МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Вестник Сыктывкарского университета.
Серия 1: Математика. Механика. Информатика.
Выпуск 1 (21). 2016
УДК 537.622
ФОРМУЛА СМИТА - БЕЛЬЕРСА В. А. Устюгов
В статье дан краткий исторический обзор исследований ферромагнитного резонанса и приведен вывод формулы Смита - Бе-льерса для расчета положения и ширины резонансной линии. Приведен пример расчета резонансной частоты однодоменной частицы эллипсоидальной формы.
Ключевые слова: ферромагнетизм, резонансная частота.
Методы радиоспектроскопии, в том числе метод ферромагнитного резонанса (ФМР) позволяют выяснить тонкие детали внутренних свойств атомных образований, взаимодействий, происходящих в кристаллических структурах магнетиков [5]. Начало этой области физики положило открытие П. Зееманом в 1896 году эффекта расщепления внешним однородным полем Н0 энергетических уровней изолированного атома. В эксперименте это наблюдается в виде расщепления спектральных линий, возникающего при оптических квантовых переходах между различными зеемановскими мультиплетами. Объяснение явления в рамках классической физики дал Х. Лоренц и в 1902 году разделил с Зееманом Нобелевскую премию.
1. Общая формула для резонансной частоты
Как известно, поведение намагниченности в ферромагнетике обусловлено конкуренцией внутренних и внешних полей. Однако внутренние взаимодействия (среди которых поля обмена, кристаллической анизотропии, анизотропии формы, т.е. различной природы и действия) можно учесть феноменологически, полагая, что вектор намагниченности прецессирует не в композиции внутренних и внешнем поле Но, а в некотором эффективном внутреннем поле Нэфф. Уравнение движения в этом случае принимает вид
М = -7[М, Нэфф]. (1)
© Устюгов В. А., 2016.
Отличие эффективного поля от внешнего постоянного обусловливает отличие резонансной частоты вектора намагниченности от частоты лар-моровской прецессии ш0. Смит [4] и Сул [3] в 1954-1955 годах независимо предложили удобный метод вычисления резонансной частоты.
Перейдем к сферической системе координат, в которой ориентация вектора M определяется полярным и азимутальным углами $ и Переход от декартовых координат (ж1,ж2,жз) осуществляется следующим образом:
Mxi = M sin $ cos Mx2 = M sin $ sin Mx3 = M cos $. (2) Распишем покомпонентно систему уравнений (1):
Отсюда
exi exi ex3
M = —y[M, Нэфф] = Mxi Mx2 Mx3
Hxi HX2 Hx3
M^xi = — Y(Mx2 Hx3 — Mx3 Hx2 ) =
(3)
(4)
Mx2 = - Y(Mx3 Hxi - Mxi Hx3) =
— y(M cos $HXi — M sin $ cos ^Hx3),
Л^хз = — Y(Mxi Hx2 — Mx2 Hxi) =
— y(M sin $ cos ^Hx2 — M sin $ sin ^Hxi).
При переходе к сферическим координатам радиальная Hm , полярная H и азимутальная H^ — составляющие эффективного поля, выражаются через декартовы компоненты следующим образом:
HM = Hxi sin $ cos + Hx2 sin $ sin ^ + Hx3 cos $, H = Hxi cos $ cos ^ + Hx2 cos $ sin ^ — Hx3 sin $, (5)
H = — Hxi sin ^ + Hx2 cos
Учитывая это, преобразуем систему уравнений (1). Найдем производную компоненты Mx3:
(Mx3)' = (M cos $)' = —M sin $ ■ $. (6)
Принимая во внимание, что M = const, получим закон изменения полярного угла:
— sin $ ■ $ = —y(sin $ cos ^Hx2 — sin $ sin ^Hxi),
$ = y(cos ^Hx2 — sin <^HXi) = yH^. (7)
В состоянии термодинамического равновесия направление вектора намагниченности М совпадает с направлением внутреннего эффективного поля Нм, величина которого может быть определена через плотность свободной энергии и>:
Нм = - т (8)
В этом случае составляющие эффективного поля Н и Н? отсутствуют. Углы -$0 и равновесной ориентации вектора намагниченности могут быть найдены из уравнений
dw _ dw
dV =0; = д^
wj = — = 0; wv = — = 0. (9)
Поскольку задача нахождения равновесной ориентации ветора намагниченности приводит к существенным математическим затруднениям, на практике применяют методы численного (в том числе компьютерного) моделирования либо проводят аналитический расчет резонансной частоты только в некоторых предельных случаях.
В случае малого отклонения намагниченности от равновесия условия (9) не выполняются и ориентация вектора M будет изменяться под действием отличных от нуля компонент поля:
H = wi}; H = nm
Hi) = —ñ7; HtP = —a • (iU)
M M sin V
Если отклонения угла вектора намагниченности от положения равновесия малы, т.е.
óV(t) = V(t) — Vo; óp(t) = <p(t) — <fo, (11)
то, вычисляя производные свободной энергии, можно ограничиться линейными членами:
wj = wjjóV + w^ó^; wv = w^j óV + wwó<£, (12)
где вторые производные вычисляются для положения равновесия.
Учитывая (10) и (12), получаем систему линейных уравнений, описывающих малые колебания вектора намагниченности около положения равновесия:
—y 1M sin Vo ■ óV = w^jóV + w^óif; (13)
7-1M sin V0 ■ ó(p = w^óV + wjlfóp.
Система однородных уравнений (13) имеет периодические решения ~ ехр(г^), если определитель характеристической системы уравнений равен нулю:
Отсюда найдем выражение для резонансной частоты колебаний:
Выражение (15) известно, так же как формула Смита - Бельерса.
2. Расчет резонансных частот частицы эллипсоидальной формы
В качестве примера использования методики Смита - Бельерса рассмотрим задачу нахождения резонансных частот однодоменной частицы эллипсоидальной формы. Выберем систему координат так, чтобы равные полуоси эллипса лежали в плоскости х — у, как показано на рис. 1. Пусть подмагничивающее поле направлено вдоль оси г.
ад^ — ш^ад^ + ш27 1Ы2 ят2 = 0.
(14)
(15)
х
Н
Фн
Но г
Рис. 1. Геометрия задачи
Плотность магнитной свободной энергии частицы в этом случае можно представить в виде суммы энергии анизотропии формы (энергии
размагничивающего поля) и энергии взаимодействия со статическим внешним полем [1]:
w(m) = -MH + 2nMN M, (16)
где m = M/M — вектор направляющих косинусов намагниченности, N = diag (Nx, Ny, Nz) — тензор размагничивающих факторов.
Для удобства дальнейших расчётов перейдём к сферическим координатам [6]. Полярные углы будем отсчитывать от оси x, азимутальные — от оси y. Тогда свободная энергия частицы в общем виде запишется следующим образом:
w($, p) = — MsH0 (sin $ sin 6H cos(0H — p) + cos $ cos 6H) +
+ 1 Ms2 (Ny sin2 $ cos2 p + Nz sin2 $ sin2 p + Nx cos2 $) , (17)
где углы ($, p) определяют ориентацию вектора M, углы , фя) — ориентацию вектора H.
Обозначим оси рассматриваемого эллипсоида следующим образом:
lx ly lz l|| •
В этом случае
N = Ny = N±, Nz = N||.
Обозначим также разность продольного и поперечного размагничивающих факторов (фактор анизотропии формы) как AN = N|| — Nx, а
l||
отношение полуосей эллипса как n = —.
Аналитические выражения для размагничивающих факторов могут быть получены по формулам Осборна [2]. Для вытянутого вдоль оси z эллипсоида вращения (овоида) n > 1, AN < 0 и
„ n / 1 п / n + Vn2 — 1 \\ , N Nn = ——-- n--, x ln -V , (18)
1 2 (n2 — 1Д 2V/n2—г Vn ^ v/n2—гyy v ;
Nx = ^^ x ln( ^ + — 1) , (19)
n2 — 1 VVn2 — 1 Vn — Vn2 — 1
lx
где n = ---отношение полуосей эллипса.
Для сплюснутого эллипсоида п < 1, Д N > 0 и справедливы форму-
лы:
N11
2(1 - n2Цv/Г-
п2
х агевт
п2
v/Г—
п2
п
1
(20)
N
п
±
1 п2
1
v/Г—п
х агевт
v/Г—П2
п
(21)
Зависимость фактора формы от соотношения осей эллипсоида приведена на рис. 2.
< 1=
<1 ^
1
0.75 0.5 0.25
0
-0.25 -0.5 -0.75
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
П =
к 1±
Рис. 2. Зависимость разности продольного и поперечного размагничивающих факторов эллипсоида вращения от отношения его полуосей
Определим положение равновесия вектора намагниченности для эллипсоида. Согласно поставленной задаче, углы, определяющие направ-
п п
ление вектора Но, равны 9н = ^, Фн = 2' В этом случае свободная энергия запишется в виде:
ф) = — М3И0 вт V вт 1
+ 2М2 (Ny яп2 V еов2 ф + N яп2 V яп2 ф + N еов2 V) . (22)
Положение равновесия соответствует минимуму свободной энергии,
1
1
т.е. может быть найдено из условия [5]:
dw дф
w^ = — = 0, (23)
dw ,
w, ^ — = (24)
Полагая для простоты, что вектор M лежит в плоскости x — z, получим следующие выражения для частных производных:
w^ = 0, (25)
w, = —ЯоМ5 cos V + Ms sin V cos V(N|| — N±). (26)
Таким образом, получаем следующие условия равновесия:
ф = 2, sin Vo = Ms(NH— N±) (27)
для
Ho < Ms(N± — N||)
и
П П
фо = 2, Vo = 2 для Ho >Ms(N|| — N±). (28)
Находя вторые производные в положениях равновесия, для случая (28) можно получить уравнение, связывающее резонансную частоту и подмагничивающее поле (формула Киттеля):
Ures = Y (Ho — MsAN). (29)
Рассмотрим в качестве предельных случаев эллипсоида бесконечно тонкий диск (n = то, AN = 4п) и бесконечно длинный цилиндр (n = 0, AN = — 2п). Графики зависимости резонансных частот от uo = yHo (рис. 3) иллюстрируют влияние формы на резонансные свойства частиц.
3. Заключение
Рассмотренная методика позволяет рассчитывать резонансные частоты ферромагнитных частиц, однако обладает рядом ограничений, связанных с трудностью вычисления равновесных углов, записью выражений для составляющих внутренних полей в сферических координатах. Также в оригинальном варианте не учитываются процессы затухания. Для проведения точных расчетов резонансных частот частиц сложной формы требуются расширенные версии методики, рассмотрение которых выходит за рамки настоящей статьи.
1.5 1.25 1
I f 0.75
0.5 0.25
0
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
та
Щм
Рис. 3. Зависимость резонансной частоты от w0 (в единицах
= 4nYMs) для образцов различной формы: (1) — продольно намагниченный цилиндр, (2) — параллельно намагниченный диск, (3) — сфера, (4) — поперечно намагниченный цилиндр
Список литературы
1. Coey, J. Magnetism and Magnetic Materials / J. Coey. Cambridge University Press, 2010. 633 p.
2. Osborn, J. A. Demagnetizing factors of the general ellipsoid / J. A. Osborn // Phys. Rev. B. 1945. vol. 67. Pp. 352-357.
3. Suhl, H. Ferromagnetic resonance in nickel ferrite / H. Suhl // Phys. Rev. 1954. Vol. 97. Pp. 555-557.
4. Smith J., Beljers H. J. Ferromagnetic resonance absorbtion in BaFei2Oi9, a highly anisotropic crystall // Philips Res. Rep. 1955. Vol. 10. Pp. 113-130.
5. Ферромагнитный резонанс / под ред. С. В. Вонсовского. М.: Государственное издательство физико-математической литературы,
1961. 344 с.
6. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.:
Физматлит, 1994. 464 с.
СГУ им. Питирима Сорокина
Поступила 01.10.2016
Summary
Ustyugov V. A. Smith - Beljers formula
The article gives a brief historical overview of ferromagnetic resonance studies and describes a derivation of the Smith - Beljers formula. An example of the calculation of the resonance frequency of single-domain ellipsoidal particles is given. Keywords: ferromagnetism, resonance frequency.
References
1. Coey, J. Magnetism and Magnetic Materials / J. Coey. Cambridge University Press, 2010. 633 p.
2. Osborn, J. A. Demagnetizing factors of the general ellipsoid / J. A. Osborn // Phys. Rev. B. 1945. vol. 67. Pp. 352-357.
3. Suhl H. Werromagnetic resonance in nickel ferrite / H. Suhl // Phys. Rev. 1954. Vol. 97. Pp. 555-557.
4. Smith J., Beljers H. J. Ferromagnetic resonance absorbtion in BaFei2Oi9, a highly anisotropic crystall // Philips Res. Rep. 1955. Vol 10. Pp. 113-130.
5. Ferromagnetic resonance / Ed. by S. V. Vonsovsky. Moscow: Gosu-darstvennoe izdatelstvo fiziko-tekhnichskoi literatury, 1961. 344 p.
6. Gurevich A. G. Magnetic oscillations and waves / A.G. Gurevich, G.A. Melkov. Moscow: Fizmatlit, 1994. 464 p.
Для цитирования: Устюгов В. А. Формула Смита - Бельерса // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 1 (21). C. 77-85.
For citation: Ustyugov V. A. Smith-Beljers formula // Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics. 2016. №1 (21). Pp. 77-85.