CC BY
37
Современные технологии - транспорту
2 3 1
эксплуатации (первый показатель ресурсосбережения - снижение эксплуатационных расходов). Важно также, что продукты утилизации являются товарным продуктом, полностью подлежащим возврату в хозяйственный оборот (второй показатель ресурсосбережения - вторичное использование ресурсов).
Предлагаемая технология экологична, т. к. имеет замкнутое водоснабжение, не шумит и не пылит, чем выгодно отличается от механических аналогов. Анализ накопленного опыта показал, что РИТ можно использовать для утилизации, например, железобетонных шпал и других цельнотелых армированных железом изделий, причем с высокой производительностью и высокой степенью автоматизации процесса утилизации.
Библиографический список
п
1. Пат. 56220 Российская Федерация, МПК B 03 B 13/00. Устройство для утилизации полых железобетонных изделий / Костроминов А. М., Ледяев А. П., Громов О. И. и др.; заявитель и патентообладатель Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения». - № 2006113009/22; заявл. 17.04.2006; опубл. 10.09.06, Бюл. №25. - 4 с. : ил.
2. Электрогидравлический эффект и его применение в промышленности / Л. А. Юткин. - Л. : Машиностроение, 1986. - 253 с.
3. Основы разрядно-импульсной технологии / П. П. Малюшевский. - Киев : Наукова думка, 1983. - 273 с.
Статья поступила в редакцию 20.05.2009;
представлена к публикации членом редколлегии Л. Б. Сватовской. .
УДК 51.510 Б. Н. Квасников
ОБ ОДНОЙ ОСОБОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКЕ аэ = оо АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ В РАДИКАЛАХ ОБЩЕГО
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЗА «БАРЬЕРОМ П > 5 НЕРАЗРЕШИМОСТИ» ТЕОРЕМЫ Н. АБЕЛЯ
Асимптология М. Крускала, асимптотические методы и теория возмущений [ 1 ]—[62] последних лет позволяют доказать справедливость теоремы Абеля в классической (традиционной) алгебре (область ос > 0) и существование особой предельной точки аэ = оо, где она (теорема) теряет силу. Этой проблеме посвящена данная статья.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
аксиоматика, инвариант, постулат, гипотеза, определения, теоремы, асимптотическая алгебра, нанотехнологии, эталон.
Введение
Алгебра [1]-[7] - фундамент математики - разделилась на аналитическую и вычислительную (компьютерно-численную). Вычислительная алгебра позволяет решать алгебраические уравнения любого порядка при любом типе корней (комплексных х7, действительных х^, кратных хк) за
считанные секунды, но не даёт возможности получать качественные результаты, что доступно только аналитической алгебре. В дальнейшем изложении исключительное внимание уделяется аналитической алгебре, в которой решение выражается через коэффициенты уравнения в общем виде. Под асимптотической алгеброй понимается основанная на асимптотических (аналитических) методах [8]—[62] предельная (аэ = со), симметричная алгебра эталонно-сопряжённых уравнений и их решений в определениях 5-7, аксиоматика которой - система гипотез и определений - изложена в п. 1.2.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
233
Эталоны (образцы) необходимы в метрологии и в повседневной жизни общества, но в не меньшей мере они необходимы в математике и нанотехнологиях. Формализуем математическое понятие эталона в алгебре введением параметров
осэ = оо и аэр = со (В1)
математической погрешности эталонных (абсолютно точных или идеальных) уравнений и их эталонных (абсолютно точных или идеальных) решений в определениях 5 и 7 асимптотической (эталонно-образцовой, предельной) алгебры и нанотехнологий.
Цель асимптотической алгебры - преодолеть «барьер п>5 неразрешимости» теоремы Абеля, о чем говорится при обсуждении уравнения (1.1), и построить эталонные (абсолютно точные) алгебраические уравнения и их аналитические эталонные (абсолютно
точные) решения в радикалах с параметрами аэ = оо, аэр = оо в (В1)
математической погрешности уравнений и решений с учетом нанотехнологий; отсутствие эталона обусловливает невозможность оценки точности, в частности, известного стандартного решения канонического квадратного уравнения (сравни теоремы 1 и 2).
Параметры осэ, а в (В1) являются соответственно предельными значениями двух существенно положительных величин
а > 0 и ар > О (В2)
математической погрешности точных уравнений и точных решений в общепринятых асимптотических соотношениях (1.29) и (1.33а) классической алгебры.
Уравнение точнее решения, или, чуть подробнее, уравнение первично (причина), решение вторично (следствие) и равноточность (1.336)
ос^ = а =4> аэр = аэ = оо (ВЗ)
- предельные значения (В1), т. е. для получения эталонного (абсолютно точного или идеального) решения с ос = оо исходное уравнение тоже
должно быть эталонным (абсолютно точным, т. е. идеальным) с аэ = оо . Каждое точное (а > 0) алгебраическое уравнение в классической алгебре имеет свой эталон (аэ=оо) в зависимости от свободного члена ап определения 7 асимптотической алгебры.
Для того чтобы алгебраическое уравнение было эталонным, каждый его член должен вносить одинаковый вклад (вес) в решение, что математически оценивается предельными соотношениями аэ = оо,
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
а — со в (В1), при выполнении которых в нём (уравнении) отсутствуют второстепенные (малые) члены.
Простейшим объектом алгебры в школьной программе является каноническое квадратное уравнение х2 + ахх + а2 =0 с параметрами
а > 0 и ар > 0
математической погрешности точного (не эталонного) уравнения и его точного (не эталонного) решения в (1.29), (1.33а) и теореме 1; в теореме 2 эталонное (аэ=оо) квадратное уравнение и его эталонное (а =оо)
решение в радикалах существенно отличаются от стандартного случая а > 0, > 0 в [3, с. 145]; в приводимом ниже примере численная
погрешность точных (а р > 0) корней по отношению к эталонным ( а = со) идеальным корням достигает 37% при допустимой 5%-ной численной погрешности!
Классическая (традиционная) алгебра несимметрична: её квадратное уравнение содержит сопряженными только комплексные корни х7;
действительные xR и кратные хк корни не сопряжены; в асимптотической алгебре все корни х^ хк и xR попарно сопряжены (она симметрична).
В рамках традиционной алгебры (а >0) аналитическое решение возможно для алгебраического уравнения до 4-го порядка включительно; уравнения 5-го и более высоких порядков, согласно теореме Абеля, решаются сегодня лишь численными методами. В предельном случае (аэ=оо)
асимптотической (предельной, т. е. алгебраической) алгебры уравнения 5-го и большего порядков разрешимы в радикалах.
На основе постулата Ньютона (1.24) об эталонных структурах (уравнениях и решениях) в определениях 5 и 7 с учетом упомянутой в аннотации асимптологии М. Крускала [58] в развитие асимптотических методов [8]-[62] предлагается асимптотическая алгебра (предельная с осэ = оо), в
которой теорема Абеля теряет силу, что открывает путь аналитическому решению алгебраических уравнений высокого порядка (5-го и более). Обосновываемая асимптотическая алгебра вводимых далее эталонных критических точек и эталонно-сопряжённых ключевых уравнений в определении 5 базируется на асимптотических подходах. Эталонными (абсолютно точными) критическими в определении 7 названы точки скачкообразно-предельного перехода от двух (а > 0 в (1.29) и теореме 1) к трем (аэ =оо - предельное значение в определении 5 и теоремах 2-7)
ведущим членам постулата Ньютона (1.24) с аэ = а = со в определениях
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
23 5
5 и 7. Эталонные критические точки в асимптотической алгебре играют такую же роль, какую играют дискриминанты в классической алгебре, разделяя друг от друга различные типы корней х7, xR, x, так что
классическая алгебра - алгебра точных дискриминантов с а > о в теореме 1, а асимптотическая алгебра - алгебра эталонных критических точек (абсолютно точных дискриминантов) и ключевых уравнений с аэ = оо в определении 5. В общем алгебраическом уравнении (1.1) в предельном случае аэ = оо асимптотической алгебры существуют три эталонные
критические точки квадратного уравнения, одна из которых в (В4) названа главной (она единственная в определении 7, в ней формируются комплексно-сопряженные корни х7), а остальные две - основными эталонными критическими точками в зависимости от типов корней (комплексных х7, действительных хЛ, кратных xfc) и порядка n уравнения.
Современная классическая алгебра - алгебра двух ведущих членов постулата (1.24). Предлагаемая асимптотическая алгебра - алгебра эталонно-сопряженных уравнений и решений при трех ведущих членах этого постулата. Качественное различие этих двух алгебр только в одном: классическая алгебра точная с двумя ведущими членами и ос>0 в (1.29), асимптотическая алгебра - идеальная (абсолютно точная) алгебра с тремя ведущими членами и предельным значением аэ = оо в определении 5, что
аккумулируется словами: классическая-»асимптотическая.
Уравнения несимметричны: квадратное уравнение имеет один кратный корень хк двойной кратности с оговорками [1, с. 145] «одно решение (два действительных совпадающих корня)», «два различных действительных корня xR и два комплексных корня х7 (только они сопряжены)», а в общем случае основной теоремы (1.3) алгебры К. Гаусса имеется оговорка «к-кратный корень считается к раз», которая отделяет кратные корни от комплексных и действительных корней. В симметричной эталонной асимптотической алгебре эти оговорки не имеют места: там все корни (комплексные х7, действительные хЛ, кратные х^) квадратного уравнения в теореме 2 являются сопряженными.
Асимптотическая алгебра конструируется с параметром аэ = оо
(предельное значение) математической погрешности эталонных (абсолютно точных) уравнений в определении 5, являясь с математической точки зрения предельным переходом от несимметричной классической к симметричной асимптотической алгебре. В предельном случае аэ = оо => а = оо, где а - параметр математической погрешности
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
эталонного (абсолютно точного) решения в определении 7; в эталонных критических точках возможно получить эталонно-аналитическое решение алгебраических уравнений высокого порядка п > 5 в замкнутом виде в радикалах.
Уравнения асимптотической алгебры симметричны: в эталонных
критических точках теоремы 2 квадратное уравнение имеет два эталонных комплексно-сопряженных корня х7, два эталонных действительносопряженных корня xR и два эталонных кратно-сопряженных корня х7
(без только что упомянутых оговорок о кратных корнях в классической алгебре).
Современная алгебра, как отмечалось, разделилась на аналитическую и компьютерно-численную (вычислительную); последняя даёт лишь количественные, но не качественные результаты. Аналитически легко и точно с а > 0 в (1.29) решается только квадратное уравнение; кубическое уравнение аналитически с а > 0 алгоритмом Кардано решено только в случаях кратных и комплексных (но не действительных) корней. Тригонометрический метод [4] также строится на точных уравнениях с а > 0 в (1.29) и не даёт возможности сконструировать эталонное уравнение с аэ = оо, как это сделано в определении 7. Аналитическое
решение эталонного алгебраического уравнения 4-го порядка в литературе отсутствует (исключение - биквадратное уравнение).
В первом разделе исследования излагается аксиоматика асимптотической алгебры с привлечением асимптотических подходов, которые по своей природе относятся к аналитическому (не численному) направлению в математике, позволяя выразить решение через коэффициенты уравнения в общем (буквенном) виде, т. е. аналитически. Во втором и в третьем разделах рассматривается, казалось бы, прекрасно изученное квадратное уравнение, возможности которого далеко не исчерпаны; оно оказывается краеугольным камнем асимптотической алгебры и аналитического решения общего алгебраического уравнения, позволяя ввести все три упомянутые эталонные критические точки, включая главную эталонную критическую точку и главный эталонный квадратичный делитель. Это сведение к квадратному уравнению, начиная от всем известного сведения биквадратного уравнения к квадратному уравнению, является объединяющим началом всей работы.
Принципиальное отличие традиционной классической алгебры от обсуждаемой асимптотической алгебры заключается в симметрии: классическая алгебра (а>0) несимметрична - в ней сопряжены только комплексные корни х7;
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
237
асимптотическая алгебра (аэ = оо) симметрична, в ней (см. теоремы 2-7)
все корни (комплексные х7, действительные хЛ, кратные xk) попарно
сопряжены и выражены через свободный член ап; источник симметрии -первичные эталонные структуры постулата Ньютона, сопряжённые ключевые уравнения в определении 5 и эталонные критические точки (ЭКТ) в определении 7.
Предлагаемая асимптотическая алгебра привлекает идеи метода «многоугольника» И. Ньютона [20]-[22] в теории алгебраических функций, метода М. И. Вишика - Л. А. Люстерника [31], [44] в теории дифференциальных уравнений и метода А. Л. Г ольденвейзера [9] в теории тонких оболочек. Приложением аксиоматики асимптотической алгебры является доказательство серии предельно-эталонных теорем аналитического абсолютно точного решения в радикалах алгебраических уравнений 2-6-го порядков с оценкой математической погрешности как уравнений с аэ = оо, так и решений с ос = оо.
Резюме
1. Общепризнанная классическая алгебра является точной наукой с параметром а>0 в (1.29) математической погрешности уравнений и двумя ведущими членами постулата Ньютона (1.24), что даёт возможность получить точное аналитическое решение с параметром ар > О в (1.33а)
математической погрешности решения уравнений вплоть до 4-го порядка включительно; уравнения 5-го и большего порядков решаются численными методами.
2. Предлагаемая асимптотическая алгебра является эталонной (абсолютно точной) наукой с предельным значением параметра аэ = оо и тремя
ведущими членами постулата Ньютона в определении 5, что позволяет строить в аналитическом виде эталонное (абсолютно точное) решение в радикалах с предельным значением параметра ос = оо в определении 7
общего алгебраического уравнения (1.1), включая уравнения 5-го и большего порядков при действительных (^^-пространство) или комплексных (/^-пространство) коэффициентах основной теоремы (1.3) алгебры Г аусса за пределом п = 5 аналитических решений теоремы Абеля.
1 Асимптотическая алгебра
1.1 Основная теорема классической алгебры К. Гаусса.
Постановка задачи
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
Запишем общее алгебраическое уравнение порядка n относительно х с действительными или комплексными коэффициентами аг, которые могут быть как постоянными, так и переменными (параметрами):
а0хп + аххп~1 +... + ап= 0, а0 Ф 0,п > 1. (1.1)
Корни алгебраического уравнения до четвертого порядка включительно выражаются через его коэффициенты с помощью конечного числа алгебраических операций. В этом случае каждое решение представляется в радикалах, т. е. является выражением, содержащим только арифметические операции и извлечение корней; показатели этих корней -целые числа г >2, а подкоренные выражения суть рациональные функции коэффициентов или сами содержат радикалы. Н. Абель доказал невозможность аналитического решения уравнения (1.1) в радикалах при n > 4. Уравнения пятого и более высоких порядков, как отмечалось, в наши дни решают приближенно численными методами.
Перепишем (1.1) в канонической форме, обозначив левую часть (многочлен) через у:
y = xn+alxn~l+... + an_lx + an = 0, at =at/a0,i е 1: п. (1.2)
Многочлен степени n, коэффициенты которого действительные (Re -множество) или комплексные (Im - множество) числа, имеет ровно n действительных xR или комплексных х7 корней
XQ , Х^,..., X;
... х„,
? n '
(1.3)
если каждый k-кратный корень хк считать к раз (основная теорема алгебры - теорема К. Г аусса).
Постановка задачи: разработать аксиоматику асимптотической (аналитикопредельной, т. е. эталонной) алгебры в особой предельной точке аэ = оо в (В1) и на её базе построить аналитическое решение общего алгебраического уравнения 1.1 в радикалах с аэ = оо в (В1) за «барьером
п >5 неразрешимости» теоремы Абеля с учетом и в рамках нанотехнологий.
1.2 Аксиоматика асимптотической алгебры. Постулат И. Ньютона и его первичные эталонные и эталонно-сопряжённые структуры и ключевые уравнения. Основная теорема асимптотической алгебры. Главная эталонная критическая точка и эталонные критические точки. Главный эталонный квадратичный делитель
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
239
Асимптотические подходы основаны на введении малого или большого параметра (безразмерного и положительного); для целей аппроксимации, когда ведется поиск главной части, удобнее пользоваться большим параметром
|Д >> 1. (1.6)
Этот параметр может быть как естественным, присущим рассматриваемой системе уравнений, так и искусственным (формальным), когда он отсутствует. Так, в теории тонких оболочек ее толщина существенно меньше остальных размеров и малый параметр тонкостенности является естественным параметром. В уравнении (1.1) большой параметр (1.6) будет формальным.
Естественный большой параметр остается свободным, и асимптотический анализ обычно ведется при
|Д^оо. (1.7)
Как отмечается в [8, с. 28], в приложениях обычно фиксируют достаточно большое значение большого параметра. Для вычислений удобно принять |Д кратным десяти, причем
10 > 1, 100>>1, 1000 >>> 1
и отбрасывать 1 по сравнению с 10 слишком грубо, а по сравнению с 1000 слишком незначительно (в быту это один порядок, два порядка и три порядка); на этом основании зафиксируем (fix) формальный большой параметр значением
|Д = 100 = fix >> 1 (1.8)
- два «бытовых» порядка.
Любой из действительных или комплексных коэффициентов a ^0 в (1.2) обозначим
a = {al,a2,...,ai,...,aj. (1.9)
Выделим в а величину а порядка единицы 0 (1)
а = \ia а_, <3^0,я~1, (110)
где а - показатель интенсивности коэффициента (действительное число);
— символ асимптотико-точного порядка (символ соизмеримости), причем
а > 0^ а > 0, а < 0^> а < 0. (1.10а)
Определение 1. Асимптотическим порядком действительного (Re-пространство) или комплексного (/^-пространство) коэффициента а в
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
(1.9) (сравнительным по сравнению с большим параметром |Т в (1.6))
назовем множитель \ха в (1.10) в форме большого параметра в степени показателя интенсивности а, который выделяет из этого коэффициента величину а~1 порядка единицы.
С учетом (1.10)
a =inv{sign а, mod а, Re а, Im а, var а}, (112)
т. е. введенный в определении 1 показатель а (в (1.10) - интенсивности коэффициента а) является инвариантом (неизменяемой при
преобразованиях величиной) по отношению к его сигнатуре и к модулю действительного Re или комплексного 1т числа, а также к поведению коэффициента а (постоянный const или переменный var); параметр а аккумулирует в себе наиболее важную информацию о качественно -асимптотических свойствах коэффициента а, порождаемых определением 1, характеризуя «личный» вклад (вес) в решение каждого конкретного коэффициента на уровне асимптотико-порядковых уравнений [54]. Инвариант (1.12) является обобщенной характеристикой асимптотических свойств коэффициентов, позволяя анализировать уравнения различной природы с точностью до знака и до абсолютной величины действительного или комплексного коэффициента или параметра, с постоянными и переменными [16] коэффициентами, в линейной и нелинейной постановках [25] краевых задач [19].
Прологарифмируем первое соотношение в (1.10):
lg|<2| = <$lgp + lg|a|,
и, так как lg 1=0,
а~ 1=> lg|a|«alg|Li,
тогда, не заботясь пока о точности, получим приближенное значение показателя интенсивности коэффициента а в (1.9):
igH
IglOO
(l/2)lgH
где принято |Д по (1.8), а из (1.10)
(1.13)
а = \х аа.
(1.13а)
Соотношение (1.13) - логарифмическая характеристика асимптотико -порядковых свойств коэффициента а в определении 1, отражающая, как отмечалось при обсуждении инварианта (112), вклад («вес») коэффициента в решение (весовая характеристика коэффициента а) в классе функций основной гипотезы (1.18) при фиксированном значении
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
2 4 1
большого параметра jli = 100 по (1.8). Вместе с тем, будучи приближенным, соотношение (1.13) вносит неустранимую погрешность в вычисления.
Определение 2. Асимптотическим порядком \хх аргумента х (сравнительным по сравнению с большим параметром |Д в (1.6)) назовем
множитель в форме большого параметра в степени показателя интенсивности х, который выделяет из этого аргумента величину порядка единицы.
В силу этого определения и по аналогии с (1.10) выделим в х из (1.1) величину х порядка единицы:
х = ц*х,х%0,х~1, (1.14)
где х - показатель интенсивности аргумента (действительное число); X - искомое решение порядка 0 (1).
Любое слагаемое в (1.2) обозначим
слагаемого уравнения (1.2), учитывающий асимптотический порядок аргумента х и коэффициента а.
Введем порядковое соотношение
_
Х~|ЫХ (118)
в форме показательной функции и будем рассматривать его как гипотезу (основную) существования решения, согласно которой предполагается, что решение уравнения (1.1) существует в классе функций, в котором асимптотический порядок аргумента х полностью определяется параметром х (показателем интенсивности аргумента в определении 2). Логарифмическая функция (1.13), как обратная показательной функции, принадлежит классу функций основной гипотезы (1.18).
Аналогично (1.18) с учетом (1.10)
я~цй. (1.20)
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
Это гипотеза о коэффициентах (в конкретном уравнении, например в примере 1, параметры а известны) и при
а> О, а = О, а< О (1.21)
коэффициент большой, средний порядка 0 (1) и малый соответственно.
В простейшем случае квадратного уравнения
'У
х + ахх + а2=0 (1.22)
с действительными коэффициентами ах, а2 имеем:
Fx = х2, F2= ахх, F3=a2,
j » 2х 2 2х х+С1л х+йл ту» й~, __ яз
Fx-\x х ~ц ,F2=\a 'с^х-ц \ гъ = ц 2а2~\л \ i*J = 23с, F2 = х + , F3 = а2,
2х 2 х+й, , сь Г\
jt х +\i ахх + |т 2а2 = 0.
(1.22а)
Здесь в последней строке выписано квадратное уравнение в асимптотических порядках.
Проще и нагляднее непосредственно оценить уравнение (1.2) так:
хп + аххп 1 + ... + ап_хх + ап = 0, |
пх (n-l)x + ax (х + ап_х), ап, j С1-23)
где под каждым слагаемым подписан его суммарный показатель интенсивности согласно гипотезам (1.18), (1.20).
Будем исходить из предпосылки, восходящей к работам И. Ньютона [1],
[20]-[23], [40, с. 266], согласно которой в уравнении (1.1) или равносильном ему уравнении (1.2) должно быть по крайней мере два члена (ведущие) одинакового и притом максимального асимптотического порядка по |Д среди остальных членов (второстепенных) данного
уравнения, т. е.
Fi=Fk = max,{F,}, ; *k,s е 1 :r, Ft = тахДЩ,
(1.24)
где с учетом введенных в (1.17) обозначений Ft, Fk - суммарные
показатели интенсивности двух ведущих членов одинакового наибольшего асимптотического порядка; г - число членов рассматриваемого уравнения;
FB - показатель интенсивности ведущих членов.
Соотношение (1.24) записано в [14, с.191], [40, с. 266, 269] и названо принципом парной эквивалентности, а в [54, с. 40] - постулатом Ньютона. Итак, все три особые (одна главная и две основные) эталонные критические
точки (ЭКТ) а2 g R ^0
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
243
ГЭКТ = ЭКТ,= а1'2, а, > 0 : ЭКТ/?=
R-
1/2
a
< 0: ЭКТ/=±2а
1/2
<2,
>0
асимптотической алгебры существуют в трехчленном точном (а > 0) каноническом квадратном уравнении х2 + ахх + а2 = 0, ос2^0, классической алгебры, превращая его в три трехчленных эталонных ( аэ = оо в определении 5) квадратных уравнения
ХЭ1 + С12 ^э/ + С12 — О? ^2 ^ ХЭд Т
.2 , ^ 1/2„ , „ / I 1/2\2
аз
1/2
2
х^ ± 2а2Ахэк +а2= (хэк ± a2z)z =0, а2> О
= ^
асимптотической алгебры формирования эталонно-сопряженных (ос = со
в определении 7) комплексных хэ/, действительных хэК и кратных хэк
корней теоремы 2; три ЭКТ асимптотической алгебры полностью заменяют дискриминант
D = а2-(а1/ 2)2, D>0, D < О, D = О,
и сопровождающие его два неравенства и одно равенство D = О классической алгебры.
Определение 3.
1. Трехчленное неэталонное квадратное уравнение х2 + ахх + а2 =0, а2^0, компануется (свертывается (х —» хэ^) в двучленную эталонную (аэ = оо в (1.31б)) структуру постулата И. Ньютона (1.24) при
ах = 2а21/2 =4> х2 + 2 а2пх + а2 = (х —» хэ) = (хэ + а2'2)2 = 0
1/2.
(1.24а)
ах — 2l2q —^ х + 2й?2 х + а2 — (хэ i q2 ) — 0 => хэ?Со ^ — +£?2 . (1.25)
4/2-
.1/2\2 2
4'2
Сопоставим формулировки основных теорем классической алгебры (КА) в (1.3) с а > 0 в (1.29) и асимптотической алгебры (АА) с аэ = оо в определении 5.
КА. Многочлен степени п, коэффициенты которого - действительные или комплексные числа, имеет ровно п действительных xR или комплексных х7 корней, если каждый к-кратный корень хк считать к раз.
АА. Многочлен степени п, коэффициенты которого - действительные или комплексные числа эталонного уравнения (1.35в) с аэ = оо в определении
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
5, имеет ровно n эталонных комплексных хэ1, действительных хэК и кратных хэк корней с аэР = оо в определении 7. (1.25.1)
В результате сопоставления формулировок несимметричная классическая алгебра с одним общепринятым кратным корнем хк = —{ал / 2) двойной
кратности в [3, с. 145] и параметром а > 0 в (1.29) в пределе при аэ = оо
имеет два эталонно-сопряжённых кратных корня = +а21П в (1.25),
вырождаясь в симметричную асимптотическую алгебру, т. е.
lim КА = АА с аэ = оо а^-оо
при скачкообразном переходе от двух к трём ведущим членам постулата (1.24) от а > 0 в (1.29) к аэ =оо в определении 5, когда справедливы
эталонные структуры в этом определении, а теорема Абеля классической алгебры теряет силу в асимптотической алгебре.
2. Введём двучленное эталонно-сопряжённое уравнение постулата (1.24) в форме неполного квадратного уравнения (разность квадратов)
х2 — а2 = (х + а22)(х -а2'2) = 0,а2 е R > 0 =^> = +а22 (1.256)
с двумя различными кратно-сопряженными решениями - источник сопряженности эталонных кратных корней хэк и симметричности
асимптотической алгебры; линейные сопряжённые двучленные уравнения
(х + а2т)(х-а21,2)=0 (1.25в)
являются первичными эталонными структурами постулата Ньютона (1.24).
Определение 4. Вырождение алгебраического уравнения в свои аппроксимации назовем регулярным с а > 0 (сингулярным с а < 0) (РВ и СВ), если порядок укороченного уравнения равен (меньше) порядка исходного уравнения, а соответствующие аппроксимации (укороченные уравнения) будем называть регулярно (сингулярно) вырожденными.
Асимптотическая (математическая) погрешность % укороченного уравнения характеризуется порядковым соотношением
a = FK-Fu, а > 0, (1.29)
в классе функции основной гипотезы (1.18), где F,, Fu - суммарные
показатели интенсивности ведущих и малых (наибольших из второстепенных) членов.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
245
Параметр а математической погрешности уравнения полностью определяет асимптотическую (математическую) погрешность уравнения как отношение асимптотических порядков наибольшего из второстепенных членов к ведущему члену. При
а = 0=>Тв=Т„ (1.30)
уравнение асимптотико-противоречиво, так как наибольшие из второстепенных членов по порядку равны ведущим членам и их надо включать в главную часть.
Определение 5 (предельный случай).
1. Укороченное уравнение, полученное из (1.1), назовем эталонным (абсолютно точным или идеальным) уравнением (короче - эталоном), если в постулате Ньютона (1.24) все члены ведущие, математическая погрешность (1.29) равна нулю, а параметр а>0 математической погрешности уравнения в (1.29) обращается в бесконечность (предельное значение), т. е.
Хэ = 0 => осэ = оо ц”00 = 0.
2. Двучленные и трехчленные эталонно-сопряжённые уравнения при а2 g R> 0 в определении 3
хэ -а2
(хэ + а2/2)(хэ - a2z ) = 0 => хэ + а2 1 =0,х - а
1/2
1/2
1/2
О
х,2 ± 2я*/2хэ +а2= (хэ ±а22)2 = О
образуют первичную эталонную структуру постулата Ньютона (1.24); систему эталонно-сопряженных уравнений
1/2 1/2
хэ+а2 = 0,хэ-а2 =0 при а2 е R > 0, аэ = оо;
(1.30г)
хэ2 ± 2 а2,2хэ + а2 = (хэ ± а21)1 = 0 при а2 g R > 0, аэ = оо; (1.30д)
01/0 01/0 01/0 Л 00
хэ ±а2 хэ +а2 =0=>(хэ +а2 хэ+а2)(хэ -а2 хэ+а2) = хэ +а2х +а =0
1/2 ч 2
х2 i
э
А-
1/2
хэ + а2 = 0 => (х + а2"" хэ + а2 )(хэ2 - а2 “" хэ + а2) = хэ4 - За2 х1 + а1 = О
1/2
.2 , „2
назовём ключевыми уравнениями асимптотической алгебры.
3. Эталонное уравнение (единственное в алгебре)
•У2 + а22хэ + = 0, а2> 0, аэ = оо
(1.30ж)
- источник эталонных комплексно-сопряженных корней с аэр = оо в
определении 7 назовем главным эталонным уравнением (ГЭУ) асимптотической алгебры.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
Определение 6. Укороченные уравнения классической алгебры с двумя ведущими членами в постулате Ньютона (1.24) при а>0 в (1.29), построенные с точностью до ведущих членов, назовем нулевой ступенью аппроксимации.
Классу функций (1.18) принадлежит бесконечный асимптотический ряд
00
х = \х*х, х = ^|дРтИ(га), (1.33)
т=О
где |Д большой параметр; х - показатель интенсивности функции х;
х - решение (действительное (вещественное) или комплексное) исходного уравнения (1.1) порядка 0(1); т - номер итерации (приближения); р -число, определяющее шаг итерации; р0 = 0, А(т> - константы, не зависящие от р.
Асимптотическая (математическая) погрешность решения
Xp~Va’,ap>0, (1.33а)
где параметр ар полностью определяет математическую погрешность решения и чем больше а , тем лучше и точнее решение, а при
ар = а (1.336)
погрешность решения равна погрешности уравнения в (1.29).
Определение 7 (предельный случай).
1. Эталонной критической точкой (ЭКТ) алгебраического уравнения (1.1) назовем точку наивысшей точности с параметром аэ = оо (предельное
значение) математической погрешности уравнения в определении 5
скачкообразного перехода от двух (теорема 1 с а>0 в (1.29)) к трем (теорема 2 с аэ =оо) ведущим членам постулата Ньютона (1.24) при нулевой математической погрешности (1.33а) решения
% = 0 => а = оо (предельное значение),
где а - параметр математической погрешности эталонного (абсолютно
точного) решения; в многомерных дифференциальных уравнениях в частных производных критическим точкам поставлены в соответствие узловые точки асимптотического портрета [54].
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
247
2. Эталонным рядом n-го порядка, формирующим эталонное алгебраическое уравнение в ^-пространстве действительных коэффициентов с параметром аэ = оо (предельное значение)
математической погрешности уравнения в определении 5, назовем специальный вид асимптотического ряда (1.33) с действительным свободным членом ап:
< +y'V М, X +...+а™\2 + У 1 X +4, =СЦ, eRZО,
1 /п 2/п (и-2)/п (п-1)/п
Un •’ип •’ип
(n-2)/nv 2 (и-1)/и,
п *
R по (1.12) с а = оо.
(1.35в)
в котором все коэффициенты выражены через свободный член ап , отрезки которого в конкретных частных случаях п е 2 : 6:
п = 2 => х2 + а2,2хэ + а2 = 0,а2 е R,a2%0^ а21/2 g 7? по (1.12); (1.35г)
п = 3=> хэ3 + а3тхэ2 + а2/3хэ + а3 = 0,а3 g R,a3%.0^ а3п,а32/3 е R по (1.12); (1.35д)
/7 = 4
4 1/4 3 2/4 2 3/4
хэ + а4 хэ + а4хэ + а4 хэ + а4
0,а4 gR,a4%0:
а4'л ,а4'л ,а%л еЯ по (1.12);
(1.35е)
т/ = 5 => л;ээ +а51пхэ4 + a52/=x! + Яд/5х2 +ад/эл:э +а5 = 0,а5 е R,a5%0:
„ 1/5 _ 2/5 3/5 4/5 г> /1 10Ч
(Л3 , (Л3 , (Л3 ,61^ G 7v ПО (1.12),
„4/5.
(1.35ж)
/7 — 6 X + Т/g Дэ + Т/g X + Т/g X X X X X X — О, X ^ X
1/6 „ 1/3 1/2 2/3 5/6
.4/6 „2
..5/6.
•>rv „ I/O „ 1/3 1/2 2/3 3/fc> _ Г) /1 1Лч /1 ог- \
<0 х ,х ,х ,а6 ,а6 елпо(1.12). (1.35д)
Оценка численной погрешности решения осуществляется двумя способами. Первый из них применяется, когда известно точное решение. Тогда численная погрешность решения (в вычислении корней)
(от)
X — хГ
X
100%,
x > х(т)
1 1
/' g 1: /7,
v/"’ =max{v/”J(Rey”J),v/”J(Imy",)}%, J
(от)
О)
(от)
О) МО/
(1.36)
где x, x(m) - точное и приближенное m-й итерации значение /-го корня
соответственно; n - число корней уравнения (1.1), причем в случае комплексных корней погрешность вычисляется отдельно для
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
действительной (Re) и мнимой (Im) частей комплексного числа и берется ее максимальное значение.
Считается допустимой 5%-ная численная погрешность решения, т. е. принимается
\\f = 5%, (1.37)
а в инженерных задачах часто допустимо
\\J = 10% и даже у/ = 15%. (1.37а)
Определение 8. Отрезок бесконечного асимптотического ряда при двух ведущих членах постулата (1.24) классической алгебры и фиксированном значении большого параметра \1 —100 по (1.8) назовем:
1) сходящимся при |д = 100 (иначе - ряд имеет сходимость |д100), если по модулю его члены уменьшаются, обеспечивая вычисление корней уравнения с численной погрешностью (1.37), (1.37а);
2) расходящимся при |Ы = 100 (иначе - расходимость jalOO), если по модулю
его члены увеличиваются, не позволяя ни вычислить корни с заданной
точностью (1.37), (1.37а), ни отыскать двусторонние границы точного
корня в виде оценок снизу (inf) и сверху (sup),
его первые члены уменьшаются, а затем начинают расти,
позволяя выполнять требования (1.37), (1.37а) или найти inf, sup,
оставаясь бесполезными в процедуре вычисления приближенных значений
корней;
3) отрезки (1.35г)-(1.35з) эталонного ряда (1.35в) имеют нулевую сходимость (расходимость) при аэ = оо.
В завершение раздела 1 подтвердим бесспорным примером квадратного уравнения в привычных обозначениях [3, с. 145]
р = р, а2 = q (1.386)
возможность появления недопустимо большой погрешности решения точного уравнения относительно эталонного уравнения и необходимость введения эталонов в алгебре, о чем говорилось в конце введения.
Пример. Корни комплексно-сопряжённые.
Дано: точное уравнение
х2 + 2х +10 = 0, р = 2, <7 = 10.
Решение, а) Классическая алгебра^ точное решение с а = 0,0995 >0 в (1.38в).
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
249
Точный дискриминант
D = q — (р/2)2 = 10 — (2/2)2 =10 — 1 = 9 > 0 =>корни комплексные. Точные комплексно-сопряженные корни
x0]=-(p/2)±sTD = -(2/2)±^ = -l±3i-
х0 = -l + 3i,xl =-1-3/.
Точные уравнения при регулярном вырождении (1.28) оценим по гипотезам (1.18), (1.20):
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
х2 +2х + 10=0, (1.38в)
2х (х + 2) 10 => 2х = 10,х = (1/2)10,
X = (1/2)10 =>10 (1/2)(10) + 2 10 => 10 = (l/2)lg|l0| =0.5, 2=(l/2)lg|2|=0.1505, 0.5 0,4005 0.5 =>а = 0.5 - 0.4005 = 0.0995 по(1.29).
Здесь
а = 0.0995 « 0.1 <1.
Далее по (1.29) при )Д = 100 в (1.8)
Х~ц"“ = ЮО“00995 = 0,6324 о 1|/ = 100х%« 63%, (1.38г)
где 1|/ - численная погрешность (1.36) исходного точного уравнения, что неизмеримо больше допустимых 5% в (1.37).
б) Асимптотическая алгебра^ эталонное решение с аэ =со в (1.38д).
Для повышения точности построим эталонное уравнение по (1.35г):
хэ2 +101,2хэ + 10 = 0, д = 10=> рЭ1 =q'n,
2хэ (х3 +10/2) 10 =2х, =10, it, =(1/2)10,
хэ =(1/2)10 =* 10 ((1/2)-10+ (1/2)-10) 10 io=(i/2;/gjio| = a5,
( 10 = 0,5 ) => аэ = оо. (1.38д)
Здесь математическая и численная погрешность хэ ~ Ц = 100 °° = 0 в
определении 5, \|/ = 100хэ = 0% в (1.38а). (1.38е)
Далее эталонный дискриминант комплексных корней
D„=q- (p„l2f = q-(qul/2)2=q-(q/4) = (3/4)q =
= (3/4)10 = 0,75 > 0
и эталонные корни
<.,=-(л/2)±7-^
~(qvl /2) ± ^-(3/4)q = (1/2)(-1 ± i-Jb)qm =
(1/2)(-1±/Уз)Юш,
один из которых
х20 =(1/2)(-1 + /Тз)-101/2 ^Rex2o =-(7Й)/2),1тх2о = (л/30/2>\
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
2 5 1
Численная погрешность (1.36) точного корня х0 = —1 + 3/ классической
алгебры относительно своего эталона x7q = (1/2)(—1 + />/3)-101/2 асимптотической алгебры
vKxobmax^2^1,3-^2^} ■100% =
(1/2)>Яо
max{
0,5811 3-2,7386
1,5811
3
3
} * 100%
= max{0,3675 ; 0,087}-100% = 37%, (1.38ж)
аналогично для сопряжённого корня х, = — 1 — 3/ => \|/(х|) = 37%, так что \|/(х01) = 37%, что недопустимо даже при самых грубых расчётах с Ч7 = 15% по (1.37а).
Причина низкой точности в 63% точного уравнения х2+2х + 10 = 0
заключается в том, что в нём крайние члены х2 и 10 являются ведущими, а среднее слагаемое 2х - второстепенное, вносящее меньший вклад в решение (имеющий меньший “вес” в инварианте (1.12)), в то время как в
эталонном уравнении хэ +10 хэ+10 = 0 все три члена ведущие
одинакового «веса». Математически этот вклад характеризуется параметром а = 0.0995 в точном уравнении, а в эталонном уравнении
аэ = 00 •
Из приведенных расчетов в случае комплексных корней конкретного квадратного уравнения следует, что математическая погрешность (1.29)
точного уравнения х2+2х + 10 = 0 классической алгебры определяется параметром а = 0.0995 в (1.38в) при численной погрешности \р = 63% в
(1.38г), а эталонного уравнения хэ2 + л/ГОху +10 = 0 асимптотической
алгебры - параметром аэ =оо в (1.38д) в определении 5 при \|/э = 0% в
(1.38е). Численная погрешность (1.36) точного решения х01=—1 + 3/
классической алгебры по отношению к эталонному решению
*э01=(1/2)(-1±гч/ЗЬ/Й) асимптотической алгебры составляет
\|/(х01) = 37% в (1.38ж), что недопустимо.
Резюме
1. Н. Абель в начале XIX века доказал неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений 5-го порядка, и этот отрицательный результат,
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
совершенно справедливый в классической алгебре с параметром а > 0 в (1.29) математической погрешности уравнений, не был признан его современниками Ж. Лагранжем, К. Г ауссом, О. Коши и другими крупнейшими математиками.
2. В наши дни, в начале XXI века, благодаря интенсивному развитию теории возмущений и асимптотических подходов [7]-[62], особенно в последние 30-50 лет, удаётся преодолеть этот барьер неразрешимости в предельном случае аэ = со, аэр = со (см. определения 5 и 7) с
привлечением эталонно-сопряжённых структур и эталонных критических точек постулата И. Ньютона: в асимптотической алгебре доказана возможность аналитического решения в радикалах алгебраических уравнений пятого и более высоких порядков.
3. Вычислительная алгебра искусственных интеллектов компьютеров не в состоянии придумать систему из 8 непротиворечивых определений только что изложенной аксиоматики асимптотической алгебры, которая предложена в п. 1.2.
4. Постулат (1.24), гипотезы (1.18), (1.20), систему определений 1-8, первичную эталонную структуру двучленных и трехчленных уравнений (1.30в), ключевые уравнения (1.30г)-(1.30е), эталонное уравнение (1.35в) n-го порядка, асимптотические соотношения (1.29), (1.33а), (1.35б), (1.35в), бесконечный асимптотический ряд (1.33), главный член асимптотики (1.35) назовем эталонными структурами постулата И. Ньютона.
5. Основная теорема (1.25.1) асимптотической алгебры позволяет строить эталонно-сопряженные уравнения и решения в радикалах в случае действительных (Re) и комплексных (1т) чисел теоремы (1.3) Гаусса в IR-пространстве коэффициентов уравнений с параметрами аэ = со и а = со
в определениях 5 и 7.
Теорема 1. 1. В силу постулата Ньютона (1.24) точное квадратное уравнение
х2 4- ахх + а2 = 0
с действительными коэффициентами ах, а2 и точным дискриминантом
D = а2 —(ах/ 2)2 расчленяется на цепочку трех двучленных аппроксимаций (укороченных уравнений)
х +а2= 0; х + ах= 0; ахх + а2 = 0,
первое из которых по определению 4 является регулярным, а остальные два - сингулярными вырождениями исходного уравнения; тривиальное (нулевое) решение отброшено.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
253
2. Решение уравнения в п. 1 в классе функций основной гипотезы (1.18) существует, и асимптотические приближения точных корней или их двусторонние границы (снизу inf или сверху sup) при фиксированном большом параметре jx = 100 по (1.8) с оценкой математической (асимптотической) погрешности уравнений и решений величинами а = ар определяются отрезками сходящихся и расходящихся в
определении 8 бесконечных асимптотических рядов (1.33):
D > 0 два комплексно-сопряженных корня при регулярном
2 ' ~ 0, а2 >0 с а = -ах + а2 / 2 > 0;
вырождении х + а2 — ^
2
Х0 j = ±/<22
. 10
1/2
а
i-iA-of1'2 +Згв2-”2 +2^-а2-5'2 +5^
си
си
си
2
-7/2
2
2
2
2
15 2
+
+U%ra-9n +...), г = л/Ч;
19
2
D < 0 два действительных различных корня
при регулярном вырождении х2+а2=0,а2<0са = — ах + а2 / 2 > 0
2 4
*01 —
а,
1/2
ах ах
2 23
а,
-1/2
+
а
а~
-3/2
+
при сингулярном вырождении с а = 2ах — а2 > 0, а2 < 0
2
2 3 4
С12 &2 '-ч ^2 с ^"2
х0 — —б/| Н--------1----— + 2 —— + 5 —— + ... ИЗ X + = 0 j
а
а
а
а
2 3 4
х2 = - ... из ахх + а2 = 0,
а~
а
а
а
а
а
а
*1 “1 “1 “1 “1 “1
где х0 - превалирующий (наибольший по модулю) корень;
D — 0 один действительный кратный корень двойной кратности (два действительных совпадающих корня) при сингулярном вырождении ахх + а2 = 0, а2 > 0 с а = 2ах - а2 > 0,
ао а72 _ а73 _ а,4 . . а75
г —_____2 2 о 2 s 2 1 /1 2
Лк 3 „5 „7 „9 • • •
а
а
а
а
а
4
6
Теорема 2. При условии выполнения аксиоматики асимптотической алгебры в и. 1.2: 1. Каноническое квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 с действительными коэффициентами p, q имеет точное решение
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
■*ол =-0/2)±V —D в зависимости от точного дискриминанта
D = q - (j?/2)2, и при D>0,D<0, D = 0 его корнями являются соответственно два комплексно-сопряженных х^, два действительных различных xR и один кратный хк=-(р/ 2) двойной кратности (два
ОД
действительных совпадающих корня).
2. Асимптотические приближения точных корней в п. 1 получены в теореме 1 на основе постулата Ньютона (1.24) с двумя ведущими и одним второстепенным «плавающим» членом в зависимости от D с оценкой математической погрешности уравнения и решения параметром погрешности а>0 в (1.29), (1.33а), (1.336) в случаях регулярного и сингулярного вырождений (РВ и СВ) в определении 4.
3. В пределе при скачкообразном переходе от двух к трем ведущим членам постулата Ньютона (1.24) в согласии с ключевыми уравнениями и эталонными структурами в определениях 5, 7 в исходном уравнении существуют три эталонные критические точки (ЭКТ), включая главную (ГЭКТ),
ГЭКТ = 3KTj= рЭ1 = q1'2 ,q > 0 => комплексное решение,
ЭКТд =p3R — \q\'2 -,q < 0 действительное решение,
1/2
3KIt=p3ll=±2q"\q>0^ кратное решение,
в которых формируется эталонное (абсолютно точное с аэ = оо в определении 5) квадратное уравнение (ЭКУ)
ЭКУ= хэ2+рэхэ+q = 0, q е R %0, рэ {рЭ1 ,p3R, рЗК },
включая главное ГЭКУ комплексных корней и ключевые кратносопряженные (с +) уравнения
ГЭКУ = ЭКУг^ = q112) => хЭ12 + ql,2x3I + q = 0,D3I = (3/4)q > 0; ЭКУК=(рЭК = | gf2) => x3R2 + \q\m x3R+q = 0 ,D3R = (5/4 )q < 0;
экуk=(p3k = ±2 ql2)^>
хэи ±2qll2x3k+q = (хэк ±qll2f=^D3k = q-/2?=о=>q>o, хэк ~ q ~ (хэк q )(хэк ~q )_ o,
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
25 5
где D3I, D3R, D3k - эталонные дискриминанты эталонно-сопряженных комплексных хЭ1, действительных хэк и кратных хэк корней в согласии с формулировкой основной теоремы асимптотической алгебры в (1.25.1).
4. Уравнения в п. 3 порождают в радикалах эталонно-сопряженные (абсолютно точные с параметром аэр = оо в определении 7) комплексные
I R к
хэ , действительные хэ и кратные хэ решения (ЭР), включая главное (ГЭР):
ГЭР = ЭРьхэо/ = (1/2)(—1 ±iS)qm,q> 0;
ЭРк:д:эо/ =(1/2)(-1±л/5)|<?|1'2, q<0;
ЭР^:x30f = + qll2,q> 0о/= -qm,/ = ql/2,q> 0.
^ ^ 1/2
Эталонная критическая точка ЭКТ к= Рэк = ±2q в (1.35а) и ключевые уравнения (1.30г) отделяют от остальных корней соответственно один кратный корень хк = ~( р / 2) двойной кратности классической алгебры и
два эталонно-сопряженных кратных корня хэк = +q асимптотической алгебры.
5. Эталонные критические точки 3KTi=/?3/ = qV2, ЭКТк=рэК = \q\'2 в п. 3 порождают два критических числа V3 и V5, первое из которых формирует в ГЭК эталонные комплексно-сопряженные значения корней хэо /, а второе - эталонные действительно сопряженные значения решений ЭРд = хэ0 f; критическое число S появилось в формулах Кардано еще в
средние века при решении кубического уравнения, а критическое число V5 возникло в п. 4 теоремы 2 асимптотической алгебры.
6. Частный случай (известен в Индии с VIII века до н. э.):
p = 0^>xl+q = 0, аэ-оов определении 5, q е R ^0
- неполное квадратное уравнение, двучлен - первичная эталонная структура постулата (1.24)=> аэр = со в определении 7
q> 0=>Хзо1 = ±£/1/2, i = yf—l, - корни чисто мнимые, эталонносопряженные -v тригонометрические периодические функции, q < 0 х^о = ±\q\ - корни действительные, различные, эталонно-
сопряженные =5 гиперболические апериодические функции.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
Примечания. 1. Сопоставление теорем 1 и 2 обнаруживает качественное различие классической и асимптотической алгебр: классическая алгебра (теорема 1) построена на двух ведущих членах постулата Ньютона (1.24), а асимптотическая алгебра (теорема 2) зиждется на трех ведущих членах этого постулата.
2. В теореме 1 классической алгебры фигурируют параметры а > О сср>0 в (1.29), (1.33а) математической погрешности уравнений и
решений, а в теореме 2 асимптотической алгебры - параметры аэ =со, а = оо (предельные значения) в определениях 5, 7.
3. В теореме 1 точный дискриминант
D = q-(p/2)2 =0,D>0,D<0
классической алгебры в зависимости от q, р заменяется эталонными критическими точками ЭКТ, включая главную ГЭКТ.
ТЖТ=рЭ1 = <71/2, ЭКТд =p3R = \q\U2, ЭКТ/=/г)к = ±2q112 =4> эталонные
решения (ЭР) в и. 4 теоремы 2, которые зависят только от одного
1/2
свободного члена q, отделяя при ЭКТ* рЭк = ±2q ключевое эталонное уравнение х2)к —q — 0 эталонных кратных корней хэк от остальных эталонных комплексных хЭ1 и действительных хЭК корней, а в главной
эталонной критической точке ГЭКТ = ЭЮ) = рЭ1 = qi/2, расщепляя эталонные уравнения эталонных комплексно-действительных корней знаком свободного члена q > 0 => хЭ1, q < 0 =^> хЭК и отделяя этим
1/2 I |1/2
радикалы рЭ1 = q от рЭК = щ .
Библиографический список
1. Математические начала натуральной философии / И. Ньютон; пер. с латинского и примечания А. Н. Крылова. - М., 1989. - 688 с.
2. Рассуждение о методе : избранные труды / Р. Декарт. - М. : Мысль, 1950. - 263 с.
3. Справочник по математике / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М., 1986. - 544 с.
4. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М., 1970. - 832 с.
5. Высшая алгебра / Л. Я. Окунев. - М., 1986. - 333 с.
6. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений / В. Л. Загускин. - М., 1960. - 216 с.
7. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель / О. Оре. - М., 1961. - 72 с.
8. Введение в методы возмущений / А. Найфэ. - М., 1984. - 536 с.
9. Теория упругих тонких оболочек / А. Л. Гольденвейзер. - М., 1976. - 512 с.
10. Теорема Н. Абеля в задачах и решениях / В. Б. Алексеев. - М., 2001. - 192 с.
11. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. - М., 1974. - 504 с.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
257
12. Устойчивость тонких оболочек : асимптотические методы / П. Е. Товстик. - М.,
1995. - 320 с.
13. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций / П. Е. Товстик, С. М. Бауэр, А. Л. Смирнов, С. Б. Филиппов. - СПб., 1995. - 188 с.
14. Асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений тонких оболочек. Колебания и устойчивость механических систем / Б. Н. Квасников. - Л., 1981. - С. 187-218. (Прикл. мех. - Вып. 5).
15. Теоремы аппроксимации и существования в теории тонких оболочек / Квасников Б. Н. // Третьи Поляховские чтения. Избранные труды Международной конференции по механике. - СПб., СПбГУ, 2003. - С. 261-266.
16. Интегрирование уравнений тонких упругих оболочек с быстро и медленно меняющимися коэффициентами. Прикладные задачи динамики и устойчивость механических систем / Б. Н. Квасников. - Л., 1990. - С. 163-172. (Прикл. мех. - Вып.8).
17. К проблеме построения приближённых методов расчёта в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Динамика и устойчивость механических систем. - Л., 1984. - С. 126138. (Прикл. мех. - Вып.6).
18. Оценка погрешности в некоторых задачах теории колебаний / Б. Н. Квасников. -СПб., 1993. - 51 с.
19. Об одном подходе к решению краевых задач в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Динамика и устойчивость механических систем. - СПб., 1995. -С. 192-209. (Прикл. мех. - Вып. 9).
20. Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых / И. Ньютон // Математические работы. - М. ; Л., 1937. - С. 33-44.
21. Второе письмо Ньютона к Ольденбургу, подлежащее сообщению Лейбницу / И. Ньютон // В кн.: Математические работы. - М., 1937. - С. 251-252.
22. “Многоугольник Ньютона” и его роль в современном развитии математики / Н. Г. Чеботарев. - Собр. соч. - М.; Л., 1914. - 313 с.
23. Многогранник И. Ньютона для уравнения А. Л. Гольденвейзера / Б. Н. Квасников // Сб. научных трудов. - СПбГУСЭ, Т. 3. - СПб., 2008. - С. 84-85.
24. Асимптотическая математика и синергетика / Н. В. Андрианов, Р. Г. Баранцев, Л. И. Маневич. - М., 2004. - 302 с.
25. Аксиоматика асимптотически порядкового анализа уравнений теоретической и прикладной механики / Б. Н. Квасников // Материалы Междунар. конф. “Четвёртые Окуневские чтения”; Тезисы докл. симпозиума “Пуанкаре и проблемы нелинейной механики”. - СПб. : СПбГТУ, 2004. - С. 8, 141-142.
26. Асимптотический анализ уравнений колебаний сейсмоизолированной системы с демпфером сухого трения и его приложения // Б. Н. Квасников, А. М. Уздин, В. А. Верхолин, Е. Д. Рулевич // Строительство и архитектура. Сер. Сейсмостойкое строительство. - 2004. - №1. - С. 31-33.
27. Использование асимптотического метода построения “укороченных” уравнений сейсмических колебаний сооружений на кинематических опорах / Квасников Б. Н., Коузах С. Н. // Строительство и архитектура. Сер. Сейсмостойкое строительство. -
1996. - №4. - С.49-53.
28. Элементы высшей алгебры / Д. А. Граве. - Киев, 1914. - 313 с.
29. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. - Л., 1962. - 431 с.
30. Линейная теория оболочек. Ч. 1 / К. Ф. Черных. - Л., 1962, - 274 с.
31. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Успехи математических наук, 1957. - Т. 12, вып. 5 (77). - С. 3-122.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
32. Условия существования напряжённого состояния обобщённого краевого эффекта / Б. Н. Квасников // К 90-летию со дня рождения проф. Н. Н. Поляхова. - 1997. -С. 149158 // (Прикл. мех. - Вып. 10).
33. Аналитический метод определения параметров асимптотического интегрирования в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Статистические и динамические задачи расчёта сложных строительных конструкций. - Л., 1989. - С. 80-83.
34. Уравнения сейсмических колебаний зданий и сооружений на кинематических опорах / Б. Н. Квасников // Сб. тезисов докл. “Вторые Савиновские чтения”. - СПб. : ВНИИГ, 1997. - С. 12-13.
35. Общие вопросы теории граничных задач / А. А. Дезин. - М., 1980. - 208 с.
36. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. - М., 1981. -400 с.
37. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. - М., 1959. - 468 с.
38. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ) / Д. Хединг. - М., 1965, 238 с.
39. Метод ВКБ в двумерных задачах устойчивости и колебаний тонких оболочек / П. Е. Товстик // Тр. XIII конф. по теории пластин и оболочек. Ч. 4. - Таллин, 1983. -С. 194-199.
40. Качественная оценка напряжённого состояния тонкой оболочки по параметрам асимптотического интегрирования / Б. Н. Квасников // Вторые Поляховские чтения. Избранные труды. - СПб., 2000. - С. 266-277.
41. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойя. - М., 1975. - 463 с.
42. Лекции о приближённых вычислениях / А. Н. Крылов. - Л., 1933. - 541 с.
43. Об условиях существования полубезмоментного напряжения состояния / Б. Н. Квасников // Тр. ЛИИЖТа. - Л., 1977. - Вып. 407. - С. 140-152.
44. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Успехи математических наук. - 1960. - Т. 15, вып. 4(94). С. 27-95.
45. Математическая теория упругости / А. Ляв. - М.; Л., 1935. - 635 с.
46. Свободные колебания тонких упругих оболочек / А. Л. Гольденвейзер, В. Б. Лидский, П. Е. Товстик. - М., 1979. - 384 с.
47. Статика упругих тонкостенных стержней / Г. Ю. Джанелидзе, Я. Г. Пановко. - М., 1948. - 233 с.
48. О расчете балок, лежащих на упругом основании / А. Н. Крылов. - Л., 1931. - 154 с.
49. Асимптотические методы в примерах и задачах / С. М. Бауэр, А. Л. Смирнов, П. Е. Товстик, С. Б. Филиппов. - СПб., 1997. - 276 с.
50. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. -М., 1963. - 553 с.
51. Асимптотическое интегрирование уравнений полубезмоментной теории оболочек и решение задачи Сен-Венана в замкнутом виде / Б. Н. Квасников. - М. : ВИНИТИ, 1973. - 64 с.
52. Укороченные уравнения в задачах математической физики / Б. Н. Квасников // Избр. труды. Междунар. конф. по механике “Четвёртые Поляховские чтения”. - СПб. : СПбГУ, 2006. - С.497-508.
53. Асимптотический метод упрощения и решения уравнений (алгебраических, трансцендентных и дифференциальных) теоретической и прикладной механики / Б. Н. Квасников // Тезисы докл. Междунар. конф. “Пятые Окуневские чтения”. - СПб. : СПбБГТУ, 2006. - С. 172.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
259
54. Укороченные уравнения и асимптотический портрет в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. Сб. тр., посвященный 70-летию проф. П. Е. Товстика. - СПб. : СПбГУ, 2006. - С. 36-59.
55. Теория сопряжённых и подкрепленных оболочек / С. Б. Филиппов. - СПб., 1999. -196 с.
56. Сокровища Леонардо да Винчи / Мэттью Ландрус. - М., 2006. - 66 с.
57. О сумме степеней делителей квадратичных полиномов / Н. Гафуров // Математические заметки. - М. : РАН, 1983. - Т. 34, вып. 4. - С. 485-500.
58. Asymptodolology / M. D. Kruskal // Proceeding of Conference on Mathematical Models on Physical Sciences. Englewood Cliffs, Hf: Prentice-Hall, 1963. - P. 17-48.
59. Математическое программирование / Л. М. Абрамов. - Л. : Изд-во ЛГУ, 1981. -328 с.
60. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов. - М., 1968. - 462 c.
61. Исследования возможности выброса вагона при движении длинного тяжеловесного поезда по кривой под уклон в режиме торможения / Б. Н. Квасников // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2008. - Вып. 3 (16). - С. 126-146.
62. Критические точки и эталонные структуры постулата И. Ньютона / Б. Н. Квасников // Междунар. научн. конф. по механике «Пятые Поляховские чтения». СПб. : СПбГУ, 2009. - С. 170.
Продолжение статьи в следующем номере.
Статья поступила в редакцию 09.10.2009;
представлена к публикации членом редколлегии В. В. Сапожниковым.
УДК 69.003.13 К. С. Сергин
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИЙ ПРИ АНТИСЕЙСМИЧЕСКОМ УСИЛЕНИИ НЕСКОЛЬКИХ ОБЪЕКТОВ
Рассмотрены возможность управления сейсмическим риском за счет выбора инвестиционной политики и задача оптимизации инвестиций в сейсмостойкое строительство для группы объектов. Для решения указанных задач предложен метод оценки эффективности инвестиций в сейсмостойкое строительство.
сейсмостойкое строительство, экономическая эффективность, рентабельность, инвестиции, страхование, ценообразование.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
