CC BY
17
PEDAGOGICAL SCIENCES
DEVELOPMENT OF RESEARCH COMPETENCIES IN STUDENTS IN THE STUDY OF THE SQUARE EQUATION Ostanov K.1, Fayzullaeva B.2, Karshieva R.Kh.3, Ostonov M.K.4 (Republic of Uzbekistan) Email: [email protected]
1Ostanov Kurbon - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS; 2Fayzullaeva Buvroziya - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND; 3Karshieva Ramiza Khurozovna - Teacher,
SCHOOL № 28; 4Ostonov Mashrab Kurbanovich - Teacher, SCHOOL № 40, JAMBAY DISTRICT OF SAMARKAND REGION, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article discusses the problem of the formation of research skills when studying the location of the roots of a quadratic equation and the formation of students' skills to study and solve such equations and inequalities. Brief information is given on the use of these methods in solving specific examples. In addition, recommendations are given for their use in studying the relevant concepts and objectives of the school course. Here, examples are also given for independent solution and study of the roots of the quadratic equation. Variants of the location of the roots relative to a given number are indicated. Keywords: problems, roots, quadratic trinomial, quadratic equation, location, given number, interval, ray, conditions, discriminant.
РАЗВИТИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ КОМПЕТЕНЦИЙ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Останов К.1, Файзуллаева Б.2, Каршиева Р.Х.3, Остонов М.К.4 (Республика Узбекистан)
1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики; 2Файзуллаева Буврозия - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд; 3Каршиева Рамиза Хурозовна - учитель,
школа № 28; 4Остонов Машраб Курбанович - учитель, школа № 40, Джамбайский район Самаркандской области, Республика Узбекистан
Аннотация: в данной статье рассматривается проблема формирования исследовательских умений при изучении расположения корней квадратного уравнения и формировании у учащихся умений исследовать и решать такие уравнения и неравенства. Даны краткие сведения по использованию этих методов при решении конкретных примеров. Кроме того, даны рекомендации по их использованию при изучении соответствующих понятий и задач школьного курса. Здесь также даны
примеры для самостоятельного решения и исследования корней квадратного уравнения. Указаны варианты расположения корней относительно заданного числа. Ключевые слова: задачи, корни, квадратный трехчлен, квадратное уравнение, расположение, заданное число, интервал, луч, условия, дискриминант.
Важное значение имеет в процессе исследовательских умений учащихся изучение и исследование корней квадратного уравнения в зависимости от коэффициентов уравнения [1].
Задача 1. Задача об определении количества корней квадратного уравнения или их существования на заданном полу бесконечном (луче) или выделение корней,
принадлежащих лучу. Для того чтобы квадратный трехчлен /(х) = ax2 + bx + c имел два положительных корня, необходимо и достаточно должны выполняться
Ъ С
одновременно условия: D > 0, — < 0, — > 0. На практике этот признак
а а
используется в виде: О > 0, аЪ < 0, ас > 0. Это вытекает из теоремы Виета: в с
х + Х2 =--, х • Х2 = — . Теперь найдем необходимые и достаточные
а а
условия того, что корни Х1 и Х2 трехчлена больше заданного числа р (т.е. чтобы корни принадлежали интервалу (р ,+го).) Эта задача может быть решена приведением к предыдущей задаче. На самом деле, функция g(х) = /(х + р) также будет квадратным трехчленом; его корнями будет Х} — р и Х2 — р,
g( х) = а(х + р)2 + Ъ(х + р) + с = ах2 + (2ар + Ъ)х + ар2 + Ър + с
это условие примет следующий вид:
D1 > 0, а(2ар + Ъ) < 0, ар2 + Ър + с > 0.
Здесь Dl - дискриминант трехчлена g(х), так как от того, что трехчлены g(х) и /(х) имеют одновременно корни или не имеют, неравенство 01 > 0 равносильно неравенству О > 0. Значит, вышеприведенное необходимое и достаточное условие будет иметь вид О > 0, а/(р) > 0, а(2ар + Ъ) < 0
Необходимость. Пусть трехчлен /(х) (а > 0) имеет корни х1 и Х2 большей, чем числа р . Тогда его дискриминант неотрицательный (потому что имеет корни) /(р) > 0, так как число р меньше, чем не меньшего корня , то
х1 + х2 Ъ
р <- и по теореме Виета р <--, т.е. 2ар + Ъ < 0 . С этим необходимость
2 2а
теоремы полностью доказана (для а > 0).
Достаточность. Пусть выполнены условия О > 0, /(р) > 0, 2ар + Ъ < 0.
Тогда трехчлен имеет корни х1 и Х2 и если эти корни будет различными, то из второго неравенства или число р больше большого корня, или число меньше
х1 + х2 Ъ
меньшего корня, но в первом случае мы имели бы р >-=--, т.е.
2 2а
2ар + Ъ > 0. Это противоречит третьему неравенству. Значит, р меньше обоих
85 ■ Еигореап Баепсе № 7 (49)
b
корней, если корни совпадают, т.е. то Xj = Х2 =--, тогда неравенство 3 -
2a
2ap + b < 0, означает, что два корня больше числа р [2].
Задача 2. Какое необходимое и достаточное условие можно найти для того, чтобы квадратный трехчлен имел два корня меньше заданного числа Решение этой задачи выражается следующими условиями: D > 0, af (p) > 0, a(2ap + b) > 0.
Задача 3. Как выразить необходимое и достаточное условие того, что трехчлен f (x) = ax2 + bx + c имел корни, один из которых больше заданного числа и а другой меньше его? Решение этой задачи состоит из условия af (p) < 0 [3]. При проведении исследований по нахождению необходимых и достаточных условий расположения корней трехчлен f (x) в интервалах (р ,+да) или (—да, p) или в интервалах [р ,+да)
, (—да, p] мы вынуждены использовать свойства квадратичной функции.
Список литературы /References
1. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. Изд. 3-е, стер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 416 с.
2. Сахабиева Г.А., Сахабиев В.А. Учебное пособие по математике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 160 с.
3. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. М: ИЛЕКСА, 2007. 252 с: ил.
