Оценки для размерности (m,n)-dim Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 515.12

ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗМЕРНОСТИ (m,n)-dim

В. В. Федорчук1

Размерность (m, n)-dim оценивается посредством лебеговой размерности.

Ключевые слова: размерность, размерность (m,n)-dim, сепарабельное метрическое пространство.

Dimension (m, n)-dim is estimated by means of the Lebesgue dimension. Key words: dimension, dimension (m, n)-dim, separable metric space.

Введение. В работе fl] было введено понятие (m, n)-С-пространства. Всякое С-пространство в смысле Хэйвера-Аддиса-Грэшема (см. [2, 3]) является (m,n)-С-пространством, а всякое (m,n)-С-пространство при m > n слабо бесконечномерно в смысле Смирнова.

В работе [4] была определена и исследована размерность (m, n)-dim, обобщающая лебегову размерность dim: dimX = (2,1)-dimX.

(m, n) dim

а именно

(т,п)-dimX ^- (теорема 6);

если n(m, n)-dimX + n < m, то

(m,n)-dimX ^ — 1 + — (теорема 8).

nn

К основным результатам относится и теорема 11.

1. Предварительные сведения. Все пространства предполагаются нормальными. Используются следующие обозначения:

1) если A с X, то [A] — замыкание множества A в X. Через N обозначается множество всех натуральных чисел;

2) cov(X) — множество всех открытых покрытий X, covm(X) — множество всех открытых покрытий, состоящих из ^ m элементов;

3) пусть mv — семейства подмножеств множества X. Символ u — v означает, что v вписано в u, т.е. каждое множество V € v содержится в некотором U € v.

Если u = (Ui,..., Um), v = (Vi,..., Vm) — упорядоченные последовательности, то отношение u — v означает, что Vj С Uj, j = 1,..., m;

4) кратность семейства u множеств обозначается через ordu, т.е. ordu — такое наибольшее n, что u содержит n элементов с непустым пересечением. В частности, ordu ^ 1 тогда и только тогда, когда

u

5) если ai,..., — семейства множеств, то через a1 Л... Л ar обозначается множество всевозможных пересечений A1 П ... П Ar, где Aj € aj.

Предложение 1. Если uj € cov(X), то u1 Л ... Л ur € cov(X). □

Определение 1. Пусть u = (Ui,..., Um) — конечная последовательность множеств и u — v. Укрупнением семейства v относительно u называется следующая последовательность W(v,u) = (W1,..., Wm):

Wi = [J {V € v : V С U1}, Wj = [J {V € v : V С Uj; V С Vfc, k < j}.

Предложение 2. Верны соотношения 1J W(v,u) = (J v, ordW(v,u) ^ ordv. □

Федорчук Виталий Витальевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vvfedorchukQgmail.com.

Лемма [5]. Пусть u = (Ui,..., Um) € covm(X = (Fi,..., Fm) — такое семейство замкнутых множеств, что Fj С Uj, j = 1,... ,m. Тогда существуют тлкие окрест,ност,и OFj, что

Fj С OFj С [OFj] С Uj; ord([OFi],..., [OFm]) = ord$. □

Предложение 3 [5]. Пусть u € covm(X) и ordu ^ k. Тогда, существуют тлкие семейства ui,..., u^ открытых подмножеств X, чт,о orduj ^ 1, u — uj, u1 U ... U u^ € cov(X). □

Из теоремы о характеризации размерности dim посредством существенных отображений в симплекс [5] вытекает

Теорема 1. Имеем dimX ^ k, k ^ 0 тогда и только тогда, когда во всякое покрытие u € covk+2(X) можно вписать покрытие v € cov(X) кратноети ^ k + 1 □

Определение 2 [4]. Пусть u = (U1,..., Um) € covm(X) и Ф = (F1,..., Fm) — такая последователь-

X

Fj С Uj, j = 1,..., m; ord$ ^ 1.

Тогда (u, Ф) называется т-трой в X. Множество всех m-nap в X обозначается m(X).

Определение 3 [4]. Пусть (u, Ф) € m(X) и v = (V1,..., Vm) — такая последовательность открытых X

Fj С Vj С Uj, j = 1,..., m; ordv ^ n.

Тогда (u, Ф, v) называется (m,n)-m,po%iKoti в X.

Определение 4 [4]. Пусть (u, Ф) € m(X). Замкнутое множество P С X называется n-перегородкой пары (u, Ф) (обозначение P € Part(u, Ф, n)), если существует такая (m, n)-TpoftKa (u, Ф, v), что P = X\U v.

Предложение 4. Пусть (щ, Ф») € m(X), i = 1, 2. Если u2 — u1; Ф1 — Ф2 и P € Part(u1, Ф1,п); то P € Part(u2, Ф2, n). □

Определение 5 [4]. Пусть (uj, Ф») € m(X), i = 1,..., r. Последовательность ((u1, Ф1),..., (ur, Фг)) называется n-несущественной в X, если существуют такие перегородки Pi € Part(u, Ф^ n), та о P1 П ... П Pr = 0.

Из предложения 4 вытекает

Предложение 5. Пусть (uk, Ф^) € m(X), i = 1,...,r; k = 1,2. Есл и u2 — u1, Ф1 — Ф2 для всех i и последовательность ((u1, Ф1),..., (u,1, Ф^) n-несущественна в X, то последовательность ((u^, Ф2),..., (u^:, Ф2^) такж е n-несущественна в X. □

Определение 6 [4]. Размерность (m,n)-dimX, m, n € N, определяется следующим образом:

(1) (m,n)-dimX = -1 ^^ X = 0;

(2) (m, n)-dimX ^ k, где k = 0,1,..., если всякая последовательность (ui, Ф^ € m(X), i = 1,..., k + 1, nX

(3) (m, n)-dimX = ^^ли (m, n)-dimX > k для каждого k € N.

(2, 1) dimX = dimX X □

Предложение 6. Есл,и m ^ n; шо (m,n)-dimX ^ 0. □

Теорема 3 [4]. Если X — наследственно нормальное пространство и X = X1 U X2; то

(m,n)-dimX ^ (m,n)-dimX1 + (m,n)-dimX2 + 1. □

Теорема 4 [4]. Пусть S = {Xa, п^, A} — обратный спектр из бикомпактов, и пусть X = limS. Если (m,n)-dimXa ^ k для, всех а € A то (m,n)-dimX ^ k. □

X (m, n) C X € (m, n) C)

ui € covm(X) i € N vi

мейств открытых подмножеств X, что vj У uj, ordvj ^ n и |J{vj : i € N} € cov(X). Следующее утверждение непосредственно вытекает из определений.

Предложение 7. Есл,и (m,n)-dimX < то, то X € (m,n)-C. □

Следствием теоремы 3.6 и предложения 3.7 из работы [1] является

Теорема 5. Всякий бикомпакт X € (m,n)-C слабо бесконечномерен. □

Дополнительную информацию, касающуюся размерности и общей топологии, можно найти в [5]. 2. Основные результаты.

X

n

((m,n)-dimX) ^ dimX.

Доказательство. Утверждение теоремы очевидно, если (ш,п)-ё1шХ=0 Пусть (ш,п)-ё1шХ = г ^ 1, ё1шХ = к. Предположим, что пг ^ к + 1. Поскольку (ш,п)-ётХ = г, существует последовательность (и}, Ф}) € ш(Х), г = 1,..., г, которая п-существенна в Х.

Пусть и} = (и,..., Ц*т), Фг = ,..., ^т). Для каждого г = 1,..., г существуют такое покрытие «1 = ..., € еоу т(Х) и такие окрестности О^, С что

31 = ¿2 ^ О. п [1и]2 ] = 0. (1)

В самом деле, в силу леммы 1 существуют такие окрестности О^1}, что

[О. С Ц, 3 = 1,..., ш; (2)

¿1 = ¿2 ^ [О. ] П [О.]= 0. (3)

Теперь положим

1и} = и] ] : = ¿}, 3 = 1,..., ш. (4)

Из (4) вытекает (1). Остается проверить, что и1 € еоу(Х). Пусть х € Ц\ 1ЦГ}- Тогда ж € [О^] для некоторого = 3. Но в этом случае из (2) и (3) получаем х € 1Ц'- Итак, система покрытий и1, удовлетворяющая условиям (1), построена.

Положим и = «1 Л ... Л и^. Имеем и € еоу(Х) согласно предложению 1. Поскольку ё1шХ = к, существует такое покрытие V € еоу(Х), что V измельчает и и огё^ ^ к + 1. В силу предложения 3 существуют такие семейства V!,..., ^+1 открытых подмножеств Х, что каждое V} вписано в V, V! и ... и € еоу(Х) и огё^ ^ 1. Определим семейства щ, 3 = 1,..., г, следующим образом:

Щ = У {V} : (3 - 1)п + 1 ^ г ^ ¿п}. (5)

Стоит отметить, что некоторые из семейств V} и щ, из (6) могут быть пусты. Но в любом случае, согласно (5), имеем

УК : 3 = 1,... ,г} = и{V} : г = 1,... ,к + 1} € еоу(Х). (6)

Из (5) вытекает также, что

огёщ, ^ п. (7)

Кроме того, по определению

V >- V >- и >- и/, I = 1,..., г. (8)

Согласно (5) и (8), каждое семейство щ вписано в каждое семейство и*, в частности щ >- и*, I = 1,..., г.

Пусть щ1 = (1^1,..., — укрупнение семейства -щ относительно покрытия и1. Из предложения 2

и определения 1 вытекает, что

С , 3 = 1,..., ш; (9)

огё-щ1 ^ огёи}; (10)

^ и ... и ^ = и г = 1,..., г.

Положим

= 1 Ж} и О, 3 = 1,..., ш; (11)

= (°Ж},..., ° ^4), г = 1,..., г. (12)

Условия (2), (4), (9) и (11) влекут

С С 1Ц}, 3 = 1,..., ш, г = 1,..., г. (13)

Из (1) и (9) вытекает, что

31 = 32 ^ О, п ?2 = 0.

Значит, огё-ш0 Поэтому из (7), (10)—(12) получаем

огёад0 ^ п, г = 1,..., г. (14)

Следовательно, из (13) и (14) вытекает, что (и1, Ф*, "Ш0) является (т, п)-тройкой в X для каждого г = 1,..., г. Из условий (6) и (11) получаем -ш0 и ... и ад0 € еоу(Х). Значит, последовательность (и}, Ф1),..., (и1, Фг) п-несущественна в X. Но тогда, согласно предложению 5, последовательность (и}, Ф}),..., (иг, Фг) также п-несущественна в X. Получили противоречие. □

Из теоремы 6 вытекает

Теорема 7. Для, всякого пространства X имеем (ш,п)-ё1шХ ^ ё1шХ. □

Теорема 7 дает положительный ответ на вопрос 3.8 из [4]. Теорема 8. Если ((ш,п)-ё1шХ + 1)п < т, то

ё1шХ ^ п((т,п)-ёшХ) + п — 1. (15)

Доказательство. Как и выше, пусть ё1шХ = к, (т,п^ё1шХ = г. По условию пг + п ^ т — 1. Следовательно, чтобы доказать (15), достаточно (см. теорему 1) показать, что произвольное покрытие и € еоут(Х) имеет измельчение V € еоу(Х) кратности ^ пг + п. Рассмотрим последовательности (и},..., иг+1), где все и = и, и (Ф},..., Фг+0, где Ф* = ,..., и ^ € 0. Тогда (и*, Ф*) € т(Х). Поскольку (т, п^ё1шХ ^ г, последовательность (и*, Ф*), г = 1,..., г + 1 п-несущественна. Следовательно, существуют такие семейства V* открытых подмножеств X, что

(и*, Ф*,^) есть в X, г = 1,...,г + 1,

в частности огё^ ^ п и V = и{V* : г = 1,..., г + 1} € еoу(X). Тогда ordv ^ п(г + 1) Значит, V является

□

Теоремы 6 и 8 влекут

Следствие 1. Если п((m,n)-diшX + 1) < т; то

dimX 1 . . , diшX . .

--1 + - < (т, п)-ёш1Х <-. (16)

п п п

Следствие 2. Если diшX < т — п; шо diшX — п + 1 ^ п(т, n)-dimX. □

Предложение 8. Если п((m,n)-diшX + 1) < т, то

(т, п)^™^ х I) ^ (т, n)-diшX + 1 (17)

для всякого паракомпактного пространства X. Доказательство. Морита доказал [6], что

dim(X х I) < diшX + 1. (18)

Представим условие (16) в виде системы неравенств

dimX + 1

п

— 1 < (m,n)-diшX, (19)

(т,п)-(20)

(20) п (18) (19)

Тогда (т, п)-ёпп(Х х I) < Л < <м+1 < 1 + (т, п)-ёппХ. □

Следствие 3. Если dimX < т — п, то имеет место (17) □

тп

Предложение 9. Пусть п((m,n)-diшX.¿ + 1) < т, и пусть X1 и X2 удовлетворяют неравенству

dimX1 + п < diшX2. (21)

Тогда

(m,n)-dimX1 + 1 ^ (m,n)-diшX2. (22)

Доказательство. Положим dimX¿ = kj, (m,n)-dimX¿ = r¿. Тогда

ki + n (21) k2 1

ri + 1 ^ (теорема 6) ^- ^ — ^ (теорема 8) ^ r2 + 1--,

n n n

откуда получаем (22). □

Предложение 8 влечет

Предложение 10. Предположим, что (m,n)-dimIk = r для некоторых k и r, и пусть (r + 1)n < m. Тогда для любого г', 0 ^ r' ^ r, существует такое k' ^ k, что (m,n)-dimIk = r'. □

Из предложений 9 и 10 вытекает

Теорема 9. Пусть (r + 1)n < m. Тогда, для, любого r', 0 ^ r' ^ r, существует такое k, что (m,n)-dimIk = r'. □

Вопрос 2. Верно ли, что для любого r ^ 0 существует k со свойством (m, n)-dimIk = r? Теорема 10. -Белы m > n, то множесmeo {(m,n)-dimIk : k € N} не ограничено. Доказательство. Предположим, что существует ko со свойством

(m,n)-dimIk = (m, n)-dimIk°, k ^ k0.

Рассмотрим обратную последовательность S = {Ik, р!+1, k € N}, где pk+1 : Ik+1 ^ Ik есть проекция на грань. Тогда limS = Iw. С другой стороны,

(m,n)-dim(limS) ^ (m,n)-dimIk°,

согласно теореме 4. Следовательно,

(m, n)-dimIw ^ (m, n)-dimIk° ^ k0

по теореме 7. Поэтому из предложения 7 и теоремы 5 вытекает, что Iш € wid. Но это противоречит сильной

□

Замечание. Из теоремы 10 вытекает, что положительный ответ на вопрос 1 влечет положительный ответ на вопрос 2.

Теорема 11. Для любого r ^ 0 существует такое метрическое сепарабельное прос тра не т в о Xr, что (m,n)-dimXr = r.

Доказательство. Согласно теореме 10, существуют такие r1 ^ r и k, что (m,n)-dimIk = r1. По теореме Урысона существуют такие нульмерные множества X¿ С I k, чт о Xo U X1 U ... U Xk = Ik .В силу теоремы 7 имеем (m, n)-dimX.¿ ^ 0. Положим Y = Xo U ... U X¿. Тогда из теоремы 3 вытекает, что

(m,n^dim^+1 ^ (m,n)-dimY + 1.

Следовательно, {(m, n)-dimY : i = 0,1,..., k} = {0,1,..., r1}, откуда наше утверждение и вытекает. □ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00741) и Министерства науки и образования России (проект РНП 2.1.1.3704 "Современная дифференциальная геометрия, топология и их приложения").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федорчук В.В. C-spaces and matrix of infinite-dimensionality // Topol. Appl. 2010. 157, N 17. 2622-2634.

2. Haver W.E. A covering property for metric spaces // Lect. Notes Math. 1974. 375. 108-113.

3. Addis D.F., Gresham J.H. A class of infinite-dimensional spaces. I. Dimension theory and Alexandroff's problem // Fund. math. 1978. 101, N 3. 195-205.

4. Fedorchuk V. V. Finite dimensions defined by means of m-coverings //J. Egypt. Math. Soc. 2012. 64, N 4. 347-360.

5. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

6. Morita К. On the dimension of product spaces // Amer. J. Math. 1953. 75, N 2. 205-223.

Поступила в редакцию 26.12.2011