CC BY
40
56
Общетехнические задачи и пути их решения
^ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ
УДК 624.042.7
Т. А. Белаш, А. А. Ермошин, Н. В. Никонова, А. М. Уздин
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА Б. Н. КВАСНИКОВА ДЛЯ АНАЛИЗА УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Представлен пример использования асимптотического метода профессора Б. Н. Квасникова для анализа дифференциальных уравнений нелинейных колебаний систем c гидравлическими демпферами. В соответствии с этим методом каждому члену дифференциального уравнения приписывается порядок, определяющий его значимость в дифференциальном уравнении. Далее составляется система линейных алгебраических уравнений в порядках и на основе ее анализа рассматриваются возможности исключения тех или иных членов и получения соответствующих «укороченных» уравнений. Рассмотрены все варианты «укороченных» уравнений колебаний применительно к задаче нелинейных сейсмических колебаний моста с сейсмоизоляцией. Построен асимптотический портрет рассматриваемого нелинейного уравнения.
нелинейные дифференциальные уравнения, асимптотический анализ, фазовый портрет. Введение
Три года тому назад скончался один из старейших сотрудников нашего института, доктор физико-математических наук, профессор Борис Николаевич Квасников (рис. 1).
Борис Николаевич родился 6 сентября 1926 г., высшее образование получил в ЛИИЖТе, окончив институт в 1951 г.
Рис. 1. Профессор Б. Н. Квасников, 2010 г.
Он прошел непростой путь в науке, начав с исследования вопросов устройства пути на кривых [1] и закончив асимптотическими методами решения алгебраических уравнений [2]. Увлечение математикой началось у него сравнительно поздно, когда ему было почти 50 лет. Первые работы в области прикладной математики и механики он опубликовал в 1985 г. В 1990 г. [3], [4] он защитил докторскую диссертацию, посвященную построению укороченных уравнений теории оболочек с использованием асимптотических методов.
Предложенный им при анализе уравнений теории оболочек подход оказался значительно более общим, на его основе можно строить так называемые фазовые портреты уравнений математической физики. Это области в пространстве параметров уравнения, в каждой из которых возможны те или иные упрощения исходного уравнения колебаний. Построение фазовых портретов было успешно реализовано Б. Н. Квасниковым с аспирантом ПГУПС С. Сухейлом для ана-
2014/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
57
лиза сейсмических колебаний зданий на кинематических фундаментах [5].
1 Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением
1.1 Построение областей
асимптотического портрета уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением
Для асимптотического анализа уравнений Б. Н. Квасниковым были введены порядки всех безразмерных коэффициентов и переменных дифференциального уравнения. При этом вводится большой параметр ц и все переменные сравнив аются с этим параметром, например, £ = ц^£ означает, что переменная £ имеет порядок р^по отношению к ц. Будем обозначать порядок р^через £, а также использовать обозначение £ ^ £. Далее вводится показатель изменяемости функции при дифференцировании:
В [6] под руководством Б. Н. Квасникова построен фазовый портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением. Это уравнение после его приведения к безразмерному виду представляется следующим образом:
£ + 2лу£ + 4п2£ - f ■sign£ = -T2у,. (1)
Здесь введено безразмерное время т = t/T, 2п
где T =-----период основного тона коле-
к
баний системы. В этом случае выполняются соотношения:
d _ d dt Td т
(2)
(p£ =£=£+"£' (5)
Величина ^называется показателем изменяемости функции £.
Уравнение (1) характеризуется двумя параметрами f и у. На основе анализа порядка членов уравнения (1) и показателей изменяемости функций в [6] плоскость параметров уравнения f у) была разбита на области, в каждой из которых исходное полное уравнение можно заменить на укороченное (рис. 2).
В области 1 укороченное уравнение имеет вид:
£ + 4п2£ = -Т 2 у о; (6)
В уравнении (1) и далее двумя точками обозначена производная по безразмерному времени т.
Величина £ в уравнении (1) представляет собой безразмерное смещение:
= У =£1
AgT2 T2 ’
(3)
в области 2:
£ + 2пу£ = - т 2 у,;
в области 3:
£-f ■sign£ = -T 2 уо.
(7)
(8)
где Ag - амплитуда ускорений основания.
Заметим, что в правой части уравнения стоит безразмерное расчетное ускорение:
w = d2 Уо
Ag Ag dt2
1_ J_
T2' Ag
d Уо - T2^
STF = w = -Туо'
(4)
Такое представление названо Б. Н. Квас-никовым асимптотическим портретом уравнения.
Асимптотический метод [5] позволяет для каждой точки области асимптотического портрета построить цепочки укороченных уравнений по степени их точности, оценить их погрешности и провести дальнейшую детализацию асимптотического портрета.
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2014/1
58
Общетехнические задачи и пути их решения
6 5 4
f
3 2 1 0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Y
Рис. 2. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением: 1 - прямая f = 3; 2 - прямая у = 1; 3 - парабола f = 3у2
( Область 3 3
1 /
Область 2
^2
Область 1
1.2 Построение подобластей асимптотического портрета уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением
Область 1 можно разделить еще на две подобласти: 1А и 1Б. В подобласти 1А асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному уравнению осуществляется по следующей схеме:
- нулевое приближение
£ + 4п2£ = -T2 %;
- первое приближение
£+4л2^+2п4 = -т 2 Уо;
- второе приближение - полное (точное) уравнение.
В подобласти 1Б асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:
- нулевое приближение
£ + 4п2£ = -Т 2 Уо;
- первое приближение
£ + 4%Х -f • signi = ~T2y0;
- второе приближение - полное (точное) уравнение.
Аналогично можно разделить области 2 и 3 на подобласти 2А, 2Б и 3А, 3Б соответственно.
В подобласти 2А асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:
- нулевое приближение
£+2лг£ = -Т 2 Уо;
- первое приближение
£ + 2пу£ + 4п2£ = -T2 у;
- второе приближение - полное (точное) уравнение.
В подобласти 2Б асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:
2014/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
59
- нулевое приближение
% -f -sgi = -Т2у0;
% + 2щ% = -Т 2 у0;
- первое приближение
% + 2ni-f • signi = -Т2%;
- второе приближение - полное (точное) уравнение.
В подобласти ЗА асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:
- нулевое приближение
i-f • sign% = -T 2 %,;
- первое приближение
i-f • signi+2п4 = -Т 2 %о;
- второе приближение - полное (точное) уравнение.
В подобласти ЗБ асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:
- нулевое приближение
- первое приближение
i-f • signi+4п2% = -Т 2 %о;
- второе приближение - полное (точное) уравнение.
В результате получаем полный асимптотический портрет уравнения, представленный на рис. 3 в координатах /-у.
2 Асимптотический портрет уравнения колебаний демпфированной системы с типовыми гидравлическими демпферами
2.1 Построение областей
асимптотического портрета уравнения колебаний демпфированной системы с типовыми гидравлическими демпферами
Рассмотрим применение метода Б. Н. Ква-сникова к анализу уравнения демпфированной системы с типовыми гидравлическими
/
0,5
1,5
2,5
0
1
2
3
Y
Рис. 3. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением:
3
1 - прямая/ = 3; 2 - прямая у = 1; 3 - парабола/ = Зу2; 4 - прямая/ = Зу; 5 - гипербола f = —
У
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2014/1
60
Общетехнические задачи и пути их решения
демпферами, применяемыми для гашения сейсмических колебаний. В этих демпферах сила сопротивления Q записывается в виде:
Q = -C\V\v sign(V). (9)
Сила сопротивления зависит в данном случае от двух параметров С и v. При v = 0 получаем сухое трение, при v = 1 - вязкое трение, а при v = 2 - турбулентное трение. В опорных частях фирм Maurer Sohnes и FIP Industriale 0,1 < v < 0,2.
Исходное уравнение колебаний записывается при этом в виде:
mq + cq + C|V|v sign(V) = -my0. (10)
Запишем уравнение (10) в безразмерных ускорениях п. Для этого поделим обе его части на величину Amg, где g - ускорение свободного падения, A = — у™*, после чего
g
уравнение (10) примет вид:
1 .. c 1 C | ,v . , , 1 ..
—q+—— q+—-M sign(v) = -~тУо.
Ag m Ag mgA Ag
где Q
Л
t 2
безразмерное смещение, соот-
П
е ■ I с Л rp
ветственно Q = ——, Q = —2; T - период коле-
T
T—
баний, T = —П, к1 2 = C; к - частота колеба-k m
ний; w = -^0—; — (Ag)v-1 = xkv. AgT m
v-1
Обозначим далее первое слагаемое в уравнении (12) символом Р (I), второе - символом Р (II), третье - символом Р (III).
Для асимптотического анализа уравнения (12) по Б. Н. Квасникову введем параметр ц = 100. При этом 4п2 ~ д0,8 = 1000,8; 2п ~ ~ 1000,4. Это означает, что число 4п2 имеет порядок 0,8, а число 2п имеет порядок 0,4.
Тильда над буквой означает ее порядок. Тогда порядки переменных представляются следующим образом:
Q = Q + r(Q) Г(Q) = 0,4 Q = Q + 0,4
Q = Q + 2r(Q) IQ = Q + 0,8.
Порядки слагаемых в уравнении (12) имеют вид:
- для первого слагаемого
Здесь:
p (I ) = Q + 0,8;
wo -
11
~ту 0, —q = л, Ag Ag
откуда
- для второго слагаемого P (II) = P {(—n)v xQv} = 0,4v + x + (Q + 0,4)v.
n
q
Ag
и n
q
Ag '
Окончательно получаем:
n + cЛ + ——-Aginv sign(n) = -W0. (11)
m mgA
Далее введем безразмерное время т и запишем уравнение (11) в следующем виде:
Q" + (—п)— Q + (—n)v x QV sign(Q) = -w, (12)
Вторым слагаемым, описывающим силы сопротивления в демпфере, можно пренебречь при условии:
P (III) < P(I), откуда x < (1 -v) (Q + 0,8).
Для коэффициента динамичности в ~ 3 Q = -0,56 и x < (1 -v) • 0, —4, откуда получаем x < 3(1-v) - область (1), в которой можно пренебречь демпфером.
Рассмотрим далее укороченные уравнения при учете демпфера.
Обозначим в уравнении (12) b = (—n)v x .
2014/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
61
Для замены полученного уравнения (12) эквивалентным уравнением с вязким сопротивлением в соответствии с [7], должно выполняться следующее условие:
signd) *(р|4| + f) signd)• (13)
b
В этом условии:
Р = 2nY = vb = v(2n)v х (14)
f = b (!-v) = ( 2n)Vx(l-v)
или
Y = v( 2n)V-1 X
1 v (15)
f = (2n) (1 -v)x.
Представим области, полученные Б. Н. Ква-сниковым в параметрах f у), в параметрах (v, х). Для этого в ограничения [7], выраженные в параметрах b, f у, подставим равенства (15) и решим эти неравенства относительно неизвестных v и х.
Область 1 характеризуется, согласно [6], условиями:
Y < 1
f < 3.
(16)
После подстановки в (16) выражений (15) получаем:
v ( 2n)v 1 х <1 (2n)v(1 -v)x < 3.
(17)
Решая систему неравенств (17), получаем ограничения, выделяющие на асимптотическом портрете область 1 в параметрах X и v:
X<
х<
____1_
v( 2n)v 3
(2n)v(1 -v).
(18)
В этой области можно пренебречь и сухим, и вязким трением. Уравнение движения здесь - это уравнение (6).
Область 2 описывается следующей системой неравенств:
Y > 1
f < 3y2.
(19)
После аналогичной подстановки получаем:
х
х
1
>---------г
v( 2n)v 1 -v
>3v2 (2n)v-2
Область 3 -
(20)
If > 3 If > 3y 2
или после подстановки:
(21)
1 -v
X < о 2 (~ )v-2
3v (2n)
1
3
X ( 2n)v(1 -v).
Описанные выше области представлены на рис. 4.
2.2 Построение подобластей асимптотического портрета уравнения колебаний демпфированной системы с типовыми гидравлическими демпферами
Далее разделим области 1, 2 и 3 на подобласти 1А и 1Б, 2А и 2Б, ЗА и 3Б соответственно.
В подобласти 1А выполняется неравенство f < Зу.
Подставив выражения (15) в (18), получим:
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2014/1
62
Общетехнические задачи и пути их решения
X
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1 v
Рис. 4. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением:
3 1 1 -v
1 - кривая х =--v-----; 2 - кривая X = —;——1; 3 - кривая X = -
(2n)V (1 -v)
,(2%У
3v2(2п)
v-2
X
5
4
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1 v
Рис. 5. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением:
, 3 1 1 -v
1 - кривая х = т—-----; 2 - кривая X = —:—“yif; 3 - кривая х = ■
( 2n)v(1 -v)
,( 2n)v
4 - прямая v =
2п
2п + 3
; 5 - кривая х =
3
'v2 (2n)3v-2 (1 -v)
3v2(2п)
; 6 - кривая х = 31-v
v-2 ’
2014/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
63
2п
v >-----
3 + 2п
(23)
Разделителем области 2 является линия f = 3 или
X
3
(2n)v(1 -v)
(24)
Подобласть 2А располагается ниже кривой (24).
Область 3 разделяется кривой:
3
Y 2
(25)
или в новых параметрах:
Х = з
3
v
(2n)3v-2 (1 -v)
(26)
В результате получаем полный асимптотический портрет уравнения, представленный на рис. 5 в координатах %-v.
Заключение
Приведенный в статье пример анализа нелинейного дифференциального уравнения показывает высокую наглядность использования асимптотического метода профессора Б. Н. Квасникова для анализа дифференциальных уравнений. В статье рассмотрен только первый этап предлагаемого Б. Н. Квасниковым анализа - построение асимптотического портрета уравнения. Имея такой портрет, инженер на начальном этапе
проектирования получает возможность оценки параметров колебаний системы, используя укороченные уравнения движения. Далее с использованием цепочки укороченных уравнений могут быть построены приближения решения основного уравнения.
Библиографический список
1. О применимости уравнения кубической параболы в качестве переходной кривой на железных дорогах колеи 1524 и 750 мм / Б. Н. Квасников. - Ленинград : ЛИИЖТ, 1957. - 17 с.
2. Асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Колебания и устойчивость механических систем. - 1981. - Вып. 5. - С. 187218.
3. Теоремы аппроксимации и существования в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Третьи Поляховские чтения. Избранные труды Международной научной конференции по механике. - Санкт-Петербург : Изд-во НИИХ СПбГУ, 2003. - С. 261-266.
4. Использование асимптотического метода построения «укороченных» уравнений сейсмических колебаний сооружений на кинематических фундаментах / Б. Н. Квасников, С. Н. Коузах // Экспресс-информация ВНИИИС. Сер. 14. Сейсмостойкое строительство. - 1996. - Вып. 4. -С.50-55.
5. Асимптотический анализ уравнений колебаний сейсмоизолированной системы с демпфером сухого трения и его приложения / В. В. Вер-холин, Б. Н. Квасников, Е. А. Рулевич, А. М. Уз-дин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2004. - № 1. - С. 32-36.
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2014/1
