Ш) и Уз_ (Ш) приве-
У У
дена на рисунке 6. В целом можно было бы отметить, что на низких частотах система реализует форму совместно «слитного» движения всех элементов при соответствующих различиях в величинах перемещений по у1, у2 и у3. На высоких частотах (после ю3соб) движение представляет собой колебания в противоположных направлениях элемента т3 по координате у3 и двух элементов - т1 и т2, движущихся по координатам у1 и у2 в противоположном направлении. При этом силовое возмущение Q1 приложено к элементу т1.
Если силовое возмущение прикладывается к другим массам, то формы воздействия элементов и их движения носят общий характер, однако формы взаимодействия будут различаться.
Взаимодействие в системе с тремя степенями свободы (замкнутый контур). При исследованиях использовались методы вычислительного моделирования при следующих соотношениях параметров: т1 = т2 = т3 = т = 1, к1 = к, к2 = 2к, к3 = 3к, к4 = 4к, к5 = 0. При к5 Ф 0 (см. рисунок 1, а) механическая колебательная система приобретает более сложную структуру. Поскольку а31 = к5 Ф 0, то характеристики, используемые при частотном анализе, преобразуются к виду:
Дю) = ап = тР + к1 + к2 + к5; (29)
к5 -(т2 Р 2 + к2 + к3 )+ к2 (тз Р 2 + к3 + к4 + к5 )+ 2к 2 к3к5 ; (30)
[т2 т ]
[т2т3] = [тр +к2 + к3]^ [т3р2 +к3 + к4 + к5] - к32. (31)
Соответственно изменяются частотные характеристики (Ш ), У1 (Ш ):
У У1
^(р) = У2(®)= ^ + (щр2 + к + к 4 + ^ ); (32)
Ух К т3 ]
ЫУ,, ч к .к, + к. (т,р2 + к, + к, + к,) „ ч
= У3 («О )= -^-_2-3-й . (33)
Ух Кт3 ]
Анализ частотных графических зависимостей на рисунке 7 показывает, что переход системы от цепного вида к замкнутому контуру принципиально свойства не изменяет.
При построении графиков изменяются и характерные частоты:
динамического гашения по координате у1 на двух частотах, определяемых из частотного уравнения (14');
собственных колебаний юхсоб, ю2соб, ю3соб в связи с изменением частотной характеристического уравнения при к5 Ф 0;
динамического гашения на промежуточной массе т2.
Системы с несколькими степенями свободы характеризуются большим разнообразием форм динамических взаимодействий элементов. Предлагается метод оценки форм взаимодействия элементов и их совместного движения на основе преобразований частотного характеристического уравнения.
! 1
- / / / Г
✓ ; Г »
Й / / : 1 *
/ " - У: 1
__________ /Ч', /
—Ы_| / . $ *
01 N / : ' / / \
' \ и ••••< ¿11 И 1 Ч ( 1 ' V со
-1т -2 0 5 Т.(1) 5 ' / г-"*/ f
/ / V \
/ V
/ ' * ✓
; г ! г г
/ • ч г
*
9 ; * I * \
1 ; » V
Рисунок 7 - Схема расположения зависимостей (при к5 ф 0), соответственно обозначенных:
-- ^ (о);------ Я(щ);----- А(Ш);--^ (ш);----- — (и)
01 Л У
1. Метод заключается в выделении определенного массоинерционного элемента (в данном случае т1), рассматриваемого как некоторый объект, динамическое состояние которого подлежит оценке (например, в задачах вибрационной защиты). Такой объект обладает свойствами парциальной системы с одной степенью свободы. При делении частотного характеристического уравнения на частное характеристическое уравнение обобщенной парциальной системы (в данном случае [т2тз]) исходное частотное уравнение преобразуется к виду, удобному для графоаналитического решения.
2. Преобразованное характеристическое уравнение по существу представляет собой сумму динамических жесткостей. Такие жесткости формируются парциальной системой обычного вида (системы с одной степенью свободы) и вводимой обобщенной парциальной системы с двумя степенями свободы. На основе таких подходов предлагается введение понятия о квазипружине.
3. Динамические свойства системы с несколькими степенями свободы соотносятся с их значениями и по отношению к отдельному элементу, блоку элементов (или квазипружине), а также к системе «в целом».
4. Резонансный режим системы «в целом» возникает в механической колебательной системе, когда ее динамическая жесткость равняется нулю. При равенстве нулю динамической жесткости квазипружины реализуется тот или иной режим совместных движений элементов.
Динамическое гашение колебаний возникает при бесконечно больших значениях динамической жесткости в выбранной точке.
5. Предлагаемая последовательность процедур исследования дает возможность оценить широкий спектр динамических свойств системы в различных частотных диапазонах внешних гармонических воздействий.
Список литературы
1. Биргер, И. А. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник: В 3 т. [Текст] / И. А. Биргер, Я. Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 831 с.
2. Тимошенко, С. П. Теория колебаний в инженерном деле [Текст] / С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер // Пер. с англ. Л. Г. Корнейчука; Под ред. Э. И. Григолюка. - М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.
3. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. - Новосибирск: Наука, 2011. - 384 с.
4. Елисеев, А. В. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом неудерживающих связей [Текст] / А. В. Елисеев, В. В. Сельвинский, С. В. Елисеев. - Новосибирск: Наука, 2015. - 332 с.
5. Хоменко, А. П. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев, Ю. В. Ермошенко / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2012. - 288 с.
6. Дружинский, И. А. Механические цепи [Текст] / И. А. Дружинский. - Л.: Машиностроение, 1977. - 240 с.
7. Цзе, Ф. С. Механические колебания [Текст] / Ф. С. Цзе, И. Е. Морзе, Р. Т. Хинкл; Под ред. чл.-корр. АН СССР И. Ф. Образцова. - М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.
8. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. / Под общ. ред. В. Н. Челомея. - М.: Машиностроение, 1978. - Т. 1. - 352 с.
9. Соотношения координат движения элементов механических колебательных систем как форма проявления рычажных связей [Текст] / С. В. Белокобыльский, С. В. Елисеев и др. // Системы. Методы. Технологии / Братский гос. ун-т. - Братск, 2015. - № 3 (27). - С. 7 - 14.
10. Хоменко, А. П. Развитие энергетического метода определения частот свободных колебаний механических систем [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск. - 2016. - № 1 (49). - С. 8 - 19.
References
1. Birger I.A., Panovko Ya. G. Prochnost'. Ustoychivost'. Kolebaniya. (Strength. Stability. Oscillations). Мoscow: Mashinostroenie, Vol. 1, 1968, 831 p.
2. Timoshenko S.P., Young D.H., Weaver W. Teoriya kolebaniy v inzhenernom dele [Vibration problems in engineering]. Moscow: Mashinostroenie, 1985. 472 p.
3. Eliseev S.V., Reznik Yu. N., Khomenko A.P. Mekhatronnyye podkhody v dinamike mek-hanicheskikh kolebatel'nykh sistem [Mechatronic approaches in the dynamics of mechanical vibration systems]. Novosibirsk: Nauka, 2011. 384 p.
4. Eliseev A.V., Sel'vinskiy V.V., Eliseev S.V. Dinamika vibratsionnykh vzaimodeystviy ele-mentov tekhnologicheskikh sistem s uchetom neuderzhivayushchikh svyazey [Dynamics of vibrating elements of interactions of technological systems based on unilateral ties]. Novosibirsk: Nauka, 2015. 332 p.
5. Khomenko A.P., Eliseev S.V., Ermoshenko Yu. V. Sistemnyy analiz i matematicheskoye modelirovaniye v mekhatronike vibrozashchitnykh sistem [System analysis and mathematical modeling in mechatronics vibration isolation systems]. Irkutsk: ISTU, 2012. 288 p.
6. Druzhinskiy I.A. Mekhanicheskie tsepi [Mechanical chains]. Leningrad: Mashinostroenie, 1977. 240 p.
7. Tse F.S., Morse I.E., Hinkle R.T. Mekhanicheskie kolebaniya [Mechanical vibrations]. М.: Mashinostroenie, 1966. 508 p.
8. Vibratsii v tekhnike [Vibrations in technic]. Moscow: Mashinostroenie, 1978. Vol. 1. Kolebaniya lineynykh sistem [The vibrations of linear systems]. 1978. 352 p.
9. Belokobyl'skiy S.V., Eliseev S.V., Kashuba V.B., Nguyen D. Kh. The relations of mechanical vibration systems elements of motion origin as a form of lever ties [Sootnosheniya koordinat dvizheniya elementov mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem kak forma proyavleniya rycha-zhnykh svyazey]. Sistemy. Metody. Tekhnologii, 2015, no. 3 (27), pp. 7 - 14.
10. Khomenko A.P., Eliseev S.V. The development of the energy method for determining the frequency of free oscillations of mechanical systems [Razvitiye energeticheskogo metoda opredele-niya chastot svobodnykh kolebaniy mekhanicheskikh sistem]. Sovremennyye tekhnologii . Sis-temnyy analiz . Modelirovaniye, 2016, no. 1 (49), pp. 8 - 19.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Елисеев Сергей Викторович
Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС).
Чернышевского ул., д. 15, г. Иркутск, 664074, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор, директор -главный научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, ИрГУПС.
Тел.: +7 (3952) 63-83-26.
E-mail: eliseev_s@inbox.ru
Хоменко Андрей Павлович
Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС).
Чернышевского ул., д. 15, г. Иркутск, 664074, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор, ректор ИрГУПСа.
Тел.: +7 (3952) 63-83-11.
E-mail: homenko@irgups.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
Елисеев, С. В. Формы совместных движений элементов трехмассовой колебательной системы: влияние динамических жесткостей [Текст] / С. В. Елисеев, А. П. Хоменко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2016. -№ 2 (26). - С. 27 - 41.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Eliseev Sergey Victorovich
Irkutsk State Transport University (ISTU).
15, Chernishvsky st., Irkutsk, 664074, the Russion Federation.
Doctor of Technical Sciences, Professor, Director of Research and Educational Center «Modern technologies, systems analysis and modeling» Irkutsk State Transport University.
Phone: +7 (3952) 63-83-26.
E-mail: eliseev_s@inbox.ru
Khomenko Andrey Pavlovich
Irkutsk State Transport University (ISTU).
15, Chernishvsky st., Irkutsk, 664074, the Russion Federation.
Doctor of Technical Sciences, Professor, Rector of Irkutsk State Transport University.
Phone: +7 (3952) 63-83-11.
E-mail: homenko@irgups.ru
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Eliseev S.V., Khomenko A.P. Forms of joint motion of element of three-mass oscillating system: influence of dynamic stiffness. Journal of Transsib Railway Studies, 2016, vol. 26, no. 2, pp. 27 - 41. (In Russian).
УДК 681.3: 624.4
1 2 А. Н. Крыгин , А. В. Плаксин
1Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация,
2Западно-Сибирская железная дорога - филиал ОАО «РЖД», г. Новосибирск, Российская Федерация
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МОЩНОСТИ ЭЛЕКТРОВОЗОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА В ТЯГОВОМ РЕЖИМЕ И
СПОСОБ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Аннотация. Рациональным способом повышения эксплуатационного КПД локомотива является ступенчатое регулирование мощности.
Осуществление данного способа возможно при применении устройств автоматического регулирования мощности, реализующих оптимальный нагрузочный режим работы тягово-энергетической установки (ТЭУ) локомотива.
Целью данной работы является получение математической зависимости, устанавливающей оптимальное соотношение количества работающих тяговых двигателей (ТД) с учетом силы тяги и скорости движения.
Определение оптимального соотношения находящихся в работе тяговых двигателей базируется на нахождении минимума потерь мощности в узлах ТЭУ.
