Использование асимптотического метода Б. Н. Квасникова для анализа уравнения колебаний с нелинейным сопротивлением Текст научной статьи по специальности «Математика»

56

Общетехнические задачи и пути их решения

^ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ

УДК 624.042.7

Т. А. Белаш, А. А. Ермошин, Н. В. Никонова, А. М. Уздин

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА Б. Н. КВАСНИКОВА ДЛЯ АНАЛИЗА УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

Представлен пример использования асимптотического метода профессора Б. Н. Квасникова для анализа дифференциальных уравнений нелинейных колебаний систем c гидравлическими демпферами. В соответствии с этим методом каждому члену дифференциального уравнения приписывается порядок, определяющий его значимость в дифференциальном уравнении. Далее составляется система линейных алгебраических уравнений в порядках и на основе ее анализа рассматриваются возможности исключения тех или иных членов и получения соответствующих «укороченных» уравнений. Рассмотрены все варианты «укороченных» уравнений колебаний применительно к задаче нелинейных сейсмических колебаний моста с сейсмоизоляцией. Построен асимптотический портрет рассматриваемого нелинейного уравнения.

нелинейные дифференциальные уравнения, асимптотический анализ, фазовый портрет. Введение

Три года тому назад скончался один из старейших сотрудников нашего института, доктор физико-математических наук, профессор Борис Николаевич Квасников (рис. 1).

Борис Николаевич родился 6 сентября 1926 г., высшее образование получил в ЛИИЖТе, окончив институт в 1951 г.

Рис. 1. Профессор Б. Н. Квасников, 2010 г.

Он прошел непростой путь в науке, начав с исследования вопросов устройства пути на кривых [1] и закончив асимптотическими методами решения алгебраических уравнений [2]. Увлечение математикой началось у него сравнительно поздно, когда ему было почти 50 лет. Первые работы в области прикладной математики и механики он опубликовал в 1985 г. В 1990 г. [3], [4] он защитил докторскую диссертацию, посвященную построению укороченных уравнений теории оболочек с использованием асимптотических методов.

Предложенный им при анализе уравнений теории оболочек подход оказался значительно более общим, на его основе можно строить так называемые фазовые портреты уравнений математической физики. Это области в пространстве параметров уравнения, в каждой из которых возможны те или иные упрощения исходного уравнения колебаний. Построение фазовых портретов было успешно реализовано Б. Н. Квасниковым с аспирантом ПГУПС С. Сухейлом для ана-

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

57

лиза сейсмических колебаний зданий на кинематических фундаментах [5].

1 Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением

1.1 Построение областей

асимптотического портрета уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением

Для асимптотического анализа уравнений Б. Н. Квасниковым были введены порядки всех безразмерных коэффициентов и переменных дифференциального уравнения. При этом вводится большой параметр ц и все переменные сравнив аются с этим параметром, например, £ = ц^£ означает, что переменная £ имеет порядок р^по отношению к ц. Будем обозначать порядок р^через £, а также использовать обозначение £ ^ £. Далее вводится показатель изменяемости функции при дифференцировании:

В [6] под руководством Б. Н. Квасникова построен фазовый портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением. Это уравнение после его приведения к безразмерному виду представляется следующим образом:

£ + 2лу£ + 4п2£ - f ■sign£ = -T2у,. (1)

Здесь введено безразмерное время т = t/T, 2п

где T =-----период основного тона коле-

к

баний системы. В этом случае выполняются соотношения:

d _ d dt Td т

(2)

(p£ =£=£+"£' (5)

Величина ^называется показателем изменяемости функции £.

Уравнение (1) характеризуется двумя параметрами f и у. На основе анализа порядка членов уравнения (1) и показателей изменяемости функций в [6] плоскость параметров уравнения f у) была разбита на области, в каждой из которых исходное полное уравнение можно заменить на укороченное (рис. 2).

В области 1 укороченное уравнение имеет вид:

£ + 4п2£ = -Т 2 у о; (6)

В уравнении (1) и далее двумя точками обозначена производная по безразмерному времени т.

Величина £ в уравнении (1) представляет собой безразмерное смещение:

= У =£1

AgT2 T2 ’

(3)

в области 2:

£ + 2пу£ = - т 2 у,;

в области 3:

£-f ■sign£ = -T 2 уо.

(7)

(8)

где Ag - амплитуда ускорений основания.

Заметим, что в правой части уравнения стоит безразмерное расчетное ускорение:

w = d2 Уо

Ag Ag dt2

1_ J_

T2' Ag

d Уо - T2^

STF = w = -Туо'

(4)

Такое представление названо Б. Н. Квас-никовым асимптотическим портретом уравнения.

Асимптотический метод [5] позволяет для каждой точки области асимптотического портрета построить цепочки укороченных уравнений по степени их точности, оценить их погрешности и провести дальнейшую детализацию асимптотического портрета.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

58

Общетехнические задачи и пути их решения

6 5 4

f

3 2 1 0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Y

Рис. 2. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением: 1 - прямая f = 3; 2 - прямая у = 1; 3 - парабола f = 3у2

( Область 3 3

1 /

Область 2

^2

Область 1

1.2 Построение подобластей асимптотического портрета уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением

Область 1 можно разделить еще на две подобласти: 1А и 1Б. В подобласти 1А асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному уравнению осуществляется по следующей схеме:

- нулевое приближение

£ + 4п2£ = -T2 %;

- первое приближение

£+4л2^+2п4 = -т 2 Уо;

- второе приближение - полное (точное) уравнение.

В подобласти 1Б асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:

- нулевое приближение

£ + 4п2£ = -Т 2 Уо;

- первое приближение

£ + 4%Х -f • signi = ~T2y0;

- второе приближение - полное (точное) уравнение.

Аналогично можно разделить области 2 и 3 на подобласти 2А, 2Б и 3А, 3Б соответственно.

В подобласти 2А асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:

- нулевое приближение

£+2лг£ = -Т 2 Уо;

- первое приближение

£ + 2пу£ + 4п2£ = -T2 у;

- второе приближение - полное (точное) уравнение.

В подобласти 2Б асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

59

- нулевое приближение

% -f -sgi = -Т2у0;

% + 2щ% = -Т 2 у0;

- первое приближение

% + 2ni-f • signi = -Т2%;

- второе приближение - полное (точное) уравнение.

В подобласти ЗА асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:

- нулевое приближение

i-f • sign% = -T 2 %,;

- первое приближение

i-f • signi+2п4 = -Т 2 %о;

- второе приближение - полное (точное) уравнение.

В подобласти ЗБ асимптотический переход от простейшего укороченного уравнения к полному осуществляется по следующей схеме:

- нулевое приближение

- первое приближение

i-f • signi+4п2% = -Т 2 %о;

- второе приближение - полное (точное) уравнение.

В результате получаем полный асимптотический портрет уравнения, представленный на рис. 3 в координатах /-у.

2 Асимптотический портрет уравнения колебаний демпфированной системы с типовыми гидравлическими демпферами

2.1 Построение областей

асимптотического портрета уравнения колебаний демпфированной системы с типовыми гидравлическими демпферами

Рассмотрим применение метода Б. Н. Ква-сникова к анализу уравнения демпфированной системы с типовыми гидравлическими

/

0,5

1,5

2,5

0

1

2

3

Y

Рис. 3. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением:

3

1 - прямая/ = 3; 2 - прямая у = 1; 3 - парабола/ = Зу2; 4 - прямая/ = Зу; 5 - гипербола f = —

У

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

60

Общетехнические задачи и пути их решения

демпферами, применяемыми для гашения сейсмических колебаний. В этих демпферах сила сопротивления Q записывается в виде:

Q = -C\V\v sign(V). (9)

Сила сопротивления зависит в данном случае от двух параметров С и v. При v = 0 получаем сухое трение, при v = 1 - вязкое трение, а при v = 2 - турбулентное трение. В опорных частях фирм Maurer Sohnes и FIP Industriale 0,1 < v < 0,2.

Исходное уравнение колебаний записывается при этом в виде:

mq + cq + C|V|v sign(V) = -my0. (10)

Запишем уравнение (10) в безразмерных ускорениях п. Для этого поделим обе его части на величину Amg, где g - ускорение свободного падения, A = — у™*, после чего

g

уравнение (10) примет вид:

1 .. c 1 C | ,v . , , 1 ..

—q+—— q+—-M sign(v) = -~тУо.

Ag m Ag mgA Ag

где Q

Л

t 2

безразмерное смещение, соот-

П

е ■ I с Л rp

ветственно Q = ——, Q = —2; T - период коле-

T

T—

баний, T = —П, к1 2 = C; к - частота колеба-k m

ний; w = -^0—; — (Ag)v-1 = xkv. AgT m

v-1

Обозначим далее первое слагаемое в уравнении (12) символом Р (I), второе - символом Р (II), третье - символом Р (III).

Для асимптотического анализа уравнения (12) по Б. Н. Квасникову введем параметр ц = 100. При этом 4п2 ~ д0,8 = 1000,8; 2п ~ ~ 1000,4. Это означает, что число 4п2 имеет порядок 0,8, а число 2п имеет порядок 0,4.

Тильда над буквой означает ее порядок. Тогда порядки переменных представляются следующим образом:

Q = Q + r(Q) Г(Q) = 0,4 Q = Q + 0,4

Q = Q + 2r(Q) IQ = Q + 0,8.

Порядки слагаемых в уравнении (12) имеют вид:

- для первого слагаемого

Здесь:

p (I ) = Q + 0,8;

wo -

11

~ту 0, —q = л, Ag Ag

откуда

- для второго слагаемого P (II) = P {(—n)v xQv} = 0,4v + x + (Q + 0,4)v.

n

q

Ag

и n

q

Ag '

Окончательно получаем:

n + cЛ + ——-Aginv sign(n) = -W0. (11)

m mgA

Далее введем безразмерное время т и запишем уравнение (11) в следующем виде:

Q" + (—п)— Q + (—n)v x QV sign(Q) = -w, (12)

Вторым слагаемым, описывающим силы сопротивления в демпфере, можно пренебречь при условии:

P (III) < P(I), откуда x < (1 -v) (Q + 0,8).

Для коэффициента динамичности в ~ 3 Q = -0,56 и x < (1 -v) • 0, —4, откуда получаем x < 3(1-v) - область (1), в которой можно пренебречь демпфером.

Рассмотрим далее укороченные уравнения при учете демпфера.

Обозначим в уравнении (12) b = (—n)v x .

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

61

Для замены полученного уравнения (12) эквивалентным уравнением с вязким сопротивлением в соответствии с [7], должно выполняться следующее условие:

signd) *(р|4| + f) signd)• (13)

b

В этом условии:

Р = 2nY = vb = v(2n)v х (14)

f = b (!-v) = ( 2n)Vx(l-v)

или

Y = v( 2n)V-1 X

1 v (15)

f = (2n) (1 -v)x.

Представим области, полученные Б. Н. Ква-сниковым в параметрах f у), в параметрах (v, х). Для этого в ограничения [7], выраженные в параметрах b, f у, подставим равенства (15) и решим эти неравенства относительно неизвестных v и х.

Область 1 характеризуется, согласно [6], условиями:

Y < 1

f < 3.

(16)

После подстановки в (16) выражений (15) получаем:

v ( 2n)v 1 х <1 (2n)v(1 -v)x < 3.

(17)

Решая систему неравенств (17), получаем ограничения, выделяющие на асимптотическом портрете область 1 в параметрах X и v:

X<

х<

____1_

v( 2n)v 3

(2n)v(1 -v).

(18)

В этой области можно пренебречь и сухим, и вязким трением. Уравнение движения здесь - это уравнение (6).

Область 2 описывается следующей системой неравенств:

Y > 1

f < 3y2.

(19)

После аналогичной подстановки получаем:

х

х

1

>---------г

v( 2n)v 1 -v

>3v2 (2n)v-2

Область 3 -

(20)

If > 3 If > 3y 2

или после подстановки:

(21)

1 -v

X < о 2 (~ )v-2

3v (2n)

1

3

X ( 2n)v(1 -v).

Описанные выше области представлены на рис. 4.

2.2 Построение подобластей асимптотического портрета уравнения колебаний демпфированной системы с типовыми гидравлическими демпферами

Далее разделим области 1, 2 и 3 на подобласти 1А и 1Б, 2А и 2Б, ЗА и 3Б соответственно.

В подобласти 1А выполняется неравенство f < Зу.

Подставив выражения (15) в (18), получим:

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

62

Общетехнические задачи и пути их решения

X

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 v

Рис. 4. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением:

3 1 1 -v

1 - кривая х =--v-----; 2 - кривая X = —;——1; 3 - кривая X = -

(2n)V (1 -v)

,(2%У

3v2(2п)

v-2

X

5

4

3

2

1

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 v

Рис. 5. Асимптотический портрет уравнения колебаний осциллятора с вязким и сухим трением:

, 3 1 1 -v

1 - кривая х = т—-----; 2 - кривая X = —:—“yif; 3 - кривая х = ■

( 2n)v(1 -v)

,( 2n)v

4 - прямая v =

2п

2п + 3

; 5 - кривая х =

3

'v2 (2n)3v-2 (1 -v)

3v2(2п)

; 6 - кривая х = 31-v

v-2 ’

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

63

2п

v >-----

3 + 2п

(23)

Разделителем области 2 является линия f = 3 или

X

3

(2n)v(1 -v)

(24)

Подобласть 2А располагается ниже кривой (24).

Область 3 разделяется кривой:

3

Y 2

(25)

или в новых параметрах:

Х = з

3

v

(2n)3v-2 (1 -v)

(26)

В результате получаем полный асимптотический портрет уравнения, представленный на рис. 5 в координатах %-v.

Заключение

Приведенный в статье пример анализа нелинейного дифференциального уравнения показывает высокую наглядность использования асимптотического метода профессора Б. Н. Квасникова для анализа дифференциальных уравнений. В статье рассмотрен только первый этап предлагаемого Б. Н. Квасниковым анализа - построение асимптотического портрета уравнения. Имея такой портрет, инженер на начальном этапе

проектирования получает возможность оценки параметров колебаний системы, используя укороченные уравнения движения. Далее с использованием цепочки укороченных уравнений могут быть построены приближения решения основного уравнения.

Библиографический список

1. О применимости уравнения кубической параболы в качестве переходной кривой на железных дорогах колеи 1524 и 750 мм / Б. Н. Квасников. - Ленинград : ЛИИЖТ, 1957. - 17 с.

2. Асимптотический метод построения и решения укороченных уравнений тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Колебания и устойчивость механических систем. - 1981. - Вып. 5. - С. 187218.

3. Теоремы аппроксимации и существования в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Третьи Поляховские чтения. Избранные труды Международной научной конференции по механике. - Санкт-Петербург : Изд-во НИИХ СПбГУ, 2003. - С. 261-266.

4. Использование асимптотического метода построения «укороченных» уравнений сейсмических колебаний сооружений на кинематических фундаментах / Б. Н. Квасников, С. Н. Коузах // Экспресс-информация ВНИИИС. Сер. 14. Сейсмостойкое строительство. - 1996. - Вып. 4. -С.50-55.

5. Асимптотический анализ уравнений колебаний сейсмоизолированной системы с демпфером сухого трения и его приложения / В. В. Вер-холин, Б. Н. Квасников, Е. А. Рулевич, А. М. Уз-дин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2004. - № 1. - С. 32-36.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1