Формула Гуревича для слабо бесконечномерных вполне замкнутых отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 515.12

ФОРМУЛА ГУРЕВИЧА ДЛЯ СЛАБО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ВПОЛНЕ

ЗАМКНУТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

В. В. Федорчук

Введение. Известная формула Гуревича dimX < dim Y + dim / для отображения f : X —>■ Y в бесконечномерном случае может быть записана так:

если dY < wid и d/ < wid, то dX < wid, (1)

где неравенство d < wid означает слабую бесконечномерность (определение см. в п. 1). Неизвестно, верно ли утверждение (1) даже для отображений метризуемых компактов. Более того, неизвестно, будет ли слабо бесконечномерным произведение двух слабо бесконечномерных компактов.

В [1] утверждение (1) было доказано для вполне замкнутых отображений бикомпактов. В настоящей работе получен значительно более общий результат (теорема 3): бикомпактность ослабляется до нормальности и счетной паракомпактности. Ключевым в доказательстве теоремы 3 является недавно полученное предложение 2.

1. Предварительные сведения. Здесь мы приводим лишь основные понятия и факты, необходимые для дальнейшего. Недостающую информацию можно найти в [2].

Напомним, что нормальное пространство X называется слабо бесконечномерным (определение П. С. Александрова), если для любой счетной системы пар его замкнутых множеств (Ai, Bi), Ai П Bi = 0, г G и, в X найдутся перегородки Ci между Ai и В^, такие, что n{Cj : г G и} = 0. Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным, называется сильно бесконечномерным. Отображение / : X —Y называется слабо бесконечномерным, если все его слои слабо бесконечномерны.

Теорема 1 (Левшенко [3]). Пусть в нормальном счетно-паракомпактном (или наследственно нормальном) пространстве X дано счетное семейство замкнутых слабо бесконечномерных множеств Fi. Тогда их объединение UFi также будет слабо бесконечномерно.

Лишь чисто формальным усилением теоремы 1 является следующее утверждение.

Предложение 1. Пусть в нормальном счетно-паракомпактном (или наследственно нормальном) пространстве X дано слабо бесконечномерное подпространство Xq, являющееся суммой счетного числа замкнутых в X множеств и обладающее следующим свойством: всякое замкнутое в X множество F С Х\Хо слабо бесконечномерно. Тогда про cm,ранет,во X слабо бесконечномерно.

Доказательство предложения 1 для нормального счетно-паракомпактного X практически совпадает с доказательством предложения 1 из [2, гл. 10, § 5], где Хо предполагается замкнутым. Для наследственно нормального пространства X доказательство проще.

Отображение f : X —>■ Y называется замкнутым, если оно переводит замкнутые множества в замкнутые. Удобным оказывается эквивалентное определение в терминах малых образов. Малым образом, множества U G X называется множество f&U = {у G Y : f~ly G U}. Замкнутость отображения / эквивалентна тому, что открыт малый образ f&U всякого открытого в X множества U.

Отображение f : X —>■ Y называется вполне замкнутым [4], если для всякой точки у £ Y и всякого конечного семейства открытых в X множеств U\,... ,US, такого, что G Uf=iUi, множество {у} U

(Uf=1f&Ui) является окрестностью точки у.

Легко видеть, что, ограничившись лишь одноэлементными покрытиями слоев получаем еще

одно определение замкнутого отображения.

Приведем одну конструкцию из [5]. Для сюръективного отображения f : X —>■ Y и произвольного множества М С Y положим

Mf = {Г1У ■ У е Y\M} U {{ж} : ж G /_1М}.

Семейство М? является разбиением пространства X. Факторпространство по отношению к этому разбиению обозначим через YM, а соответствующее факторотображение пространства X на YM — через fM.

Поскольку разбиение М? измельчает разбиение, соответствующее отображению /, существует единственное такое отображение 7ГМ : YM —Y, что / = ттм о fM. Из непрерывности отображения / и факторности fM вытекает непрерывность отображения 7ГМ.

Ясно, что для всякой точки у £ М слой (ж )~1у гомеоморфен слою Далее, отображение тгм за-

мкнуто как левый делитель замкнутого отображения / = ттм о fM. Поэтому, будучи взаимно однозначным на множестве (-/гM)~1(Y\M)1 оно гомеоморфно отображает это множество на Y\M.

Теорема 2 [6]. Для замкнутой сюръекции f : X —>■ Y между регулярными прост,ранет,вам,и следующие условия равносильны:

1) отображение / вполне замкнуто;

2) для любых непересекающихся замкнутых множеств F\,F2 С X множество f(F\) П /(-^г) дискрет,но;

3) для любого множества М С Y пространство YM регулярно.

Предложение 2 [7, предложение II.1.10]. Пусть f : X —>■ Y — вполне замкнутая сюръекция между регулярными пространствами и, пусть М <ZY. Тогда отображение fM : X —YM вполне замкнуто.

2. Основной результат. Теорема 3. Пусть f : X —>■ Y — вполне замкнутое отображение нормального счетно-паракомпактного (или наследственно нормального) прост,ранет,ва X на слабо бесконечномерное прост,ранет,во Y. Тогда если отображение / слабо бесконечномерно, то про cm,ранет,во X также слабо бесконечномерно.

Доказательство. Пусть {(Ai, Bi) :£ и} — счетная система дизъюнктных пар замкнутых множеств пространства X. Положим Fi = f(Ai) П f(Bi) и М = U{Fi : г £ и}. Рассмотрим представление / = irMofM из п. 1. По предложению 2 отображение fM вполне замкнуто. Следовательно, по теореме Ханаи [8] пространство YM нормально и счетно-паракомпактно как образ нормального и счетно-паракомпактного пространства X при замкнутом отображении fM. Если же пространство X наследственно нормально, то YM очевидным образом наследственно нормально как замкнутый образ пространства X.

Множество Fi дискретно по теореме 2. Тогда множество Li = (nM)~lFi является дискретной суммой множеств ("7ГМ)~1у, у £ Fi. Следовательно, Li слабо бесконечномерно, поскольку слагаемые (тгм)~1у гомеоморфны слабо бесконечномерным множествам Но тогда по теореме 1 слабо бесконечномерным

будет и множество L = U{Li : г G и}. Далее, слабо бесконечномерным будет и всякое замкнутое множество К £ YM, не пересекающееся с L, поскольку оно гомеоморфно замкнутому множеству ттм(К) пространства Y (см. п. 1). Значит, по предложению 1 слабо бесконечномерным будет и все пространство YM.

Пары (fM(Ai),fM(Bi)) являются дизъюнктными парами замкнутых множеств пространства YM по определению множества М и отображения fM. В слабо бесконечномерном пространстве YM существуют перегородки Di между множествами fM(Ai) и fM(Bi) с пустым пересечением. Полагая Ci = (fM)~1Di1 получаем перегородки между Ai и Bi с пустым пересечением. Теорема доказана.

Следствие [1, теорема 9о]. Если f : X —>■ Y — вполне замкнутое слабо бесконечномерное отображение бикомпакта X на слабо бесконечномерный бикомпакт Y, то бикомпакт X слабо бесконечномерен. Работа поддержана проектом PYTHAGORAS-EPEAEK II.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федорчук В.В. Бесконечномерные бикомпакты // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. 42, № 5. 1162-1178.

2. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

3. Левшенко Б.Т. О сильно бесконечномерных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1959. № 5. 219-228.

4. Федорчук В.В. Об отображениях, не понижающих размерность // Докл. АН СССР. 1968. 185, № 1. 540-57.

5. Федорчук В.В. О сильно замкнутых отображениях // Докл. АН СССР. 1969. 187, № 1. 47-49.

6. Федорчук В. В. Метод развертываемых спектров и вполне замкнутых отображений в общей топологии // Успехи матем. наук. 1980. 35, № 3. 112-121.

7. Федорчук В.В. Вполне замкнутые отображения и их приложения // Фунд. и прикл. матем. 2003. 9, № 4. 105-235.

8. Hanai S. On closed mappings. II // Proc. Japan. Acad. 1956. 32. 388-391.

Поступила в редакцию 02.03.2005