Модель описания гранулированных ферромагнитных пленок Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып.1(20). 2015

УДК 537.622

МОДЕЛЬ ОПИСАНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ПЛЕНОК

Ф. Ф. Асадуллин, Л. Н. Котов, В. А. Устюгов

В статье описана математическая модель ферромагнитных гранулированных пленок, позволяющая рассчитать поля размагничивания и частоты ферромагнитного резонанса (ФМР). Пленки представляются как ансамбли частиц эллипсоидальной формы. Описаны возможные варианты ориентации частиц относительно внешнего подмагничивающего поля, для приведенных случаев рассчитаны частоты ФМР.

Ключевые слова: тонкие композитные пленки, ферромагнетизм, размагничивающее поле.

В последние десятилетия исследователи проявляют большой интерес к изучению свойств низкоразмерных магнитных систем, таких как моно-, поликристаллические и аморфные магнитные плёнки, композитные и многослойные структуры. Процесс вычисления факторов размагничивания таких комплексных структур может оказаться весьма трудоемким, что вынуждает искать способы расчетов методами компьютерного моделирования или построения простых математических моделей, целью которых является упрощение описания.

Рассмотрим ансамбль эллипсоидов, расположенных в узлах бесконечной квадратной решётки с параметром Ь (рис. 1). Для расчёта воспользуемся моделью, описанной в работе [1].

Диполь-дипольное взаимодействие в ансамбле приводит к появлению анизотропии, зависящей от макроскопической формы ансамбля и взаимного расположения гранул [2,3]. Энергия диполь-дипольного взаимодействия выражается следующим образом:

г= 1

г= 1

© Асадуллин Ф. Ф., Котов Л. Н., Устюгов В. А., 2015.

где Ум — объём ансамбля, Щм — макроскопический тензор размагничивания ансамбля, ЩР — тензор размагничивания отдельной гранулы. Если в состав ансамбля входят эллипсоиды вращения или цилиндры, тензор размагничивающих факторов можно представить в виде

Щр = 4п • (Над(е; е; 1 - 2е),

Щ |

где е =--коэффициент эллиптичности.

4п

В случае когда гранулы намагничены перпендикулярно к плоскости расположения ансамбля, плотность энергии анизотропии записывается следующим образом:

^ = 2пМ82/2 + 2пМ2 / (/ - 1)Щ±, (2)

где / — объёмная концентрация частиц в ансамбле. Для исследуемых

в работе композитных плёнок концентрация / определяется как

/=, (3)

где Ут — объём металлической фазы, У^ — объём диэлектрической фазы в композитном материале.

Зависимость плотности энергии анизотропии от концентрации частиц и их формы показана на рис. 2. Можно видеть, что энергия анизотропии растёт с увеличением коэффициента заполнения ансамбля /, это связано с увеличением количества частиц (или их объёма), что, в свою очередь, вызывает рост величины полей диполь-дипольного взаимодействия. В случае регулярного расположения одинаковых гранул форма последних слабо влияет на анизотропию, так как в рамках данной модели мы считаем гранулы однодоменными, и величина поля их взаимодействия зависит только от расстояния между гранулами.

Рис. 2. Зависимость энергии анизотропии ансамбля, намагниченного перпендикулярно к плоскости ансамбля, от концентрации частиц и их формы

Рассмотрим плотность поверхностной анизотропии ансамбля. Согласно методике, описанной в работе [1], она может быть найдена по формуле:

к$н = 2Анм (И )2 + 2Ажр {{И2) - (М)2), (4)

где А Жм = NМ — Nм — макроскопический фактор формы ансамбля, АЖр = Жр — — фактор формы отдельной гранулы.

Если ансамбль гранул имеет бесконечные размеры, тогда:

ЖМУ =0; ЖМ = ЖМ = 4п; АЖМ = —4п. (5)

Средняя намагниченность ансамбля зависит от намагниченности гранул и от коэффициента заполнения гранулами объёма ансамбля:

(И) = /М0; (И2) = /Ма2, (6)

где М0 — средняя намагниченность отдельной гранулы.

Таким образом, объёмную плотность энергии анизотропии формы можно записать в виде:

К$к = —2 пМ / [1 — 3е(1 — /)], (7)

где £ — коэффициент эллиптичности гранул, / — коэффициент заполнения ансамбля.

Как 2тгМ|

-0.1 -0.3 -0.5 -0.7

0

1.4

Рис. 3. Зависимость приведённой константы поверхностной анизотропии от геометрии ансамбля и формы частиц

Если гранулы расположены в узлах квадратной решётки, зная радиус эллипсоидов, коэффициент / можно определить по формуле

где Ц — радиус эллипсоида в плоскости плёнки, Ь —расстояние между эллипсоидами.

Зависимость приведённой константы поверхностной анизотропии от геометрии ансамбля и формы частиц приведена на рис. 3, из которого видно, что в случае регулярно расположенных одинаковых частиц в ансамбле поверхностная анизотропия слабо зависит от формы частиц, но существенно изменяется при изменении относительного расположения частиц в ансамбле. Чем меньше параметр р, то есть чем ближе друг к другу стоят частицы, тем значение плотности поверхностной анизотропии больше, что связано с зависимостью величины диполь-дипольного взаимодействия от расстояния между магнитными моментами.

1. Ферромагнитный резонанс в композитной структуре

Для расчёта резонансных частот (полей) и ширины резонансной линии в композитной структуре воспользуемся методикой Скроцкого-Курбатова и моделью Дубовика [1]. Частицы, включённые в диэлектрическую матрицу, аппроксимируем одинаковыми эллипсоидами вра-

(8)

щения, две оси которых лежат в плоскости пленки, а третья перпендикулярна ей. Намагниченность частиц также полагаем одинаковой величины.

Пусть размагничивающие факторы эллипсоидов вдоль их одинаковых полуосей равны N, размагничивающий фактор вдоль третьей оси равен N±.

Рассмотрим ряд задач с различной геометрией, отвечающей возможным расположениям эллипсоидов и направлениям подмагничивающего поля. Плотность свободной энергии композита в общем виде для всех случаев записывается следующим образом:

w = -М ■ Н + 1 /2МЫ;итМ + 1 /(1 - /)МКраг(М, (9)

где — тензор размагничивающих факторов пленки, — тен-

зор размагничивающих факторов отдельной частицы, / — объемная концентрация металлической фазы в композите.

1.1. Случай А. Геометрия задачи представлена на рис. 4. Композитная пленка ориентирована в плоскости х — у. Длинная ось эллипсоида вращения лежит в плоскости пленки. Подмагничивающее поле направлено по оси у (то есть фн = 0, 6н = п/2). В описанной геометрии

Рис. 4. Геометрия задачи (случай А) плотность свободной энергии композитной плёнки запишется в виде

w(ti,^) = -H0Ms f sin ti cos ш + 2nM? f2 cos ti+

+ 2nM2f (1 - f) (N± (cos2 ti + sin2 ti cos2 ш) + N sin2 ti sin2 Ш . (10)

Для простоты полагая ^м0 = 0 и находя первые производные плотности свободной энергии, получаем следующие условия равновесия вектора намагниченности:

= 0; sin = 47rMf f (11)

если H0 < 4nMs/, и

n

^Mq = 0; §MQ = 2 > (12)

если Н0 ^ 4пМ/.

Находя вторые производные плотности свободной энергии, запишем уравнение ферромагнитного резонанса для случая (11):

"resV = Hc/Uz-^)2-1|- (13)

Ширину линии ФМР можно найти по формуле

A^res = 4nMs/ (Ho - (4nMs/)2) (2 + /). (14)

Зависимость приведённой резонансной частоты от концентрации металлической фазы в плёнке представлена на рис. 5. Для случая (12) получим:

^res = YH/. (15)

1.2. Случай B. Геометрия задачи аналогична случаю A, за исключением того, что подмагничивающее поле направлено по оси x (то есть фн = п/2, 6н = п/2). Плотность свободной энергии композитной плёнки для этого случая запишется в виде

w(§,^) = —HcMs/sin § cos ^ + 2nMs2/2 cos §+

+ 2nMs2/(1 — /) (N|| (cos2 § + sin2 § cos2 p) + N± sin2 § sin2 p) . (16)

Полагая для простоты вычислений ^mq = п/2, аналогичным образом можно найти производные плотности свободной энергии и определить условия равновесия вектора намагниченности:

^ = 2, sin §mQ = 4nMp' (17)

если Hc < 4nMsP. Здесь P = / — /(1 — /) (N^ — Ny) — фактор формы, то есть коэффициент, характеризующий размагничивающие свойства ансамбля частиц.

Рис. 5. Зависимость приведённой резонансной частоты от концентрации металлической фазы при различных величинах подмагничивающе-го поля Но: 5000 Э (1) и 2000 Э (2)

Если H0 > 4nMsP, то

п п

= 2' = 2 • (18)

Находя вторые производные свободной энергии, получим уравнение резонанса и ширину резонансной линии:

= (Hof )2 - (4nMs fP)2, (19)

^ = M (S - ^P) • (20)

1.3. Случай C. Геометрия задачи аналогична случаю A, за исключением того, что подмагничивающее поле направлено вдоль оси z. В этом случае для расчёта в качестве полярной оси необходимо выбрать ось x (рис. 6), и углы, определяющие направление поля, равны фн = п/2, вн = п/2.

Плотность свободной энергии записывается в виде:

w(tf, f) = -H0 Ms f sin f cos f + 2nM2s f2 sin2 f sin2 tf+

+ 2nM2 f (1 - f) (Nil (cos2 tf + sin2 f sin2 tf) + N± sin2 tf cos2 f) . (21)

Рис. 6. Геометрия задачи (случай С)

Для простоты полагая <^Мо = п/2 и находя первые производные плотности свободной энергии, получаем следующие условия равновесия вектора намагниченности:

н

рыо =0; вт ^мо = 4ПМ7, (22)

если Н0 < 4пМ8 7, и п

^мо =0; ^мо = 2' (23)

если Н0 > 4пМ8 7.

Находя вторые производные плотности свободной энергии, получим следующее уравнение ферромагнитного резонанса для случая (22):

(^Y = (Hof )2 + f ((4пМ, f )2 - Я2) .

о). (24)

U

Y

Зависимость приведённой резонансной частоты от концентрации композитной фазы при различных величинах подмагничивающего поля приведена на рис. 7.

1.4. Случай D. Рассмотрим случай, когда композитная плёнка ориентирована в плоскости x — y, а длинная ось эллипсоида расположена перпендикулярно ей. Геометрия задачи показана на рис. 8.

Пусть вектор подмагничивающего поля лежит в плоскости плёнки (для простоты примем, что он совпадает по направлению с осью y). В этом случае свободная энергия может быть записана в виде

w($, ф) = —МЯ(sin $ sin 6H cos(0H — ф) + cos $ cos 6H) +

+ 1 Ms2f cos2 $ + 1 Ms2f (1 — f )(N|| sin2 $ + N± cos2 $). (25)

Рис. 7. Зависимость приведённой резонансной частоты от концентрации композитной фазы при различных величинах подмагничивающего поля Но: 1000 Э (1) и 3000 Э (2)

Учтём, что фн = 0, 6н = п/2. Выражая производные и w^ и приравнивая их к нулю, можно найти углы, соответствующие положению равновесия вектора намагниченности М. Введём обозначение Q = (/ — (1 — f )(N|| — N±)), где f — объёмная концентрация металлической фазы в композите. Тогда если величина подмагничивающего поля ограничена значением Н0 < 4nMs Q, то

Но

<рМо = °, sin 0Мо = 4Л^, (26)

Если

Но > 4nMsQ, (27)

то

№о = 0, $Mq = 0. (28)

Предположив, что частицы являются плоскими (то есть N| = 0, N± = 1), получим Q = 1. В этом случае условия равновесия (26) и (28) совпадают с условиями равновесия для сплошных плёнок.

Находя вторые производные свободной энергии и используя уравнение Смита-Бельерса, запишем условие резонанса:

Л^Л 2 = (зн02/2 — (4пМв)2/2Q2) , (29)

где a — коэффициент затухания Ландау-Лифшица.

Рис. 8. Геометрия задачи (случай Б) Ширина резонансной линии в данном случае составляет

7« 3Яс/

Д^

Ms 4пО

(30)

1.5. Случай Е. Для нахождения уравнения резонанса при перпендикулярном к плоскости плёнки направлении подмагничивающего поля (вдоль оси г) необходимо в качестве полярной оси выбрать ось х (рис. 9). В этом случае свободную энергию ансамбля можно записать в виде:

w = -Н0 М8 / б1п р б1п $ + 1М2 /2 б1п2 р б1п2 $+

1

+ - М2/ (1 - /) (N11 (б1п2 $ соб2 р + соб2 $) + б1п2 р б1п2 $) . (31)

Условия равновесия вектора намагниченности выражаются следующим образом:

П • 0 Н0 /оо\

Ро =-' Б1П $0 = 4ПМд' (32)

если Н0 < 4пМ8 д и

п

Ро = -, $0 = 0 (33)

при Но > 4пМ5д.

Аналогично предыдущему случаю найдём уравнение резонанса:

(—У = Но2 (-/2 + 3/ + 1) - (4пМв)2д2(/2 + /). (34)

X

I

Z

Рис. 9. Геометрия задачи

Ширина резонансной линии в случае перпендикулярного резонанса равна

2. Заключение

Таким образом, представляя гранулированные пленки в виде ансамблей частиц эллипсоидальной формы, можно рассчитать частоты ФМР и ширину резонансной линии. Эти результаты могут быть использованы для получения наноразмерных пленок с заданными магнитными свойствами.

Список литературы

1. Dubowik J. Shape anisotropy of magnetic heterostructures // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54, no. 2. Pp. 1088-1091.

2. Ishii Y., Okamoto T., Nishina H. Particle length and orientation distributions in magnetic recording media // JMMM. 1991. Vol. 98. Pp. 210-214.

3. Мейлихов Е. З., Фарзетдинова Р. М. Ультратонкие плёнки Co/Cu(110) как решётки ферромагнитных гранул с дипольным взаимодействием // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75. №3. С. 170-174.

(35)

Summary

Asadullin F. F., Kotov L. N., Ustyugov V. A. Ferromagnetic granulated films description model

Mathematical model of the ferromagnetic granular films is described. The model allows to calculate demagnetization field and the frequency of ferromagnetic resonance (FMR). The films are presented as ensembles of ellipsoidal shape particles. For possible variants of particle orientation relative to the external magnetic field FMR frequency is calculated. Keywords: thin composite films, ferromagnetism, demagnetizing field.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 01.10.2015