CC BY
9Краткие сообщения
УДК 515.12
ФОРМУЛА ГУРЕВИЧА ДЛЯ СЛАБО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ВПОЛНЕ
ЗАМКНУТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В. В. Федорчук
Введение. Известная формула Гуревича dimX < dim Y + dim / для отображения f : X —>■ Y в бесконечномерном случае может быть записана так:
если dY < wid и d/ < wid, то dX < wid, (1)
где неравенство d < wid означает слабую бесконечномерность (определение см. в п. 1). Неизвестно, верно ли утверждение (1) даже для отображений метризуемых компактов. Более того, неизвестно, будет ли слабо бесконечномерным произведение двух слабо бесконечномерных компактов.
В [1] утверждение (1) было доказано для вполне замкнутых отображений бикомпактов. В настоящей работе получен значительно более общий результат (теорема 3): бикомпактность ослабляется до нормальности и счетной паракомпактности. Ключевым в доказательстве теоремы 3 является недавно полученное предложение 2.
1. Предварительные сведения. Здесь мы приводим лишь основные понятия и факты, необходимые для дальнейшего. Недостающую информацию можно найти в [2].
Напомним, что нормальное пространство X называется слабо бесконечномерным (определение П. С. Александрова), если для любой счетной системы пар его замкнутых множеств (Ai, Bi), Ai П Bi = 0, г G и, в X найдутся перегородки Ci между Ai и В^, такие, что n{Cj : г G и} = 0. Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным, называется сильно бесконечномерным. Отображение / : X —Y называется слабо бесконечномерным, если все его слои слабо бесконечномерны.
Теорема 1 (Левшенко [3]). Пусть в нормальном счетно-паракомпактном (или наследственно нормальном) пространстве X дано счетное семейство замкнутых слабо бесконечномерных множеств Fi. Тогда их объединение UFi также будет слабо бесконечномерно.
Лишь чисто формальным усилением теоремы 1 является следующее утверждение.
Предложение 1. Пусть в нормальном счетно-паракомпактном (или наследственно нормальном) пространстве X дано слабо бесконечномерное подпространство Xq, являющееся суммой счетного числа замкнутых в X множеств и обладающее следующим свойством: всякое замкнутое в X множество F С Х\Хо слабо бесконечномерно. Тогда про cm,ранет,во X слабо бесконечномерно.
Доказательство предложения 1 для нормального счетно-паракомпактного X практически совпадает с доказательством предложения 1 из [2, гл. 10, § 5], где Хо предполагается замкнутым. Для наследственно нормального пространства X доказательство проще.
Отображение f : X —>■ Y называется замкнутым, если оно переводит замкнутые множества в замкнутые. Удобным оказывается эквивалентное определение в терминах малых образов. Малым образом, множества U G X называется множество f&U = {у G Y : f~ly G U}. Замкнутость отображения / эквивалентна тому, что открыт малый образ f&U всякого открытого в X множества U.
Отображение f : X —>■ Y называется вполне замкнутым [4], если для всякой точки у £ Y и всякого конечного семейства открытых в X множеств U\,... ,US, такого, что G Uf=iUi, множество {у} U
(Uf=1f&Ui) является окрестностью точки у.
Легко видеть, что, ограничившись лишь одноэлементными покрытиями слоев получаем еще
одно определение замкнутого отображения.
Приведем одну конструкцию из [5]. Для сюръективного отображения f : X —>■ Y и произвольного множества М С Y положим
Mf = {Г1У ■ У е Y\M} U {{ж} : ж G /_1М}.
Семейство М? является разбиением пространства X. Факторпространство по отношению к этому разбиению обозначим через YM, а соответствующее факторотображение пространства X на YM — через fM.
Поскольку разбиение М? измельчает разбиение, соответствующее отображению /, существует единственное такое отображение 7ГМ : YM —Y, что / = ттм о fM. Из непрерывности отображения / и факторности fM вытекает непрерывность отображения 7ГМ.
Ясно, что для всякой точки у £ М слой (ж )~1у гомеоморфен слою Далее, отображение тгм за-
мкнуто как левый делитель замкнутого отображения / = ттм о fM. Поэтому, будучи взаимно однозначным на множестве (-/гM)~1(Y\M)1 оно гомеоморфно отображает это множество на Y\M.
Теорема 2 [6]. Для замкнутой сюръекции f : X —>■ Y между регулярными прост,ранет,вам,и следующие условия равносильны:
1) отображение / вполне замкнуто;
2) для любых непересекающихся замкнутых множеств F\,F2 С X множество f(F\) П /(-^г) дискрет,но;
3) для любого множества М С Y пространство YM регулярно.
Предложение 2 [7, предложение II.1.10]. Пусть f : X —>■ Y — вполне замкнутая сюръекция между регулярными пространствами и, пусть М <ZY. Тогда отображение fM : X —YM вполне замкнуто.
2. Основной результат. Теорема 3. Пусть f : X —>■ Y — вполне замкнутое отображение нормального счетно-паракомпактного (или наследственно нормального) прост,ранет,ва X на слабо бесконечномерное прост,ранет,во Y. Тогда если отображение / слабо бесконечномерно, то про cm,ранет,во X также слабо бесконечномерно.
Доказательство. Пусть {(Ai, Bi) :£ и} — счетная система дизъюнктных пар замкнутых множеств пространства X. Положим Fi = f(Ai) П f(Bi) и М = U{Fi : г £ и}. Рассмотрим представление / = irMofM из п. 1. По предложению 2 отображение fM вполне замкнуто. Следовательно, по теореме Ханаи [8] пространство YM нормально и счетно-паракомпактно как образ нормального и счетно-паракомпактного пространства X при замкнутом отображении fM. Если же пространство X наследственно нормально, то YM очевидным образом наследственно нормально как замкнутый образ пространства X.
Множество Fi дискретно по теореме 2. Тогда множество Li = (nM)~lFi является дискретной суммой множеств ("7ГМ)~1у, у £ Fi. Следовательно, Li слабо бесконечномерно, поскольку слагаемые (тгм)~1у гомеоморфны слабо бесконечномерным множествам Но тогда по теореме 1 слабо бесконечномерным
будет и множество L = U{Li : г G и}. Далее, слабо бесконечномерным будет и всякое замкнутое множество К £ YM, не пересекающееся с L, поскольку оно гомеоморфно замкнутому множеству ттм(К) пространства Y (см. п. 1). Значит, по предложению 1 слабо бесконечномерным будет и все пространство YM.
Пары (fM(Ai),fM(Bi)) являются дизъюнктными парами замкнутых множеств пространства YM по определению множества М и отображения fM. В слабо бесконечномерном пространстве YM существуют перегородки Di между множествами fM(Ai) и fM(Bi) с пустым пересечением. Полагая Ci = (fM)~1Di1 получаем перегородки между Ai и Bi с пустым пересечением. Теорема доказана.
Следствие [1, теорема 9о]. Если f : X —>■ Y — вполне замкнутое слабо бесконечномерное отображение бикомпакта X на слабо бесконечномерный бикомпакт Y, то бикомпакт X слабо бесконечномерен. Работа поддержана проектом PYTHAGORAS-EPEAEK II.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федорчук В.В. Бесконечномерные бикомпакты // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. 42, № 5. 1162-1178.
2. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.
3. Левшенко Б.Т. О сильно бесконечномерных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1959. № 5. 219-228.
4. Федорчук В.В. Об отображениях, не понижающих размерность // Докл. АН СССР. 1968. 185, № 1. 540-57.
5. Федорчук В.В. О сильно замкнутых отображениях // Докл. АН СССР. 1969. 187, № 1. 47-49.
6. Федорчук В. В. Метод развертываемых спектров и вполне замкнутых отображений в общей топологии // Успехи матем. наук. 1980. 35, № 3. 112-121.
7. Федорчук В.В. Вполне замкнутые отображения и их приложения // Фунд. и прикл. матем. 2003. 9, № 4. 105-235.
8. Hanai S. On closed mappings. II // Proc. Japan. Acad. 1956. 32. 388-391.
Поступила в редакцию 02.03.2005
