ФОРМУЛА ПЕРВОГО РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО СЛЕДА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С РАЗРЫВНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

raÄ®

www.volsu.ru

DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu

УДК 517.9 ББК 22.161.6

Дата поступления статьи: 08.06.2021 Дата принятия статьи: 24.02.2022

ФОРМУЛА ПЕРВОГО РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО СЛЕДА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С РАЗРЫВНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

Сергей Иванович Митрохин

Кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, научно-исследовательский вычислительный центр, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова mitrokhin-sergey@yandex.ru

Ленинские горы, 1, стр. 4, 119992 г. Москва, Российская Федерация

см см о см

Аннотация. Изучаются спектральные свойства дифференциального оператора восьмого порядка с кусочно-гладким потенциалом и разрывной весовой функцией. При больших значениях спектрального параметра исследована асимптотика решений дифференциальных уравнений, задающих изучаемый оператор. С помощью полученной асимптотики определены условия «сопряжения» в точке разрыва коэффициентов, необходимость которых следует из физических соображений. Рассмотрены разделенные граничные условия, определяющие оператор. Исследована индикаторная диаграмма уравнения, корнями которого являются собственные значения оператора. Найдена асимптотика собственных значений изучаемого дифференциального оператора. С помощью метода Лидского — Садовничего вычислен первый регуляризованный след дифференциального оператора.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, спектральный параметр, разделенные граничные условия, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений, регуляризованный след оператора.

Постановка задачи

и

х Изучим спектральные свойства дифференциального оператора с разрывными коэф-^ фициентами, задаваемого на отрезке [0; п] дифференциальными уравнениями

@ у(8)(ж) + ql(x)yl(x) = Xa8yl(x), 0 < х < х\, а> 0, (1)

у(8)(ж) + д2(х)у2(х) = АЬ8у2(х), Х\ < X < п, Ь > 0, с условиями «сопряжения» в точке х( разрыва коэффициентов

уг(хг — 0) = у2(х1 + 0);

У(Т)(х 1 — 0) = уГЫ + 0)

ат Ьт

(т) .

т = 1, 2,..., 7,

(2)

(3)

(4)

с граничными условиями

у[т1)(0) = у[т2)(0) = ■ ■ ■ = у(Г] (0) = у2га1)(п) = 0

т( < т2 < ■ ■ ■ < т7; тк, п( € {0,1, 2,..., 7}, к =1, 2,..., 7.

Предполагается, что коэффициенты дифференциальных уравнений (1), (2) удовле творяют следующим условиям гладкости:

дг(х) € С8[0; Х(); д2(х) € С8(хг; п].

Уравнения (1), (2) можно записать в сокращенной векторной форме

у(8)(ж) + Су(х)у(х) = Ар(х)у(х), 0 < х < п, У\(х), 0 < х < х(

(5)

у(х)

р(х)

а , Ъ8,

у2(х), х( < х < п;

д((х), 0 < х < х(. д2(х), х( < х < п

0 < х < х(, х( < х < п;

Я(х)

В уравнении (1)-(4) число А (А € С) — спектральный параметр, функция Q(x) — потенциал, функция р(х) — весовая функция, точка х( € (0, п) — точка разрыва коэффициентов. В случае отсутствия точки разрыва х( (то есть когда Q € С8[0,п]) дифференциальный оператор был изучен в работе [13].

1. Исторический обзор

В работе [4] был впервые вычислен регуляризованный след дифференциального оператора в задаче Штурма — Лиувилля -у"(х) + д(х)у(х) = Ау(х) с разделенными граничными условиями у'(0) = 0,у'(п) = 0, в предположении, что потенциал д(х) € € С([0, п] и условии /0пд(Ь)И = 0: ^— Ак) = ^(0)+ ^(п), где — собственные числа оператора, а Ак = к2 — собственные числа того же оператора с д(х) = 0.

Аналогичные проблемы были рассмотрены в работе [3]. В [13] изучены регуляри-зованные следы операторов с разделенными граничными условиями. В [6] предложен общий метод вычисления регуляризованных следов дифференциальных операторов в предположении регулярной разделимости корней уравнений на собственные значения операторов. Но во всех вышеперечисленных работах коэффициенты дифференциальных уравнений, задающих операторы, предполагались гладкими функциями.

Впервые формулы регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами были вычислены в работах автора [10; 11]. Для вычисления следов операторов порядка выше второго с разрывными коэффициентами на тот момент времени не было теоретической базы.

Изучение операторов с разрывными весовыми функциями было начато в работе [5]: рассмотрена сходимость разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора. Аналогичные вопросы для оператора четвертого порядка исследованы в [2]. В [9] автором рассмотрены спектральные свойства оператора второго порядка с кусочно-постоянной функцией. В работе [8] изучены операторы второго порядка с разрывными весовыми функциями, в том числе приведены примеры изоспектральных операторов (см. [15]). В настоящей работе мы продолжаем эти исследования: изучаем свойства оператора восьмого порядка с разрывной весовой функцией и вычисляем его регуляризованный след.

2. Асимптотика решений дифференциальных уравнений (1), (2) при больших значениях спектрального параметра Л

Пусть Л = з8, 5 = ^Л, причем для корректности дальнейших выкладок зафиксируем ту ветвь арифметического корня восьмой степени, для которой = +1. Пусть шк (к = 1, 2,..., 8) — различные корни восьмой степени из единицы:

,8

= 1; wk = е^-^, к = 1, 2,..., 8; wi = 1;

w% = 1; Wk = е 8 2ni ( 2п\ . . ( 2^4 V2 л/2 . 4лг 2 .

W2 = е8 =cos("^)+1 sm I Y / = + Т" 1 =z ; W3 =e 8 =z =г;... ;

i /2 /2 (6)

Wm = zm i, wn+8 = Wm, m = 1, 2,..., 8; W4 = —Y + ^ W5 = -1;

/2 /2 V2

W6 =--2---2" V; W7 = -V; W8 = "2---2"

Для чисел wk (к = 1, 2,... 8) из (6) справедливы следующие свойства:

88

^ wm = 0, m = 1, 2,..., 7; ^ wm = 8; m = 0, m = 8; (7)

k=i k=i

7 7

^ wm = 0, m =2,3,..., 8; ^ wm = 8, m = 1. (8)

k=0 k=0

Аналогично монографии [12, гл. 2] устанавливается следующее утверждение. Теорема 1. Общее решение дифференциальных уравнений (1), (2) представляется в виде

88 уг(х,8) = Сгк угк (х,8); у{™)(х,8) = ^ С1к y{(l/)(x,s), т = 1, 2,..., 7; (9) к=1 к=1

88

у2(х,з) = ^2 С2к У 2 к (ж,5); У(т) = ^ С2к у^ в), т = 1 2,..., 7; (10) к=1 к=1

при этом С\к ,С2к (к = 1, 2,..., 8) — произвольные постоянные, причем для фундаментальных систем решений [у\к(х,в)}8к=1 и [у2к(х,в)}8к=1 при в ^ то справедливы следующие асимптотические формулы и оценки:

yik (x,s) = e

awksx

wk A7(x) A^(x) |axS

1+ k y + + о

s7 s8 V s9

/ p|Ims lax \

k = 1, 2,..., 8, (11)

у((^)(х,з) = (ашк 8)теаШкЗХ

1+

шкА7(х) , А£(х)

/ Лшз^х \

+ Ч—

+

?8 1 —

У2к (х,з) = еЬшк зх

А8(х) А?(х)

к = 1, 2,..., 8; т = 1, 2,..., 7; Ш В7 (х) + В^0 (х) + / е|1ш^ ~

□8 1 —

(-ЩГ-)

у2г )(х,з) = (Ьшк 8)теь^х

шкВ7(х) В™(х) „

1 + к I1 ; + 81 ; + О

к = 1, 2,...,8;

?8 1 —

/р|1ш«|6ж \ —

к = 1, 2,..., 8; т = 1, 2,..., 7;

Ат(х) = — дгт, А7(0) = 0; А^х) = — Вт(х) = — ' <ь(г)<к, В7(®1) = 0; В7(х) = — ^;

7^) — 7^1(0)

А8(х)

16а8 ' ' 8 (7 — 2тЫж) — 7^1 (0)

Ъд((х) — 7^((0) 2, \ _ 3Я-((х) — 7^((0)

; Л8(Ж)= 16а8 :

16а8

16а7

т = 0,1, 2,..., 7; А78(х)

— 7д((х) — 7д( (0)

В0(х)

7^2 (х) — 7д2 (Ж() 16Ь8 :

В(8(х)

16а8

5^2 (х) — 7д2(х() ; 16Ь8 ;...;

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

; (17)

ТО=(7 — ^^ — 792 (Ж1), т = 0,1, 2,..., 7;

_ —5Я2(х) — 7д2(Х() 7М _ -Гд2(х) — 7д2(Х() п8(Х) = ,с18 ; п8(Х) =

16Ь8

16Ь8

(18)

Для коэффициентов асимптотических формул (11)—(18) справедливы следующие соотношения:

Ё = Ё А™(0) = Ё ^1) = °8 =

т=0 7

т=0 7

т=0 7

Е В™(х) = Е ^(ж) = Е В™(п) = Д,

т=0

т=0

т=0

791(0)

2а8 ;

2Ь8 '

(19)

(20)

Для фундаментальных систем решений {у1к(ж,в)}|=1 и {у2к(ж,в)}|=1 из (11)—(14) справедливы начальные условия:

¿7(0) = 0 ; ¿8(0) = 0 ; ^(ж) = 0 ; В0(ж) = 0 ;

У1к (0,в) = 1; У2к (Х1,з) = еЬшк8Х1;

Уы)(0,8) = (ашк

-0 + + о( 1

у2Г )(^1 ,е) = (Ьшк з)теЪш 3X1

1+0+ / 1

(21)

к = 1,2,...,8; т = 1, 2,..., 7.

7

5

в

5

5

в

5

в

3. Изучение определителя Вронского Д02,2(ж, з)

Пусть Д02,2(ж,з) — определитель Вронского фундаментальной системы решений {у2к=1 дифференциального уравнения (2)

Ло2,2(ж,з) = det Wr[y2l(x, s),y22(x, s),... ,У2в(х, s)j

1 ) У 22(X, ) . to -а ) У28(X, S)

У21(х, ) У 2 2(х, ) . . У 2 7(х, ) У 2 8(х, S)

(7)/ У21 (х s) (7) / У22 (х 8 ) . (7) . У27 (х .). (7) У28 (Х S)

(22)

Из общей теории линейных дифференциальных уравнений известно, что определитель Вронского Д02,2(ж, з) не должен зависеть от х: Д02,2(х,в) = Д02,2(з) = 0. Применяя формулы (13)—(18), имеем

Л02,2(Ж, S)

hi

1 +

wiBj(x) в:

+ 58 + ...

hs

h1(6s)w1

w1B7(x) Bi

i+ 1 77( ) + B8 +...

1+

WgB7(x) B

+ 58 + ...

... h8(bs )ш8

1 + + B8 +

h1(b s )7 ш1

w1B7(x) в

i+ 1 I( ) + B8 +

hs(bs)7w8

1 + wwAM + B7 +

(23)

где введены обозначения Кк = еЬшквх, к = 1, 2,..., 8.

Обозначим через Д00 определитель Вандермонда чисел ш1, ш 2,..., ш 8

А00 = det Wandermound/s( w 1, w 2,..., w8)

Д ( wк - wт) = Аоо = 0

к>т; k,m = 1,2,...,8

1 1 1 . .1

1 2 w 3 . . ws

21 22 w 3 . . 82

. .17 . 72 73 . . . 87

(24)

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть (Ьтк) ( к,т = 1, 2,..., 8) — матрица алгебраических миноров к элементам Ьтк определителя Д00 из (24). Тогда

(6тк )

/6П 612 ... §1s\ 621 622 ... 6 28

681 682 . . . 688

о

7

7

А,

00

( 1 -1 1 -1 . . .1 -1

-ш-1 ш-1 -ш-1 ш-1 . . -ш-1 ш-1

ш-2 -ш-2 ш-2 -ш-2 . . ш-2 -ш-2

с - 6 - ш2-6 ш-6 -ш-6 .. . ш-6 - ш-6

К -ш-7 7 -ш-7 7 ш- . . -ш-7 — 7 ш-7 )

(25)

Доказательство леммы 1 можно найти в работе [7]. Для вычисления определителя А02,2(х, 5 ) из (23) вынесем из к-го столбца ( к = 1, 2,..., 8) множитель кк, из к-й строки вынесем множитель (Ьв)к-1 и разложим получившийся определитель по столбцам на сумму определителей. В результате получаем

ГЁ=1 Ьк (Ъ8)(Ъ8 )2(... )(Ъ8 )7

ао2,2 (х, в) =

' А02,2,7 (x, 5 ) А02,2,8(x, в) / 1

аОО +--;;--1--5--+ и.\ —

(26)

Ао2,2,7(х, 5 ) = Ш1Б7(х)АОО + Ш2^7(ж)АОО +-----+ ш8В7(х)А,

(7)

= А00В7(х)(ш 1 + Ш2 + ■ ■ ■ + Ш8) = Аоо^7(х) ■ 0 = 0;

*00 =

(27)

АО2,2,8 (Х, 5 ) = В8°(Х) ш1^81(х) 1. ш2 . . 1 . ш8 + 1 ш1 В8(Х) ш2В8(х) 1 . шз . .1 . ш8

ш7В87(х) ш2 . . ш7 ш. .71 ш2Вд (х) ш3 . . ш7

+

+ ■ ■ ■ = [б0(х)6ц - (х)521 + ш2б82(х)6Э1-----ш1в7(х)681 ] +

+ [-^80(х)б12 + ш2^8(х)622 - ^2^1 (х)6ЗЭ + ■ ■ ■ + ш^х^] + ■ ■ ■ =

7

А

00

(х) (= а00е8.

8

к=8

(28)

Учитывая, что Пл=1 = П/с=1 е Ьшк°х = е ь(ш1+ш2+"+ш8)ет = е 0 = 1,

получаем

АО2,2 (х, 5 )

(26)-(28)

(Ьв ) Аоо

0 Е8 1

1 + ^ + + о -

5 7 5 8 V 5 9

(29)

то есть определитель А02,2(х, 5 ) = А02,2( ^ ) не зависит от х, что подтверждает справедливость вышеописанных асимптотических формул (13)-(18).

Аналогичным образом доказывается, что определитель Вронского А02,1(х, 5 ) фундаментальной системы решений {у2к(х, з)}!= дифференциального уравнения (1) также не зависит от х, и для него справедлива формула

ао2д(х, з)=ае! wr[уп(х, 5 ); у^(х, 5 );...; ^(х, 5 ) = (а 5) а,

00

' 0 ^8 ^ /1

1 + ^ + + о -гг

в 7 5 8 \ 5 9

ш

А

(19) 7 д 1(0)

2а8 '

8

4. Изучение условий «сопряжения» (3)

Применяя формулы (9), (10), из условий «сопряжения» (3) получаем

У2(Х1 + 0, s) = У1(Х1 - 0, s) С12кУ2к(х1 + 0, s) = с1кУ1к(^1 - 0, s); (30)

к=1

к=1

у2т)(^1 + 0, s ) (3) у2к) (x1 + 0, s) = ^ С y1k)(x1 - 0, s)

(bS)т (аS)т ^ ^ (bs)m (aS)m !

т)

к=1

к=1

к т = 1, 2,..., 7.

(31)

Рассматривая систему (30), (31) как систему из восьми уравнений с восемью неизвестными С21, С22,..., С28 (при этом С11, С12,..., С18 — параметры), приходим к выводу, что эта система имеет единственное решение

С21 =

А

21

Ао2,2 ( S ) = 0'

С22 =

А

22

Ао2,2 ( S )''

А

2 к

2 к

Ао2,2 ( S )

fc=1, 2,..., 8, (32)

при этом определитель Д2к ( к = 1, 2,..., 8) получается из определителя Д02,2( в) заменой -го столбца на столбец

(Ecw 1к (Х1 - 0, в); ]ГС1к y1 к (X1 0 s);...; ^к=1 к=1 as к=1

(as )7

У

Таким образом, имеем

А

21

Ё ^1кУ1к(Ж1 - 0, s) У22Ы + 0, s)

к=1

8 у1 к (Х1 - 0, в ) у2 2(^1 +0, S )

С1к- -Г-

к=1 as bs

У28 (Ж1 +0, S) у'28(х1 + 0, s)

8 У1Ц(Х1 - 0, в) у272)(^1 + 0, в) к=1°1к М7 (bs)7

У(1(х1 + 0, s)

( )7

С11А211 + С*12 А212 + ■ ■ ■ + С18А218 = ^2С1к А

21 к;

(33)

к=1

А22 = У21(х+0, S ) У'21(Х1 +0, S) 8 J2 СхкУ\к (х\ -к=1 ^ п У'к (ж1 -С1 к к=1 0, ) 0, ) У2з(х\ + 0, s) . у2з(х1 + 0, s) . У28 (Х1 +0, S) у'28(х1 + 0, s)

у%(х1 + 0, s) (bs )7 ^ п У1к(хг - С1 к , ч к=1 ( ) 0, ) 7 Äi + 0, s) (bs)7 . у278 ^1 + 0, s) . (bs)7

8

= С11А221 + С12 А222 + ' ' ' + С18 А228 = С1к А22к; ... ;

к=1

А

2т —

СцА2т1 + С\2А2т2 + ' ' ' + ^18А2т8 — ^ А2тк, Ш — 1, <2, . . . , 8; (34)

к=1

А

22 к —

1 к 22 28

У'1 к У2 2 у2 8

А21 к — а (7) У1к (7) У22 (7) ;

(аз )7 (Ъз )7 (бе )7 х1±0

21 1 к 23 28

у2 1 у'1 к У2 з У2 8

аз ;. .; к — 1, 2,..., 8

(7) У21 (7) У1к (7) У2з (7)

(и7 (аз )7 (Ъз )7 (Ъз )7 х1±0

(35)

Применяя формулы (11)—(18), вычисляя определитель А211 из (33)-(35) аналогично определителю А02,2(х, в ) из (23)-(29), получаем

=аш1вх1 Ь(ш 2+Ш3Н-----|-Ш8)«Х1

А

211 —

X

X

1 ■ Ш1 Г + Ш1^7(Х1) + ¿0(Х1) + 1 _ + в 7 ' в 8 + ... _ " + ш1 ¿7(х1) . ¿1(х1) . " _ + в 7 ' в 8 + .... . . . ■ ... Ш8 Г, 0 5°(х1) 1 1 + ^ + +... 5 7 З8 ] 0 Б8(Х1) 1 1 + ^ + + ... 7 8

ш7 " _ + Ш1^7(х1) . А1(х1) ' + в 7 ' в 8 + ... ... ш7 Г, 0 Б7(х1) 1 1 + ^ + + ... 7 8

(7),(24)

(7), (24)

р (аш1-Ьш1 )вх1

' Ш1А7(ж1)Аоо А211,^ / 1

А00 +--7--1--5--Г Ш —

88 9

(У

(36)

(24—25) [^8(Ж1)5ц - ш1А1(;п)б21 + ш2А8(х1)5з1-----ш^х^] +

к , ,.. Ы^ ^^ ,..202/ \с , , ,. 7п7/

А211,8 — [48 (х1)611 — ш148(х1)621 + ш148 + [-Б80(Ж1)612 + Ш2В81(Ж1)622 - Ш^Х^ + ■ ■ ■ + (Х1)§82] + ■ ■ ■ +

+ [-В0(^1 )§18 + (^1)628 - ш|В| ^1)638 + ■ ■ ■ + Ш^7(х 1)§88]

(25) А00 (х1) + А?° (х1) + ■■■ +

8

А00 8

к=0 7

к=0

X]Вк(х,) (19—20) А°0(д> + 7Е8).

к=0

Таким образом, имеем

А211 — А00е (аш1-Ьш1)5Х1

1 + Ш1А7(Х1) + Р8 + 7Е8 /1

1 + Т + о + I п

(37)

(38)

для нахождения определителя А212 из (33)-(35) вычтем из первого столбца второй и разложим по первому столбцу

+

А212 = 6 аШ 25Ж1 ebW 2SX1 ( ) gbw8sx1 x

X

1 ■

2

0+

1+

w 2Л7(Ж1) , А8(Ж1) -^Ы

o"

+

S' s 8

w 2^7(Ж1) ^8(^1) - BKX1)

7

+

+...

+...

1 ■

8

1+

+

б81(ж1)

1 + +

ш

0+

w 2 A7(Ж1) ^8(^1) - ^1(^1)

+

(7), (24)

„ (aw 2-b oj2)s x1

+

Ш

1+

^1)

+

0 + w 2A7(^1) ■ 0 + А212,8 + Q( 1

s 8 —\s 9

(7), (24)

(39)

А212,8 = (K(X1) - ^8(^1))611 - w2 (A1(X1) - ß81(^1))621 + w2(A"(;n) - B*(X1 ))6з1-----

28 к А 7

Аоо

-w7№) - ВЦХ1))6,1 (= А» £ AJtn) (- А°о £ #<*!)(

8 J= vw^ 8 j= vw1/

(17),(18)

(17),(18) Аоо

Аоо 1

8 16а8

к=о

7

Аоо 1

8 16b8

(-7)g1(0) £ w m + fcOn) (7 - 2m) (

т=о т=о 1

7 7 т

(-7)q2(X1) £ w m + ftCn) £(7 - 2m) —

т=о т=о 1

Ад(ж1), Я2 = 1 + (1 + л/2) г,

АооЯ2

16

(40)

так как ^т=0 шт = 0, где введено обозначение Дс[(х1) = ^2(хь8+0) — ^Ха-0^ — так называемый «обобщенный скачок» потенциала д(х) в точке разрыва х1.

Аналогично определителю Д212 из (39), (40) вычисляются определители Д21к ( к = = 3,4,..., 8) из (33)-(35): из первого столбца определителя вычитаем к-й столбец, получившийся определитель раскладываем по первому столбцу, в результате получаем:

А = р (aw к-bo>1)sx1 А21 к =

w кА(Ж1) ■ 0 А21к,8

к = 2, 3,

8,

(41)

Ао

А21к,8=±°° у. Ат^)(w)m - ^ у: вт(х1)[ -

8 ^о

т=о

8 т=о

т=о

/ \ ' ( w к\

Vw 1/

АооНк 16

Ад(х1),

7

g- я = Аоо ^ 7 - 2m / wj 1 ; к = 8 ^ 8 Vw1

= 2, 3,

т=о

)т

;

(42)

8

1

8

7

8

т

Я2 = 1 + (1 + >/2)г; Яз = 1 + г; Я4 = 1 - (1 - V2i); Я5 = 1; Я6 = 1 + (1 - V2)z = Я4; Я7 = 1 - г = Яз; Я8 = 1 - (1 + V2)i = Я2;

Яю-к = Як, к = 2, 3,..., 8. (43)

Аналогично формулам (36)-(43) изучаются определители А2тк (ш, к = 1, 2,..., 8) из (33)-(35), в результате чего приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Матрица определителей А2тк (ш,к = 1, 2,..., 8) из (32)-(35), возникающая при изучении условий «сопряжения» (3), обладает следующими свойствами:

А

2 кк

А е (ашк - Ьшх) в х1

_ + ШкА7(х1) 1к + 7Е8 + / 1_ в 7 + 8 в8 + -1 п

89

А21т = Аоое^-^1^1

А221 = Аоое (аШ1-^2)^Х1 А22т = Аоое (а^-^2>х1 А2кт = Аоое(аШт-ЬШ2)ЗХ1

0 + ^- + о( 4

8 7 16 5 8 ~ 9

к = 1, 2,..., 8; (44)

ш = 2, 3,..., 8; (45)

0 + 4- ^ + о( 1

в 7 16 5 8 9

Ш

0 + 4 - Н^ + о( 1

в 7 16 5 8 — 9

0 + -0 - + о(4

Ш

87 16 в 8 ~ Нп±8 = нп, п = 1, 2,..., 8; Нп = НПА(^(Х1)

величины Нп (п = 2, 3,..., 8) определены формулой (43),

ш = 3,4,..., 8;

к = ш, к,ш =1, 2,

(46)

.., 8;

(47)

Ад(х1)

2( Х1 + 0) 1( Х1 - 0)

8

чаем

5. Изучение граничных условий (4)

Из первых семи граничных условий (4), применяя формулы (9)-(12) и (21), полу-

,(тр) I

Етм =) 0« ±Си. т^=0«

(а8 )т ^ 1к

« Е С1к

к=1

к=1 (а8) 0 , Атр (0^/1

1 + ^ +

58 "У« 9

Ч

(48)

р = 1,2,..., 7.

Из последнего из граничных условий (4) с помощью формул (10)-(14) и (32)-(34) имеем

Т/2П1)(п, в) (4) ^^ Уок^Ы, 8)

У2 1 ' ; 1' 0«^С2к А. =0«

8

( ) п1 к=1 2 к ( ) п1 8 / 8 ч (п1Ь \ 8

y2k1)(п, 8 )

С1пА2кп I

к=1 чп=1 '

« > I > С1пА2кп) "2к,\':г' = 0«Е С1к Фпк (п, 5) = 0,

у2п1)(п, в )

(Ъв у

8

Фпк (п, в ) = £>

2п к~

п=1

( )

п1

к=1

к = 1, 2,..., 8.

(49)

а

0

Однородная система (48), (49) из восьми линейных уравнений с восемью неизвестными СИ,С12,...,С18 имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедливо следующее утверждение. Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(5) имеет следующий вид:

7

/( «) = П

fc=i

1 + 4 + ^ + о( I

,8 1 —

ш

X

X

&11 &21 = ш т1 = ш т 12 22 = ш т1 . = ш т2 . . 17 . 27 = ш т1 = ш т 18 28 = ш т1 = ш т2

&71 = ш т7 72 = <7 . . 77 = ш т7 78 = ш т7

Ь81 = Ф (тм ) 82 = Ф?2 () . . 87 = Ф ?7 (n,s) 88 = Ф?8 (TT, в )

(50)

Раскладывая определитель /(в) из (50) по последней строчке, получаем:

/(8 ) = (п, 8 )-ф81 - Ф?2 (П ^ )ф82 + Ф?3 (п, 5 )^83 - ■ ■ ■ + + ф™7 (П, 5 )ф87 - Ф?8 (П, ^ )ф88 = 0,

(51)

488 = шт1 ш"2 шт1 . шт2 . . ш"1 . ш"2 =) 1 т1 1 т2 т1 . т2 . ^6т1

ш"7 о>т7 . . ш"7 1 т7 т7 . ^6т7

det Wandermound/s(zш1, zш 2,

у ш

П (Zтк - ) = 0.

(52)

к>п к,п=1,2,.

481 = шт1 шт2 шт1 . шт2 . . шт1 . шт2 =) т1 т2 2 т1 . 2 т2 . . . 7 т1 . . 7 т2

ш"7 <7 . . "С7 т7 2 т7 . . . 7 т7

= ZM7 ^88, М7

7

£

к=1

Ш7\ (53)

482 = z2M7488; 483 = ¿3 M7488;...; 48 к = ¿к M7488, к = 1, 2,..., 8.

(54)

(55)

Подставим формулы (52)-(54) в (51), поделим на г М7488 = 0, получим

/( в ) = ФЯ (П, 5 ) - ф™2 (П, 5 )гМ + ф?3 (П, 5 )г2М-----ф»1 (П, 5 )/М7 = 0,

где функции ф^(п, в) ( к = 1, 2,..., 8) определены формулами (49), (44)-(47), (13)-(18).

Для нахождения корней уравнения (55) необходимо изучить индикаторную диаграмму этого уравнения, то есть выпуклую оболочку показателей экспонент, входящих в это уравнение (см. [1, гл. 12]). Индикаторная диаграмма уравнения (55) представлена на рисунке 1.

Из общей теории нахождения корней квазимногочленов вида (55) (см. [1, гл. 12]) следует, что для нахождения корней уравнения (55) в секторе 1) в этом уравнении необходимо оставить экспоненты с показателями Мш8 = Мш2 и Мш 1 = Мо> 1 (остальные экспоненты — бесконечно малые величины, их можно отбросить), в секторе 2) необходимо оставить экспоненты с показателями Мш8 = Мш2 и Мш7 = Мш3, в секторе 3) — экспоненты с показателями Мш7 = Мш3 и Мшб = Мш4 и т. д.

0

7

г, ^^ 4= "22

5)

-1

6)

4)

г, ^^ 6=" 2 ~ 2

7)

/ 1

3)

/ ^2л/2. ®2=2 + 2

®8= о " о г -1 1 1

Рис. 1. Индикаторная диаграмма уравнения (55)

6. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(5) в секторе 1) индикаторной диаграммы (рис. 1)

Из вышесказанного следует, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(5) в секторе 1) индикаторной диаграммы (56) имеет следующий вид:

М8 ) = ФЩ (п, 8 ) - Фп2(п, 8 )гм7 = 0.

(56)

Подставляя в уравнение (56) формулы (49), (13)-(18), (44)-(47), приведем его к следующему виду:

мю

п\ М — 18

—11е

— гф7 ^п1 ^ (1 1 + + ^ + О 1

в8 -{в 9

,(а-1-Ь-2 )8Х1 ,п1 Ь-2 яп ( Н8)Ад(Х1) | ~М7\, ,,п1 М—2-5

+ е —2 16 8 8 1 —2 е

1+

+

-2-7 ,

7

+ „(а—2-Ь— 1)«х1 —п1 р Ь— 1 «я

(-Н2)Ад(х1)1 п

+ е —16 16 ^ / = 0;

+

+ О ^

в8 9

(У

+

^7 = А7(Х1) +^7(п); ф

^8 + 7Е8

п - + 7 8 + ^ (п); Н2 = 1(1 + л/2)г; Н8 = Н2. (57)

8

Поделив в уравнении (57) на —п1 ем—25 = 0, перепишем его в более удобном виде

hi{ s ) = eM (Ш1-Ш2)8

—гф7 С1 „ (1 1 + —^ + ^ + 0( —

s8 _Vs 9

M7 —2

—

ni

— 247 4 1 „ ( 1

1 + —^ + ^ + 0 —

s8 —\s 9

Ш

+

+

Afc^) Г—rai

16s 8

—

2 с(а—i-b—2) sxi ^ b—2sn^- H—2S ( —) —

— Z M7 e (а—2- Ь—i)s xi ^ b— i s-n g—M—2« ( — )

+ 0 Ur =0.

(58)

2пг

Основное приближение уравнения (58) имеет вид (—1 = 1, —2 = х = е~)

M (—i-—4)S = гм7 —2_ = 2Пк

2т А;

—

е 8 е 8 е

fc = k + M7 + ni, ke N 8

M (—1 — —2)

(59)

Теорема 5. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(5) в секторе 1) имеет следующий вид:

2т

s к,1

%++ + о( 1) fc7 fc8 Vfc9/

м (—1 - —2)

Доказательство. Применяя формулы Тейлора, имеем

fc = k + ke N. (60)

8

e M(—1-—2)s I (= exp

z Mrz ni

M(—1 — —2)

2m

M(—1 — —2)

7 к,1

k + 4P1 +

kfc7

2m d7k 1 2m d8к 1 ^ /1

1 + —+ —^^ + 0U-

fc7 fc8 Vfc9

(61)

«fc,i

M 7(—1 — —2)7 (2m )7 fc7

(1—t+o( £))

(62)

Подставляя формулы (60)-(62) в уравнение (58), учитывая формулу (59), получаем

zM7z ni

X

2md7k 1 2md8k 1 ^ /1

1 + —+ —+ 0^1 x fc7 fc8

4g _M 8( —1 - —2)8 +0/1 27n7i 7 fc7 V ~\k8JJ 28 n8z8fc8 Vfc9

1 + —1^7M7( ——2) Y1 + ^

(1+<&))

~My ni

1+

—2^7M7( —1 — —2)7 , 4s_m8( —1 — —2)8 + Л j_

27n7i7k7

+

28n8i 8fc8

(fc9)

M8(—1 — —2)8Afc(;r1)zM7zrai 16 • 28n8z8fc8

1

_r Ni ц Ja—i-6— 2)sx_ „Ь—2-M—2«!

z MTz Ni U8(i e e LM,(

7Mj

ц g(a—2-6— i)sxigb— i«ng-M—2s

l«fc,i,i

+ 0( ¿1=0.

"(fc9)

(63)

1

1

7

Поделив на гМтг"4 = 0, приравняем в (63) коэффициенты при одинаковых степенях к. При к0 имеем: 1 - 1 = 0 — верно, что символизирует о правильности выбора асимптотической формулы (60). Приравняв в (63) коэффициенты при к-7, находим

м7(ш 1 - ш2)847 (57) М7(ш 1 - ш2)8гд , ^ , „ ( ,, (15),(16) ^к,1 =--2%8- =--28П8-+ ^7(п)] =

(15),(16) м7sin8(f) +¿I q.m

8f8

a7 J0 ^ ' Ь7

'Х1

(64)

ке N, м = ахх + b(f -хх). Приравняв в (63) коэффициенты при А;-8, выводим

= м> х - ш2)8 + м 8 sin8( f )Ад(хх) .„ М7р в(ш 1-ш 2)м. "8 к,х (-2П)28п8г 8 + (-2П)16п8 [ С U м,-

-Й8 z-ni еь(п-Х1)(ш 1-Ш2И ], ке N. (65)

Из формулы (57) имеем

Щ = 1 - (1 + У2)г=у/4 + 2У2[ . 1 ^ - 1 V¿1 = ^4 + 2^2е,

L\/4 + 2>/2 V4 + 2v/2J

f• f 1 + ^ \ (66)

фх = arceos —. = arcsin —. . (66)

Подставляя формулу (66) в (65) и сделав необходимые преобразования, находим

(-1)fc+V4 + 2^2M8 sin8(f )Ag(xi)

d>8 к 1 — -ñ- х

,х 16f9

х sin

паххк fb(f - хх)к ппх fM7

+ ---о--Ф1

м м 8 8

7

, к е N, (67)

значение угла р1 приведено в (66), М = ах1 + Ь(п - х1), М7 = ^к=1тк, значение Ас[(х1) определено в (47).

Формулы (64), (67) показывают, что все коэффициенты асимптотической формулы (60) находятся единственным образом, мы привели явные формулы для их вычисления, поэтому теорема 5 полностью доказана.

7. Вычисление первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1)-(5)

Рассматривая аналогичным образом сектора 2), 3)...8) индикаторной диаграммы (рис. 1), докажем следующую теорему.

Теорема 6. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(5) в секторах 2), 3). .. 8) подчиняется следующему закону:

1)

_2пг _2пг _4пг

5 к,2 = 5 к,1 е 8 ; 5 к,з = 5 к,2е 8 = 5 к,1 е 8 ;...;

2ni 2ni(m-i)

S k,m & k,m-1^ 8 S k,1& 8 ;

m =1, 2,..., 8; k e N.

(68)

2) При этом

A k,1 = sk 1; Л k,2 = sfc 2 = Л k,1;...; A k.

m = k, m

Л k,

m

1, 2,..., 8; ke N.

(69)

Из формул (60), (68), (69) имеем

s k,1 = A k,1 = s L

Л

П8

k, m

M8 sin8 (f)

fc + 8d 7k, 1 + + ofl)

. fc Vfc2/

поэтому ряды

те

E

k=1

« k,1 +

^fc8

+ 8n8d7k,1 + 8n8^8k,1

M8 sin8(П) M8 sin8(П) M8 sin8(п)fcj

те

E

k=1

8 +

k, m

n8/^ + 8n8^7k,m + 8n8^8k,m

„8f n\ + л /Т8гА^8( п\ + „ ,,-Й -8/

M8 sin8(П) M8 sin8(П) M8 sin8(п)fcj

01 1

1

0 - — fc2

сходятся (ш = 1,2,..., 8; ^7к,т = d7k,1; d8k,т = ^8кд), и наша цель — найти их сумму, то есть вычислить первый регуляризованный след оператора (1)-(5). Действуя аналогично монографии [14, гл. 5], приходим к выводу о справедливости следующего утверждения.

Теорема 7. Формула первого регуляризованного следа оператора (1)-(5) имеет следующий вид:

£

k=1

« k,1 +

п^8

+

8n8d'

7 k,1

M8 sin8(п) M8 sin8(п)

+

8n8d1

8 k,1

M8 sin8(п)fc

—(1) Ф(1) ( 8) — 9,1 — ф9,1( —8)

(70)

M = ax1 + Ь(п — ж1), fc = k +

M7 + n1

8 :

где ф9,1 (-8) — аналитическое продолжение в точку 6 = -8 функции ф9,1 (6) = = ^2Г=Л£п=о а7^6"); —9д — коэффициенты при е-9 разложения в ряд Тейлора функции , где К1(в) = д1(82)(1)(=)о и К1(в) — функция из (58); Ао2,2( ^ ) — определитель

Вронского из (29); в) = П7=1([1 +£ + + О(£)] из (50); = 1 + + О( 1);

018 = Ек=1АГ (0).

Так как А;8 = ( к + ко)8, ко = М7+п1, А;8 = ^=о к8-пкп, то из определения функции ф9!)(6) имеем

ф91! (—8)

п8

M8 sin8(п) 0

v 8 ' п=0

Ё C'^k8-n k™ Z(8 — и) +

8n8d'

7 k,

M8 sin8(п)

z(o)

M8 sin8 (п) 0 w M8 sin8 (п)

(71)

8

поскольку Z(-8) = Z(—7)

Z(-1) = 0, Z(0) = -2.

ТяК КЯК h ( « ) = M^Ofll^ ТО = I Al W A02,2(-<) поэтому

Так как h1( S ) = A/2,2(s) ' Т0 = + ÔT^T - A/2 ,(S) ' поэтому

^l(s) ^l(s) Ôi(s) Ao2,2(s)'

O)

(1) ____(1)

9,1,1

O)

I (1)

+ О 9 1 2 - О

9,1,1 "Г" 00 9,1,2

(1)

9,1,3,

(72)

(1) (1) (1) . . -9 x ^l(s) ÔÎ (s) AO22M

где 0)9,1,1, 00 9,1,2' 0 9,1,3 - коэффициенты при s 9 разложении , ^, A^) соот-

ветственно.

О)

(1) 9,1,2

Так как s ) = 1 + f8 + 0(+), то = [-^ + 0(^)][1 - + 0(+)], значит,

—8G18, G18 = fc=1 (0).

Из формулы (29) получаем ш 9д,3 = -8Е8.

Из формулы (58) выводим ш 1 = -8481, поэтому формула (72) принимает вид

О 9'i = (—8)[4s1 +G 8 — £*] = (—8)

Ds±7Es 8

7

+ (f) + > ^ (0) — E8

8

fc=1

откуда, применяя формулы (17)-(20), находим

(1) _ M7^(0) , щд2(п) , 751(0) 7^(п)

О)

9,1

+

8

+

2а 8

26 8

(73)

Подставляя формулы (71), (73) в формулу (70), приходим к справедливости следующего утверждения.

Теорема 8. Первый регуляризованный след дифференциального оператора (1)-(5) вычисляется по следующей формуле:

Е

fc=1

Afc,1 +

f8k8

+

8n8d

7 fc,1

M8 sin8(f) M8 sin8(f)_

+

8

+

M7ft(0) , щ?2(п) , 7q 1(0) 7^f)_ n8z(0) k

2 b8 M8 sin8 ( f )[0

8П8

2 8

[k8 + 8d7fc,1] —

M 8 S,n8( f 8 Sin8 ( f)Aï(x.) £ (— 1)« ,

паж1 — fb (f — Ж1)

T1 = M , T2 =

fc=1 f (щ — M7)

M = ax1 + b(f — x1), к = k + M + Щ , M7 = ,

8

fc=1

(74)

ряд fc=1 (—1)fc+1 sin(Tl~+T2) представляет собой сходящийся тригонометрический ряд Фурье.

Для вычисления второго регуляризованного следа необходимо уточнять асимптотические формулы (11)—(18) (выписывать их с точностью 0(^)), задача теоретически решаемая, практически, судя по всему, нет.

8

а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. — М. : Мир, 1967. — 548 с.

2. Будак, А. Б. О разложении по собственным функциям дифференциального оператора 4-го порядка с кусочно-постоянным старшим коэффициентом / А. Б. Будак // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16, № 9. — C. 1545-1558.

3. Гасымов, М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов / М. Г. Гасымов // Доклады АН СССР. — 1963. — Т. 150, № 6. — C. 1202-1205.

4. Гельфанд, И. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан // Доклады АН СССР. — 1953. — Т. 88, № 4. — C. 593-596.

5. Ильин, В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора / В. А. Ильин // Математические заметки. — 1977. — Т. 22, № 5. — C. 679-698.

6. Лидский, В. Б. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций / В. Б. Лидский, В. А. Садовничий // Функциональный анализ и его приложения. — 1967. — Т. 1, № 2. — C. 52-59.

7. Митрохин, С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией / С. И. Митрохин // Известия вузов. Математика. — 2018. — № 6. — C. 31-47.

8. Митрохин, С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией / С. И. Митрохин // Доклады Академии Наук. — 1997. — Т. 356, № 1. — C. 13-15.

9. Митрохин, С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами / С. И. Митрохин // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28, № 3. — C. 530-532.

10. Митрохин, С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами / С. И. Митрохин // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, механика. — 1986. — № 6. — C. 3-6.

11. Митрохин, С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом / С. И. Митрохин // Дифференциальные уравнения. — 1986. — Т. 22, № 6. — C. 927-931.

12. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. — М. : Наука, 1969. — 528 с.

13. Садовничий, В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков / В. А. Садовничий // Математический сборник. — 1967. — Т. 72 (114), № 2. — C. 293-317.

14. Садовничий, В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. — М. : Дрофа, 2001. — 384 с.

15. Gottlieb, H. P. W. Iso-Spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients / H. P. W. Gottlieb // Journal of Math. Anal. and Appl. — 1988. — Vol. 132. — P. 123-137.

REFERENCES

1. Bellman R., Kuk K.L. Differentsialno-raznostnye uravneniya [Differential-Difference Equations]. Moscow, Mir Publ., 1967. 548 p.

2. Budak A.B. O razlozhenii po sobstvennym funktsiyam differentsialnogo operatora 4-go poryadka s kusochno-postoyannym starshim koeffitsientom [On the Expansion in Eigenfunctions of a Fourth-Order Differential Operator with a Piecewise Constant Leading Coefficient]. Differentsialnye uravneniya, 1980, vol. 16, no. 9, pp. 1545-1558.

3. Gasymov M.G. O summe raznostey sobstvennykh znacheniy dvukh samosopryazhyonnykh operatorov [On the Sum of the Differences of the Eigenvalues of Two Self-Adjoint Operators]. Doklady AN SSSR [Soviet Mathematics], 1963, vol. 150, no. 6, pp. 1202-1205.

4. Gelfand I.M., Levitan B.M. Ob odnom prostom tozhdestve dlya sobstvennykh znacheniy differentsialnogo operatora vtorogo poryadka [On a Simple Identity for the Eigenvalues of a Second-Order Differential Operator]. Doklady AN SSSR [Soviet Mathematics], 1953, vol. 88, no. 4, pp. 593-596.

5. Ilin V.A. O skhodimosti razlozheniy po sobstvennym funktsiyam v tochkakh razryva koeffitsientov differentsialnogo operatora [Convergence of Eigenfunction Expansions at Points of Discontinuity of the Coefficients of a Differential Operator]. Matematicheskie zametki, 1977, vol. 22, no. 5, pp. 679-698.

6. Lidskiy V.B., Sadovnichiy V.A. Regulyarizovannye summy korney odnogo klassa tselykh funktsiy [Regularized Sums of Zeros of One Class of Entire Functions]. Funktsionalnyy analiz i ego prilozheniya, 1967, vol. 1, no. 2, pp. 52-59.

7. Mitrokhin S.I. Asimptotika sobstvennykh znacheniy differentsialnogo operatora so znakoperemennoy vesovoy funktsiey [Asymptotics of the Eigenvalues of a Differential Operator with an Alternating Weight Function]. Izvestiya vuzov. Matematika, 2018, no. 6, pp. 31-47.

8. Mitrokhin S.I. O nekotorykh spektralnykh svoystvakh differentsialnykh operatorov vtorogo poryadka s razryvnoy vesovoy funktsiey [On Some Spectral Properties of Second-Order Differential Operators with a Discontinuous Weight Function]. Doklady Akademii Nauk [Doklady Mathematics], 1997, vol. 356, no. 1, pp. 13-15.

9. Mitrokhin S.I. O spektralnykh svoystvakh differentsialnykh operatorov s razryvnymi koeffitsientami [On Spectral Properties of Differential Operators with Discontinuous Coefficients]. Differentsialnye uravneniya, 1992, vol. 28, no. 3, pp. 530-532.

10. Mitrokhin S.I. O formulakh regulyarizovannykh sledov dlya differentsialnykh operatorov vtorogo poryadka s razryvnymi koeffitsientami [On Regularized Trace Formulas for Second-Order Differential Operators with Discontinuous Coefficients]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1. Matematika, mekhanika, 1986, no. 6, pp. 3-6.

11. Mitrokhin S.I. O formulakh sledov dlya odnoy kraevoy zadachi s funktsionalno-differentsialnym uravneniem s razryvnym koeffitsientom [On Trace Formulas for a Boundary Value Problem with a Functional Differential Equation with a Discontinuous Coefficient]. Differentsialnye uravneniya, 1986, vol. 22, no. 6, pp. 927-931.

12. Naymark M.A. Lineynye differentsialnye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 528 p.

13. Sadovnichiy V.A. O sledakh obyknovennykh differentsialnykh operatorov vysshikh poryadkov [The Trace Formulae of Ordinary Differential Operators of Higher Orders]. Matematicheskiy sbornik, 1967, vol. 72 (114), no. 2, pp. 293-317.

14. Sadovnichiy V.A. Teoriya operatorov [Theory of Operators]. Moscow, Drofa Publ., 2001. 384 p.

15. Gottlieb H.P.W. Iso-Spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients. Journal of Math. Anal. and Appl., 1988, vol. 132, pp. 123-137.

THE FORMULA OF THE FIRST REQULARIZED TRACE FOR A DIFFERENTIAL OPERATOR WITH A DISCONTINUOUS WEIGHT FUNCTION

Sergey I. Mitrokhin

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Senior Researcher, Scientific-Research Computing Center, Lomonosov Moscow State University mitrokhin-sergey@yandex.ru

Leninskie Gory, 1, Bld. 4, 119992 Moscow, Russian Federation

Abstract. The author study the spectral properties of an eighth-order differential operator with a piecewise-smooth potential and a discontinuous weight function. For large values of the spectral parameter, the asymptotics of solutions of differential equations defining the operator under study is studied. With the help of the obtained asymptotics, the conditions of "conjugation" at the point of discontinuity of the coefficients, the necessity of which follows from physical considerations, are studied. The separated boundary conditions that define the operator are studied. An indicator diagram of an equation whose roots are the eigenvalues of the operator is investigated. The asymptotics of the eigenvalues of the differential operator under study is found. Using the Lidskyi — Sadovnichyi method, the first regularized trace of the differential operator is calculated.

Key words: differential operator, spectral parameter, separated boundary conditions, indicator diagram, asymptotics of eigenvalues, regularized trace of the operator.