Формирование у учащихся умения решать уравнения высших степеней Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФОРМИРОВАНИЕ У УЧАЩИХСЯ УМЕНИЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ Останов К.1, Нусратов Х.2, Абдусобирова М.К.3

1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, Самаркандский государственный университет; 2Нусратов Хусниддин-учитель, школа № 80; 3Абдусобирова Махлиё Каландаровна - учитель, школа № 50, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в данной статье рассматривается проблема формирования у учащихся умения решать уравнения высших степеней. Даны краткие сведения по обобщению методов решения таких уравнений. Исследованы корни биквадратного уравнения при а>0. Кроме того, даны рекомендации по их использованию при изучении соответствующих понятий и задач школьного курса математики. Ключевые слова: уравнение, трехчлен, двучлен, корни, действительное число, кратные корни, мнимые корни, дискриминант, решение, поле, множество.

УДК 372.851

Определение. Уравнение вида х" — а = 0 называется двучленным уравнением, где (а-данное число). Уравнение рхп + q = 0, р Ф 0 эквивалентна уравнению

хп — а = 0. Корни уравнения находятся по формуле X = "а. Используя свойства корней анализируем корни первого уравнения: если а=0, то (в произвольном поле чисел) уравнение имеет единственное решение х=0; если аф0 и действительное число, то на множестве действительных чисел при п=2к+1 уравнение имеет единственное

решение X = 2хтУа ; если а>0 и п=2к, то уравнение на множестве действительных

чисел имеет два решения X = ±22^а ; если а<0 и п=2к, то на множестве действительных чисел уравнение не имеет решения; если аф0 и произвольное комплексное число (в частном случае действительное), то на множестве комплексных

чисел имеет п решений. Эти решения являются различными значениями ^а .

Пример 1. Решить уравнение х3-1=0. Уравнение равносильно уравнению (х— 1 ± /л/3

1)(х +х+1)=0. Отсюда найдем х1=1, X = ■

2

Пример 2. Найти значения V! . Решим уравнение х4-1=0. Разложим левую часть на множители (х-1)(х+1)(х-у)(х+у)=0, найдем корни х1=1, х2=-1, х3И, х^-1

2.Трехчленные уравнения. Определение 2. Уравнения вида

ах2п + Ьх" + с = 0(а Ф 0) называется трехчленным уравнением. Если ввести обозначение х" = у, то трехчленное уравнение (1) сводятся к квадратному уравнению относительно переменной ( у): ах2 + Ьх + с = 0. Вследствие получим

— Ь ±у/ Ь — 4ас

следующие корни этого уравнения х = ±"

V 2а

п=2, имеем биквадратное уравнение.

Исследуем корни биквадратного уравнения при а>0.

.В частном случае, при

1. Если D=b2-4ac>0, с>0, Ь>0, то корни уравнения ax2 + bx + c = 0 положительные и различные. Биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня.

2. Если D>0, с>0, то для х2 получим две значения с разными знаками. Биквадратное уравнение имеет две действительных, два мнимых корней.

3. Если D>0, с>0, Ь>0, то для х2 получим две отрицательных значения Биквадратное уравнение имеет только мнимых корней.

4. Если с=0, то вспомогательное уравнение ax2 + Ьх = 0 имеет два корня булиб

2 2 ь

У1=х =0, у 2 = x =--. При Ь^0, Ь>0 биквадратное уравнение имеет двух кратный

a

корень х=0 и два действительных корня, а при Ь=с=0 биквадратное уравнение имеет четырех кратный корень х=0.

5. Если D<0, то для булганда, х2 найдем два сопряженных мнимых значений. Биквадратное уравнение имеет четыре различных мнимых корней.

6. Если D=0, то вспомогательное уравнение имеет двух кратный корень

2 ь

у = x =--. Биквадратное уравнение при Ь>0 имеет два двух кратных мнимых

2a

корней, а при Ь<0 два двух кратных действительных корня.

Пример 3. Решить уравнение х6-3х3-2=0. Обозначая у=х3 , найдем вспомогательное уравнение у2-3у+2=0, его корни у1=1, у2=2. Вследствие имеем два

уравнения (х-1)(х2+х+1)=0 и (х-3Т2 Дх2 + 3/2л + ) = 0 . Из первого уравнения

-1 -/л/3 -1 + /л/3 3/-найдем х1=1, х2 =-—-, х3 =---, из второго х4 = у/2,

-1 - 7л/3 - 1 + iS

Х5 i ГТ , Х6

3/4 ' 6 3/4

Список литературы

1. Останов К., Султанов Ж., Хайитмурадов Ш.С. & Остонов М.К, 2019. Об использовании нестандартных задач в процессе активизации мышления учащихся. Проблемы науки. № 12 (48).

2. Султанов Ж. и др. Использование различных способов доказательства на уроках алгебры // EUROPEAN RESEARCH: INNOVATION IN SCIENCE, EDUCATION AND TECHNOLOGY, 2018. С. 57-59.

3. Останов К., Султанов Ж., Файзуллаева Г.С. Об изучении методов решения показательных уравнений и неравенств // ББК 72 П111, 2019.

4. Останов К. и др. О некоторых способах развития творческой активности учащихся при решении уравнений // ББК 72 С108, 2018.