Формула для вычисления одного класса несобственных интегралов первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18454/IRJ.2016.45.148 Пекельник Н. М. \ Хаустова О. И. 2, Трефилова И. А. 3

1 Кандидат педагогических наук, 2кандидат педагогических наук, 3преподаватель, Сибирский государственный университет путей сообщения ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ПЕРВОГО РОДА

Аннотация

Статья посвящена выводу формулы для вычисления несобственного интеграла, содержащего произведение специального вида экспоненты и тригонометрической функции. Показано, что рассматриваемый интеграл выражается через некоторую сумму, где в качестве слагаемых выступают произведения факториалов и различных показательных функций.

Ключевые слова: несобственный интеграл, ряд Маклорена, экспонента.

Pekel'nik N.M.1, Khaustova O.I.2, Trefilova LA.3 1PhD in Pedagogy, 2PhD in Pedagogy, 3 lecturer, Siberian Transport University THE FORMULA FOR CALCULATING OF ONE CLASS OF IMPROPER INTEGRALS OF THE FIRST KIND

Abstract

Article dedicated to the conclusion of the formula to calculate the improper integral containing the product of a special kind of exponential and trigonometric functions. It is shown that this integral expressed in terms of a certain sum, where the terms are the product of the factorials of various exponential functions. Keywords: improper integral, the Maclaurin series, exponential.

ФШ

ормула для вычисления интеграла вида J e x cos axdx приведена во многих учебниках по

о

математическому анализу и различных справочниках, содержащих таблицы интегралов и производных. Например, в [1] и [2] установлено, что имеет место следующее интегральное представление:

т ^ 1 2

Je~x cos axdx =-e 4 ,

0 2

где a — любое действительное число.

Однако в этих фундаментальных книгах и других изданиях отсутствует формула для вычисления интеграла вида

т

J e х sin axdx. Отметим, что интегралы, содержащие произведение функции Гаусса и тригонометрических

о

функций, естественно возникают во многих приложениях математического анализа. Например, решение уравнения теплопроводности выражается через несобственные интегралы от подобных произведений. Сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. Для любого действительного a и b > 0 справедливо равенство:

2

I = ie~bx2 sin axdx = — e 4b У-. (1)

J0 2b y (2n + l)(4b) nn!

Отметим, что формула для вычисления интегралов вида Je x sin2™ axdx была приведена в [3]. Приведем

о

доказательство основного результата.

Будем рассматривать несобственный интеграл в левой части (1) при фиксированном Ь как функцию от а. Очевидно, что для I = I(а) выполнены все условия, обеспечивающие возможность дифференцирования по параметру а под знаком интеграла. Получаем:

ад

I (a) = JЪх x cos axdx.

0

Используя формулу интегрирования по частям, выводим:

( ад \

. т

cos ax ■ e

cos axde Ъх 1

2Ъ J0 2Ъ

Ъх + Ге Ъх ■ sin ax ■ adx

I'(a) = - — f

( ) 2b J

Так как lim (cos ax • e bx ) = 0, то из последнего равенства следует соотношение:

о •>

V о J

I'(a) = —---ai(a). (2)

2Ъ 2Ъ

Формула (2) показывает, что функция I(а) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка

I ' (а) + —1 (а) = — 2Ъ 2Ъ

(3)

Для решения уравнения (3) используем традиционный метод Бернулли. Представим решение дифференциального уравнения (3) I(а) в виде произведения двух неизвестных функций:

I (а) = р(а)д(а), (4)

Тогда

I '(а) = р'(а)д(а) + р(а)д'(а). (5)

Для нахождения неизвестных функций р(а) и д(а) подставляем выражения (4) и (5) в уравнение (3). Имеем:

а 1

р' (а)д(а) + р(а)д' (а) + — р(а)д(а) = —.

Отметим, что дифференциальное уравнение (6) содержит две неизвестные функции р(а) и д(а) . Заметим, что (6) можно переписать в виде:

р' (а)д(а) + р(а{ д' (а) + а д(а) ] = -1.

^ 2Ъ ] 2Ъ

Добавим дополнительное условие для определения функции д(а) :

а

д'(а)+2ь д(а)=0.

(6)

(7)

В результате равенства (6) и (7) приходят к следующей системе уравнений для нахождения функций р(а) и д(а).

а

д'(а)+26 д(а)=0;

р' (а)д(а) = -1.

(8)

Так как уравнения системы (8) являются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, то для функции д = д(а) получаем равенство:

ёд а — =--д

ёа 2Ъ

или

ёд а 1 — =--аа.

д

Отсюда:

Следовательно,

2Ъ

а

1п д =--.

4Ъ

д = е

а

4Ъ

Из последнего равенства и (8) имеем:

1

р (а) = — е4Ъ . 2Ъ

Используем известное разложение в ряд Маклорена функции у = ех:

ех = 1 + — + — +... + — +.... 1! 2! п!

а2 / ч

Полагая в (9) — = —, получаем следующее представление для функции р(а). Имеем: 4Ъ

р(а) = — Г е 4Ъёа = — Г|1 2ЪГ

2Ъ ■

а

+ — + ■

а

а

■ + ..+ ■

а

-2п

4Ъ (4Ъ)2\ (4Ъу3! (4Ъ) Пп\

+.

аа.

2

а

Отсюда:

p(a) = — F J 2b

a

a +-+ -

a

+

a

■ +...+ -

a

2n+1

+...

+ C.

(10)

3 • 4Ъ 5 • (4Ъ)22! 7 • (4Ъ)ъ3! (2п + 1)(4Ъ) пп! Очевидно, что I(0) = 0, поэтому р(0)д(0) = 0. Так как д(0) = е0 = 1, то р(0) = 0. Отсюда, константа С

в равенстве (10) равна нулю.

Окончательно из соотношения (4) выводим:

I (a) = — 2b

(

a

a +-+ -

a

+

a

3 • 4b 5 • (4b)22! 7 • (4b)33!

■ + ...+ ■

a

л у

(2n + 1)(4b) nn!

+...

• e

4b

1

1 (a) = ^ e 4b S"

a

2n+1

2b n=0(2n + 1)(4b) nn! Теорема 1 доказана.

Литература

1. Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт ; пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. - Изд. 10-е, стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2009. - 232 с.

2. Курант, Р. Курс дифференциального исчисления / Р. Курант; пер. с нем. и англ. З. Г. Либина и Ю. Л. Рабиновича; под ред. К. А. Семендяева. - Том 2 - Изд. 2-е, перераб. доп. - М. : «НАУКА», 1970. - 671 с.

3. Пожидаев, А. В. О вычислении некоторых несобственных интегралов / А. В. Пожидаев, Н. М. Пекельник, О. И. Хаустова, И. А. Трефилова. // Естественные и технические науки. - 2015. - № 11(89). - С. 30 -35.

References

1. Dvajt, G. B. Tablicy integralov i drugie matematicheskie formuly / G. B. Dvajt ; per. s angl. N. V. Levi ; pod red. K. A. Semendjaeva. - Izd. 10-e, ster. - SPb. ; M. ; Krasnodar : Lan', 2009. - 232 s.

2. Kurant, R. Kurs differencial'nogo ischislenija / R. Kurant; per. s nem. i angl. Z. G. Libina i Ju. L. Rabinovicha; pod red. K. A. Semendjaeva. - Tom 2 - Izd. 2-e, pererab. dop. - M. : «NAUKA», 1970. - 671 s.

3. Pozhidaev, A. V. O vychislenii nekotoryh nesobstvennyh integralov / A. V. Pozhidaev, N. M. Pekel'nik, O. I. Haustova, I. A. Trefilova. // Estestvennye i tehnicheskie nauki. - 2015. - № 11(89). - S. 30 -35.

a

да

DOI: 10.18454/IRJ.2016.45.187 Родионова Н.А.1, Шмидко И.Н.2, Родионов Е.В.3

1 Кандидат физико-математических наук, 2ORCID: 0000-0002-5411-501X, Соискатель, Институт физики полупроводников им.В.Е.Лашкарева Национальной Академии наук Украины, 3 Аспирант, Национальный университет пищевых технологий.

ОСОБЕННОСТИ ПОЛУЧЕНИЯ ПЛЕНОК ХРОМА, ОКИСИ ХРОМА И ОКСИКАРБИДА ХРОМА

ПО МОС-ТЕХНОЛОГИИ

Аннотация

Работа посвящена технологии получения пленок оксида и оксикарбида хрома из металлорганических соединений с использованием окислителя. В работе описываются созданные лабораторные установки для получения пленок на основе хрома и возможного их легирования. Проведенные исследования по изменению соотношения МОС-хром-окислитель, а также легирование рядом примесей дало возможность изменить микротвердость получаемых пленок.

Ключевые слова: оксид и оксикарбида хрома, металлорганические соединения.

Rodionova N.A.1, Shmidko I.N.2, Rodionov E.V.3

1PhD in Physics and Mathematics, 2ORCID: 0000-0002-5411-501X, Postgraduate student V.E. Lashkaryov Institute of Semiconductor Physics, National Academy of Science of Ukraine, 3Postgraduate student,

National University Of Food Technologies OPTICAL PROPERTIES OF CHROMIUM OXIDE FILMS, OBTAINED BY THE MOC TECHNOLOGY

Abstract

This work is dedicated to the production technology of oxide films and oxycarbide chromium organometallic compounds using an oxidant. It describes laboratory settings for production of such films based on chromium and its possible alloying. The results of performed research on MOC-chromium-oxidant ratio change, as well as a number of different additions to alloying, indicates the way to regulate a value of micro-hardness of the produced films

Keywords: oxide and oxycarbide chromium films, organometallic compounds.

Введение

Применение оксидов и оксикарбидов хрома в виде тонких пленок широко известно[1]. Эти пленки используются в качестве укрепляющих покрытий металлоизделий и режущего инструмента в электронной технике.

Метод получения пленок хрома и оксида хрома можно условно поделить на два принципа их получения: вакуумными технологиями и разложением металлорганических соединений[2,3].

Пленки оксидов и оксикарбидов хрома, получаемые из металлоорганических соединений не требуют сложной вакуумной техники, более универсальна[4]. С помощью данной технологии можно менять свойства получаемых пленок, причем, не только механические и оптические, но и электрофизические, такие как величины удельного