CC BY
20
УДК 517
1 2 3 ©
Пекельник Н.М. , Хаустова О.И. , Трефилова И.А.
12 3
К.п.н., доцент; к.п.н., доцент; преподаватель.
Кафедра высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОДНОГО НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Аннотация
В данной работе получено представление одного важного для приложений несобственного интеграла в виде бесконечного произведения. Его вывод основывается на анализе различных свойств интегралов с параметрами. Кроме того, используется метод математической индукции.
Ключевые слова: определенный интеграл, несобственный интеграл с параметрами, гамма-функция.
Keywords: definite integral, improper integral with parameters, the gamma function.
В известном справочнике [1] приведена следующая формула для вычисления важного в приложениях интеграла
¥ 444'
!
u 2e u du = — ГI —
(1)
где Г(х) = !e~‘tx~ldt — гамма-функция Эйлера. В последнее время многие авторы [2 - 9]
0
исследовали различные свойства этой функции.
Заметим, что в равенстве (1) один несобственный интеграл выражен через другой.
Цель данной работы состоит в том, чтобы выразить I и e и du через некоторое бесконечное
произведение. Сформулируем основной результат статьи. Теорема 1.1. Имеет место следующее представление
f 2 -u4j у 1-5• 9...(4n-7) 4/-3
u e du = lim-------:----------4n •
J n®¥ 4n-1 • (n -1)!
p
2V2 .
(2)
0
0
Предварительно установим ряд важных вспомогательных утверждений, необходимых для обоснования равенства (2).
Лемма 2.1. Справедливо соотношение
!
0
44
х + u
2
u
du =
1 p
х 242 ,
(3)
где х > 0 .
Доказательство. Преобразуем интеграл в левой части (3). Имеем
2 iw2 3
г u 7 1 Г u 1 х г
I—--4du = — I-du =-4 I
:х + u х4 j Г.. Л4 V4 j
u
х
1+
u
х
01 +u х
u
-d—.
х
2
0
0
(4)
Согласно [1]
© Пекельник Н.М., Хаустова О.И., Трефилова И.А., 2015 г.
НЦ- ds = -Р. „1 + s 2V2
(5)
Из (4), (5) получаем
J 4 4du=- J ds=-
i x +u xi1 + s x
1 ж
x * 1 + s
2V2'
Лемма 2.1 доказана.
Заметим, что для несобственного интеграла в левой части (3) выполнены все условия, необходимые для возможности дифференцирования по параметру под знаком интеграла [10]. Поэтому
-4 x3 J
0 (x4 + u4)
du = -
1 ж
2л/2 '
Следовательно,
Из (6) вытекает, что
Отсюда
Г и , = 11 ж
J (T+Tf = 5V2/T
(6)
2• 4x3 J------------du = -5
J ! -.4 . 4 \3
1 1 ж
0 (x4 + u4)
x
4 2V2 '
J
du
15 1 ж
0 (x4 + u4 )3 4-2-4 x9 2V2'
(7)
Равенства (6), (7) позволяют предположить, что имеет место следующее
представление.
Лемма 2.2. Для любого натурального n > 2 справедливо равенство
J
du =
1-5-9... (4n-7) 1 ж
0 (x4 + u4)n 4-2-4-3-4...(n-1)-4 x4n-3 2V2 ’
(8)
где x > 0 .
Доказательство. Из (6), (7) следует, что (8) выполняется для n = 2, 3 . Пусть оно верно для n = к. Покажем, что тогда (8) будет выполняться для n = к +1.
Положим в (8) n = к и продифференцируем обе части по х. Получаем
-к- 4- x3 J
0 (x4 + u4) 1-5-9...(4k - 7)
du
(4к -3)- -
1ж
Тогда
4-2-4-3-4...(к-1)-4 4 7 x4^2 2V2'
1-5-9... (4к - 3) 1
u
\к +1
du
ж
0 (x4 + u4)
Лемма 2.2 доказана.
При x = tfn соотношение (8) принимает вид
4-2-4-3-4...-к-4 x4^1 2^2 '
1-5-9... (4n - 7) 1 ж
J—u-----du =
l (n+u1 )n 4-2-4-3-4...(n -1) - 4 „f 2Л
2
2
u
2
2
x
2
2
u
2
u
2
u
Отсюда
— J----------du =
nn if .4 Лn
1-5 • 9... • (4n - 7) 1 p
n о L u4 Y
1 +
n
4 • 2 • 4 • 3 • 4...(n -1) • 4 n- 42V2'
n
Поэтому
011+u
—du = 1 5'9-(4n-7) . ^ *.
4 у 4 • 2 • 4 • 3 • 4...(n -1) • 4 2V2
(9)
n
Исследуем поведение при больших n несобственного интеграла в левой части (9). Лемма 2.3. Имеет место соотношение
lim f-------du = f u 2e u du .
n®™Jf 4 Лn J
(10)
0,1 + u
n
Доказательство. Используя неравенство треугольника, для любого A > 0 получаем
(
< J u 2
Г u 4 Y 1 + —
vv n У
Гг u4Y-n 1 + —
Л
- e
du
У
< J u 2
Г u 4 Y-
1 + —
V n У
Л
-e
У
du <
V n У
r u 4 Y-
1 + —
V n У
du.
(11)
u du + J u 2e u du + J u2
У A A
Заметим, что при /3> 0 и натуральном n справедливо элементарное неравенство (1 + f5)n > nb . Это позволяет оценить последнее слагаемое в правой части (11). Имеем
J u 2
( 4 Л-n
1 + uV n У
¥ 1
du < i — du . J 1!
A \ / A
Оценим интеграл в правой части (12). Получаем
J -1 du = - -
J 112 11
u
1
A
(12)
(13)
Г 2 - 4
Несобственный интеграл I u e u du сходится и выполняются соотношения (12), (13).
Поэтому для любого е> 0 можно выбрать А столь большим, что
¥ 2 -u4 j 1 e
I u e du +— < —.
J A 2
Используя второй замечательный предел, получаем
lim
( 4Л-n
1 + uV n У
Из (15) следует, что можно выбрать n столь большим, что
r u 4 Y-
1+—
V n У
Л
- e
A
du < A2 J
1 + u-
n
e
- e~u du <-.
2
(14)
(15)
(16)
Утверждение Леммы 2.3 вытекает из неравенства (11) и оценок (14), (16). Доказательство теоремы 1.1 непосредственно следует из справедливости лемм 2.1 -
2.3.
2
u
J
4
4
u
0
0
A
0
A
4
n
A
J
4
2
u
0
0
Литература
1. Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт ; пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. - Изд. 10-е, стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2009. - 232 с.
2. Артин, Э. Введение в теорию гамма-функций / Э. Артин ; пер. с нем. - Изд. 2-е. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 40 с. (Физико-математическое наследие: математика (теория функций).)
3. Srinivasan, G. K. The gamma function: An Eclectic Tour / G.K. Srinivasan // American Mathematical Monthly. - 2007. - Vol. 114, No. 4. - P. 297 - 315.
4. Li, X. Inequalities for the gamma function / X. Li, Ch.-P. Chen // Journal Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2007. - Vol. 8, №. 1. - Article 28.
5. Song-Zhimin. On some new inequalities for the Gamma function / Song-Zhimin, Dou-Xiangkai and Yin Li // OCTOGON MATHEMATICAL MAGAZINE. - 2009. - Vol. 17, No. 1. - P. 14 - 18.
6. Alzer, H. Monotonicity properties of the gamma function / H. Alzer, N. Batir // Applied Mathematics Letters. - 2007. - Vol. 20, Iss. 7. - P. 778 - 781.
7. Batir, N. Some new inequalities for gamma and polygamma functions / N. Batir // Journal Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2005. - Vol. 6, №. 4. - Article 103.
8. Grinshpan, A. Z. Completely monotonic function involving the gamma and q-gamma functions / A.Z. Grinshpan, M.E.H. Ismail // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2006. - Vol. 134, No. 4. - P. 1153 - 1160.
9. Qui, S.L. Some properties of gamma and psi functions with applications / S. L. Qui, M. Vuorinen // Mathematics of Computation. - 2005. - Vol. 74, No. 250. - P. 723 - 742.
10. Курант, Р. Курс дифференциального исчисления / Р. Курант; пер. с нем. и англ. З.Г. Либина и Ю.Л. Рабиновича; под ред. К. А. Семендяева. - Том 2 - Изд. 2-е, перераб. доп. - М.: «НАУКА», 1970. - 671 с.
