Особенности движения капли магнитной жидкости в магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.63

ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ КАПЛИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ

В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

© 2006 г. O. C. Konwnoea, P.r. 3aKUHHH, ffl.H. fluKaHCKuti

Movement of a drop of a magnetic liquid in a constant and variable magnetic field is researched. Features of movement of a drop depending on a direction and sizes of intensity of a constant and variable magnetic field are found out. Value for resonant frequency of fluctuation of a drop is found.

Процессы деформации капель магнитной жидкости в магнитном поле ранее исследовались во многих работах, анализ большинства которых представлен в монографиях [1-3]. Настоящая работа посвящена изучению особенностей движения капель магнитной жидкости (МЖ) в жидкой среде, обусловленных их деформацией при воздействии постоянного и переменного магнитных полей.

Методика эксперимента

Исследовалось движение капель магнитной жидкости диаметром от 0,5 до 1 мм, для получения которых была использована МЖ типа магнетит в керосине с олеиновой кислотой в качестве стабилизатора (намагниченность насыщения 57,5 кА/м). Измерение диаметра капли и отношение ее полуосей в случае деформации осуществлялось путем компьютерного анализа фотографий, сделанных цифровым фотоаппаратом.

Движение капли МЖ осуществлялось в жидкой среде - дистиллированной воде, плотность которой при исследованных температурах была близка к значению 103 кг/м3, динамическая вязкость составляла 1,004-10-3 Па-с.

Сосуд с водой помещался в однородное магнитное поле, создаваемого с помощью кубической пятисек-ционной катушки (сконструированной согласно [4]), длина ребра которой составляла 0,35 м. При создании переменных полей для питания намагничивающей системы использовался генератор типа ГЗ-123 с усилителем мощности типа ЬУ 103. Измерение времени падения капли проводилось при помощи электронного секундомера с точностью до 0,01 с. Параллельно проводилась съемка движения капли МЖ цифровой видеокамерой с последующим анализом его особенностей с помощью компьютера.

Экспериментальные результаты

При движении тела в жидкости (или газе) оно испытывает силу сопротивления, зависящую от формы и размеров тела и скорости его движения, а также от свойств самой среды. Действие однородного магнитного поля на каплю магнитной жидкости приводит к деформации капли (к изменению ее формы). Это дает возможность изменять силу сопротивления при движении капли с помощью воздействия магнитным полем. Первоначально было исследовано движение капли МЖ в однородном постоянном магнитном поле, направленном перпендикулярно и параллельно скоро-

сти движения. Полученные в этом случае результаты и их обсуждение приводилось нами ранее в [5], где были выяснены особенности изменения скорости движения капли в зависимости от направления и величины напряженности магнитного поля. В случае воздействия на каплю переменным магнитным полем происходит пульсация ее формы, что приводит к периодическому изменению коэффициента сопротивления. В результате этого полное время падения капли изменяется и оказывается существенно зависимым от частоты воздействующего переменного поля. На рис. 1 приведены графики зависимости времени падения капли от частоты переменного магнитного поля, направленного перпендикулярно скорости движения капли (кривая 1) и параллельно ей (кривая 2).

t,c

и, Гц

Рис. 1. Зависимость времени падения капли от частоты магнитного поля

Наличие максимума (кривая 1) и минимума (кривая 2) на полученных зависимостях, очевидно, обусловлено резонансными явлениями, характерными для периодического изменения формы капли под воздействием внешней переменной силы. В качестве подтверждения этого на рис. 2 представлена зависимость амплитудного удлинения капли от частоты, полученная на основе анализа съемок колебания формы капли видеокамерой. Как видно из рисунка, представленная зависимость имеет максимум при той же частоте, при которой наблюдаются экстремумы в зависимостях времени падения капли от частоты. При совпадении частоты переменного магнитного поля с собственной частотой колебания капли амплитудное

удлинение капли максимально, что приводит к увеличению сопротивления движению капли в случае, когда направление магнитного поля перпендикулярно движению капли, и как следствие, увеличению времени ее падения. В случае воздействия на падающую каплю вертикально направленного переменного магнитного поля эти же эффекты приводят к уменьшению времени падения от частоты минимума. Исследования, проведенные в однородном постоянном магнитном поле, направление которого составляет некоторый острый угол с вертикалью, выявили появление горизонтальной составляющей скорости их, приводящей к отклонению падающей капли от вертикали. Измерение смещения капли от вертикали позволяет рассчитать величину их. Оказалось, что максимального значения горизонтальная составляющая скорости достигает при угле между направлением поля (направлением большой полуоси деформированной капли) и вертикалью, близком к 45 о.

с/а

Рис. 2. Зависимость максимального отношения полуосей эллипсоидальной капли от частоты магнитного поля

На рис. 3 представлена экспериментально полученная зависимость горизонтальной составляющей скорости от угла между направлением движения и направлением напряженности магнитного поля (кривая 1).

При движении капли в переменном магнитном поле, направленном под острым углом к вертикали, величина горизонтальной составляющей ее скорости вследствие периодического изменения формы капли также периодически изменяется. В результате этого траектория движения капли принимает извилистый вид (рис. 4). Очевидно, что в те моменты времени, когда форма капли близка к сферической, горизонтальная составляющая скорости равна нулю. Максимальное значение этой скорости капля имеет в моменты максимальной деформации капли, когда мгновенное значение напряженности поля соответствует амплитудному.

Отметим, что в данном случае исследовано движение капли в переменном магнитном поле, частота которого не превышала собственную частоту колебаний капли (например, траектория движения капли, представленная на рис. 4 получена при частоте пере-

менного магнитного поля 10 Гц). Величина периодического отклонения капли от вертикали, как и следовало ожидать, максимальна при совпадении частоты переменного поля с собственной частотой колебания капли.

их, м/с

Рис. 3. Зависимость горизонтальной составляющей скорости движения капли от угла между направлением напряженности магнитного поля и вертикалью: 1 - эксперимент, 2 - теория

Рис. 4. Фотография движения капли в переменном магнитном поле, когда направление движения составляет острый угол с направлением напряженности магнитного поля

Обсуждение экспериментальных результатов

Падение капли в переменном магнитном поле.

Обнаруженные экстремумы в зависимостях времени

падения капли от частоты воздействующего переменного поля при различной его ориентации связаны с резонансными эффектами, возникающими при вынужденных колебаниях формы капли.

Резонансная частота колебаний капли может быть рассчитана по формуле Рэлея [6]:

(m

2 24а

®0 =-3-

5pR03

(1)

где Ro - радиус невозмущенной сферической капли; р - плотность магнитной жидкости; а - поверхностное натяжение.

В расчетах принимались следующие численные

Н кг значения величин: а = 0,025—, р = 1465-.

м м3

В результате проведенных расчетов по формуле (1) оказалось, что Крез = 15 Гц , в отличие от экспериментального значения, равного (согласно рис. 2),

V рез = 10 Гц .

Падение капли МЖ в однородном постоянном магнитном поле, направленном под острым углом к направлению движения. Рассмотрим случай, когда на каплю эллипсоидальной формы в неограниченной жидкости в состоянии своего установившегося движения (рис. 5), действует магнитное поле, направление которого составляет некоторый острый угол с направлением движения капли.

Нгправлекие движения

Направпенне сипы тяжести

Рис. 5. Движение капли эллипсоидальной формы в постоянном магнитном поле, в случае, когда направление движения составляет острый угол с направлением напряженности постоянного магнитного поля

Конечную скорость и этой капли можно определить, если как трансляционный тензор, так и равновесная ориентация ее главных осей симметрии относительно поля силы тяжести известны. Тогда, согласно [7]:

мж mср)

ГЕ

K-1 • g,

(2)

где

- mCp = VAp ; V - объем капли;

Ар = рмж - Рср - разность плотностей МЖ и среды

(вода); К-1 - обратный трансляционный тензор, % = к • g ; § - ускорение свободного падения; г1 -вязкость среды(вода).

Пусть х', у', г' - система декартовых осей, связанных с каплей и расположенных параллельно главным трансляционным осям последней. Кроме того, х , у, г - вторая система, фиксированная в пространстве и выбранная так, что ось г направлена вертикально вниз.

Вектор скорости равен

V = 'Юх + ¡Оу + ко2. (4)

Для эллипсоида две главные оси симметрии расположены в плоскости, проходящей через вертикаль и большую полуось эллипсоида, а третья - нормальна к ней. Нормаль к этой плоскости соответствует оси г', а угол между ней и вектором % обозначен на рис. 5

через р^0 < р < . Оси у и у' совпадают и направлены вверх нормально плоскости рисунка. В соответствии с этим оси х' и г' можно получить поворотом осей х иг на угол р относительно осей у, у'. Следовательно, оси х иг лежат в той же плоскости, что и соответствующие оси, обозначенные штрихом. Во избежание недоразумений примем, что угол между

' ' А П

осями х и г лежит между 0 и —.

Составляющие трансляционного тензора для эллипсоида равны [7]

8пв

Kl = K 2 =

ln(2 ß) +1/2

K з =

4nß

(5)

(6)

1п(2в) -1/2_

где в = а/с; с и а - большая и малая полуоси эллип-

соида; объем эллипсоида

V 4 2

V = — т c; угол

р = 90° - а, а - угол между направлением движения и направлением напряженности магнитного поля. Тогда компоненты скорости падения равны

gVAp

(

2ц

1

V K1

1 K

Л

sin 2р,

2

Uy = 0,

i2 9 1

sin р + cos р [ gVAp

K

K

3

П

(7)

(8)

где их - горизонтальная составляющая скорости частицы. Горизонтальное смещение определится формулой

х = ох1. (9)

и =

m

мж

vx =

На рис. 3 представлена рассчитанная с помощью (7) зависимость их (р) для исследованной капли (кривая 2), которая качественно согласуется аналогичной зависимостью, полученной экспериментально (кривая 1). Рассчитанное при использовании выражения (7) для их максимальное горизонтальное смещение падающей капли в магнитном поле, направленном под углом р = 40° к вертикали, составило 5,9 см, которое несколько отличается от измеренного экспериментально (5 ± 0,3) см .

Таким образом, исследования, проведенные в однородном постоянном магнитном поле, направление которого составляет некоторый острый угол с вертикалью, выявили появление горизонтальной составляющей скорости, приводящей к отклонению падающей капли от вертикали.

Движение капли в переменном магнитном поле, направленном под острым углом к вертикали. Рассмотрим каплю эллипсоидальной формы в неограниченной жидкости в состоянии своего установившегося движения. Установившуюся скорость падения и этой частицы можно определить, согласно [7], по формуле (2).

Компоненты скорости падения в соответствии с (7), (8) равны:

3 - ln2

у 2

gVAp sin 2ф

16п

r/R

1 -1 е 2

3

Uy = 0,

(10) (11)

2 + ln 2 j - ( -2 - ln2 I cos2 ф

8n

gVAp

1 -1 е 2

rR У 3

(12)

Капля в магнитном поле обладает потенциальной энергией

г2

W =-»0%H .V

"m , ' '

1 + х- n

(13)

где Н - напряженность магнитного поля; х - магнитная восприимчивость магнитной жидкости; п -размагничивающий фактор; Я - радиус эквивалентной сферы.

Согласно [2], размагничивающий фактор для эллипсоида вращения равен

n =-

1 - е

2е

3

ln 1 + е - 2е 1-е

(14)

Выражение для поверхностной энергии запишем в виде

Wc=cS = 2ncR 2 1 -

( - е 2)

13

1+■

arcsin е

е( - е2)

12

(15)

где а - удельная поверхностная энергия капли. Тогда полная энергия капли равна

W = Wc+ Wm = 2ncR2(1 - 2'1/3

-е2 )

1+

4 - е

1/2

M0XH2

■V.

(16)

1 + х- п

Эксцентриситет капли найдем из условия минимума полной энергии:

дШ/ де = 0. (17)

При малых значениях эксцентриситета воспользуемся разложением размагничивающего фактора

1 2 2

n =---е .

3 15

(18)

После элементарных преобразований получим зависимость эксцентриситета капли от напряженности магнитного поля

1 M0R X

■ H .

(19)

'4 а 1 + X 3 R - радиус эквивалентной сферы. Пусть напряженность магнитного поля изменяется по закону

H = H0 cos at. (20)

Тогда закон изменения эксцентриситета капли примет вид

ex = -\je2s< - Ax • cos 2at ;

: yjе2 - Az ■ cos 2 at.

(21) (22)

где

е = 1 И0 R X H 0

е с' — if

4 c 1 + xl3 4l

Ax =

3

Bom

10 ( -4a:

3 Bom

( X Л

) 1+X 3

Az 10 (a02 -4a21+ X3.

X

■ cos 2ф,

■ sin 2 ф ,

где Bom - магнитное число Бонда, определяемое

выражением [2] Bom =

И0 H 2 R

c

Тогда

dx

Ox = — = A,l 1 --е2' I-

dt

A, A

x

cos 2at

(23)

где

A1 =

3 - ln 2

2 J gVAp sin 2ф

16n

nR

dz

dt

Oz = — = A,l 1--I + l-

3

( A^A.

3

cos 2at

(24)

A2 =

- + ln 2 I -(3 - ln2 j cos2 ф

2 J У 2 J ^ gVAp

8n nR

Зависимости проекций перемещений на оси x и z определятся соответственно:

arcsin е

Ox =

Oz =-

х

2

2

3

х = их • t, (25)

г = и г • t, (26)

при этом расчет траектории движения подтверждает ее извилистый вид, наблюдаемый в эксперименте.

Таким образом, в работе исследованы особенности движения капли магнитной жидкости в постоянном и переменном магнитном поле. Показана возможность изменения скорости падения капли за счет деформации ее формы в постоянном магнитном поле, а также возможность изменения траектории движения капли за счет появления горизонтальной составляющей скорости в случае направления магнитного поля под углом к вертикали. Обнаружена существенная зависимость времени падения капли в переменном магнитном поле от его частоты, обусловленная резонансными эффектами, возникающими при вынужденных колебаниях формы капли. Установлено, что при воздействии на падающую каплю переменного магнитного поля, направленного под некоторым углом к вертикали, траектория движения капли принимает извили-

Ставропольский государственный университет_

стый вид. Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности эффективного управления движением капли магнитной жидкости с помощью магнитных полей.

Литература

1. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. М., 1981.

2. Блум Э.Я., Майоров М.М., Цеберс А.О. Магнитные жидкости. Рига, 1989.

3. Чеканов В.В., Кандаурова Н.В. // Магнитная гидродинамика. 2000. Вып. 1. № 69.

4. Кифер И.И. Испытания ферромагнитных материалов. М.; Л., 1962.

5. Копылова О.С. // Материалы Всероссийской научной конференции студентов-физиков - 11. Екатеринбург. 2005.

6. Ламб Г. Гидродинамика. М., 1947.

7. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М., 1976.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1982.

_10 августа 2005 г.